Egy esemény valószínűsége egy. A valószínűség klasszikus és statisztikai meghatározása. Alapvető elméleti információk
A véletlen esemény valószínűségének különböző definíciói
Valószínűségi elmélet- matematikai tudomány, amely egyes események valószínűségei szerint lehetővé teszi az elsőhöz kapcsolódó egyéb események valószínűségének értékelését.
Annak megerősítése, hogy az "esemény valószínűsége" fogalmának nincs definíciója, az a tény, hogy a valószínűség elméletében többféle megközelítés létezik ennek a fogalomnak a magyarázatára:
A valószínűség klasszikus meghatározása véletlen esemény .
Az esemény valószínűsége megegyezik az esemény kedvező esemény kimenetelének és az élmény összes kimenetelének arányával.
Ahol
A tapasztalatok kedvező kimeneteleinek száma;
Az élmények teljes száma.
Az élmény eredményét ún kedvező egy esemény esetében, ha egy esemény jelent meg az élmény ezen eredménye során. Például, ha az esemény egy piros színű kártya megjelenése, akkor a gyémánt ász megjelenése kedvező esemény.
Példák.
1) Annak a valószínűsége, hogy a kocka szélén 5 pontot kap, mivel a kocka a 6 él bármelyikével felfelé eshet, és 5 pont csak az egyik szélén.
2) Annak valószínűsége, hogy a címer egyetlen dobással kiesik - mivel az érme címerrel vagy farokkal eshet le - két tapasztalati eredmény, és a címert csak az egyik oldalon ábrázolják érme.
3) Ha 12 golyó van az urnában, ebből 5 fekete, akkor a fekete golyó kivételének valószínűsége az, mivel a gombák összesített eredménye 12, és 5 kedvező.
Megjegyzés. A valószínűség klasszikus definíciója két feltétel mellett alkalmazható:
1) a kísérlet minden eredményének egyformán valószínűnek kell lennie;
2) a tapasztalatnak véges számú eredménnyel kell rendelkeznie.
A gyakorlatban nehéz bizonyítani, hogy az események ugyanolyan valószínűek: például egy érme dobásával végzett kísérlet végrehajtásakor a kísérlet eredményét befolyásolhatják olyan tényezők, mint az érme aszimmetriája, annak hatása alakja a repülés aerodinamikai jellemzőire, a légköri viszonyokra stb., emellett végtelen számú eredménnyel járó kísérletek vannak.
Példa ... A gyermek dobja a labdát, és a maximális távolság, amellyel el tudja dobni a labdát, 15 méter. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a labda elrepül a 3 m jelzés mellett.
Megoldás.A kívánt valószínűséget a 3 m -es határon (kedvező terület) túl elhelyezkedő szegmens hosszának és a teljes szegmens hosszának (minden lehetséges eredmény) arányának kell tekinteni:
Példa. Egy pontot véletlenszerűen egy 1 sugarú körbe dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy pont egy körbe írt négyzetbe esik?
Megoldás.Annak a valószínűségét, hogy egy pont négyzetbe esik, ebben az esetben a négyzet (előnyös terület) és a kör területének aránya (az ábra teljes területe, ahol a pont dobják):
A négyzet átlója 2, és a Pitagorasz -tétel szerint az oldalát fejezik ki:
Hasonló érvelést hajtanak végre az űrben: ha egy pontot véletlenszerűen választanak ki a térfogat -testben, akkor annak valószínűségét, hogy a pont a térfogat egy részében lesz, a kedvező rész térfogatának és a a test teljes térfogata:
Az összes eset összevonásával szabályt fogalmazhatunk meg a geometriai valószínűség kiszámítására:
Ha egy pontot véletlenszerűen választanak ki valamely területen, akkor annak valószínűsége, hogy a pont a terület egy részében lesz, egyenlő:
, ahol
A terület mértékét jelzi: szegmens esetén ez a hosszúság, sík terület esetén ez a terület, térbeli test esetén ez a térfogat, a felületen - a felület, a görbén - a görbe hossza.
A geometriai valószínűség fogalmának érdekes alkalmazása a találkozás problémája.
Feladat. (A találkozóról)
Két tanuló megbeszélt egy találkozót, például délelőtt 10 órakor, a következő feltételek mellett: mindegyikük bármikor eljön 10 óra és 11 óra között, és 10 percet vár, majd távozik. Mekkora a találkozó valószínűsége?
Megoldás.Szemléltessük a probléma körülményeit az alábbiak szerint: a tengelyen azt az időt vesszük fel, amely az első találkozáshoz, a tengelyen pedig a másodikat. Mivel a kísérlet egy órát tart, mindkét tengely mentén elhalasztjuk az 1. hosszúságú szakaszokat.
Hadd jöjjön az első valamikor. A diákok akkor találkoznak, ha a második érkezési ideje a találkozási pont között van
Az idő bármely pillanatában így érvelve azt kapjuk, hogy a találkozás lehetőségét értelmező időterület (az idők metszéspontja, hogy az első és a második tanuló megfelelő helyen van) két egyenes között van: és ... A találkozás valószínűségét a geometriai valószínűségi képlet határozza meg:
1933 -ban Kolmogorov A.M. (1903 - 1987) axiomatikus megközelítést javasolt a valószínűség elméletének felépítéséhez és bemutatásához, amely jelenleg általánosan elfogadottá vált. A valószínűségi elmélet formális axiomatikus elméletként való felépítésekor nemcsak egy alapfogalom - egy véletlenszerű esemény valószínűsége - bevezetésére van szükség, hanem tulajdonságainak axiómákkal (intuitív módon helyes, bizonyítás nélkül elfogadott állítások) történő leírására is szükség van.
Az ilyen állítások az események relatív gyakoriságának tulajdonságaihoz hasonló állítások.
Egy véletlen esemény relatív előfordulási gyakorisága a tesztekben előforduló események számának és az elvégzett tesztek teljes számának az aránya:
Nyilvánvaló, hogy megbízható esemény, lehetetlen esemény, következetlen események esetén a következő igaz:
Példa. Illusztráljuk az utolsó állítást. Húzzon kártyákat egy 36 lapból álló pakliból. Az esemény a gyémántok megjelenését, az esemény a szívek megjelenését, az esemény pedig a piros lap megjelenését jelenti. Nyilvánvaló, hogy az események következetlenek. Amikor megjelenik egy piros öltöny, egy jelet teszünk az esemény közelébe, amikor gyémántok jelennek meg - az esemény közelében, és amikor férgek jelennek meg - az esemény közelében. Nyilvánvaló, hogy egy esemény melletti jel akkor és csak akkor kerül elhelyezésre, ha egy jelet egy esemény közelében vagy egy esemény közelében helyeznek el, azaz ...
Nevezzük a véletlen esemény valószínűségét az eseményhez tartozó számnak a következő szabály szerint:
Inkonzisztens eseményekhez és
Így,
|
Relatív gyakoriság |
1. A főbb tételek és valószínűségi képletek megállapítása: összeadási tétel, feltételes valószínűség, szorzótétel, események függetlensége, teljes valószínűség képlete.
Célok: kedvező feltételek megteremtése az esemény valószínűségének fogalmának bevezetéséhez; a valószínűségelmélet főbb tételeinek és formuláinak megismerése; mutassa be a teljes valószínűség képletét.
Az óra menete:
Véletlen kísérlet (tapasztalat) folyamatnak nevezik, amelyben különböző eredmények lehetségesek, és lehetetlen előre megjósolni, hogy mi lesz az eredmény. Az élmény lehetséges, egymást kizáró kimeneteleit nevezzük elemi események ... Az elemi események halmazát W -vel jelöljük.
Egy véletlenszerű esemény által eseménynek nevezik azt az eseményt, amelyről lehetetlen előre megmondani, hogy tapasztalat eredményeként fog -e bekövetkezni. Minden véletlen A esemény, amely a kísérlet eredményeként következett be, a W. elemi események csoportjához rendelhető. A csoportot alkotó elemi események ún. kedvező az esemény bekövetkezéséhez A.
A W halmaz véletlenszerű eseménynek is tekinthető. Mivel minden elemi eseményt magában foglal, ez minden bizonnyal a tapasztalat eredményeként fog megtörténni. Az ilyen eseményt ún megbízható .
Ha egy adott eseményhez nincsenek kedvező elemi események W -ből, akkor a kísérlet eredményeként nem fordulhat elő. Az ilyen eseményt ún lehetetlen.
Az eseményeket hívják ugyanolyan lehetséges ha a teszt egyenlő esélyeket eredményez ezen események bekövetkezéséhez. Két véletlenszerű eseményt hívnak meg szemben ha a kísérlet eredményeként az egyik akkor és csak akkor következik be, ha a másik nem történik meg. Az A eseménnyel ellentétes esemény van kijelölve.
