A véletlenszerű esemény bekövetkezésének valószínűsége lehet. Egy esemény valószínűségének meghatározása. Fejezet Véletlen változók
ÖNKORMÁNYZATI OKTATÁSI INTÉZMÉNY
GIMNÁZIUM 6. szám
"A valószínűség klasszikus meghatározása" témában.
8. "B" osztályos tanuló végzi
Klimantova Alexandra.
Matematikatanár: Videnkina V.A.
Voronezh, 2008
Sok játékban használnak kockát. A kocka 6 arccal rendelkezik, mindegyik arcon különböző számú pont van, 1-től 6-ig. A játékos dob egy kockát, és megnézi, hogy hány pont van az elejtett arcon (a tetején elhelyezkedő arcon). Gyakran előfordul, hogy a kocka szélén lévő pontokat helyettesítik a megfelelő számmal, majd 1, 2 vagy 6 dobásról beszélnek. A kocka dobása tapasztalatnak, kísérletnek, tesztnek tekinthető, és a kapott eredmény a következő: egy teszt vagy egy elemi esemény eredménye. Az embereket érdekli, hogy kitalálják-e ennek vagy annak az eseménynek a kezdetét, és megjósolják annak eredményét. Milyen jóslatokkal szolgálhatnak, amikor dobják a kockát? Például:
1) A esemény - az 1., 2., 3., 4., 5. vagy 6. szám kiesik;
2) B esemény - a 7., 8. vagy 9. szám kiesik;
3) С esemény - az 1. szám kiesik.
Az első esetben jósolt A esemény biztosan eljön. Általánosságban azt az eseményt nevezzük, amely szükségszerűen bekövetkezik egy adott élményben hiteles esemény .
A második esetben megjósolt B esemény soha nem fog bekövetkezni, egyszerűen lehetetlen. Általánosságban egy eseményt nevezünk, amely egy adott tapasztalat során nem fordulhat elő lehetetlen esemény .
És jön-e a harmadik esetben megjósolt C esemény vagy sem? Nem vagyunk abban a helyzetben, hogy teljes bizalommal válaszoljunk erre a kérdésre, mivel 1 eshet vagy nem. Olyan eseményt hívnak, amely egy adott tapasztalat során előfordulhat, vagy nem véletlenszerű esemény .
Gondolva egy megbízható esemény előfordulására, valószínűleg nem fogjuk használni a "valószínűleg" szót. Például, ha ma szerda, akkor holnap csütörtök, ez egy megbízható esemény. Szerdán nem mondjuk: "Valószínűleg holnap van csütörtök", röviden és világosan mondjuk: "Holnap csütörtök". Igaz, ha hajlamosak vagyunk a gyönyörű kifejezésekre, akkor ezt mondhatjuk: "Száz százalékos valószínűséggel azt mondom, hogy holnap csütörtök van." Éppen ellenkezőleg, ha ma szerda van, akkor a holnapi péntek lehetetlen esemény. Ezt a szerdai eseményt értékelve ezt mondhatjuk: "Biztos vagyok benne, hogy a holnap nem péntek." Vagy: "Hihetetlen, hogy holnap péntek van." Nos, ha hajlamosak vagyunk a gyönyörű kifejezésekre, akkor ezt mondhatjuk: "Annak a valószínűsége, hogy holnap péntek van, nulla." Tehát a megbízható esemény olyan esemény, amely az adott körülmények között következik be. százszázalékos valószínűséggel(vagyis 10-ből 10 esetben, 100-ból 100 esetben fordul elő stb.). Lehetetlen esemény olyan esemény, amely az adott körülmények között soha nem fordul elő, esemény nulla valószínűséggel .
De, sajnos (és talán szerencsére), az életben nem minden olyan világos és világos: mindig az lesz (megbízható esemény), soha nem fog megtörténni (lehetetlen esemény). Leggyakrabban csak véletlenszerű eseményekkel szembesülünk, amelyek közül néhány valószínűbb, mások kevésbé valószínű. Általában az emberek a "valószínűbb" vagy "kevésbé valószínű" szavakat használják, ahogy mondják, szeszélyből, támaszkodva a józan észre. De nagyon gyakran kiderül, hogy az ilyen értékelések nem elégségesek, mivel fontos tudni mennyi százalék valószínűleg véletlenszerű esemény, vagy hányszor egy véletlenszerű esemény valószínűbb, mint egy másik. Más szavakkal, pontos mennyiségi jellemzőkkel, képesnek kell lennie a valószínűség számmal történő jellemzésére.
Már megtettük az első lépéseket ebbe az irányba. Azt mondtuk, hogy egy megbízható esemény bekövetkezésének valószínűségét a következők jellemzik száz százalék, és egy lehetetlen esemény bekövetkezésének valószínűsége hasonló nulla... Tekintettel arra, hogy 100% egyenlő 1-vel, az emberek a következőkben értettek egyet:
1) egy hiteles esemény valószínűségét annak tekintjük 1;
2) egy lehetetlen esemény valószínűségét annak tekintjük 0.
