Mi a szféra felülete. Gömb, labda, szegmens és szektor. A szféra képletei és tulajdonságai. A gömb és a labda fő tulajdonságai
A labda és a gömb elsősorban geometriai alakzatok, és ha a labda geometriai test, akkor a gömb a labda felülete. Ezek a számok több ezer évvel ezelőtt érdekeltek.
Ezt követően, amikor felfedezték, hogy a föld egy labda, és az ég egy mennyei gömb, egy új lenyűgöző irány a geometria - geometria a gömb vagy gömb alakú geometriában kifejlesztett. Annak érdekében, hogy vitatkozzon a golyó méretének és térfogatának, először meg kell adnia egy definíciót.
Labda
RADIUS RF a középpontban O pont o Geometry Hívja a testet, amelyet az összes pont helyet hoz létre Általános ingatlan. Ezek a pontok olyan távolságban vannak, amelyek nem haladják meg a labda sugarát, vagyis töltse ki a teljes helyet kevesebb, mint a labda sugár a középpontjában. Ha csak azokat a pontokat tekintjük, amelyek a labda központjától egyenlő távolságra vannak - megvizsgáljuk a felületét vagy egy tálat.
Hogyan kaphatok egy labdát? Vághatunk egy kört a papírból, és elkezdhetjük mozgatni az átmérőj körül. Vagyis a kör átmérője a forgás tengelye lesz. Képzett alak - lesz egy labda. Ezért a labdát a forgás testének is nevezik. Mert egy lapos forma forgatásával alakítható létre.
Vegyünk egy kis síkot, és vágjuk le a labdát. Csakúgy, mint a narancssárga kést. A labdából levágott darabot labda szegmensnek nevezik.
BAN BEN Ókori Görögország Nem csak labdával és gömbvel dolgozhattak, mint például a geometriai alakzatok, például az építés során, és tudták, hogyan kell kiszámítani a labda felületét és a labdát.
A gömb különbözik a labda felületének. A gömb nem test - ez a forgás teste. Mivel azonban a Föld és sok testnek gömb alakú, például egy csepp víz van, akkor a geometriai arányok tanulmányozása a gömbön belül jelentősen terjedt.
Például, ha két pontot csatlakoztatunk a gömb között egymás között egyenes vonal között, akkor ez az egyenes vonal hívja az akkordot, és ha ezt az akkordot a gömb közepén tartják, ami egybeesik a labda központjával a szféra átmérőjének nevezik.
Ha egy egyenes vonalat táplálunk, amely egy ponton érinti a gömböt, akkor ez a sor tangensnek nevezik. Ezen túlmenően ez a ponton a gömb ezen a ponton merőleges lesz a gömb sugara, amelyet az érintés helyére hajtanak végre.
Ha folytatjuk az akkordot egy egyenes vonalhoz a gömb másik oldalán, akkor ezt az akkordot eladják. Vagy mondhatjuk másképpen - a szekvenciális, hogy a gömb tartalmazza a húrt is.
Tál
A labda térfogatának kiszámításának képlete az űrlap:
ahol r egy golyós sugár.
Ha meg kell találnia a labda szegmens hangerejét - használja a képletet:
V seg \u003d πh 2 (R-H / 3), H a golyós szegmens magassága.
A labda vagy a gömb felülete
A gömbök területének vagy a labda felületének kiszámítása (ez ugyanaz):
ahol r a gömb sugara.
Archimedy szerette a labdát és a gömböt, még azt is kérte, hogy hagyja el a rajzot a sírján, amelyen egy labda belépett a hengerbe. Archimeda úgy vélte, hogy a labda térfogata és felülete megegyezik a henger térfogatának és felületének kétharmadával, amelyben a labda felirat van.
Sokan szeretünk játszani labdarúgást, vagy legalábbis szinte mindannyian hallottam a híres sportjátékról. Mindenki tudja, hogy a labdarúgás a labdát játssza.
Ha megkérdezi a járókert, amelynek formája geometriai alak Van egy labdája, néhány ember azt fogja mondani, hogy a golyó alakja, és része, hogy a gömb formái. Szóval ki igaz? És mi a különbség a gömb és a labda között?
Fontos!
Labda - Ez egy térbeli testület. A labda belsejében valami kitöltött. Ezért a labda megtalálhatja a hangerőt.
Példák egy tál az életben: görögdinnye és acélgolyó.