Az A és B eseményeket hívják következetlen ha egyikük megjelenése kizárja a másik megjelenését. Az А 1, А 2, ..., А n eseményeket hívják párban összeegyeztethetetlen, ha közülük kettő következetlen. Események А 1, А 2, ..., Аn formában teljes rendszer páronként összeegyeztethetetlen események ha a teszt eredményeként szükségszerűen csak egy és egyetlen fog előfordulni.
Az események összege (kombinációja)А 1, А 2, ..., А n ilyen eseménynek nevezik С, amely abból áll, hogy az А 1, А 2, ..., А n események közül legalább egy megtörtént. a következőképpen van jelölve:
C = A 1 + A 2 + ... + A n.
Az események szorzata (metszéspontja) szerintА 1, А 2, ..., А n ilyen eseménynek nevezzük P, amely abból áll, hogy minden А 1, А 2, ..., А n esemény egyszerre történt. Az események termékét a jelzi
A P (A) valószínűség a valószínűség elméletében egy bizonyos A véletlen esemény bekövetkezésének valószínűségi fokának számszerű jellemzőjeként működik, többszöri tesztismétléssel.
Tegyük fel, hogy 1000 kockadobással a 4 -es szám 160 -szor esik ki. A 160/1000 = 0,16 arány mutatja a 4. szám relatív előfordulási gyakoriságát ebben a tesztsorozatban. Általánosabban a véletlen esemény gyakorisága És egy kísérletsorozat végrehajtásakor a kísérletek számának és a kísérletek teljes számának arányát nevezzük:
ahol Р * (А) - az А esemény gyakorisága; m azon kísérletek száma, amelyekben A esemény történt; n a kísérletek teljes száma.
Egy véletlen esemény valószínűségeÉs állandó számot hívnak, amely köré csoportosítják az adott esemény gyakoriságát a kísérletek számának növekedésével ( esemény valószínűségének statisztikai meghatározása ). A véletlen esemény valószínűségét P (A) jelöli.
Természetesen senki sem fog korlátlan számú tesztet elvégezni annak valószínűségének meghatározása érdekében. Ez nem is szükséges. A gyakorlatban a valószínűséget egy nagy gyakoriságú esemény gyakoriságának lehet tekinteni. Így például a születési statisztikai minták alapján, amelyeket sok éves megfigyelés során állapítottak meg, az esemény valószínűsége, hogy az újszülött fiú lesz, 0,515.
Ha a teszt során nincs olyan ok, ami miatt egy véletlen esemény gyakrabban jelenik meg, mint mások ( egyformán lehetséges események), elméleti megfontolások alapján határozhatja meg a valószínűséget. Például, érmefeldobás esetén derítsük ki a címer leesésének gyakoriságát (A esemény). különböző kísérletezők több ezer teszt során kimutatták, hogy egy ilyen esemény relatív gyakorisága közel 0,5 értéket vesz fel. Tekintettel arra, hogy a címer megjelenése és az érem másik oldala (B esemény) egyaránt lehetséges események, ha az érme szimmetrikus, a P (A) = P (B) = 0,5 ítélet meghozható anélkül, hogy ezen események gyakorisága. A valószínűség eltérő definíciója az események „esélyegyenlősége” fogalma alapján fogalmazódik meg.
A vizsgált A esemény m esetben forduljon elő, amelyeket A-nak kedvezőnek nevezünk, és a többi n-m-ben nem fordul elő, A-ra nézve kedvezőtlen.
Ekkor az A esemény valószínűsége megegyezik a számára kedvező elemi események számának és teljes számuk arányával(egy esemény valószínűségének klasszikus meghatározása):
ahol m az A eseménynek kedvező elemi események száma; n - Az elemi események teljes száma.
Nézzünk néhány példát:
1. példa:Az urnában 40 golyó található: 10 fekete és 30 fehér. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerű golyó fekete lesz.
A kedvező esetek száma megegyezik az urnában lévő fekete golyók számával: m = 10. Az egyenlően lehetséges események teljes száma (egy labda kivétele) megegyezik az urnában lévő összes labda számával: n = 40. Ezek az események következetlenek, mivel egyetlen golyót vesznek ki. P (A) = 10/40 = 0,25
2. példa:keressük meg annak valószínűségét, hogy páros számot kapunk kockadobáskor.
Amikor dobunk egy kockával, hat egyformán lehetséges következetlen esemény valósul meg: egy szám megjelenése: 1,2,3,4,5 vagy 6, azaz n = 6. kedvező esetek a 2,4 vagy 6 számjegyek valamelyikének előfordulása: m = 3. a kívánt valószínűség P (A) = m / N = 3/6 = ½.
Amint azt egy esemény valószínűségének meghatározásából láthatjuk, minden eseményre
0 < Р(А) < 1.
Nyilvánvaló, hogy egy bizonyos esemény valószínűsége 1, egy lehetetlen esemény valószínűsége 0.
A valószínűségek összeadásának tétele: egy (mindegy, milyen) esemény bekövetkezési valószínűsége több összeegyeztethetetlen eseményből egyenlő a valószínűségeik összegével.
Két inkonzisztens A és B esemény esetén ezen események valószínűsége megegyezik valószínűségeik összegével:
P (A vagy B) = P (A) + P (B).
3. példa:keressük meg annak valószínűségét, hogy kockát dobva 1 vagy 6 esünk.
Az A (1. tekercs) és a B (6. tekercs) esemény egyaránt lehetséges: P (A) = P (B) = 1/6, ezért P (A vagy B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
A valószínűségek összeadása nemcsak kettőre, hanem tetszőleges számú inkonzisztens eseményre is érvényes.
4. példa:az urnában 50 golyó található: 10 fehér, 20 fekete, 5 piros és 15 kék. Keresse meg annak valószínűségét, hogy egy fehér, fekete vagy piros golyó jelenik meg egyetlen művelet során, amikor eltávolítja a labdát az urnából.
A fehér golyó kivételének valószínűsége (A esemény) egyenlő P (A) = 10/50 = 1/5, egy fekete golyó (B esemény) pedig P (B) = 20/50 = 2/5 és egy piros golyó (C esemény) egyenlő P (C) = 5/50 = 1/10. Innen a valószínűségek összeadásának képletét használva P (A vagy B vagy C) = P (A) + P (B) = P (C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7 /10
Két ellentétes esemény valószínűségeinek összege, a valószínűségek összeadásának tételéből következően, egyenlő eggyel:
P (A) + P () = 1
A fenti példában egy fehér, fekete és piros golyó kivétele A 1, P (A 1) = 7/10 esemény lesz. Az 1. eseménnyel szemben a kék labda elérése. Mivel 15 kék golyó van, és a golyók összesített száma 50, P (1) = 15/50 = 3/10 és P (A) + P () = 7/10 +3/10 = 1.
Ha az А 1, А 2, ..., А n események a páronként összeférhetetlen események teljes rendszerét alkotják, akkor valószínűségeik összege 1.
Általános esetben két A és B esemény összegének valószínűségét úgy számoljuk ki
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).
Valószínűségi szorzótétel:
Az A és B eseményeket hívják független , ha az A esemény bekövetkezésének valószínűsége nem függ attól, hogy a B esemény bekövetkezett -e vagy sem, és fordítva, a B esemény bekövetkezésének valószínűsége nem attól függ, hogy az A esemény bekövetkezett -e vagy sem.
A független események együttes előfordulásának valószínűsége megegyezik valószínűségeik szorzatával... Két eseményre P (A és B) = P (A) P (B).
Példa: Az egyik urnában 5 fekete és 10 fehér golyó található, a másikban 3 fekete és 17 fehér golyó. Keresse meg annak valószínűségét, hogy amikor először eltávolítják a golyókat minden urnából, mindkét golyó fekete lesz.
Megoldás: annak valószínűsége, hogy fekete golyót húznak ki az első urnából (A esemény) - P (A) = 5/15 = 1/3, fekete labdát a második urnából (B esemény) - P (B) = 3 /20
P (A és B) = P (A) P (B) = (1/3) (3/20) = 3/60 = 1/20.
A gyakorlatban a B esemény valószínűsége gyakran attól függ, hogy történt -e más A esemény vagy sem. Ebben az esetben arról beszélnek feltételes valószínűség , azaz a B esemény valószínűsége, feltéve, hogy az A esemény bekövetkezett. A feltételes valószínűséget P (B / A) jelöli.
Fejezetén... Véletlen események. VALÓSZÍNŰSÉG
1.1. Rendszeresség és véletlenszerűség, véletlenszerű variabilitás az egzakt tudományokban, a biológiában és az orvostudományban
A valószínűségelmélet a matematika egyik ága, amely véletlenszerű jelenségek mintáit tanulmányozza. A véletlen jelenség olyan jelenség, amely ugyanazon élmény ismételt reprodukálásával minden alkalommal némileg másképp alakulhat.