Hogyan számolja ki a véletlenszerű esemény valószínűségét? Végül is megtörtént véletlenül ezért nem engedelmeskedik a törvényeknek, algoritmusoknak, képleteknek. Kiderült, hogy a véletlenszerűség világában vannak bizonyos törvények, amelyek lehetővé teszik a valószínűségek kiszámítását. Ezt a matematika egy ága végzi, amelyet úgy hívnak - Valószínűségi elmélet .
A matematika foglalkozik modell a körülöttünk lévő valóság valamilyen jelensége. A valószínűségelméletben alkalmazott összes modell közül a legegyszerűbbre szorítkozunk.
Klasszikus valószínűségi séma
Ha meg szeretné találni az A esemény valószínűségét valamely kísérlet végrehajtása során, tegye a következőket:
1) keresse meg a kísérlet összes lehetséges eredményének N számát;
2) fogadja el azt a feltételezést, hogy ezek az eredmények egyformán valószínűek (egyformán lehetségesek);
3) keresse meg a kísérlet azon eredményeinek N (A) számát, amelyekben A esemény történik;
4) talál privát ; egyenlő lesz az A esemény valószínűségével.
Elfogadott az A esemény valószínűségének jelölése: P (A). Ennek a megjelölésnek a magyarázata nagyon egyszerű: a "valószínűség" szó franciául igen valószínűség, angolul- valószínűség.A szó első betűjét használják a megjelölésben.
Ezt a jelölést használva az A esemény valószínűsége a klasszikus séma szerint megtalálható a képlet segítségével
P (A) =.
Gyakran a fenti klasszikus valószínűségi séma minden pontját egy meglehetősen hosszú kifejezésben fejezik ki.
A valószínűség klasszikus meghatározása
Az A esemény valószínűsége egy bizonyos kísérletben az A eseményt eredményező kimenetek számának és a próba összes ugyanolyan lehetséges kimenetelének aránya.
1. példa... Keresse meg annak valószínűségét, hogy a kocka egy dobásával a következők esnek ki: a) 4; b) 5; c) páros számú pont; d) a pontok száma meghaladja a 4-et; e) a pontok száma, nem a háromszorosa.
Döntés... Összesen N = 6 lehetséges kimenetel van: kockafelületből 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 pontszámmal kiesni. Úgy gondoljuk, hogy egyiküknek sincs előnye a többivel szemben, vagyis elfogadjuk ezen eredmények egyenértékűségének feltételezését.
a) Pontosan az egyik kimenetelben bekövetkezik a számunkra érdekes A esemény - a 4. szám kiesik. Ezért N (A) = 1 és
P ( A )= =.
b) A megoldás és a válasz ugyanaz, mint az előző bekezdésben.
c) A számunkra érdekes B esemény pontosan három esetben következik be, amikor a pontok száma 2, 4 vagy 6.
N ( B ) = 3 és P ( B )==.
d) A számunkra érdekes C esemény pontosan két esetben következik be, amikor a pontok száma 5 vagy 6.
N ( C ) = 2 és P (C) =.
e) A hat lehúzott szám közül négy (1, 2, 4 és 5) nem háromszorosa, a fennmaradó kettő (3 és 6) osztható hárommal. Ez azt jelenti, hogy a számunkra érdekes esemény a hat közül pontosan négyen fordul elő, és egyformán valószínűek egymás között, és ugyanolyan valószínűek a tapasztalatok kimenetelei is. Ezért kiderül a válasz
... ; b); ban ben) ; d); e).Egy valódi kocka jól eltérhet az ideális (modell) kockától, ezért viselkedésének leírásához pontosabb és részletesebb modellre van szükség, figyelembe véve az egyik arc előnyeit a másikkal szemben, a mágnesek lehetséges jelenlétét stb. "az ördög a részletekben rejlik", és a nagy pontosság általában nagyobb bonyolultsághoz vezet, és a válasz megszerzése problémává válik. A legegyszerűbb valószínűségi modell figyelembevételére szorítkozunk, ahol minden lehetséges eredmény egyformán valószínű.
1. megjegyzés... Nézzünk meg egy másik példát. Feltették a kérdést: "Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyforma hármat kapunk egy darabos menetre?" A hallgató így válaszolt: "A valószínűség 0,5." És megmagyarázta válaszát: „Háromféle vagy kiesik, vagy nem. Ez azt jelenti, hogy összesen két kimenetel van, és pontosan egyben bekövetkezik a számunkra érdekes esemény. A klasszikus valószínűségi séma szerint 0, 5 "választ kapunk. Van-e hiba ebben az érvelésben? Első pillantásra nem. Ez azonban még mindig létezik, és egy alapvető pillanatban. Igen, valóban, a három vagy kiesik, vagy nem, vagyis a dobás kimenetelének ilyen meghatározásával, N = 2. Az is igaz, hogy N (A) = 1, és természetesen igaz
= 0, 5, vagyis a valószínűségi séma három pontját vették figyelembe, de a 2) pont teljesítése kétségeket ébreszt. Természetesen pusztán jogi szempontból jogunk van azt hinni, hogy a trojka elvesztése ugyanolyan valószínűséggel nem csökken. De gondolhatunk-e így anélkül, hogy megsértenénk saját természetes feltételezéseinket az arcok "azonosságáról"? Természetesen nem! Itt egy bizonyos modellen belüli helyes érveléssel van dolgunk. Csak ez a modell "hibás", nem felel meg a valós jelenségnek.2. megjegyzés... Ha a valószínűségre gondol, ne hagyja figyelmen kívül a következő fontos tényt. Ha azt mondjuk, hogy a szerszám dobásakor az egy pont megszerzésének valószínűsége megegyezik
, ez egyáltalán nem azt jelenti, hogy a dobókocka 6-szoros dobása után pontosan egy pontot kapsz, a dobókocka 12-szeres dobásával pontosan két-két pontot kapsz, a dobókocka 18-szoros dobásával pedig egy pont pontosan háromszor stb. A szó valószínűleg sejtésszerű. Feltételezzük, hogy mi fog történni. Valószínűleg, ha 600-szor dobjuk a kockát, akkor egy pont százszor, vagy kb.Nem valószínű, hogy sokan elgondolkodnának azon, hogy lehetséges-e többé-kevésbé véletlenszerű események kiszámítása. Kifejezett egyszerű szavakkal, reális-e tudni, hogy a szerszám melyik oldala esik legközelebb. Ezt a kérdést tette fel két nagy tudós, akik megalapozták egy olyan tudományt, mint a valószínűség elmélete, amelyben egy esemény valószínűségét eléggé tanulmányozzák.
