Ha áthalad. N.nikitin geometria. Az élő szögek egyenlőek, vagy
Két szöget hívnak függőlegesnek, ha az azonos szög oldalai a másik oldalainak folytatása.
A sarkok képében 1 és 3 valamint a sarkok 2 és 4 - függőleges. Szög 2 szögletes, mint szög 1 és szöggel 3. A szomszédos szögek tulajdonságai szerint 1 +2 \u003d 180 0 és 3 +2 \u003d 180 0. Innen kapunk: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Így a szögek foka 1 és 3 egyenlő. Ezért következik, hogy a szögek maguk is egyenlőek. Tehát a függőleges szögek egyenlőek.
2. A háromszögek egyenlőségének elismerése.
Ha a két oldal és a közöttük lévő szög egy háromszög, két oldal, két oldal és a sarok között egy másik háromszög, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek.
Ha az oldal és a két szög mellett, egy háromszög, egy háromszög, egyenlő az oldal és két háromszög szög mellett, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek.
3. Ha egy háromszög három oldala megegyezik egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek.
1 jele a háromszögek egyenlőségének jele:
Tekintsük az ABC háromszögeit és az 1-et 1 c 1-ben, amelyben az AV \u003d A 1 1, AC \u003d A 1 C 1, az A és A 1 szögek egyenlőek. Bizonyítjuk, hogy az AVC \u003d A 1 1 s 1-ben.
Mivel (y) A \u003d (Y) A 1, akkor az ABC háromszög az 1 C 1-es háromszögre alkalmazható úgy, hogy az A csúcs kompatibilis az A1 csúcsgal, és az AB és az AU felek megfelelnek a 1-es és 1 c 1 1-es sugarak és 1. Mivel az AV \u003d A 1 1-ben, az 1 c 1-ben, majd az AV oldal kompatibilis az 1-es oldallal és az AC oldalán - az AC - 1 C 1 oldalával; Különösen a pontokat és az 1., C és C 1-es pontokat figyelemmel kísérjük. Következésképpen a Nap és az 1 C 1 felek figyelemmel kísérik. Tehát az ABC háromszögek és 1 1 s 1-ben teljesen megfigyelték, akkor egyenlőek. Ctd
3. A tartalom egy izoble háromszög fele.
Egy egyensúlyú háromszögben, a bázishoz vezetve, medián és magasság.
Forduljunk az ABC rajzolására, amelyen az ABC egy napsugárzó háromszög, a hirdetés a felező.
Az AVD és az ACD háromszögei egyenlőségéből (2 jele a háromszögek egyenlősége: hirdetés - a teljes; az 1. és a 2. szögek megegyeznek 4. egyenlőség CD \u003d DC azt jelenti, hogy a dot D a nap középső oldala Ezért a hirdetés az ABC háromszög mediánja. Mivel a szögek 3 és 4 szomszédos és egyenlő egymással, egyenesek. Következésképpen az AO szakasza az ABC háromszög magassága is. Szid.
4. Ha egyenes párhuzamos -\u003e szög ... (választani)
5. Ha a szög ... ...-\u003e Közvetlen párhuzam (a kiválasztáshoz)
Ha két közvetlen szekció metszéspontjával a megfelelő szögek egyenlőek, akkor a közvetlen párhuzamosak.
Engedje meg, hogy a közvetlen A és B metszéspontja a megfelelő szögekkel egyenlő, például 1 \u003d 2.
Mivel a 2 és a 3. szög függőleges, akkor 2 \u003d 3. Ebből a két egyenlőtlenségből következik, hogy 1 \u003d 3. De az 1. és a 3. szög - a hazug növekedni fog, ezért az A és B párhuzamos irányvonalat irányítja. Szid.
6. A háromszög sarkai összegének tétele.
A háromszög sarkai összege 180 0.
Tekintsünk egy ABC tetszőleges háromszöget, és bizonyítsa, hogy a + b + c \u003d 180 0.
A csúcson keresztül az AU egyenes, párhuzamos oldalát hordozzuk. A szögek 1 és 4 gátolja a mögöttes szögek a metszéspontja párhuzamos egyenes vonalak A és az AS a vitorlás AB, és a szögek a 3. és 5. - gátolják a mögöttes sarkok átlépésekor azonos párhuzamos közvetlen világi Sun. Ezért (1) 4 \u003d 1; 5 \u003d 3.