Nyilvánvaló, hogy a természetben nincs egyetlen jelenség, amelyben a véletlenszerűség elemei nem lennének ilyen vagy olyan mértékben, de különböző helyzetekben más -más módon vesszük őket figyelembe. Szóval, számban gyakorlati feladatok elhanyagolhatók, és valódi jelenség helyett annak egyszerűsített sémájának - "modelljének" tekinthetők, feltételezve, hogy az adott tapasztalati feltételek mellett a jelenség egészen határozottan halad. Ugyanakkor kiemelik a jelenséget jellemző legfontosabb, döntő tényezőket. Ezt a jelenségek tanulmányozási sémáját használják leggyakrabban a fizikában, a technológiában és a mechanikában; így derül ki az alapminta , jellemző erre a jelenségre, és lehetővé teszi a kísérlet eredményének megjósolását az adott kezdeti feltételeknek megfelelően. És a véletlenszerű, másodlagos, tényezőknek a kísérlet eredményére gyakorolt hatását itt véletlenszerű mérési hibák veszik figyelembe (ezek számításának módszerét az alábbiakban tárgyaljuk).
Az úgynevezett egzakt tudományok leírt klasszikus sémája azonban kevéssé alkalmas számos probléma megoldására, amelyekben számos, szorosan összefonódó véletlenszerű tényező játszik észrevehető (gyakran döntő) szerepet. Itt a jelenség véletlenszerűsége kerül előtérbe, amelyet már nem lehet elhanyagolni. Ezt a jelenséget pontosan a benne rejlő törvények szemszögéből kell vizsgálni, mint véletlen jelenséget. A fizikában az ilyen jelenségekre példa a Brown -mozgás, a radioaktív bomlás, számos kvantummechanikai folyamat stb.
A biológusok és orvosok tanulmányozásának tárgya egy élő szervezet, amelynek eredetét, fejlődését és létezését nagyon sok és változatos, gyakran véletlenszerű külső és belső tényező határozza meg. Éppen ezért az élővilág jelenségei és eseményei is sok szempontból véletlen jellegűek.
A véletlen jelenségekben rejlő bizonytalanság, komplexitás, több ok-okozati elemek szükségessé teszik, hogy speciális matematikai módszereket hozzanak létre ezeknek a jelenségeknek a tanulmányozására. Az ilyen módszerek kifejlesztése, a véletlenszerű jelenségekben rejlő sajátos minták létrehozása a valószínűségi elmélet fő feladatai. Jellemző, hogy ezek a minták csak akkor teljesülnek, ha a véletlen jelenségek tömegesek. Ráadásul egyéni jellemzőkúgy tűnik, hogy az egyes esetek kölcsönösen törlődnek, és a véletlen jelenségek tömegeinek átlaga már nem véletlen, hanem teljesen természetes . Nagyrészt ez a körülmény volt az oka a valószínűségi kutatási módszerek széles körű alkalmazásának a biológiában és az orvostudományban.
Tekintsük a valószínűségelmélet alapfogalmait.
1.2. Egy véletlen esemény valószínűsége
Minden tudomány, amely a jelenségek bármely tartományának általános elméletét dolgozza ki, számos alapfogalmon alapul. Például a geometriában ezek egy pont, egy egyenes fogalmai; a mechanikában - az erő, a tömeg, a sebesség, stb.
Véletlen esemény minden olyan jelenség (tény), amely a tapasztalat (tesztelés) eredményeként előfordulhat, vagy nem.
A véletlenszerű eseményeket betűk jelzik A, B, C... és így tovább. Íme néhány példa véletlen események:
A–A sas (címer) leesése, amikor egy szokásos érmét dobnak fel;
V- egy lány születése ebben a családban;
VAL VEL- előre meghatározott testsúlyú gyermek születése;
D- járványos megbetegedés bekövetkezése egy adott régióban egy bizonyos időszakban stb.
A véletlen esemény fő mennyiségi jellemzője a valószínűsége. Legyen A- valami véletlen esemény. Az A véletlen esemény valószínűsége egy matematikai mennyiség, amely meghatározza annak előfordulásának valószínűségét. Jelölve van R(A).
Tekintsünk két fő módszert ennek az értéknek a meghatározására.
A véletlen esemény valószínűségének klasszikus meghatározásaáltalában spekulatív kísérletek (tesztek) elemzésének eredményei alapján, amelyek lényegét a feladat feltétele határozza meg. Ebben az esetben a véletlen esemény valószínűsége P (A) egyenlő:
ahol m- az esemény bekövetkezéséhez kedvező esetek száma A; n- a lehetséges esetek teljes száma.
1. példa Egy laboratóriumi patkányt labirintusba helyezünk, amelyben a négy közül csak egy van lehetséges módokatételjutalomhoz vezet. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a patkány ezt az utat választja.
Megoldás: a probléma állapotától függően négy lehetséges eset közül ( n= 4) esemény A(a patkány táplálékot talál)
csak egy szívességet, azaz m= 1 Akkor R(A) = R(a patkány táplálékot talál) = = 0,25 = 25%.
2. példa Az urnában 20 fekete és 80 fehér golyó található. Egy golyót véletlenszerűen vesznek ki belőle. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a golyó fekete lesz.
Megoldás: az urnában lévő összes golyó száma az egyenlő lehetséges esetek teljes száma n, azaz n = 20 + 80 = 100, ebből az eseményből A(a fekete golyó eltávolítása) csak 20 éves korban lehetséges, azaz m= 20. Akkor R(A) = R(h. tömeg) = = 0,2 = 20%.
Soroljuk fel a valószínűség tulajdonságait a klasszikus definíciójából következően - (1) képlet:
1. A véletlen esemény valószínűsége dimenzió nélküli mennyiség.
2. Egy véletlen esemény valószínűsége mindig pozitív, és kevesebb, mint egy, azaz 0< P (A) < 1.
3. A megbízható esemény valószínűsége, azaz olyan esemény, amely szükségszerűen bekövetkezik a kísérlet eredményeként ( m = n) egyenlő eggyel.
4. A lehetetlen esemény valószínűsége ( m= 0) egyenlő nullával.
5. Bármely esemény valószínűsége nem negatív és nem haladja meg az egyet:
0 £ P (A) 1 font.
Véletlen esemény valószínűségének statisztikai meghatározása akkor használják, ha lehetetlen használni a klasszikus meghatározást (1). Ez gyakran előfordul a biológiában és az orvostudományban. Ebben az esetben a valószínűsége R(A) a ténylegesen elvégzett tesztsorok (kísérletek) eredményeinek összegzésével határozható meg.
Bemutatjuk a véletlen események relatív gyakoriságának fogalmát. Legyen egy sorozat, amely a következőkből áll N kísérletek (szám N előre kiválasztható); számunkra érdekes esemény A ben történt M tőlük ( M < N). A kísérletek számának aránya M amelyben ez az esemény bekövetkezett, az elvégzett kísérletek teljes számához képest N véletlen esemény relatív előfordulási gyakoriságának nevezzük A ebben a kísérletsorozatban - R* (A)
R*(A) = .
Kísérletileg megállapították, hogy ha egy sor vizsgálatot (kísérletet) végeznek azonos feltételek mellett, és mindegyikben N elég nagy, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja : sorozatról sorozatra alig változik , megközelítve a kísérletek számának egy bizonyos állandó értékre történő növelésével . Egy véletlen esemény statisztikai valószínűségét veszik figyelembe A:
R(A)= lim, mert N , (2)
Tehát a statisztikai valószínűség R(A) véletlenszerű esemény A azt a határértéket nevezzük, amelyre az események relatív gyakorisága hajlamos a tesztek számának korlátlan növekedésével ( N → ∞).
Egy véletlen esemény hozzávetőleges statisztikai valószínűsége megegyezik az esemény relatív előfordulási gyakoriságával sok teszt esetén:
R(A)≈ P *(A)= (nagyokhoz N) (3)
Például egy érme feldobásával kapcsolatos kísérletekben a jelkép relatív gyakorisága 12 000 dobással 0,5016 volt, 24 000 dobással pedig 0,5005. Az (1) képlet szerint:
P(címer) = = 0,5 = 50%
Példa . 500 fő orvosi vizsgálata során közülük 5 -nél daganatot találtak a tüdőben (o. L.). Határozza meg a betegség relatív gyakoriságát és valószínűségét.
Megoldás: a probléma állapotától függően M = 5, N= 500, relatív gyakoriság R* (o. l.) = M/N= 5/500 = 0,01; Amennyiben N elég nagy, jó pontossággal feltételezhető, hogy a daganat tüdőben való előfordulásának valószínűsége megegyezik az esemény relatív gyakoriságával:
R(o. l.) = R* (o. l.) = 0,01 = 1%.
A véletlen esemény valószínűségének korábban felsorolt tulajdonságai megmaradnak ennek a mennyiségnek a statisztikai meghatározása során is.
1.3. A véletlenszerű események típusai. Valószínűség -elmélet alaptételei
Az összes véletlenszerű esemény a következőkre osztható:
¾ összeférhetetlen;
¾ független;
¾ függő.
