A csonka gúla térfogata. Geometriai figurák. Csonka piramis. Egy helyes csonka piramis esetén a képlet helyes
A piramis egy olyan poliéder, amelyben az alapot egy tetszőleges sokszög ábrázolja, a fennmaradó lapok pedig háromszögek, amelyek közös csúcsa megfelel a piramis csúcsának.
Ha az alappal párhuzamos szakaszt rajzolunk a piramisba, akkor az az ábrát két részre osztja. Az alsó alap és az élek által határolt szakasz közötti teret ún csonka piramis.
A csonka gúla térfogatának képlete a magasság szorzatának egyharmada a felső és az alsó alapterületek összegével, ezek átlagos arányával:
Tekintsünk egy példát egy csonka piramis térfogatának kiszámítására.
Probléma: Adott egy háromszög alakú csonka gúla. Magassága h = 10 cm, az egyik alap oldalai a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm A második alap kerülete P2 = 72 cm Határozza meg a gúla térfogatát! 
A térfogat kiszámításához szükségünk van az alapok területére. Egy háromszög oldalainak hosszának ismeretében kiszámíthatjuk>. Ehhez meg kell találnia egy fél kerületet: 
Most keressük az S2-t: 
Tudva, hogy a piramis csonka, arra a következtetésre jutunk, hogy az alapokban fekvő háromszögek hasonlóak. Ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatója a kerületek arányából adódik. A háromszögek területének aránya ennek az együtthatónak a négyzetével lesz egyenlő: 
Most, hogy megtaláltuk alapterület csonka piramis esetén könnyen kiszámíthatjuk a térfogatát:
Így a hasonlósági együttható kiszámítása és az alapok területének kiszámítása után megtaláltuk egy adott csonka piramis térfogatát.
Sorozat megoldásánál fontos a térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége gyakorlati feladatokat a geometrián. Az egyik leggyakoribb forma a piramis. Ebben a cikkben a teljes és a csonka piramisokat is megvizsgáljuk.
Piramis mint háromdimenziós figura
Mindenki tud róla egyiptomi piramisok ezért jó ötlete van arról, hogy melyik alakról lesz szó. Mindazonáltal az egyiptomi kőépítmények csak különleges esetei a piramisok hatalmas osztályának.
A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik, amely nem tartozik az alap síkjához. Ez a meghatározás egy n-szögből és n háromszögből álló ábrához vezet.
Bármely piramis n + 1 lapból, 2 * n élből és n + 1 csúcsból áll. Mivel a vizsgált ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma engedelmeskedik az Euler-egyenlőségnek:
2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.
Az alján lévő sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Az alábbi képen különböző alapokkal rendelkező piramisok készlete látható.
Azt a pontot, ahol az ábra n háromszöge összekapcsolódik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor egy ferde piramis alakul ki.
Egy egyenes alakzatot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (konformális) n-szög alkotja, szabályosnak nevezzük.
A piramis térfogatának képlete
A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos vágósíkokkal végtelen számú vékony rétegre osztjuk. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben egy vékony metszetréteget négyszöggel jelöltünk.
Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:
A(z) = A 0* (h-z) 2/h 2.
Itt A 0 az alapterület, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.
A piramis térfogatának képletéhez ki kell számítani az integrált az ábra teljes magasságában, azaz:
V = ∫ h 0 (A (z) * dz).
Az A (z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:
V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.
Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához elegendő az ábra magasságát megszorozni az alap területével, majd az eredményt elosztani hárommal.
Vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott kifejezés egy tetszőleges típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Azaz ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.
és a térfogata
A fenti bekezdésben kapott általános térfogati képlet egy szabályos talpú gúla esetén pontosítható. Az ilyen alap területét a következő képlettel számítják ki:
A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).
Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum pi.
Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk a szabályos piramis térfogatát:
V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).
Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezéshez vezet:
V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.
A helyesért négyszög alakú piramis a térfogati képlet a következőképpen alakul:
V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * óra.
A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához ismerni kell alapjuk oldalát és az ábra magasságát.