Nyilvánvaló, hogy a 4., 2. és 5. szög összege megegyezik a csúcsot a csúcson, azaz 4 + 2 + 5 \u003d 180 0. Innen az esélyegyenlőség (1) tekintettel: 1 + 2 + 3 \u003d 180 0 vagy + b + c \u003d 180 0 .chtd.
7. A téglalap alakú háromszögek egyenlőségének vallása.
1. A párhuzamosság első jele.
Ha a fekvő szögek két egyenes harmadik belső részének metszéspontjával egyenlő, akkor ezek közvetlenül párhuzamosak.
Hagyja, hogy az egyenes AV és a CD-t keresztezze az EF és a ∠1 \u003d ∠2. Vegye ki az EF egység CL szegmensének közepét (ábra).
Az egyenes AV-re merőleges, és az egyenes CD-vel, AB ⊥ Mn-vel folytatjuk. Bizonyítjuk, hogy a CD ⊥ Mn.
Ehhez vegyen két háromszöget: az enyém és a NOK. Ezek a háromszögek egyenlőek egymással. Valójában: ∠1 \u003d ∠2 a tétel állapotával; OK \u003d OL - az építkezésen;
∠ml \u003d ∠NOK, mint a függőleges szögek. Így az egyik háromszög egymás melletti és két szomszédos szöge egyenlő az oldalsó és két szomszédos szög mellett; Ezért Δml \u003d Δnok, és innen és ∠lim \u003d ∠kno,
De ∠lo közvetlen, ez azt jelenti, és ∠kno is egyenesen. Így az egyenes AV és a CD-k merőlegesek ugyanarra a közvetlen MN-re, ezért párhuzamosak, amelyeket bizonyítani kellett.
Jegyzet. A közvetlen MO és CD metszéspontja a MOL háromszög forgatása a 180 ° -os pont körül.
2. A párhuzamosság második jellemzője.
Lássuk, hogy a közvetlen AV és CD-k párhuzamosak-e, ha a harmadik közvetlen ef metszéspontja megegyezik a megfelelő szögekkel.
Hagyja, hogy minden egyes szög egyenlő legyen, például ∠ 3 \u003d ∠2 (ábra);
∠3 \u003d ∠1, mint a függőleges szögek; Tehát ∠2 egyenlő ∠1-vel. De a 2 és az 1. szög a fekvő szögek belső hátulja, és már tudjuk, hogy ha két egyenes harmadik metszéspontjával a fekvő szögek belső szélei egyenlőek, akkor ezek a közvetlen párhuzamosak. Következésképpen, AV || CD.
Ha két egyenes harmadik megfelelő szög metszéspontja egyenlő, akkor ez a két egyenes párhuzam.
Ezen a tulajdonságon a párhuzamos közvetlen konstrukcióján alapul, egy vonalzó és a rajz háromszög segítségével. Ezt az alábbiak szerint végezzük.
Háromszöget alkalmazunk a vonalra, amint az az 1. ábrán látható. A háromszöget úgy fogjuk mozgatni, hogy az oldalsó csúszdák egyik oldala az uralkodó szerint, és a háromszög bármely más oldalán több egyenes vonalat tölt. Ezek a közvetlenek párhuzamosak lesznek.
3. A párhuzamosság harmadik jele.
Tudassa velünk, hogy két közvetlen AB és CD kereszteződésével a belső egyoldalas sarkok harmadik közvetlen összege 2 d. (vagy 180 °). Lesz közvetlen AV és CD párhuzamos (ábra).
Legyen ∠1 és ∠2-belső egyoldalas sarok és a 2 d..
De ∠3 + ∠2 \u003d 2 d.mint a szomszédos szögek. Következésképpen ∠1 + ∠2 \u003d ∠3 + ∠2.
Ezért a ∠1 \u003d ∠3, és ezek a sarkok belső mászik. Következésképpen, AV || CD.
Ha a belső egyoldalas sarkok két közvetlen harmadik összegének metszéspontjával egyenlő 2 d (vagy 180 °), akkor ez a két egyenes párhuzam.