Minden eseménytípusnak megvannak a sajátosságai és a valószínűségelmélet tételei.
1.3.1. Összeférhetetlen véletlen események. Valószínűségi összeadási tétel
Véletlen események (A, B, C,D...) következetlennek nevezik , ha egyikük előfordulása kizárja más események előfordulását ugyanabban a vizsgálatban.
1. példa . Feldobott érme. Amikor leesik, a "címer" megjelenése kizárja a "farok" megjelenését (egy felirat, amely meghatározza az érme árát). A "címer leesett" és a "farok esett" események következetlenek.
2. példa . Ha egy tanuló valamelyik vizsgán „2”, „3”, vagy „4” vagy „5” pontot szerez, az következetlen esemény, mivel ezek közül az egyik kizárja a másikat ugyanazon a vizsgán.
Inkonzisztens véletlenszerű események esetén összeadási tétel: bekövetkezési valószínűsége egy, de mindegy, amely számos összeférhetetlen esemény közül A1, A2, A3 ... Ak egyenlő a valószínűségeik összegével:
P (A1 vagy A2 ... vagy Ak) = P (A1) + P (A2) + ... + P (Ak). (4)
3. példa Az urnában 50 golyó található: 20 fehér, 20 fekete és 10 piros. Keresse meg a fehér megjelenésének valószínűségét (esemény A) vagy piros labda (esemény V) amikor a labdát véletlenszerűen kiveszik az urnából.
Megoldás: P.(A vagy B.)= P(A)+ P(V);
R(A) = 20/50 = 0,4;
R(V) = 10/50 = 0,2;
R(A vagy V)= P(b. w. vagy k. w.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.
4. példa . 40 gyerek van az osztályban. Ebből 7-7,5 éves korban 8 fiú ( A) és 10 lány ( V). Keresse meg az ilyen korú gyermekek születésének valószínűségét az osztályteremben.
Megoldás: P.(A)= 8/40 = 0,2; R(V) = 10/40 = 0,25.
P (A vagy B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%
A következő fontos koncepció az teljes eseménycsoport: több összeegyeztethetetlen esemény az események teljes csoportját képezi, ha minden teszt eredményeként ennek a csoportnak csak egy eseménye és nem más jelenhet meg.
5. példa . A lövöldöző lövést adott le a célpontra. A következő események egyike biztosan megtörténik: az első tíz, a kilenc, a nyolc, .., az egy vagy a kihagyás ütése. Ez a 11 következetlen esemény egy teljes csoportot alkot.
6. példa . Az egyetemi vizsgán a diák az alábbi négy osztály valamelyikét kaphatja meg: 2, 3, 4 vagy 5. Ez a négy következetlen esemény egy teljes csoportot is alkot.
Ha következetlen események A1, A2 ... Ak teljes csoportot alkotnak, akkor ezeknek az eseményeknek a valószínűségeinek összege mindig egyenlő:
R(A1)+ P(A2)+ ... P.(Ak) = 1, (5)
Ezt a kijelentést gyakran használják sok alkalmazott probléma megoldására.
Ha két esemény az egyetlen lehetséges és összeegyeztethetetlen, akkor ellentétesnek nevezzük és jelölik Aés . Az ilyen események egy teljes csoportot alkotnak, így valószínűségeik összege mindig egyenlő:
R(A)+ P() = 1. (6)
Példa 7. Legyen R(A) - a halál valószínűsége egy bizonyos betegségben; ismert és 2%. Ekkor a betegség sikeres kimenetelének valószínűsége 98% ( R() = 1 – R(A) = 0,98), mivel R(A) + R() = 1.
1.3.2. Független véletlen események. Valószínűségi szorzótétel
A véletlen eseményeket függetlennek nevezzük, ha egyikük bekövetkezése semmilyen módon nem befolyásolja más események bekövetkezésének valószínűségét.
1. példa . Ha két vagy több urnában van színes golyó, akkor bármely golyó eltávolítása egy urnából nem befolyásolja annak valószínűségét, hogy más golyókat eltávolítanak a többi urnából.
A független események esetében ez igaz valószínűségi szorzótétel: az ízület valószínűsége(egyidejű)több független véletlen esemény bekövetkezése egyenlő a valószínűségeik szorzatával:
P (A1 és A2 és A3 ... és Ak) = Р (А1) ∙ Р (А2) ∙ ... ∙ Р (Аk). (7)
Az események együttes (egyidejű) előfordulása azt jelenti, hogy az események bekövetkeznek és A1,és A2,és A3… És Ak .
2. példa . Két urnák vannak. Az egyik 2 fekete és 8 fehér golyót, a másik 6 fekete és 4 fehér golyót tartalmaz. Hagyja az eseményt A- véletlenszerűen fehér golyót választani az első urnából, V- a másodiktól. Mennyi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen választunk ezekből az urnákból egyidejűleg fehér golyót használva, azaz mi az R (Aés V)?
Megoldás: annak a valószínűsége, hogy az első urnából megkapja a fehér golyót
R(A) = = 0,8 a másodiktól - R(V) = = 0,4. Annak a valószínűsége, hogy egyidejűleg fehér golyót kap mindkét urnából
R(Aés V) = R(A)· R(V) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.
3. példa Az alacsony jódtartalmú étrend nagy populációban az állatok 60% -ánál a pajzsmirigy megnagyobbodását okozza. A kísérlethez 4 megnagyobbodott mirigyre van szükség. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy 4 véletlenszerűen kiválasztott állat megnagyobbodott pajzsmirigyben szenved.
Megoldás: Véletlen esemény A- véletlenszerűen kiválasztott megnagyobbodott pajzsmirigyű állatot. A probléma feltétele szerint ennek az eseménynek a valószínűsége az R(A) = 0,6 = 60%. Ekkor négy független esemény együttes előfordulásának valószínűsége - véletlenszerűen kiválasztott 4, megnagyobbodott pajzsmirigyes állat - egyenlő lesz:
R(A 1 és A 2 és A 3 és A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.
1.3.3. Függő események. Valószínűségi szorzótétel függő eseményekre
Az A és B véletlen eseményeket függőnek nevezzük, ha egyikük megjelenése, például A, megváltoztatja egy másik esemény - B - megjelenésének valószínűségét. Ezért a függő eseményekhez két valószínűségi értéket használnak: feltétel nélküli és feltételes valószínűségek .
Ha Aés V függő események, akkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége V először (azaz az esemény előtt A) nak, nek hívják feltétlen valószínűség ezt az eseményt, és ki van jelölve R(V). Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége V feltéve, hogy az esemény A már megtörtént, hívott feltételes valószínűség fejlemények Vés jelölték R(V/A) vagy RA(V).
A feltétlennek hasonló jelentése van - R(A) és feltételes - R(A / B) az esemény valószínűségeit A.
A tétel két függő esemény valószínűségeinek megszorzására: két függő esemény A és B egyidejű előfordulásának valószínűsége megegyezik az első esemény feltétel nélküli valószínűségének szorzatával a második feltételes valószínűségével:
R(A és B.)= P(A)∙ R(B / A) , (8)
A, vagy
R(A és B.)= P(V)∙ R(A / B), (9)
ha az esemény az első V.
1. példa Az urnában 3 fekete és 7 fehér golyó található. Keresse meg annak valószínűségét, hogy ebből az urnából egymás után (és az első golyó nem kerül vissza az urnába) 2 fehér golyó kerül ki.
Megoldás: az első fehér golyó megszerzésének valószínűsége (esemény A) 7/10. Kivétele után 9 golyó marad az urnában, ebből 6 fehér. Ekkor a második fehér golyó megjelenésének valószínűsége (esemény V) egyenlő R(V/A) = 6/9, és annak valószínűsége, hogy egymás után két fehér golyót kap
R(Aés V) = R(A)∙R(V/A) = = 0,47 = 47%.
A függő események valószínűségeinek szorzásának fenti tétele tetszőleges számú eseményre általánosítható. Különösen három egymással kapcsolatos eseményre:
R(Aés Vés VAL VEL)= P(A)∙ R(B / A)∙ R(C / AB). (10)
2. példa Két óvodában, amelyek mindegyike 100 gyermeket lát el, kitörés történt fertőző betegség... Az esetek aránya 1/5 és 1/4, az első intézményben 70%, a másodikban - az esetek 60% -a - 3 év alatti gyermekek. Egy gyermeket véletlenszerűen választanak ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy:
1) a kiválasztott gyermek az első óvodába tartozik (esemény A) és beteg (esemény V).
2) a gyermeket a másodikból választják ki óvoda(esemény VAL VEL), beteg (esemény D) és több mint 3 éves (esemény E).
Megoldás. 1) a kívánt valószínűség -
R(Aés V) = R(A) ∙ R(V/A) = = 0,1 = 10%.