Kezdet
Ha megpróbál meghatározni egy ilyen fogalmat a valószínűség elméleteként, a következőket kapja: ez a matematika egyik ága, amely a véletlenszerű események állandóságának tanulmányozásával foglalkozik. Természetesen ez a koncepció nem igazán tárja fel az egész lényeget, ezért részletesebben meg kell fontolni.
Szeretném kezdeni az elmélet megalkotóival. Mint fent említettük, ketten voltak, ez és Ők voltak az elsők, akik képletek és matematikai számítások segítségével megpróbálták kiszámítani egy esemény kimenetelét. Általánosságban elmondható, hogy e tudomány kezdetei a középkorban nyilvánultak meg. Abban az időben különböző gondolkodók és tudósok megpróbálták elemezni a szerencsejátékokat, például a rulettet, a kockát és így tovább, ezáltal meghatározva egy adott szám előfordulásának mintázatát és százalékos arányát. Az alapot a tizenhetedik században fektették le a fent említett tudósok.
Munkáikat eleinte nem tudták az ezen a területen elért nagy eredményeknek tulajdonítani, mert minden, amit tettek, egyszerűen csak empirikus tények voltak, és a kísérleteket vizuálisan, képletek használata nélkül hozták létre. Idővel kiderült, hogy nagyszerű eredményeket ért el, amelyek a csontok dobásának megfigyelésének eredményeként jelentek meg. Ez az eszköz segített az első érthető képletek levezetésében.
Hasonló gondolkodású emberek
Lehetetlen nem említeni egy olyan személyt, mint Christian Huygens a "valószínűségelmélet" nevű téma tanulmányozása során (egy esemény valószínűségét éppen ez a tudomány fedi le). Ez az ember nagyon érdekes. Ő, a fent bemutatott tudósokhoz hasonlóan, megpróbált formában matematikai képletek vezesse le a véletlenszerű események mintázatát. Figyelemre méltó, hogy ezt nem Pascal és Fermat társaságában tette, vagyis minden műve semmilyen módon nem keresztezte ezt az elmét. Huygens hozta
Érdekes tény, hogy munkája jóval a felfedezők munkájának eredményei előtt, pontosabban húsz évvel korábban jelent meg. A kijelölt fogalmak közül a leghíresebbek:
- a valószínűség mint egy esély nagysága fogalma;
- matematikai várakozás diszkrét esetekre;
- szorzások és valószínűségek összeadásának tételei.
Azt sem lehet nem felidézni, hogy ki is járult hozzá jelentősen a probléma tanulmányozásához. Saját, független tesztjeit elvégezve igazolni tudta a nagy számok törvényét. Viszont Poisson és Laplace tudósok, akik a XIX. Század elején dolgoztak, be tudták bizonyítani az eredeti tételeket. Ettől a pillanattól kezdték használni a valószínűség elméletét a hibák elemzésére a megfigyelések során. Az orosz tudósok, vagy inkább Markov, Cebisev és Dyapunov sem tudták megkerülni ezt a tudományt. Ők a nagy zsenik munkája alapján ezt a tantárgyat a matematika egyik ágaként konszolidálták. Ezek az adatok már a XIX. Század végén működtek, és hozzájárulásuknak köszönhetően olyan jelenségek bizonyultak, mint:
- a nagy számok törvénye;
- a Markov-láncok elmélete;
- központi határtétel.
Tehát a tudomány keletkezésének történetével és az azt befolyásoló főbb személyekkel együtt minden többé-kevésbé világos. Itt az ideje, hogy konkretizáljuk az összes tényt.
Alapfogalmak
Mielőtt a törvényekhez és tételekhez nyúlnánk, érdemes tanulmányozni a valószínűségelmélet alapfogalmait. Az esemény vezető szerepet játszik benne. Ez a téma meglehetősen terjedelmes, de enélkül nem lehet megérteni minden mást.