A golyó és a gömb, mint egy kör és kör, van egy középső, sugarú és átmérője.
Fontos!
Gömb - A labda felszíne. A szféra megtalálhatja a felületet.
Példák az életben az életben: röplabda labda és egy labda teniszlabda.
Hogyan találja meg a terület területét
Emlékezik!
A gömb területének képlete: S \u003d 4. π R 2.
Annak érdekében, hogy megtaláljuk a terület területét, meg kell emlékezni, hogy milyen mértékben a dátum. A fokozat mértékének ismeretében a gömb tér formájával írható az alábbiak szerint.
S \u003d 4. π r 2 \u003d 4π r · r;
Biztosítsa a megszerzett és megoldjuk a szféra területének feladatait.
Zubareva 6. fokozat. 692 (A)
A feladat:
- Számítsa ki a gömb területét, ha a sugár egyenlő
1 \u003d 3 · \u003d \u003d / (4,3) \u003d) \u003d \u003d) \u003d
= = =
= 188 88 - R 3 \u003d 1
- R \u003d 1 m
Fontos!
Kedves Szülők!
A sugár végső számításával nem szükséges kényszeríteni a gyermeket a kocka gyökér számítására. A 6. osztályú diákok még nem teltek el, és nem ismerik a matematika gyökereinek meghatározását.
A 6. fokozatban, amikor ilyen feladat megoldásakor használja a generációs módszert.
Kérdezd meg a hallgatót, milyen számot, ha 3-szor szaporodsz magamra, megad egységet.
Meghatározás.
Gömb (a labda felülete) - Ez a háromdimenziós térben lévő összes pont kombinációja, amely egy ponttól azonos távolságra van szféra központja (RÓL RŐL).A gömböt úgy lehet leírni, mint egy térfogata, amelyet a kör átmérőjének forgása 180 ° -kal, vagy egy félkör alakú, átmérőjű 360 ° -kal.
Meghatározás.
Labda - Ez a háromdimenziós térben lévő összes pont kombinációja, amelyből a távolság nem haladja meg a hívott ponttól való bizonyos távolságot shara központja. (O) (a korlátozott szféra háromdimenziós térének összes pontjának összessége).A labdát egy volumetriai alakként lehet leírni, amelyet a kör átmérőjének forgása 180 ° -kal vagy 360 ° -kal átmérőjű félkörrel alakít ki.
Meghatározás. A gömb sugara (labda) (R) a gömb közepétől való távolság (labda) O. a gömb bármely pontjához (a labda felülete).
Meghatározás. A gömb átmérője (labda) (D) egy szegmens, amely két pontot összeköt a gömb (golyós felület), és áthalad a központon keresztül.
Képlet. Tál:
| V \u003d. | 4 | π r 3 \u003d | 1 | π D 3. |
| 3 | 6 |
Képlet. A szféra felülete A sugáron vagy átmérőben:
S \u003d 4π r 2 \u003d π d 2
Egyenlet gömb
1. Az R sugarú sugarú és a középpontban a kartéziai koordináta rendszer elején:
x 2 + y 2 + z 2 \u003d r 2
2. A gömb egyenlete R sugar R és Center egy ponton koordináták (X 0, Y 0, Z 0) a Descartes-koordináta rendszerben:
(X - X 0) 2 + (Y - Y 0) 2 + (z - z 0) 2 \u003d R 2
Meghatározás. Átmérőjű ellentétes pontok A golyó (gömb) felületén két pontot neveznek, amelyeket átmérővel csatlakoztatnak.
A gömb és a labda fő tulajdonságai
1. A gömb minden pontját egyformán eltávolítják a központból.
2. A szférák keresztmetszete kör.
3. A labda bármely szakasza egy síkral kör.
4. A gömb van a legnagyobb mennyiség Az azonos felületű térbeli figurák között.
5. Bármely két átmérőjű ellentétes ponton keresztül különböző nagy körök a gömb vagy körök a golyóhoz tarthatók.
6. Két ponton keresztül, az átmérőjű ellentétes pontokon kívül csak egy nagy kört tölthetsz egy gömb vagy egy nagy kör számára egy golyóhoz.
7. Az egyik golyó két nagy köre metszi a labda közepén áthaladó egyenes vonalban, és a körök két átmérőjű ellentétes ponton metszenek.