2) a szükséges valószínűség:
R(VAL VELés Dés E) = R(VAL VEL) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = 
= 5%.
1.4. Bayes formula
Ha a függő események együttes előfordulásának valószínűsége Aés V akkor nem attól függ, hogy milyen sorrendben fordulnak elő R(Aés V)= P(A)∙ R(B / A)= P(V) × R(A / B). Ebben az esetben az egyik esemény feltételes valószínűsége megtalálható, ha ismerjük mindkét esemény valószínűségét és a második feltételes valószínűségét:
R(B / A) = (11)
Bayes formulája ennek a képletnek az általánosítása sok eseményre.
Legyen " n»Inkonzisztens véletlenszerű események Н1, Н2, ..., Нn, teljes eseménycsoportot alkotnak. Ezeknek az eseményeknek a valószínűsége: R(H1), R(H2),…, R.(Hn) ismertek, és mivel teljes csoportot alkotnak, akkor = 1.
Valami véletlen esemény A eseményekkel kapcsolatos Н1, Н2, ..., Нn, és ismertek az esemény bekövetkezésének feltételes valószínűségei A az egyes eseményekkel Hén azaz ismert R(A / H1), R(A / H2),…, R.(A / Hn). Ebben az esetben a feltételes valószínűségek összege R(A / Hén) nem lehet egyenlő eggyel, azaz 
≠ 1.
Ekkor az esemény bekövetkezésének feltételes valószínűsége Hén amikor az esemény megvalósul A(azaz feltéve, hogy az esemény A történt) a Bayes -képlet határozza meg :
Sőt, ezekhez a feltételes valószínűségekhez 
.
Bayes formulája széles körben alkalmazható nemcsak a matematikában, hanem az orvostudományban is. Például bizonyos betegségek valószínűségének kiszámítására szolgál. Tehát, ha H 1,…, Hn- egy adott beteg becsült diagnózisa, A- valamilyen velük kapcsolatos jel (tünet, vérvizsgálat bizonyos mutatója, vizeletvizsgálat, röntgenfelvétel részlete stb.), és feltételes valószínűségek R(A / Hén) ennek a tünetnek a megnyilvánulásai minden diagnózissal Hén (én = 1,2,3,…n) ismertek, akkor Bayes (12) képlete lehetővé teszi a betegségek (diagnózisok) feltételes valószínűségének kiszámítását R(Hén/A), miután megállapítást nyert, hogy a jellemző jellemző A jelen van a betegben.
1. példa. A beteg kezdeti vizsgálata során 3 diagnózist feltételeznek H 1, H 2, H 3. Valószínűségeik az orvos szerint a következőképpen oszlanak meg: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Következésképpen az első diagnózis tűnik a legvalószínűbbnek előre. Ennek tisztázása érdekében például vérvizsgálatot írnak elő, amelyben az ESR növekedése várható (esemény A). Előre ismert (a kutatási eredmények alapján), hogy az ESR növekedésének valószínűsége a feltételezett betegségek esetén egyenlő:
R(A/H 1) = 0,1; R(A/H 2) = 0,2; R(A/H 3) = 0,9.
A kapott elemzés az ESR (esemény) növekedését rögzítette A történt). Ekkor a Bayes -képlet (12) szerinti számítás megadja az állítólagos betegségek valószínűségét, megnövekedett ESR értékkel: R(H 1/A) = 0,13; R(H 2/A) = 0,09;
R(H 3/A) = 0,78. Ezek az adatok azt mutatják, hogy a laboratóriumi adatokat figyelembe véve a legreálisabb nem az első, hanem a harmadik diagnózis, amelynek valószínűsége mára meglehetősen magasnak bizonyult.
Az adott példa a legegyszerűbb illusztrációja annak, hogyan lehet a bayesi képlet segítségével formalizálni az orvos logikáját a diagnózis felállításakor, és ennek köszönhetően a számítógépes diagnosztika módszereit létrehozni.
2. példa Határozza meg annak valószínűségét, amely becsüli a perinatális * gyermekhalandóság kockázatát anatómiailag keskeny medencével rendelkező nőknél.
Megoldás: hagyja az eseményt H 1 - sikeres szülés. A klinikai jelentések szerint R(H 1) = 0,975 = 97,5%, akkor ha H2- a perinatális mortalitás ténye R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.
Jelöljük A- az a tény, hogy a vajúdó nőnek keskeny a medencéje. Az elvégzett vizsgálatokból a következők ismertek: a) R(A/H 1) - a keskeny medence valószínűsége kedvező szüléssel, R(A/H 1) = 0,029, b) R(A/H 2) - a keskeny medence valószínűsége perinatális halálozással,
R(A/H 2) = 0,051. Ezután a szülésben lévő nő szűk medencével történő perinatális mortalitásának valószínűségét a Bayes-képlet (12) segítségével számítják ki, és egyenlő:
Így a perinatális mortalitás kockázata anatómiailag keskeny medencében lényegesen (majdnem kétszer) nagyobb, mint az átlagos kockázat (4,4% szemben 2,5% -kal).
Az ilyen számítások, amelyeket rendszerint számítógép segítségével végeznek, az egyik vagy másik súlyosbító tényező jelenlétével járó, fokozott kockázatú betegcsoportok kialakításának módszerei.
Bayes formulája nagyon hasznos sok más orvosbiológiai helyzet értékeléséhez, ami nyilvánvalóvá válik a kézikönyvben bemutatott problémák megoldása során.
1.5. Véletlen eseményeken, amelyek valószínűsége közel 0 vagy 1
Sok gyakorlati probléma megoldásakor olyan eseményekkel kell foglalkozni, amelyek valószínűsége nagyon kicsi, azaz közel a nullához. Az ilyen eseményekkel kapcsolatos tapasztalatok alapján a következő elvet alkalmazták. Ha egy véletlenszerű eseménynek nagyon kicsi a valószínűsége, akkor a gyakorlatban feltételezhető, hogy egyetlen teszt során nem fog előfordulni, más szóval elhanyagolható annak előfordulásának lehetősége. Arra a kérdésre, hogy ez a valószínűség milyen kicsi legyen, a választ a megoldandó problémák lényege határozza meg, valamint az, hogy mennyire fontos számunkra az előrejelzési eredmény. Például, ha annak valószínűsége, hogy az ejtőernyő nem nyílik ki az ugrás során, 0,01, akkor az ilyen ejtőernyők használata elfogadhatatlan. Azonban annak valószínűsége, hogy egy távolsági vonat későn érkezik, megegyezik a 0,01-gyel, szinte biztosra vesz bennünket abban, hogy időben érkezik.
Megfelelően kicsi annak a valószínűsége, hogy (adott konkrét probléma esetén) egy esemény gyakorlatilag lehetetlennek tekinthető szignifikancia szintje. A gyakorlatban a szignifikancia szintet általában 0,01 (egy százalékos szignifikanciaszint) vagy 0,05 (öt százalékos szignifikanciaszint) egyenlőnek veszik, sokkal ritkábban 0,001 -nek.
A szignifikancia szint bevezetése lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy ha valamilyen esemény A szinte lehetetlen, akkor az ellenkező esemény - gyakorlatilag megbízható, vagyis neki R() » 1.
FejezetII... Véletlen értékek
2.1. Véletlen változók, azok típusai
A matematikában a mennyiség a tárgyak és jelenségek különböző mennyiségi jellemzőinek általános neve. Hossz, terület, hőmérséklet, nyomás stb. Példák a különböző mennyiségekre.
Az érték, amely mást jelent számszerű értékek véletlenszerű körülmények hatására, amelyeket véletlen változónak neveznek... Példák véletlenszerű változókra: a betegek száma orvos rendelésén; pontos méretek belső szervek emberek stb.
Megkülönböztetni a diszkrét és folyamatos véletlen változókat .
Egy véletlen változót diszkrétnek nevezünk, ha csak bizonyos értékeket vesz fel, egymástól elválasztva, amelyek beállíthatók és felsorolhatók.
Példák a diszkrét véletlen változókra:
- a tanulók száma az osztályteremben - csak pozitív egész szám lehet: 0,1,2,3,4… .. 20… ..;
- a kocka dobásakor a felső szélén megjelenő szám - csak 1 és 6 közötti egész értékeket vehet fel;
- a lövés relatív gyakorisága 10 lövéssel - értékei: 0; 0,1; 0,2; 0,3 ... 1
- az azonos időintervallumokban előforduló események száma: pulzusszám, óránként mentők száma, havi műveletek száma, halálos kimenetelű stb.
Egy véletlen változót folyamatosnak nevezünk, ha egy bizonyos intervallumon belül bármilyen értéket felvehet, amelynek néha élesen meghatározott határai vannak, és néha nem.*. A folyamatos véletlen változók közé tartozik például a felnőttek testsúlya és magassága, testtömege és agytérfogata, az egészséges emberek enzimtartalma, a vérsejtek mérete, R H vér stb.