Párhuzamos egyenes vonalak jelei:
1. Ha a fekvő szögek két egyenes harmadik belső részének metszéspontjával egyenlő, akkor ezek közvetlenül párhuzamosak.2. Ha két közvetlen harmadik megfelelő szög metszéspontja egyenlő, akkor ez a két egyenes párhuzam.
3. Ha a belső egyoldalas sarkok két közvetlen harmadik összegének metszéspontja 180 °, akkor ez a két egyenes párhuzam.
4. Ha két közvetlen a harmadik egyeneskel párhuzamosan, akkor ezek párhuzamosak egymással.
5. Ha két közvetlen merőleges a harmadik egyenes vonalra, akkor ezek párhuzamosak egymással.
Axióma párhuzamosság Euklida
Egy feladat. Az M ponton keresztül, a közvetlen AV-ből, egyenes vonalat, párhuzamos egyenes AV-t tölt el.
A közvetlen párhuzamosság jeleinek kihasználása a közvetlen párhuzamossági jelekről, lehetséges megoldani ezt a problémát különböző módon,
Döntés. 1. c p o c o b (Damn 199).
Végezzük el az MN⊥AV-t és az m ponton keresztül CD⊥MN-t végzünk;
kapunk cd⊥mn és av⊥mn.
A tétel alapján ("ha két közvetlen merőleges ugyanarra az egyenes vonalra, akkor párhuzamosak") arra a következtetésre jutunk, hogy CD || Av.
2. s p o s o b (Damn 200).
Végezzük el az MK-t, amely az AB-t átlépi az α-α szögben, és az M ponton keresztül egy közvetlen EF-et végezzünk, amely egy irányszöget képez, amely egy közvetlen MK-val rendelkezik. A tétel () alapján arra a következtetésre jutunk, hogy az ef || Av.
A feladat eldöntésével azt bizonyíthatjuk, hogy az M bármely ponton keresztül, amelyet a Direct AB-ből vettünk ki, közvetlenül, párhuzamosan költhetsz. A kérdés merül fel, hány közvetlen, ezzel párhuzamosan ezzel a közvetlen és ezen a ponton keresztül haladhat meg?
A konstrukciók gyakorlata lehetővé teszi, hogy feltételezzék, hogy csak egy ilyen közvetlen, mivel egy gondosan kivégzett rajz, a közvetlen, a közvetlen, ugyanolyan ponton keresztül, amely ugyanolyan közvetlen, egyesíti.
Elméletileg a megkérdezett kérdésre adott válasz az euklidea párhuzamosságának az úgynevezett axióma; A következőképpen van megfogalmazva:
Egy ponton keresztül, az egyenes vonalon kívül, csak egy egyenes, párhuzamosan töltheted ezt az egyenes vonalat.
A 201-es rajzon a közvetlen SC ponton keresztül, az egyenes AV-vel párhuzamosan.
Minden más egyenes, áthaladva az Ó, Ó, már nem lesz párhuzamos az egyenes AB-vel, de átlépi.
Az axióm "kezdetében" az euklid, amely azt állítja, hogy a síkon egy ponton keresztül, kivéve e közvetlen, csak egy egyenes, párhuzamos ezzel egyenes, hívott axióma párhuzamosság euklidea.
Az euklid után több mint két évezrede, sok matematikai tudós megpróbálta bizonyítani ezt a matematikai javaslatot, de mindig sikertelen volt. Csak 1826-ban, a nagy orosz tudós, a Kazan Egyetem, Nikolai Ivanovich Lobachevsky professzora bizonyította, hogy az összes többi EUClideas axiómák használatával lehetetlen olyan matematikai javaslatot bizonyítani, hogy valójában elfogadni kell az axiómot. N. I. Lobachevsky új geometriát hozott létre, amely ellentétben a geometriával az Euklid-ot, a Lobachevsky Geometry nevű.
Két egyenes vonal párhuzamának jelei
MEGJEGYZÉS 1. Ha két közvetlen szekció metszéspontjával:
az élő szögek egyenlőek, vagy
a megfelelő szögek egyenlőek, vagy
az egyoldalas sarok összege 180 °,
egyenes párhuzamos (1. ábra).