A valószínűségelmélet eseménye egy kísérlet bármely kimenetele. Ennek a jelenségnek nincs olyan kevés fogalma. Tehát az ezen a területen dolgozó Lotman tudós azt mondta ebben az esetben jön arról, hogy mi "történt, bár lehet, hogy nem történt meg".
A véletlenszerű események (a valószínűség elmélete különös figyelmet fordít rájuk) egy olyan fogalom, amely minden olyan jelenséget magában foglal, amely képes bekövetkezni. Vagy fordítva, ez a forgatókönyv nem fordulhat elő, ha sok feltétel teljesül. Azt is érdemes tudni, hogy véletlenszerű események rögzítik a megtörtént jelenségek teljes kötetét. A valószínűségelmélet szerint minden feltétel folyamatosan megismételhető. Magatartásuk kapta a "kísérlet" vagy a "teszt" nevet.
Hiteles esemény az, amely száz százalékban bekövetkezik egy adott teszten. Ennek megfelelően lehetetlen esemény az, amely nem fog megtörténni.
Egy akciópár (feltételesen A és B eset) kombinációja egyszerre bekövetkező jelenség. AB-ként emlegetik őket.
Az A és B eseménypárok összege C, más szavakkal, ha legalább az egyik bekövetkezik (A vagy B), akkor kiderül, hogy C. A leírt jelenség képlete a következő: C = A + B.
A valószínűségelmélet következetlen eseményei azt sugallják, hogy két esemény kizárja egymást. Soha nem történhetnek egyszerre. A valószínűségelmélet közös eseményei az antipódjaik. Ez azt jelenti, hogy ha A történt, akkor ez nem avatkozik B-be.
Az ellentétes események (a valószínűség elmélete nagyon részletesen foglalkozik velük) könnyen érthetőek. A legjobb módszer az összehasonlításhoz. Nagyjából megegyeznek a valószínűségelmélet inkonzisztens eseményeivel. De különbségük abban rejlik, hogy a sok jelenség egyikének mindenképpen meg kell történnie.
Ugyanolyan lehetséges események azok a cselekedetek, amelyek megismétlésének lehetősége egyenlő. Hogy érthetőbb legyen, el lehet képzelni egy érme-dobást: egyik oldalának esése ugyanúgy valószínű, mint a másik esése.
A kedvező eseményt könnyebben meg lehet tekinteni egy példával. Tegyük fel, hogy vannak B és A. epizódok. Az első a kocka dobása páratlan szám megjelenésével, a második pedig az ötös szám megjelenése a kockán. Aztán kiderül, hogy A B-nek kedvez.
A valószínűségelmélet független eseményei csak két vagy több esetre vetülnek ki, és egy cselekvés függetlenségét jelentik a másiktól. Például A egy farok, amikor egy érmét dob, B pedig egy emelőt kap a fedélzetről. Független események a valószínűség elméletében. Ezzel a pillanattal világosabbá vált.
A valószínűségelmélet függő eseményei szintén csak a halmazukra elfogadhatók. Feltételezik egymás függőségét, vagyis a B jelenség csak akkor fordulhat elő, ha A már megtörtént, vagy éppen ellenkezőleg, nem történt meg, amikor ez B fő feltétele.
Az egyik komponenssel végzett véletlenszerű kísérlet eredménye elemi események. A valószínűségelmélet elmagyarázza, hogy ez olyan jelenség, amely csak egyszer fordult elő.
Alapképletek
Tehát az "esemény", a "valószínűségelmélet" fogalmait fentebb vizsgáltuk, megadták e tudomány alapfogalmainak meghatározását is. Itt az ideje, hogy közvetlenül megismerkedjünk a fontos képletekkel. Ezek a kifejezések matematikailag megerősítik az összes fő fogalmat egy olyan összetett témában, mint a valószínűség elmélete. Az esemény valószínűsége itt is óriási szerepet játszik.
Jobb kezdeni a főbbekkel És mielőtt továbblépne velük, érdemes megfontolni, hogy mik azok.
A kombinatorika elsősorban a matematika egyik ága, rengeteg egész szám tanulmányozásával, valamint maguknak a számoknak és elemeiknek, különféle adatoknak stb. Különféle permutációival foglalkozik, ami számos kombináció megjelenéséhez vezet. A valószínűségelmélet mellett ez az iparág fontos a statisztika, az informatika és a rejtjelezés szempontjából.
Tehát most folytathatja maguknak a képleteknek és azok meghatározásának bemutatását.
Ezek közül az első a permutációk számának kifejezése lesz, így néz ki:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Az egyenlet csak akkor érvényes, ha az elemek csak az elrendezés sorrendjében különböznek egymástól.
Most megvizsgáljuk az elhelyezés képletét, így néz ki:
A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Ez a kifejezés nemcsak az elem elhelyezési sorrendjére, hanem összetételére is alkalmazható.
A kombinatorika harmadik egyenletét, amely egyben az utolsó is, a kombinációk számának képletének nevezzük:
C_n ^ m = n! : ((n - m))! : m!
A kombinációt nem kijelölt sorrendnek nevezzük, és ez a szabály vonatkozik rájuk.