Koncepció véletlen változó meghatározó szerepet játszik a modern valószínűségelméletben, amely speciális technikákat dolgozott ki a véletlenszerű eseményekről a véletlenszerű változókra való átmenetre.
Ha egy véletlen változó függ az időtől, akkor beszélhetünk véletlen folyamatról.
2.2. Diszkrét véletlen változó eloszlási törvénye
A diszkrét véletlenszerű változó teljes leírásához minden lehetséges értékét és valószínűségét fel kell tüntetni.
A diszkrét véletlen változó lehetséges értékei és valószínűségeik közötti megfelelést ennek a mennyiségnek az eloszlási törvényének nevezzük.
A véletlen változó lehetséges értékeit jelöljük NSát NSén, és a megfelelő valószínűségek - keresztül Rén *. Ekkor egy diszkrét véletlen változó eloszlási törvényét háromféleképpen lehet megadni: táblázat, grafikon vagy képlet formájában.
Egy elosztási sorozatnak nevezett táblázatban felsorolja a diszkrét véletlen változó összes lehetséges értékét NSés a megfelelő valószínűségeket R(NS):
NS
…..
…..
P(x)
…..
…..
Sőt, minden valószínűség összege Rén egynek kell lennie (normalizálási feltétel):
Rén = o1 + o2 + ... + pn = 1. (13)
Grafikusan a törvényt törött vonal képviseli, amelyet általában elosztási sokszögnek neveznek (1. ábra). Itt a véletlen változó összes lehetséges értékét a vízszintes tengely mentén ábrázoljuk NSén,
,
és a függőleges tengely mentén - a megfelelő valószínűségek Rén
Elemzően a törvényt a képlet fejezi ki. Például, ha annak valószínűsége, hogy egy lövésben célba talál R, akkor annak a valószínűsége, hogy 1 -szer eléri a célt n lövéseket a képlet adja meg R(n) = n qn-1 × o, ahol q= 1 - p- a kihagyás valószínűsége egy lövéssel.
2.3. Egy folytonos véletlen változó eloszlási törvénye. Valószínűségi eloszlás sűrűsége
Folyamatos véletlen változók esetén lehetetlen alkalmazni az eloszlási törvényt a fent megadott formákban, mivel egy ilyen mennyiség végtelen ("megszámlálhatatlan") lehetséges értékhalmazzal rendelkezik, amely teljesen kitölti egy bizonyos intervallumot. Ezért lehetetlen összeállítani egy táblázatot, amelyben minden lehetséges értéke fel van sorolva, vagy nem lehet elosztási sokszöget felépíteni. Ezenkívül bármely konkrét érték valószínűsége nagyon kicsi (közel 0 -hoz) *. Ugyanakkor a folytonos véletlen változó lehetséges értékeinek különböző területei (intervallumai) nem egyformán valószínűek. Így ebben az esetben létezik egy bizonyos elosztási törvény, bár nem azonos értelemben.
Tekintsünk egy folyamatos véletlen változót NS, amelyek lehetséges értékei teljesen kitöltenek egy bizonyos intervallumot (a, b)**. Az ilyen értékre vonatkozó valószínűségi eloszlási törvénynek lehetővé kell tennie, hogy megtaláljuk annak valószínűségét, hogy értéke bármelyikbe esik beállított intervallum (x1, x2) bent fekve ( a,b), 2. ábra.
Ezt a valószínűséget jelöljük R(x1< Х < х2
), vagy
R(x1£ NS£ x2).
Először vegye figyelembe az értékek nagyon kis tartományát NS- tól től NS előtt ( x +DNS); lásd 2. ábra. Alacsony a valószínűsége dR az a tény, hogy a véletlen változó NS bizonyos értéket fog venni az intervallumból ( x, x +DNS), arányos lesz ennek az intervallumnak az értékével DNS:dR~ DNS, vagy az arányossági együttható bevezetésével f amin maga is múlhat NS, kapunk:
dP =f(NS) × D x =f(x) × dx (14)
Az itt bemutatott funkció f(NS) nak, nek hívják valószínűségi eloszlás sűrűsége véletlen változó NS, vagy röviden, valószínűségi sűrűség, eloszlási sűrűség... A (13) egyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek megoldása megadja annak valószínűségét, hogy eléri a mennyiséget NS intervallumban ( x1,x2):
R(x1<NS<x2) = f(NS) dNS. (15)
Grafikailag a valószínűsége R(x1<NS<x2) egyenlő a görbe vonalú trapéz területével, amelyet az abszcissza tengely határol, a görbe f(NS) és egyenes vonalak X = x1 és X = x2(3. ábra). Ez a határozott integrál (15) görbe geometriai jelentéséből következik f(NS) nevezzük eloszlási görbének.
A (15) -ből az következik, hogy ha a függvény ismert f(NS), akkor az integráció határainak megváltoztatásával megtalálhatjuk a számunkra érdekes intervallumok valószínűségét. Ezért ez a funkció feladata f(NS) teljesen meghatározza a folyamatos véletlen változók eloszlási törvényét.
A valószínűségi sűrűséghez f(NS) a normalizálási feltételnek teljesülnie kell a következő formában:
f(NS) dx = 1, (16)
ha ismert, hogy minden érték NS feküdjön az intervallumban ( a,b), vagy a következő formában:
f(NS) dx = 1, (17)
ha az intervallum határai értékekre NS határozottan homályos. A valószínűségi sűrűség (16) vagy (17) normalizálásának feltételei annak a ténynek a következményei, hogy a véletlen változó értékei NS megbízhatóan fekszik ( a,b) vagy (- ¥, + ¥). A (16) és (17) pontból az következik, hogy az ábra területe, amelyet az eloszlási görbe és az abszcissza határol, mindig 1 .
2.4. A véletlen változók alapvető numerikus jellemzői
A 2.2. És 2.3. Szakaszban bemutatott eredmények azt mutatják, hogy a diszkrét és folytonos véletlen változók teljes körű jellemzését meg lehet kapni eloszlásuk törvényeinek ismeretében. Azonban sok gyakorlatilag jelentős helyzetben a véletlenszerű változók úgynevezett numerikus jellemzőit használják, e jellemzők fő célja, hogy tömör formában kifejezzék a véletlen változók eloszlásának legjelentősebb jellemzőit. Fontos, hogy ezek a paraméterek olyan konkrét (állandó) értékeket képviseljenek, amelyeket a kísérletek során kapott adatok felhasználásával meg lehet becsülni. A leíró statisztika foglalkozik ezekkel az értékelésekkel.
A valószínűségelméletben és a matematikai statisztikákban sok különböző jellemzőt használnak, de csak a leggyakrabban használtat vesszük figyelembe. És csak néhányuk számára adjuk meg azokat a képleteket, amelyek alapján kiszámítják értékeiket, más esetekben a számításokat a számítógépre bízzuk.
Fontolgat pozíció jellemzői - matematikai elvárás, divat, medián.
Egy véletlen változó helyzetét jellemzik a számtengelyen , vagyis jelezzen valamilyen hozzávetőleges értéket, amely köré a véletlen változó összes lehetséges értéke csoportosul. Közülük a legfontosabb szerepet a matematikai elvárás játssza M(NS).
Valószínűség -elmélet alapjai
Terv:
1. Véletlen események
2. A valószínűség klasszikus meghatározása
3. Az események és kombinatorika valószínűségeinek kiszámítása
4. Geometriai valószínűség
Elméleti információk
Véletlen események.
Véletlen jelenség- jelenség, amelynek kimenetele nem egyértelműen meghatározott. Ez a fogalom meglehetősen tág értelemben értelmezhető. Nevezetesen: a természetben minden meglehetősen véletlenszerű, bármely egyén megjelenése és születése véletlenszerű jelenség, a termék boltban történő megválasztása is véletlenszerű jelenség, a vizsga értékelésének megszerzése véletlen jelenség, a betegség és a gyógyulás véletlen jelenségek stb.
Példák a véletlen jelenségekre:
~ A lövöldözés a horizonthoz adott szögben beállított fegyverből történik. A célpont eltalálása véletlen, de a lövedék egy bizonyos "villát" üt, szabályszerűség. Megadhatja azt a távolságot, amelynél közelebb és távolabb a lövedék nem repül. Kapsz egyfajta "lövedék diszperziós villát"
~ Ugyanazt a testet többször lemérik. Szigorúan véve minden alkalommal más és más eredményt kapunk, bár elhanyagolható mértékben, de eltérően.
~ Az ugyanazon az útvonalon repülő repülőgép rendelkezik egy bizonyos repülési folyosóval, amelyen belül a repülőgép manőverezhet, de soha nem lesz pontosan ugyanaz az útvonal
~ Egy sportoló soha nem futhat ugyanazt a távot ugyanabban az időben. Eredményei is egy bizonyos számtartományba esnek.