8. Ha a két golyó központja közötti távolság kisebb, mint a sugarak és a sugarak közötti különbségű modul összege, akkor az ilyen golyók keresztés a metszéspontban egy kör alakul ki.
Sequer, Chord, szekvenciális sík sík és azok tulajdonságai
Meghatározás. Szekvenciában - Ez egy olyan egyenes vonal, amely két ponton keresztezi a gömböt. A metszéspontot hívják Énekesek pontjai Felületek vagy bemeneti pontok és kimenet a felületen.
Meghatározás. Chord gömbök (labda) - Ez egy szegmens, amely két pontot összeköt a gömb (a labda felülete).
Meghatározás. Szekvenező sík - Ez egy olyan sík, amely áthalad a gömböt.
Meghatározás. Átmérői sík - Ez egy biztosító sík, amely áthalad a gömb közepén, vagy egy labdát, sechenm formákat nagy kör és nagy kör. Egy nagy kör és egy nagy kör van egy olyan központ, amely egybeesik a gömb (labda) központjával.
A gömb közepén áthaladó akkord átmérője átmérője.
Az akkord egy biztonságos egyenes szegmens.
A szféra középpontjából származó D távolság mindig kevesebb, mint a gömb sugara:
d.< R
A szekció síkja és a gömb közepe közötti távolság mindig kevesebb, mint az R sugár:
m.< R
A szféra szekvenciális síkjának szakaszának helye mindig lesz kis kör, és a labda, a szakasz lesz kis kör. A kis kör és a kis köröknek vannak olyan központjaik, amelyek nem felelnek meg a gömb középpontjának (labda). Az ilyen kör sugara megtalálható a képlet:
r \u003d √r 2 - m 2.,
Ahol r a gömb sugara (labda), m a távolság a labda közepétől a világi síkig.
Meghatározás. Félteke (fél) - A szféra fele (labda), amely akkor alakul ki, amikor áthalad egy átmérővel.
Tangenciális, tangens sík a gömbre és azok tulajdonságaira
Meghatározás. Tangens a szférához - Ez egy egyenes vonal, amely csak egy ponton érinti a gömböt.
Meghatározás. Érintő - Ez egy olyan sík, amely csak egy ponton érintkezik a gömbrel.
A tanner közvetlen (sík) mindig merőleges a kapcsolattartó pontra fordított gömb sugara
A gömb közepétől a tangens közvetlen (sík) közötti távolság megegyezik a gömb sugaraival.
Meghatározás. Shara szegmens - Ez egy olyan golyó része, amely a secant síkon levágja a labdát. A szegmens alapja Hívjon egy kört, amely a keresztmetszetben alakult ki. Szegmensmagasság A H-t a szegmens alapja közepéből a szegmens felszínéig töltött merőleges hosszúságú.
Képlet. A szféra szegmensének külső felületének négyzete A s sugara révén r:
S \u003d 2π rh
Egy feladat
A gömbben egy kúpos formázó, amely egyenlő l, és az axiális keresztmetszet tetején lévő szög 60 fok. Keresse meg a szféra területét. Döntés.
A szféra területe a képlet alapján talál:
Mivel a kúp belépett a gömbbe, egy részt vehetünk a kúp tetején, amely lesz egyformán kereskedett háromszög. Mivel az axiális keresztmetszet tetején lévő szög 60 fok, a háromszög egyenlő volt (a háromszög sarkainak összege 180 fok, ami azt jelenti, hogy a fennmaradó szögek (180-60) / 2 \u003d 60, azaz minden szög egyenlő).
A gömb sugara megegyezik az egyenlő oldalú háromszög körül leírt kör sugaraival. A háromszög állapota állapota egyenlő l. Azaz
Így a szféra területe
S \u003d 4π (√3 / 3 l) 2
S \u003d 4 / 3πL 2
Válasz: A gömb területe 4 / 3πL 2.
Egy feladat
A tartály alakja a félteke (félteke). Az alap kerület hossza 46 cm. 1 négyzetmétert fogyasztanak 300 gramm festéket. Mennyi festést kell festeni a tartály festéséhez?
Döntés.
Az ábra felületének megegyezik a gömb keresztmetszetének és a gömb keresztmetszetének területének.
Mivel ismerjük az alap kerületének hosszát, megtaláljuk a sugarát:
L \u003d 2πr.