Bizonyíték. Az 1. eset bizonyítékát korlátozzuk.
Legyen az AV szakaszának közvetlen A és B metszéspontjával, az alapul szolgáló szögek egyenlőek. Például, ∠ 4 \u003d ∠ 6. Bizonyítjuk, hogy a || b.
Tegyük fel, hogy a közvetlen A és B nem párhuzamos. Aztán metszenek egy bizonyos ponton, és ezért az egyik 4 vagy 6 szög az AVM háromszög külső szöge lesz. Biztosítsuk ∠ 4-et - az AVM háromszög külső szögét, és ∠ 6 - belső. A háromszög külső szögének tételéből következik, hogy ∠ 4 több ∠ 6, és ez ellentétes az állapotával, ez azt jelenti, hogy a közvetlen A és 6 nem lehet metszeni, így párhuzamosak.
Corollary 1. Két különböző egyenes a síkon merőleges, ugyanazon egyenes, párhuzamos (2. ábra).
Megjegyzés. Az a módszer, amelyet az 1. tétel 1. esetének igazolására bizonyítottunk, a bizonyítékok módjától függ, vagy abszurditást okozhat. Az első név ezt a módszert érkezett, mert az érvelés elején azt feltételezzük, hogy az ellenkezője (ellentétes) mit kell bizonyítani. Az abszurditáshoz való hozzák az úgynevezett tény, hogy a feltételezés alapján vitatkozunk, nevetséges következtetésre jutunk (abszurd). Az ilyen kibocsátás megszerzése miatt elutasítja a feltételezést, és elfogadja azokat, amelynek be kellett bizonyítania.
1. feladat. Építsen egy egyenes vonalat, amely áthalad ezen a ponton, és ezzel párhuzamosan ezzel párhuzamosan, és nem halad át az M. ponton.
Döntés. Az M DERECT P ponton keresztül végezzük, hogy a (3) ábra irányába merőleges legyen.
Ezután töltsön át az M DERECT B ponton merőleges egyenes vonalra. Az egyenes B párhuzamos, hogy az A-t az 1. tétel következtében irányítsa.
A figyelembe vett feladattól fontos következtetés következik be:
olyan ponton keresztül, amely nem fekszik ezen a sorban, mindig egyenes párhuzamot tölthet.
A párhuzamos egyenes vonalak fő tulajdonsága a következő.
Axióma párhuzamos egyenes vonalak. Ezen a ponton, nem fekszik ezen a közvetlen, csak egy egyenes vonal, ezzel párhuzamosan.
Tekintsünk néhány párhuzamos egyenes vonalak tulajdonságait, amelyek követik ezt az axiomból.
1) Ha közvetlen keresztezi az egyik két párhuzamos egyenes vonalat, átmegy a másikra (4. ábra).
2) Ha két különböző közvetlen párhuzamos a harmadik egyenes vonallal, akkor ezek párhuzamosak (5. ábra).
A következő tétel is érvényes.
2. tétel, ha két párhuzamos egyenes kereszt van, akkor:
az élő szögek egyenlőek;
a megfelelő szögek egyenlőek;
az egyoldalas sarok összege 180 °.
Corollary 2. Ha a közvetlen két párhuzamos egyenes vonal valamelyikére merőleges, akkor merőleges a másikra (Lásd a 2. ábrát).
Megjegyzés. A 2. tételt a fordított tételnek nevezzük. Az 1. tétel következtetése az 1. tétel állapota 2. A tétel 1. tétele a 2. tétel következtetése. Nem minden tételnek van hátra, azaz ha ez a tétel helyes, a fordított tétel lehet helytelen.
Engedje meg ezt a példában a függőleges sarkok tételében. Ez a tétel a következőképpen fogalmazható meg: Ha két sarka függőleges, akkor egyenlőek. Az inverz tételek ilyenek lennének: ha két szög egyenlő, akkor függőlegesek. És ez természetesen helytelen. Két egyenlő sarka nem köteles függőlegesnek lenni.
1. példa. Két párhuzamos egyenes vonal keresztezett harmadik. Ismeretes, hogy a két belső egyoldalas sark közötti különbség 30 ° -kal egyenlő. Keresse meg ezeket a sarkokat.