A tapasztalat, kísérlet, megfigyelés tesztek
Próba- bizonyos feltételek együttesének megfigyelése vagy teljesítése, amelyek ismételten teljesülnek, és rendszeresen ismétlődnek ugyanabban a sorrendben, időtartamban, más azonos paraméterek betartásával.
Tekintsük egy sportoló kivégzését egy célpontra. Az előállításhoz olyan feltételeknek kell megfelelni, mint a sportoló felkészítése, a fegyver feltöltése, célzás stb. "Találat" és "kimaradt" - események egy lövés következtében.
Esemény- minőségi vizsgálati eredmény.
Az esemény történhet vagy nem. Az eseményeket nagybetűs latin betűvel jelöltük. Például: D = "Shooter eltalálja a célt". S = "Fehér golyó eltávolítva". K = "Véletlenszerű lottószelvény nyeremény nélkül."
Az érme feldobása kihívás. A "címerének" esése az egyik esemény, a "számának" esése a második esemény.
Bármely teszt több esemény bekövetkezésével jár. Néhányukra szükség lehet a kutató számára egy adott pillanatban, míg másokra nem.
Az eseményt véletlennek nevezik ha egy bizonyos feltételrendszer végrehajtása mellett S megtörténhet vagy nem. A következőkben ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy "az S feltételkészlet teljesült", röviden azt fogjuk mondani: "a tesztet elvégeztük". Így az esemény teszt eredménynek tekintendő.
~ A lövő négy területre osztott célpontra lő. A lövés próba. A célpont meghatározott területének ütése esemény.
~ Az urnában színes golyók vannak. Egy golyót véletlenszerűen vesznek ki az urnából. A labda eltávolítása az urnából próba. Egy bizonyos színű golyó megjelenése esemény.
A véletlenszerű események típusai
1. Az eseményeket következetlennek nevezik, ha egyikük előfordulása kizárja más események előfordulását ugyanabban a vizsgálatban.
~ Egy részt véletlenszerűen vettünk ki az alkatrészdobozból. A szabványos alkatrész megjelenése kiküszöböli a nem szabványos alkatrész megjelenését. Az események egy szabványos rész megjelentek "és egy nem szabványos rész" - következetlen.
~ Dobott érme. A "címer" megjelenése kizárja a felirat megjelenését. A "címer megjelent" és "felirat jelent meg" események összeegyeztethetetlenek.
Több esemény alakul ki teljes csoport, ha közülük legalább az egyik megjelenik a teszt eredményeként. Más szóval, az egész csoport legalább egy eseményének megjelenése megbízható esemény.
Különösen, ha a teljes csoportot alkotó események páronként ellentmondásosak, akkor a teszt eredményeként ezek közül csak egy jelenik meg.
~ Két készpénzes lottószelvényt vásároltak. Az alábbi események közül biztosan csak egy fog történni:
1. "a nyeremény az első jegyre esett, a másodikra nem"
2. "a nyeremény nem az első jegyre esett, hanem a másodikra"
3. "a nyeremény mindkét jegyre esett",
4. "mindkét nyereményre nem esett nyeremény."
Ezek az események a páronként összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják,
~ A lövő lőtt egy lövést a célpontra. A következő két esemény egyike biztosan megtörténik: ütés, kisasszony. Ez a két összeegyeztethetetlen esemény egy teljes csoportot is alkot.
2. Az eseményeket hívják ugyanolyan lehetséges, ha okunk van azt hinni, hogy egyikük sem lehetséges jobban, mint a másik.
~ A "címer" megjelenése és egy felirat megjelenése érme feldobásakor egyaránt lehetséges események. Valójában feltételezzük, hogy az érme homogén anyagból készült, szabályos henger alakú, és a pénzverés jelenléte nem befolyásolja az érem egyik vagy másik oldalának leesését.
~ Egy bizonyos számú pont megjelenése egy dobott kockán ugyanolyan lehetséges esemény. Valójában feltételezzük, hogy a kocka homogén anyagból készült, szabályos poliéder alakú, és a szemüveg jelenléte nem befolyásolja bármely arc leesését.
3. Az esemény neve megbízható, ha ez nem történhet meg
4. Az esemény neve megbízhatatlan ha nem történhet meg.
5. Az esemény neve szemben valamilyen eseményre, ha ez az esemény be nem következéséből áll. Az ellentétes események nem kompatibilisek, de az egyiknek szükségszerűen meg kell történnie. Az ellentétes eseményeket általában tagadásoknak nevezik, azaz kötőjel van írva a levél fölött. Ellentétes események: A és Ā; U és Ū stb. ...
A valószínűség klasszikus meghatározása
A valószínűség a valószínűségelmélet egyik alapfogalma.
Ennek a fogalomnak több meghatározása létezik. Itt van egy meghatározás, amelyet klasszikusnak neveznek. Ezután rámutatunk ennek a definíciónak a gyengeségeire, és megadunk más definíciókat, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy leküzdjük a klasszikus definíció hiányosságait.
Vegye figyelembe a helyzetet: Egy doboz 6 azonos golyót tartalmaz, 2 piros, 3 kék és 1 fehér. Nyilvánvaló, hogy az a képesség, hogy véletlenszerűen kivegyünk egy színes (azaz piros vagy kék) golyót az urnából, mint egy fehér golyó. Ezt a lehetőséget számmal lehet jellemezni, amelyet esemény valószínűségének (színes golyó megjelenése) neveznek.
Valószínűség- szám, amely jellemzi egy esemény bekövetkezésének lehetőségét.
A vizsgált helyzetben a következőket jelöljük:
Esemény A = "Színes labda rajzolása".
Az összes lehetséges vizsgálati eredmény (a teszt abból áll, hogy eltávolítja a labdát az urnából) meghívásra kerül elemi (lehetséges) kimenetel és esemény. Az elemi eredményeket betűkkel jelölhetjük, alul indexekkel, például: k 1, k 2.
Példánkban 6 labda van, tehát 6 lehetséges kimenetel: fehér golyó jelenik meg; piros golyó jelent meg; kék golyó jelent meg stb. Könnyen belátható, hogy ezek az eredmények páronként ellentmondásos események teljes csoportját alkotják (szükségszerűen csak egy labda jelenik meg), és ugyanúgy lehetségesek (a labdát véletlenszerűen veszik ki, a golyók azonosak és alaposan összekeverednek).
Azokat az elemi eredményeket nevezzük, amelyekben a számunkra érdekes esemény bekövetkezik kedvező eredményeket ez az esemény. Példánkban az eseményt részesítik előnyben A(színes golyó jelenik meg) a következő 5 eredmény:
Így az esemény A megfigyelhető, ha az egyik, függetlenül attól, hogy melyik elemi eredmény kedvez A. Ez bármilyen színes golyó megjelenése, amelyből 5 darab van egy dobozban
Ebben a példában 6 elemi eredmény van; Közülük 5 kedvez az eseménynek A. Ennélfogva, P (A) = 5/6. Ez a szám adja meg azt a mennyiségi becslést, hogy milyen mértékben jelenik meg egy színes golyó.
A valószínűség meghatározása:
Az A esemény valószínűsége az ehhez az eseményhez kedvező kimenetek számának aránya az összes lehetséges, következetlen elemi eredményhez, amelyek egy teljes csoportot alkotnak.
P (A) = m / n vagy P (A) = m: n, ahol:
m az előnyben részesített elemi eredmények száma A;
NS- az összes lehetséges elemi vizsgálati eredmény számát.
Feltételezzük, hogy az elemi eredmények következetlenek, ugyanolyan lehetségesek, és teljes csoportot alkotnak.
A valószínűség definíciójából a következő tulajdonságok következnek:
1. Egy bizonyos esemény valószínűsége egy.
Valóban, ha az esemény megbízható, akkor a teszt minden elemi eredménye kedvez az eseménynek. Ebben az esetben m = n ezért p = 1
2. A lehetetlen esemény valószínűsége nulla.
Valóban, ha az esemény lehetetlen, akkor a teszt egyik elemi eredménye sem kedvez az eseménynek. Ebben az esetben m = 0, tehát p = 0.
3.A véletlen esemény valószínűsége pozitív szám nulla és egy között. 0
A következő témákban olyan tételeket mutatunk be, amelyek lehetővé teszik, hogy más események valószínűségeit megtaláljuk néhány esemény ismert valószínűségeiből.
Mért. A diákok csoportjában 6 lány és 4 fiú van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott diák véletlenszerűen lány lesz? lesz fiatalember?
p szűz = 6/10 = 0,6 p jun = 4/10 = 0,4
A "valószínűség" fogalma a valószínűségelmélet modern, szigorú tanfolyamain halmazelméleti alapokra épül. Tekintsük ennek a megközelítésnek néhány pontját.
Hagyja, hogy egyetlen esemény történjen a teszt eredményeként: w i(i = 1, 2, ... n). Fejlesztések w i, - hívott elemi események (elemi eredmények). O Ez azt jelenti, hogy az elemi események párban összeegyeztethetetlenek. A tesztben megjelenő összes elemi esemény halmazát hívjuk elemi események tereΩ (nagybetűs görög omega betű), és maguk az elemi események ennek a térnek a pontjai..