Csonka piramis
Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtunk belőle a csúcsot tartalmazó oldalfelület egy részét. A fennmaradó alakzatot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúla jön létre párhuzamos, hasonló alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk valamilyen k együtthatóval.
A fenti ábra egy csonka szabályosat szemléltet. Látható, hogy felső alapját az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.
A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:
V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).
Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.
A Kheopsz piramis térfogata
Kíváncsi, hogy megoldjuk a legnagyobb egyiptomi piramis belsejében lévő térfogat meghatározásának problémáját.
1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok megállapították a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.
A fenti számadatokat használjuk ennek a kőóriásnak a térfogatának meghatározásához. Mivel a piramis szabályos négyszögletes, ezért a képlet érvényes rá:
A számokat behelyettesítve a következőt kapjuk:
V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
A Kheopsz-piramis térfogata közel 2,6 millió m 3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai medence térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis feltöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szükség!
és egy vágási sík, amely párhuzamos az alapjával.
Vagy más szóval: csonka piramis- ez egy olyan poliéder, amelyet egy gúla alkot, és annak alappal párhuzamos szakasza.
A piramis alapjával párhuzamos szakasz a gúlát 2 részre osztja. A piramis alapja és szakasza közötti része az csonka piramis.
A csonka piramisnak ez a szakasza ennek a piramisnak az egyik alapja.
A csonka gúla alapjai közötti távolság a a csonka gúla magassága.
A csonka piramis lesz helyes amikor a piramis, amelyből származott, is helyes volt.
Szabályos csonka gúla oldallapjának trapéz magassága a apotém a helyes csonka piramis.
Csonka piramis tulajdonságai.
1. Egy szabályos csonka gúla minden oldallapja azonos méretű egyenlő szárú trapéz.
2. A csonka gúla alapjai hasonló sokszögek.
3. Egy szabályos csonka gúla oldalélei egyenlő méretűek, és az egyik ferde a gúla alapjához képest.
4. A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.
5. A szabályos csonka gúla oldalélein lévő kétszögek egyenlő nagyságúak.
6. Az alapok területeinek aránya: S 2 / S 1 = k 2.
Csonka piramisképletek.
Egy tetszőleges piramishoz:
A csonka gúla térfogata a magasság szorzatának 1/3-a h (OS) a felső alap területeinek összegére S 1 (abcde), a csonka gúla alsó alapja S 2 (ABCDE) és a köztük lévő arányos átlag.
Piramis térfogata:
ahol S 1, S 2- az alapok területe,
h- a csonka gúla magassága.
Oldalsó felület 
egyenlő a csonka gúla oldallapjainak területeinek összegével.
A helyes csonka piramishoz:
Helyes csonka piramis- poliéder, amelyet szabályos gúla és annak alappal párhuzamos szakasza alkot.
Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete az alapjai kerülete és az apotém összegének a fele.
ahol S 1, S 2- az alapok területe,
φ - diéderszög a piramis alján.
CH a csonka piramis magassága, P 1és P 2- az alapok kerülete, S 1és S 2- az alapok területei, S oldal- oldalsó felület, S tele- teljes felület:
A gúla alappal párhuzamos síkú metszete.
A gúla alapjával párhuzamos (a magasságra merőleges) sík metszete a gúla magasságát és oldaléleit arányos szegmensekre osztja.
A piramis alapjával párhuzamos (a magasságra merőleges) sík metszete egy olyan sokszög, amely hasonló a gúla alapjához, míg ezeknek a sokszögeknek a hasonlósági együtthatója megfelel a gúlától való távolságuk arányának. a piramis teteje.
A gúla alapjával párhuzamos szakaszok területei a gúla tetejétől mért távolságuk négyzetével viszonyulnak.
Piramis poliédernek nevezzük, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes ha alapja szabályos sokszög és a gúla csúcsa az alap közepére vetítve van (16. ábra). Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .
Oldalsó borda A piramis az oldallap azon oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság piramisnak nevezzük a csúcsa és az alap síkja közötti távolságot. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldalél egyenlő egyenlő szárú háromszögek... Egy szabályos gúla tetejéről húzott oldallapjának magasságát ún apotém . Átlós szakasz a piramis metszetét két olyan oldalsó élen áthaladó síknak nevezzük, amelyek nem tartoznak egy laphoz.