Tól től
R \u003d l / 2π
R \u003d 46 / 2π
R \u003d 23 / π
Ahonnan az alapterület egyenlő
S \u003d πr 2
S \u003d π (23 / π) 2
S \u003d 529 / π
A szféra területe a képlet alapján talál:
S \u003d 4πr 2
Ennek megfelelően a félteke területe
S \u003d 4πr 2/2
S \u003d 2π (23 / π) 2
S \u003d 1058 / π
Az ábra teljes felülete egyenlő:
529 / π + 1058 / π \u003d 1587 / π
Most számítsuk ki a festék fogyasztás (figyelembe vesszük, hogy a fogyasztás adott négyzetméterenként, és a számított értéket négyzetcentiméter, azaz az egy méter 10.000 négyzetcentiméter)
1587 / π * 300/10 000 \u003d 47,61 / π gramm ≈ 15,15 g
Egy feladat
Döntés. Ryshmy.
A döntés megmagyarázásához megjegyzünk a fenti képletek mindegyikét
| A folyó magyarázata, a formulák Promenonuto-bőre
|
|
 | 8. Osztjuk az első és a második golyó térfogatát egymást. 9. Csökkentjük a kapott frakciót. Ne feledje, hogy a két golyó térfogatának aránya megegyezik a sugarak kockainak arányával. Figyelembe vesszük az általunk korábban kapott kifejezést a (4) képletben, és helyettesítjük. Mivel a négyzetes gyökér számos 1/2 fok, átalakítjuk a kifejezést 10. Emlékezzen a zárójelekre és írja be a kapott arányt arányos formában. A válasz beérkezik. | 8. Ridgelimo arról, hogy "єma і і ї kuli egyet 9. Rootimo Dribb, Scho Viyshov. Vіdmіtimo, scho spіvіtimnya arról, hogy "loof dor dorіvniuє spevvimynesyannyh kubіv ї radіusіv. Vosheєmo Virazhenna, Revisani általunk a Formula 4 і pіdstavimo yogo 10. Roskrymo Handeeper і Visdo recisean spevvimdenshene a visigandi arányban. Vіdpovіda otrimana. |
Az ívelt felület területe, amely nem alkalmazható a síkhoz, kiszámítja. Az ilyen darabokra osztják a felületet, amelyek már elegendőek a lakásból. Aztán megtalálják az ilyen darabok területét, mintha laposak lennének (például helyettesítik őket a síkra vetett vetületekkel, ahonnan a felület kissé eltér. A négyzetek összegét, és hozzávetőleges felületet adnak. Ez a gyakorlatban történik: a kupola felületét a fémlemezek csomópontjával fedjük fel (17.5. Ábra). Még
jobb, ha a Föld felszínének példáján látható. Ez csavart - megközelítőleg gömbölyű. De az egész föld méretéhez képest kicsi webhelyek laposként vannak mérve.
A gömb síkjának kiszámításával írja le a közel álló sokoldalú felületet. Az arcai megközelítőleg a szféra darabjait képviselik, és a területe magának a szférának területét kínálja. További számítása a következő lemmán alapul.
Lemma. A Polyhedron P térfogata az R sugarú gömb körül, és felülete társul a relációhoz
MEGJEGYZÉS: A RADIUS kör és a kerülete körül leírt poligon területe (17.6. Ábra) hasonló arányhoz kapcsolódik.
Leírjuk a poliéder R. R. gömbjét. Tegyük fel, hogy a piramisok bontásai vannak a középpontban lévő teljes csúcsgal az O és C felületeken a bázisokon (17.7. Ábra).
Mindegyik ilyen arc a gömb tangens síkjában rejlik, és ez azt jelenti, hogy merőleges a gömb sugara az érintőképernyőn. Ez azt jelenti, hogy ez a sugár a piramis magassága, így a térfogata:
ahol - az arc területe Ezen területek összege a Polyhedron P felületét és a piramisok mennyiségét biztosítja - ezért mennyisége tehát
Tétel (a szféra területéről). Az R sugár területét a képlet tartalmazza:
Hagyja, hogy megkapja az R sugarú gömbát. Vegye ki azt a pontokat, amelyek nem fekszenek egy féltekén, és elvégeznek a tangens síkot a gömbhöz. Ezek a síkok korlátozzák a gömb körül leírt polihedrert. Legyen a poliéder térfogata - annak felülete, v a vizsgált gömbhöz korlátozott gömb térfogata, és S az a terület.