Esemény A egy (az Ω tér) részhalmazával azonosítják, amelynek elemei előnyös elemi eredmények A; esemény V az Ω részhalmaza, amelynek elemei kedvezőek V, stb. Így a tesztben előforduló összes esemény halmaza az Ω összes részhalmazának halmaza, maga az Ω a teszt bármely eredményénél előfordul, ezért Ω megbízható esemény; az Ω- szóköz üres részhalmaza lehetetlen esemény (nem fordul elő a teszt bármely eredménye esetén).
Az elemi eseményeket a témák eseményei közül választják ki, "mindegyik csak egy Ω elemet tartalmaz
Minden elemi eredményhez w i egyezik egy pozitív számmal p i ennek az eredménynek a valószínűsége és az összes összege p i egyenlő 1 -gyel vagy az összeg előjellel, ezt a tényt kifejezés formájában írjuk le:
Definíció szerint a valószínűség P (A) fejlemények A egyenlő a kedvező elemi eredmények valószínűségeinek összegével A. Ezért a megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő, a lehetetlen nulla, az önkényes pedig nulla és egy között van.
Tekintsünk egy fontos speciális esetet, amikor minden eredmény egyformán lehetséges, az eredmények száma egyenlő n -vel, az összes eredmény valószínűségeinek összege egyenlő; ezért minden eredmény valószínűsége 1 / p. Hagyja az eseményt A m eredménynek kedvez.
Esemény valószínűsége A egyenlő a kedvező eredmények valószínűségének összegével V:
P (A) = 1 / n + 1 / n + ... + 1 / n = n · 1 / n = 1
Megkapjuk a valószínűség klasszikus definícióját.
Még mindig van magától értetődő megközelítés a "valószínűség" fogalmához. A javasolt axiómák rendszerében. Kolmogorov A. N, a meghatározatlan fogalmak elemi esemény és valószínűség. A logikailag teljes valószínűség -elmélet felépítése a véletlen esemény axiomatikus meghatározásán és annak valószínűségén alapul.
Íme az axiómák, amelyek meghatározzák a valószínűséget:
1. Minden esemény A nem negatív valós számra leképezve P (A). Ezt a számot az esemény valószínűségének nevezzük. A.
2. A megbízható esemény valószínűsége egy:
3. A páronként összeegyeztethetetlen események közül legalább egy előfordulásának valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségének összegével.
Ezen axiómák alapján a valószínűségek tulajdonságait a köztük lévő függőségre tételekként vezetik le.
A gyakorlati tevékenységhez szükség van arra, hogy összehasonlítani lehessen az eseményeket azok előfordulási lehetőségének mértéke szerint. Tekintsük a klasszikus esetet. Az urnában 10 golyó található, ebből 8 fehér, 2 fekete. Nyilvánvaló, hogy a „fehér golyó eltávolításra kerül az urnából” és a „fekete golyó eltávolításra kerül az urnából” eseménynek különböző fokú előfordulási lehetősége van. Ezért bizonyos mennyiségi mérésre van szükség az események összehasonlításához.
Az esemény bekövetkezésének lehetőségét mennyiségileg mérik valószínűség ... A legelterjedtebb az esemény valószínűségének két meghatározása: klasszikus és statisztikai.
Klasszikus definíció a valószínűség a kedvező eredmény fogalmához kapcsolódik. Maradjunk ennél részletesebben.
Hagyja, hogy néhány teszt eredményei az események teljes csoportját képezzék, és egyformán lehetségesek, azaz az egyetlen lehetséges, összeegyeztethetetlen és ugyanolyan lehetséges. Az ilyen eredményeket ún elemi eredmények, vagy esetek... Ugyanakkor azt mondják, hogy a teszt lecsökken eset diagram vagy " urnaséma", Mivel az ilyen teszt esetleges valószínűségi problémái helyettesíthetők egyenértékű problémákkal, különböző színű urnákkal és golyókkal.
Exodust hívják kedvező esemény A ha ezen esemény bekövetkezése egy esemény bekövetkezését vonja maga után A.
A klasszikus definíció szerint esemény valószínűsége A megegyezik az ehhez az eseményhez kedvező kimenetek számának az összes eredményhez viszonyított arányával, azaz
| , | (1.1) |
ahol P (A)- esemény valószínűsége A; m- az esemény számára kedvező esetek száma A; n- az esetek teljes száma.
1.1. Példa Dobáskor hat lehetséges kimenetel van - 1, 2, 3, 4, 5, 6 pont. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számú pont jelenik meg?
Megoldás. Minden n= 6 kimenetel az események teljes csoportját képezi, és ugyanúgy lehetséges, azaz az egyetlen lehetséges, összeegyeztethetetlen és ugyanolyan lehetséges. A esemény - „páros számú pont megjelenése” - 3 kimenetel (eset) részesül előnyben - 2, 4 vagy 6 pont kiesik. Az esemény valószínűségének klasszikus képlete szerint megkapjuk
P (A) = = . ◄
Az esemény valószínűségének klasszikus meghatározása alapján megjegyzzük annak tulajdonságait:
1. Bármely esemény valószínűsége nulla és egy között van, azaz
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. A megbízható esemény valószínűsége egy.
3. A lehetetlen esemény valószínűsége nulla.
Mint korábban említettük, a valószínűség klasszikus definíciója csak azokra az eseményekre alkalmazható, amelyek a lehetséges eredmények szimmetriájával végzett kísérletek eredményeként jelenhetnek meg, azaz az esetek rendszerére redukálva. Van azonban egy nagy eseményosztály, amelynek valószínűségeit nem lehet kiszámítani a klasszikus definíció segítségével.
Például, ha feltételezzük, hogy az érme lapított, akkor nyilvánvaló, hogy a „címer megjelenése” és a „farok megjelenése” események nem tekinthetők egyformán lehetségesnek. Ezért a valószínűség klasszikus séma szerinti meghatározására szolgáló képlet ebben az esetben nem alkalmazható.
Van azonban más megközelítés az események valószínűségének értékelésére annak alapján, hogy az esemény milyen gyakran fog megtörténni az elvégzett tesztek során. Ebben az esetben a valószínűség statisztikai meghatározását használják.
Statisztikai valószínűségaz A eseményt nevezik ennek az eseménynek a bekövetkezésének relatív gyakoriságának (gyakoriságának) n elvégzett tesztben, azaz
 ,
| (1.2) |
ahol P * (A)- egy esemény statisztikai valószínűsége A; w (A)- az esemény relatív gyakorisága A; m- azon kísérletek száma, amelyekben az esemény megjelent A; n- a tesztek teljes száma.
Ellentétben a matematikai valószínűséggel P (A) A klasszikus definíció szerint a statisztikai valószínűség P * (A) jellemzője tapasztalt, kísérleti... Más szóval, az esemény statisztikai valószínűsége A az a szám, amelyhez képest a relatív frekvencia stabilizálódik (beállítva) w (A) az azonos feltételek mellett elvégzett vizsgálatok számának korlátlan növekedésével.
Például, ha azt mondják, hogy egy lövő 0,95 valószínűséggel találta el a célt, ez azt jelenti, hogy száz lövésből, amelyeket bizonyos körülmények között lőtt (ugyanaz a célpont ugyanazon a távolságon, ugyanaz a puska stb.), átlagosan körülbelül 95 sikeres van. Természetesen nem minden száznak lesz 95 sikeres lövése, néha kevesebb, néha több lesz, de átlagosan többszöri ismétléssel azonos feltételek mellett ez a találati arány változatlan marad. A 0,95 -ös szám, amely a lövő ügyességét jelzi, általában nagyon stabil, azaz a lövések százalékos aránya a legtöbb lövöldözésben majdnem megegyezik egy adott lövő esetében, csak ritka esetekben némileg jelentősen eltér az átlagos értékétől.
A valószínűség klasszikus definíciójának másik hátránya ( 1.1 ), korlátozva annak használatát, hogy véges számú lehetséges kísérleti eredményt feltételez. Bizonyos esetekben ez a hátrány kiküszöbölhető a valószínűség geometriai meghatározásával, azaz annak a valószínűségének megállapítása, hogy egy pont eltalál egy bizonyos területet (szegmenst, síkrészt stb.).
Legyen egy lapos alak g lapos figura részét képezi G(1.1. ábra). Az ábrán G véletlenszerűen dobnak egy pontot. Ez azt jelenti, hogy a régió minden pontja G"Egyenlő" ahhoz képest, hogy egy dobott véletlen ponttal ütjük. Feltételezve, hogy egy esemény valószínűsége A- a dobott pont ütése az ábrán g- arányos az ábra területével, és nem függ annak elhelyezkedésétől G sem a formából g, megtalálja