Döntés. Hagyja, hogy a feltétel megfeleljen a 6. ábrának.
Ez a fejezet a párhuzamos egyenes vonalak tanulmányozására fordít. Úgynevezett két egyenesek olyan repülőgépeken, amelyek nem metszenek. A környezetben látható párhuzamos egyenes vonalak szegmensei - ezek a négyszögletes asztal két éle, két könyv borítójának két éle, két trolibuszbusz rúd, stb. Ebben a fejezetben megtudhatja, hogy milyen geometriai axiómák és mi a párhuzamos egyenes vonalak axióma - a geometria egyik leghíresebb tengelye.
Az (1) bekezdésben megjegyeztük, hogy két egyenes vonalnak van egy közös pontja, vagyis metszi, vagy nincs egyetlen közös pontja, azaz nem metszi.
Meghatározás
A közvetlen A és B párhuzamosság: a || b.
A 98. ábra egyenes A és B merőleges egyenes vonalra merőleges. A (12) bekezdésben azt találtuk, hogy az ilyen közvetlen A és B nem metszi, vagyis párhuzamosak.
Ábra. 98.
A párhuzamos egyenes, párhuzamos szegmensekkel együtt gyakran figyelembe veszik. Két szegmenst hívnak párhuzamosHa párhuzamos egyenes vonalakon fekszenek. A 99. ábrán és az AV és a CD szegmensei párhuzamosak (AV || CD), és az MN és a CD szegmensei nem párhuzamosak. Hasonlóképpen, a szegmens és egyenes párhuzamosság (99., B), gerenda és egyenes, vágott és gerenda, két sugara (99. ábra, b) meghatározásra kerülnek.
Ábra. 99.Két egyenes vonal párhuzamának jelei
Közvetlen c hívott eladás A közvetlen A és B-hez viszonyítva, ha két ponton áthalad (100. ábra). Átlépésekor az egyenes vonalak, a szekvenciális C képződik nyolc szögek, amelyek ábrán 100 számok jelölik. Ezeknek a szögek párjai különleges nevekkel rendelkeznek:
alacsony szögek: 3 és 5, 4 és 6;
egyoldalas sarok: 4. és 5., 3. és 6.;
a megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7.
Ábra. 100
Tekintsünk három párhuzamosság három jelét, amelyek kettő kapcsolódnak ezekkel a sarkokkal.
Temető
Bizonyíték
Legyen az AV szakaszának közvetlen A és B metszéspontjával, az alapul szolgáló szögek egyenlőek: ∠1 \u003d ∠2 (101. ábra, A).
Bizonyítjuk, hogy a || b. Ha az 1. és 2. szög egyenes (101 ábra, b), akkor a közvetlen A és B merőleges az egyenes AV-re, és ezért párhuzamosak.
Ábra. 101.
Fontolja meg az esetet, ha az 1. és a 2. szög nem közvetlen.
Az AV szegmens közepétől merőleges, hogy irányítsa a (101. ábra, b). Egy egyenes vonalon a POINT POINT POINT POINT A POSTPONE a VN 1, megegyezik az A szegmensével, amint azt a 101. ábrán mutatja, és töltse ki a szegmenst, 1. Háromszögek, és 1 b egyenlő két oldal és a sarok közöttük (JSC \u003d C, an \u003d vn 1, ∠1 \u003d ∠2), ezért ∠3 \u003d ∠4 és ∠5 \u003d ∠6. Az esélyegyenlőségből ∠3 \u003d ∠4 Ebből következik, hogy a H 1 pont a sugár folytatásánál fekszik, azaz a H, O és H 1 pontok egy egyenes vonalon fekszenek, és az egyenlőségből ∠5 \u003d ∠6 következik, hogy a szög 6 - Közvetlen (mivel a szög 5 - egyenes). Tehát egyenes A és B merőleges a közvetlen HH 1-re, ezért párhuzamosak. A tétel bizonyítható.
Temető
Bizonyíték
Hagyjuk, hogy a készülék közvetlen A és B metszéspontja a megfelelő szögekkel egyenlő, például ∠1 \u003d ∠2 (102. ábra).
Ábra. 102.