Könnyűnek bizonyult a kombinatorika képleteinek kitalálása, most áttérhet a valószínűségek klasszikus meghatározására. Ez a kifejezés így néz ki:
Ebben a képletben m az A eseménynek kedvezõ feltételek száma, és n az abszolút egyformán lehetséges és elemi eredmények száma.
Nagyszámú kifejezés van, a cikk nem fog mindenre kiterjedni, de a legfontosabbakat érintjük, például az események összegének valószínűségét:
P (A + B) = P (A) + P (B) - ez a tétel csak inkonzisztens események összeadására szolgál;
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - és ez csak kompatibilisek hozzáadására szolgál.
Az események bekövetkezésének valószínűsége:
P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ez a tétel független eseményekre vonatkozik;
(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A∣B)) - és ez függőre vonatkozik.
Az esemény képlete befejezi a listát. A valószínűség elmondja nekünk Bayes tételét, amely így néz ki:
P (H_m∣A) = (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m = 1, ..., n
Ebben a képletben H 1, H 2, ..., H n a hipotézisek teljes csoportja.
Példák
Ha alaposan tanulmányozza a matematika bármely területét, az nem teljes gyakorlatok és megoldási minták nélkül. Ugyanígy a valószínűség elmélete is: az események, a példák itt egy szerves összetevő, amely megerősíti a tudományos számításokat.
Képlet a permutációk számához
Tegyük fel, hogy egy kártyacsomagban harminc kártya van, kezdve egy névértékkel. Következő kérdés. Hányféleképpen lehet összehajtani a paklit úgy, hogy az első és a második címletű kártyák ne legyenek egymás mellett?
A feladat be van állítva, most térjünk át a megoldására. Először meg kell határoznia harminc elem permutációinak számát, ehhez a fent bemutatott képletet vesszük, kiderül, hogy P_30 = 30!
E szabály alapján megtudjuk, hogy hányféle lehetőség van a pakli összehajtására különböző módon, de ki kell vonnunk belőlük azokat, amelyekben az első és a második kártya egymás mellett van. Ehhez kezdjük azzal a lehetőséggel, amikor az első a második fölött van. Kiderült, hogy az első kártya huszonkilenc helyet foglalhat el - az elsőtől a huszonkilencedikig, a második kártya pedig a másodiktól harmincig -, csak pár huszonkilenc helyezést érhet el. Viszont a többi huszonnyolc helyet foglalhat el, különösebb sorrendben. Vagyis huszonnyolc kártya permutációjához huszonnyolc lehetőség van P_28 = 28!
Ennek eredményeként kiderül, hogy ha figyelembe vesszük a megoldást, amikor az első kártya a második fölé kerül, akkor 29 ⋅ 28 extra lehetőség lesz! = 29!
Ugyanezzel a módszerrel ki kell számolnia a redundáns opciók számát arra az esetre, amikor az első kártya a második alatt van. Kiderül 29 ⋅ 28 is! = 29!
Ebből következik, hogy 2 ⋅ 29 extra lehetőség van, míg a pakli felépítéséhez 30 szükséges módszer létezik! - 2 ⋅ 29!. Csak számolni kell.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Most meg kell szoroznia egymással az összes számot egytől huszonkilencig, majd a végén mindent meg kell szorozni 28-mal. A válasz 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32
Megoldási példa. Az elhelyezés számának képlete
Ebben a feladatban meg kell találnia, hányféleképpen lehet tizenöt kötetet egy polcra tenni, de azzal a feltétellel, hogy összesen harminc kötet legyen.
Ebben a problémában a megoldás valamivel egyszerűbb, mint az előzőben. A már ismert képlet felhasználásával harminc tizenöt kötetből kell kiszámítani a helyek teljes számát.
A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000
A válasz 202 843 204 931 727 360 000 lesz.
Most vegyük kissé nehezebben a problémát. Meg kell találnia, hányféleképpen lehet harminc könyvet elrendezni két könyvespolcon, feltéve, hogy csak tizenöt kötet lehet egy polcon.
A megoldás megkezdése előtt szeretném tisztázni, hogy egyes problémákat többféleképpen oldanak meg, és ebben kétféle módszer létezik, de mindkettőt ugyanazt a képletet alkalmazzák.
Ebben a problémában átveheti a választ az előzőből, mert ott kiszámoltuk, hányszor tölthet be polcot tizenöt könyv számára különböző módon. Kiderült, hogy A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.
A második polcot a permutációs képlet segítségével számoljuk ki, mert tizenöt könyv helyezhető el benne, míg összesen tizenöt. A P_15 = 15 képletet használjuk.
Kiderült, hogy a teljes összeg A_30 ^ 15 ⋅ P_15 módon lesz, de ezen felül az összes harminctól tizenhatig terjedő szorzatát meg kell szorozni az egy-tizenöt szám szorzatával, ennek eredményeként a szorzat az összes szám egy-harminc között lesz, vagyis a válasz 30-nak felel meg!
De ez a probléma más módon - könnyebben - megoldható. Ehhez el lehet képzelni, hogy harminc könyv számára van egy polc. Mindegyiket erre a síkra helyezik, de mivel az állapot megkívánja, hogy két polc legyen, egy hosszút láttunk ketté, kettőtől tizenötig kiderül. Ebből kiderül, hogy az elhelyezési lehetőségek P_30 = 30 lehetnek.