Oldalsó felület piramist az összes oldallap területének összegének nevezzük. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összege.
Tételek
1. Ha egy gúlában minden oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alap körül körülírt kör középpontjába vetül.
2. Ha a piramisban minden oldalél egyenlő hosszú, akkor a gúla teteje az alap körül körülírt kör középpontjába vetül.
3. Ha a piramisban az összes lap egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.
Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a következő képlet helyes:
ahol V- hangerő;
S fő- alapterület;
H- a piramis magassága.
A helyes piramishoz a képletek helyesek:
ahol p- alap kerület;
h a- apotém;
H- magasság;
S tele
S oldal
S fő- alapterület;
V- a megfelelő piramis térfogata.
Csonka piramis a piramisnak az alapja és a gúla alapjával párhuzamos szekánssík közé zárt része (17. ábra). Szabályos csonka piramis A szabályos gúla azon részének nevezzük, amely az alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé záródik.
Alapok csonka piramisok – hasonló sokszögek. Oldalsó arcok - trapéz alakú. Magasság a csonka piramis az alapjai közötti távolság. Átlós a csonka gúlát olyan szakasznak nevezzük, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem ugyanazon a lapon helyezkednek el. Átlós szakasz a csonka gúla metszetét két oldalsó élen átmenő síknak nevezzük, amelyek nem tartoznak egy laphoz.
Csonka piramis esetén a következő képletek érvényesek:
(4)
ahol S 1 , S 2 - a felső és az alsó bázis területei;
S tele- teljes felület;
S oldal- oldalsó felület;
H- magasság;
V- a csonka gúla térfogata.
A helyes csonka piramishoz a képlet helyes:
ahol p 1 , p 2 - az alapok kerülete;
h a- a szabályos csonka piramis apotémje.
1. példa A helyesen háromszög alakú piramis a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!
Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).
 |
A piramis szabályos, így az alapján egyenlő oldalú háromszög van, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög a szög a két merőleges között: és i.e. A piramis csúcsa a háromszög közepébe van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszögbe írt kör ABC). Az oldalsó borda dőlésszöge (pl SB) Maga az él és az alap síkjára való vetülete közötti szög. A bordához SB ez a szög lesz a szög SBD... Az érintő megtalálásához ismerni kell a lábakat ÍGYés OB... Legyen a szakasz hossza BD egyenlő 3-mal a... Pont O szakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: 
Innen találjuk: 
Válasz:
2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha az alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!
Megoldás. A csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területének meghatározásához meg kell találnia az alapnégyzetek oldalait, ismerve az átlójukat. Az alapok oldala 2 cm, illetve 8 cm, így az alapok területei és a képletben szereplő összes adat behelyettesítése után kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:
Válasz: 112 cm3.
3. példa Határozza meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.
Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).
Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapot és a magasságot. Az alapok állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Meg fogjuk találni honnan A 1 E ponttól merőlegesen A 1 az alsó alap síkján, A 1 D- merőlegesen A 1 on MINT. A 1 E= 2 cm, mivel ez a piramis magassága. Megtalálni DE készítünk egy további rajzot, amelyen felülnézetet fogunk ábrázolni (20. ábra). Pont O- a felső és az alsó alap középpontjának vetítése. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben A beírt kör sugara és 
OM- a beírt kör sugara:
MK = DE.
A Pitagorasz-tétel szerint
Oldalsó arc területe: 
Válasz:
4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai aés b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapsíkjával egyenlő j... Határozza meg a piramis teljes felületét.
Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.
Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont O- csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög merőleges vetülete CSD az alap síkján. A síkidom ortogonális vetületének területére vonatkozó tételből a következőt kapjuk:
Hasonlóképpen azt jelenti 
Így a feladat a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD... Rajzolj egy trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont O- a trapézba írt kör középpontja.
Mivel a kör trapézba írható, a Pitagorasz-tétel alapján akár a Fromból is,