Mivel a 2 és a 3. szög függőleges, akkor ∠2 \u003d ∠3. Ebből a két egyenlőtlenségből következik, hogy ∠1 \u003d ∠3. De az 1. és 3. szög - a hazug, így egyenes A és B párhuzamos. A tétel bizonyítható.
Temető
Bizonyíték
A készülék közvetlen A és B metszéspontjával az egyoldalas sarkok összegével 180 °, például ∠1 + ∠4 \u003d 180 ° (lásd a 102. ábrát).
Mivel a 3 és 4 szög szomszédos, akkor ∠3 + ∠4 \u003d 180 °. Ebből a két egyenlőtlenségből következik, hogy az 1. és 3. ábrák áthaladása egyenlő, így az egyenes A és B párhuzamos. A tétel bizonyítható.
Gyakorlati módja párhuzamos egyenes vonalak építése
A vonalak párhuzamosságának jelei aláhúzták a párhuzamos irányítás módszereit a gyakorlatban használt különböző eszközök segítségével. Fontolja meg például a párhuzamos egyenes vonalak építésére rajzkészlet és vonalzó segítségével. Az M ponton áthaladó egyenes vonal megteremtése, és ezzel párhuzamosan egy rajzkészletet készítünk egy egyenes vonalhoz, és a vonal a 103. ábrán látható. Ezután a szén áthelyezése a vonal mentén , elérni fogja az M pontot, hogy a szén oldalán legyen, és irányítsa a Direct b-t. Egyenes A és B párhuzamos, mivel a 103. ábrán látható megfelelő szögek α és β betűk egyenlőek.
Ábra. 103. Ábra 104 mutatja egy eljárást párhuzamosan közvetlen a Reiser. Így használja az öröklési gyakorlatot.
Ábra. 104. Hasonló módszert alkalmazunk az asztalosmunka végrehajtása során, ahol Malka (két fa deszka, a csuklópánt által rögzített, 105. ábra) párhuzamos közvetlen közvetlen vonalak megjelölésére szolgál.
Ábra. 105.
Feladatok
186. A 106. ábrát egyenes A és B keresztezi közvetlenül. Bizonyítsuk be, hogy a || b Ha:
a) ∠1 \u003d 37 °, ∠7 \u003d 143 °;
b) ∠1 \u003d ∠6;
c) ∠l \u003d 45 °, és egy szög 7 háromszor nagyobb szög 3.
Ábra. 106.
187. A 107. ábra szerint igazolja, hogy az AV || De.
Ábra. 107.
188. Az AB és a CD csökkentése a közös közepén metszi. Bizonyítsuk be, hogy a közvetlen hangszórók és a BD párhuzamosak.
189. A 108 rajzadatok használata, bizonyítsa ezt a napot || HIRDETÉS.
Ábra. 108.
190. ábra 109. ábra \u003d nap, ad \u003d de, ∠c \u003d 70 °, ∠eac \u003d 35 °. Bizonyítsuk be, hogy de || Au.
Ábra. 109.
191. Cuck bisekesktris abs háromszög. A K pont után egyenes vonal, amely a repülőgép oldalán áthalad az M ponton, hogy VM \u003d mk-t végezték. Bizonyítsuk be, hogy a közvetlen km és az AV párhuzamos.
192. Az ABS háromszögben az A szög 40 °, és a szög mindegyike a DC 80 ° szöge szomszédságában van. Bizonyítsuk be, hogy a sarok felemelője párhuzamos a közvetlen AV-vel.
193. Az ABC ∠A \u003d 40 °, ∠B \u003d 70 ° -os háromszögben. A csúcson keresztül egy közvetlen BD-t végeztünk úgy, hogy az ABD szög bisecte gerendája legyen. Bizonyítsuk be, hogy a közvetlen hangszórók és a BD párhuzamosak.
194. Tervezzen egy háromszöget. A háromszög minden csúcsán keresztül egy rajzkészlet és egy vonalzó segítségével egyenes párhuzamos ellentétes oldalt tölt el.
195. utasítsa az ABC háromszöget, és jelölje meg a D pontot a hangszóróban. Egy D ponton keresztül rajzoló konyhával és vonalzóval, közvetlen, párhuzamos a háromszög két másik oldalával.