Megoldási példa. Képlet a kombinációs számhoz
Most a kombinatorika harmadik problémájának változatát vesszük figyelembe. Meg kell találnia, hányféleképpen lehet rendezni tizenöt könyvet, feltéve, hogy harminc közül pontosan ugyanannyit kell választania.
A megoldáshoz természetesen a kombinációk számának képletét kell alkalmazni. A feltételből kiderül, hogy ugyanannak a tizenöt könyvnek a sorrendje nem fontos. Ezért először meg kell találnia a harminc tizenöt könyv kombinációinak teljes számát.
C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : tizenöt ! = 155 117 520
Ez minden. Ennek a képletnek a használatával legrövidebb idő sikerült megoldani egy ilyen problémát, a válasz, illetve 155 117 520.
Megoldási példa. A valószínűség klasszikus meghatározása
A fenti képlet segítségével egy egyszerű feladatban találhatja meg a választ. De ez segít vizuálisan látni és nyomon követni a cselekvés menetét.
A feladatban megadják, hogy az urnában tíz abszolút egyforma golyó van. Ezek közül négy sárga és hat kék. Az egyik gömböt az urna veszi. Meg kell derítenie a kékesedés valószínűségét.
A probléma megoldásához meg kell jelölni a kék gömb elérését az A esemény által. Ennek a tapasztalatnak tíz eredménye lehet, amelyek viszont elemi és egyformán lehetségesek. Ugyanakkor tízből hat kedvez az A eseménynek. Képlet alapján döntünk:
P (A) = 6: 10 = 0,6
Ezzel a képlettel megtudtuk, hogy a kék gömb elérésének képessége 0,6.
Megoldási példa. Az események összegének valószínűsége
Most bemutatunk egy változatot, amelyet az események összegének valószínűségére vonatkozó képlet segítségével oldunk meg. Tehát abban az esetben, ha két doboz van, az első egy szürke és öt fehér gömböt tartalmaz, a második pedig nyolc szürke és négy fehér golyót. Ennek eredményeként az egyiket az első és a második dobozból vették. Meg kell találnia, hogy mekkora az esély arra, hogy a kapott labdák szürke és fehérek legyenek.
A probléma megoldásához eseményeket kell kijelölni.
- Tehát, A - kivette a szürke gömböt az első dobozból: P (A) = 1/6.
- A '- az első dobozból fehér golyót is vettek: P (A ") = 5/6.
- B - a szürke gömböt eltávolították a második dobozból: P (B) = 2/3.
- B '- kivett egy szürke labdát a második dobozból: P (B ") = 1/3.
A probléma állapota szerint szükséges, hogy az egyik jelenség megtörténjen: AB 'vagy AB. A képlet segítségével megkapjuk: P (AB ") = 1/18, P (A" B) = 10/18.
Most alkalmazták a valószínűség szorzásának képletét. Továbbá, hogy megtudja a választ, alkalmaznia kell az összeadásuk egyenletét:
P = P (AB "+ A" B) = P (AB ") + P (A" B) = 11/18.
Képlet segítségével így oldhat meg hasonló problémákat.
Eredmény
A cikk tájékoztatást adott a "Valószínűség elmélete" témáról, amelyben fontos szerepet játszik egy esemény valószínűsége. Természetesen nem mindent vettek figyelembe, de a bemutatott szöveg alapján elméletileg megismerkedhet a matematika ezen szakaszával. A szóban forgó tudomány nemcsak a professzionális üzleti életben lehet hasznos, hanem a Mindennapi élet... Segítségével kiszámíthatja bármely esemény bármely lehetőségét.
A szöveg a valószínűségelmélet mint tudomány kialakulásának történetében is jelentős dátumokat érintett, valamint azoknak a személyeknek a nevét, akiknek műveibe fektettek. Az emberi kíváncsiság így vezetett oda, hogy az emberek megtanultak még véletlenszerű eseményeket is kiszámítani. Egyszer egyszerűen érdekelte őket, de ma már mindenki tud róla. És senki nem fogja megmondani, mi vár ránk a jövőben, milyen más ragyogó felfedezéseket hoznak a vizsgált elmélettel kapcsolatban. De egy biztos - a kutatás nem áll meg!
Annak érdekében, hogy az eseményeket lehetőségeik mértéke szerint kvantitatív módon összehasonlítsuk egymással, nyilvánvaló, hogy minden eseményhez egy bizonyos számot kell társítani, amely annál nagyobb, annál inkább lehetséges az esemény. Ezt a számot hívjuk az esemény valószínűségének. Ily módon az esemény valószínűsége van egy numerikus mértéke az esemény objektív lehetőségének mértékéről.
A valószínűség első meghatározását a klasszikusnak kell tekinteni, amely a szerencsejáték elemzéséből adódott, és amelyet kezdetben intuitív módon alkalmaztak.
A valószínűség meghatározásának klasszikus módja az egyformán lehetséges és inkonzisztens események koncepcióján alapszik, amelyek egy adott tapasztalat kimenetelei, és a következetlen események teljes csoportját alkotják.
A legtöbb egyszerű példa az egyformán lehetséges és összeegyeztethetetlen események, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, az egyik vagy másik golyó megjelenése egy urnából, amely több azonos méretű, súlyú és más kézzelfogható tulajdonságú, csak színében különböző golyót tartalmaz, alaposan összekeverve a kiszedés előtt.
Ezért egy olyan tárgyalásról, amelynek eredményei az összeegyeztethetetlen és egyformán lehetséges események teljes csoportját alkotják, azt mondják, hogy az urna-sémára vagy az esetek sémájára vonatkozik, vagy klasszikus sémába illeszkedik.
Egyformán lehetséges és összeférhetetlen eseményeket, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, egyszerűen eseteknek vagy esélyeknek nevezzük. Sőt, minden kísérletben, az esetekkel együtt, összetettebb események is előfordulhatnak.
Példa: Kocka feldobásakor az A i - i pontok a felső szélre ejtett esetekkel együtt olyan eseményeket vehetünk figyelembe, mint B - páros pontok, C - három pont többszöröse ...
A kísérlet végrehajtása során bekövetkező minden egyes esemény kapcsán az esetek fel vannak osztva kedvező, amelyben ez az esemény bekövetkezik, és hátrányos, amikor az esemény nem következik be. Az előző példában a B eseményt előnyben részesítik az A 2, A 4, A 6 esetek; C esemény - A 3, A 6 esetek.
Klasszikus valószínűség egy bizonyos esemény megjelenését nevezzük az esemény megjelenésének kedvező esetek számának és az ugyanolyan lehetséges, összeegyeztethetetlen, teljes csoportot alkotó esetek teljes számának az adott tapasztalatban:
Hol P (A)- az A esemény bekövetkezésének valószínűsége; m- az A eseménynek kedvező esetek száma; n- az esetek teljes száma.
Példák:
1) (lásd a fenti példát) P (B)= , P (C) =.
2) Az urna 9 piros és 6 kék golyót tartalmaz. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy egy vagy két, véletlenszerűen kivett labda vörös lesz.
DE- a véletlenszerűen kivett labda piros:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P (A)=
B- véletlenszerűen két piros golyó:
A következő tulajdonságok következnek a valószínűség klasszikus meghatározásából (mutassa meg maga):
1) A lehetetlen esemény valószínűsége 0;
2) Egy bizonyos esemény valószínűsége 1;
3) Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 között van;
4) az A eseménygel ellentétes esemény valószínűsége,
A valószínűség klasszikus meghatározása azt feltételezi, hogy a vizsgálati eredmények száma véges. A gyakorlatban azonban gyakran találkoznak olyan tesztekkel, amelyek lehetséges eseteinek száma végtelen. Ezenkívül a klasszikus definíció gyenge oldala az, hogy nagyon gyakran lehetetlen a teszt eredményét elemi események halmazaként ábrázolni. Még nehezebb rámutatni azokra az okokra, amelyek alapján a tárgyalás alapvető eredményeit egyformán lehetségesnek tekintjük. Általában a teszt elemi eredményeinek egyenlőségét a szimmetria szempontjaiból állapítják meg. Az ilyen feladatok azonban a gyakorlatban nagyon ritkák. Ezen okokból, a valószínűség klasszikus meghatározásával együtt a valószínűség más definícióit is alkalmazzák.
Statisztikai valószínűség A esemény az esemény relatív előfordulási gyakorisága az elvégzett tesztekben:
hol van az A esemény bekövetkezésének valószínűsége;
Az A esemény relatív előfordulási gyakorisága;
Azon események száma, amelyekben A esemény történt;
A vizsgálatok teljes száma.
A klasszikus valószínűséggel ellentétben statisztikai valószínűség tapasztalt, kísérleti jellegzetesség.
Példa: A tétel minőségének ellenőrzésére 100 terméket véletlenszerűen választottak ki, amelyek közül 3 terméket találtak hibásnak. Határozza meg a házasság valószínűségét.
A valószínűség meghatározásának statisztikai módszere csak azokra az eseményekre alkalmazható, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
A vizsgált eseményeknek csak azoknak a teszteknek kell lenniük, amelyek korlátlan számú alkalommal, ugyanazon feltételek mellett reprodukálhatók.
Az eseményeknek statisztikailag stabilaknak (vagy relatív gyakorisági stabilaknak) kell lenniük. Ez azt jelenti, hogy az esemény relatív gyakorisága nem változik jelentősen a különböző tesztsorozatokban.
Az A eseményt eredményező kísérletek számának elég nagynak kell lennie.
Könnyű ellenőrizni, hogy a valószínűség statisztikai definíciójában megőrzik-e a klasszikus definícióból következő tulajdonságokat.
A valószínűségelmélet egy matematikai tudomány, amely a véletlenszerű események mintáit tanulmányozza. A valószínűségi kísérlet (teszt, megfigyelés) olyan kísérlet, amelynek eredményét nem lehet előre megjósolni. Ebben a kísérletben bármelyik eredménye (eredménye) az esemény.
Az esemény lehet megbízható(mindig egy teszt eredményeként következik be); lehetetlen(nyilvánvalóan a tesztelés során nem fordul elő); véletlen(előfordulhat vagy nem történhet a kísérlet körülményei között).