III. Fejezet.
Párhuzamos egyenes
§ 35. Két egyenes vonal párhuzamának jelei.
Az egy egyenes vonalra merőleges tétel párhuzamos (33. §), amely két egyenes vonal párhuzamosságát jelzi. A két egyenes vonal párhuzamosságának általánosabb jeleit vonhatja vissza.
1. A párhuzamosság első jele.
Ha a fekvő szögek két egyenes harmadik belső részének metszéspontjával egyenlő, akkor ezek közvetlenül párhuzamosak.
Hagyja, hogy az AV és a CD keresztezi az EF-et és / 1 = / 2. Vegyük a pontot az EF egység CL szegmensének közepére (189-es rohadt).
Az egyenes AV-re merőleges helyről csökkentünk, és továbbra is egyenes CD-vel, AV_ | _mn. Bizonyítjuk, hogy mind a CD_ | _mn.
Ehhez vegyen két háromszöget: az enyém és a NOK. Ezek a háromszögek egyenlőek egymással. Valóban: /
1 = /
2 feltétel-tétel szerint; OK \u003d OL - az építkezésen;
/
MOL \u003d. /
Nock, mint a függőleges szögek. Így az egyik háromszög egymás melletti és két szomszédos szöge egyenlő az oldalsó és két szomszédos szög mellett; ennélfogva, /\
MOL \u003d. /\
Nok, és így és
/
Lmo \u003d /
Kno, nem. /
LMO közvetlen, ez azt jelenti /
Kno egyenesen is. Így a közvetlen AB és a CD merőleges ugyanabba a közvetlen MN-re, ezért párhuzamosan (33. §), amelyet bizonyítani kellett.
Jegyzet. A közvetlen MO és CD metszéspontja a MOL háromszög forgatása a 180 ° -os pont körül.
2. A párhuzamosság második jellemzője.
Lássuk, hogy a közvetlen AV és CD-k párhuzamosak-e, ha a harmadik közvetlen ef metszéspontja megegyezik a megfelelő szögekkel.
Hagyja, hogy minden egyes szög egyenlő legyen, például /
3 = /
2 (190-es átkozott);
/
3 = /
1, mint a függőleges sarkok; azt jelenti /
2 egyenlő lesz /
1. de a szögek, 2 és 1 a belső hátsó a mögöttes szögek, és már tudjuk, hogy ha a kereszteződés két egyenes harmadik belső részeket a mögöttes szögek egyenlők, akkor ezeket közvetlenül párhuzamosan. Következésképpen, AV || CD.
Ha két egyenes harmadik megfelelő szög metszéspontja egyenlő, akkor ez a két egyenes párhuzam.
Ezen a tulajdonságon a párhuzamos közvetlen konstrukcióján alapul, egy vonalzó és a rajz háromszög segítségével. Ezt az alábbiak szerint végezzük.
A vonalat háromszöget készítünk, mivel a 191-es rajzon látható. A háromszöget úgy mozgatjuk, hogy az oldalsó csúszkák egyik oldala az uralkodó szerint, és a háromszög bármely másik oldalán több egyenes vonalat tölt el. Ezek a közvetlenek párhuzamosak lesznek.
3. A párhuzamosság harmadik jele.
Tudassa velünk, hogy két közvetlen AB és CD kereszteződésével a belső egyoldalas sarkok harmadik közvetlen összege 2 d. (vagy 180 °). Lesz-e közvetlen AV és CD párhuzam (Damn 192).
Legyen /
1 I. /
2-belső egyoldalú szögek és összesen 2 d..
De /
3 + /
2 = 2d.mint a szomszédos szögek. Ennélfogva, /
1 + /
2 = /
3+ /
2.
Innen / 1 = / 3, és ezek a sarkok belső lezárások fekvő. Következésképpen, AV || CD.
Ha a belső egyoldalas sarkok két közvetlen harmadik összegének metszéspontjával egyenlő 2 d, majd ez a két egyenes párhuzam.
A feladat.
Bizonyítsuk be, hogy egyenes párhuzamok:
a) Ha a külső kereszteződések az alapul szolgáló szögek egyenlőek (Jellemzők 193);
b) Ha a külső egyoldalas sarok összege 2 d. (Damn 194).