Olyan eseményt hívunk, amelyet nem lehet egyszerűbb eseményekre bontani alapvető. Több elemi esemény kombinációjaként bemutatott eseményt hívunk bonyolult(a cég nem szenvedett veszteséget - a profit lehet pozitív vagy egyenlő nullával).
Két, egyszerre nem bekövetkező eseményt (az adók növekedését - a rendelkezésre álló jövedelem növekedését; a beruházások növekedését - a kockázati szint csökkenését) nevezzük. következetlen.
Más szavakkal, két esemény nem egyeztethető össze, ha az egyik megjelenése kizárja a másik megjelenését. Különben azok közös(az értékesítés növekedése - a nyereség növekedése). Az eseményeket hívják szemben, ha az egyik akkor és csak akkor fordul elő, ha a másik nem történik meg (a terméket értékesítik - a terméket nem adják el).
Egy esemény valószínűsége az ez egy numerikus mérték, amelyet azért vezetnek be, hogy összehasonlítsák az eseményeket az előfordulásuk mértéke szerint.
A valószínűség klasszikus meghatározása. Valószínűség R(DE) események DE számarányának nevezzük m egyformán lehetséges elemi események (kimenetek), amelyek az esemény bekövetkezése szempontjából kedvezőek DE, a teljes számra n a kísérlet összes lehetséges elemi eredménye közül:
A fentiekből következően a valószínűség következő alapvető tulajdonságai következnek:
1,0 font R(DE) 1 font.
2. A megbízható esemény valószínűsége DE egyenlő 1-vel: R(DE) = 1.
3. A lehetetlen A esemény valószínűsége 0: R(DE) = 0.
4. Ha események DEés BAN BEN akkor következetlen R(DE + BAN BEN) = R(DE) + R(BAN BEN); ha események DEés BAN BENízület akkor R(DE + BAN BEN) = R(DE) + R(BAN BEN) - R(DE . B).(R(DE . B)- ezen események együttes előfordulásának valószínűsége).
5. Ha DEés ellentétes eseményekkel R() = 1 - R(DE).
Ha az egyik esemény bekövetkezésének valószínűsége nem változtatja meg egy másik bekövetkezésének valószínűségét, akkor ezeket az eseményeket ún. független.
A nagyszámú kimenetelű események valószínűségének közvetlen kiszámításakor a kombinatorika képleteit kell használni. Eseménycsoport (hipotézisek) tanulmányozása
a teljes valószínűség, Bayes és Bernoulli képletét alkalmazzuk ( n független tesztek - kísérletek megismétlése).
Mikor a valószínűség statisztikai meghatározása események DE alatt n jelentése: az esemény során ténylegesen elvégzett vizsgálatok teljes száma DE pontosan találkozott m idő. Ebben az esetben a reláció m/n az úgynevezett relatív gyakoriság (frekvencia) W n(A) esemény előfordulása DE ban ben n az elvégzett tesztek.
Amikor a valószínűséget meghatározzuk peer review módszer alatt n az esemény lehetőségére kihallgatott szakértők (egy adott szakterület szakemberei) számát jelenti DE... Hová m közülük azt állítják, hogy az esemény DE meg fog történni.
A véletlenszerű esemény fogalma nem elegendő a mennyiségi kifejezések megfigyelésének eredményeinek leírására. Például a pénzügyi eredmény elemzése során a vállalkozásokat elsősorban annak mérete érdekli. Ezért a véletlenszerű esemény fogalmát kiegészíti a véletlen változó fogalma.
Alatt véletlenszerű változó(SV) olyan mennyiségként értendő, amely a megfigyelés (tesztelés) eredményeként megkapja az egyik lehetséges értékkészletét, előre ismeretlen és véletlenszerű körülményektől függően. Minden elemi esemény esetében az SV-nek egyedi jelentése van.
Megkülönböztetni a diszkrét és a folyamatos SW-ket. Mert diszkrét RV lehetséges értékeinek halmaza véges vagy megszámlálható, vagyis az RV külön izolált értékeket vesz fel, amelyeket előre fel lehet sorolni, bizonyos valószínűségekkel. Mert folyamatos SV a lehetséges értékek halmaza végtelen és megszámlálhatatlan, például egy adott intervallum összes száma, azaz az SV lehetséges értékeit nem lehet előre felsorolni, és folyamatosan kitölteni egy bizonyos rést.
Példák véletlenszerű változókra: x- a vásárlók napi száma a szupermarketben (diszkrét CB); Y- egy adott közigazgatási központban napközben született gyermekek száma (diszkrét CB); Z- a tüzérségi lövedék ütközési pontjának koordinátája (folyamatos SV).
Sok, a közgazdaságtanban figyelembe vett RV-nek olyan sok lehetséges értéke van, hogy kényelmesebb folyamatos RV-k formájában ábrázolni őket. Például az árfolyamok, a háztartások jövedelme stb.
Az SV leírásához kapcsolatot kell teremteni az SV összes lehetséges értéke és valószínűsége között. Ezt az arányt fogjuk hívni SV terjesztési törvény... Diszkrét SV esetén beállítható táblázatokba, analitikusan (képlet formájában) vagy grafikusan. Például táblázatos az SV-hez x
