A forgatással képzett hurok felületének kiszámítása. Hogyan találjuk meg a forradalom felületét integrál segítségével. Határozott integrál alkalmazásai egyes mechanikai és fizikai problémák megoldásában
Mielőtt rátérnénk a forgásfelület területére vonatkozó képletekre, röviden megfogalmazzuk magát a forgásfelületet. A forradalom felülete, vagy ami ugyanaz - a forradalomtest felülete - egy szegmens elforgatásával kialakuló téralak AB görbe a tengely körül Ökör(kép lent).
Képzeljünk el egy görbe vonalú trapézt, amelyet felülről határol a görbe említett szakasza. Ennek a trapéznek az azonos tengely körüli forgásával létrejött test Ökör, és van egy test forradalom. A forgásfelület vagy a forgástest felületének területe pedig a külső héja, nem számítva az egyenes vonalak tengelye körüli forgásból képzett köröket x = aés x = b .
Figyeljük meg, hogy a forgástestet és ennek megfelelően felületét úgy is kialakíthatjuk, hogy az ábrát nem a tengely körül forgatjuk Ökör, és a tengely körül Oy.
A forgásfelület téglalap alakú koordinátákkal megadott területének kiszámítása
Hagyjuk a síkon a téglalap koordinátákat az egyenlet alapján y = f(x) egy görbe adott, melynek a koordinátatengely körüli forgását egy forgástest alkotja.
A forradalom felületének kiszámítására szolgáló képlet a következő:
(1).
1. példa Határozzuk meg a tengely körüli forgás által létrehozott paraboloid felületét Ökör a változásnak megfelelő parabola íve x tól től x= 0-tól x = a .
Megoldás. Adjuk meg explicit módon a parabola ívét meghatározó függvényt:
Keressük ennek a függvénynek a deriváltját:
Mielőtt a forgásfelület meghatározására szolgáló képletet használnánk, felírjuk az integrandusának azt a részét, amely a gyök, és behelyettesítjük az ott talált deriváltot:
Válasz: a görbe ívének hossza a
.
2. példa Keresse meg a tengely körüli forgásfelületet Ökör astroidák.
Megoldás. Elegendő az astroid első negyedben elhelyezkedő egyik ágának forgásából adódó felületet kiszámítani, és megszorozni 2-vel. Az astroid egyenletből kifejezetten kifejezzük azt a függvényt, amelyet be kell cserélnünk a képletben keresse meg a forgási területet:
.
Az integrációt 0-tól hajtjuk végre a:
Parametrikusan megadott forgásfelület területének kiszámítása
Tekintsük azt az esetet, amikor a forgásfelületet alkotó görbét a paraméteres egyenletek adják meg
Ezután a forradalom felületét a képlet alapján számítjuk ki
(2).
3. példa Keresse meg a forgásfelület területét, amelyet egy tengely körüli forgás alkot Oy cikloid és egyenes által határolt ábra y = a... A cikloidot paraméteres egyenletek adják meg
Megoldás. Keressük meg a cikloid és az egyenes metszéspontját! A cikloid egyenlet egyenlővé tétele 
és az egyenes egyenlete y = a, Meg fogjuk találni
Ebből az következik, hogy az integráció határai megfelelnek
Most alkalmazhatjuk a (2) képletet. Keressük a származékokat:
Írjuk be a gyök kifejezést a képletbe, behelyettesítve a talált származékokat:
Keressük ennek a kifejezésnek a gyökerét:
.
Helyettesítsd be a (2) képletben talált értéket:
.
Végezzük el a helyettesítést:
És végül megtaláljuk
A kifejezések transzformációjában trigonometrikus képleteket használtunk
Válasz: a forgási felület egyenlő.
A forgásfelület poláris koordinátában megadott területének kiszámítása
Adjuk meg polárkoordinátákkal azt a görbét, amelynek elforgatásával a felület keletkezik.
Üdvözlöm, kedves Argemona Egyetem hallgatói!
Ma folytatjuk a tárgyak materializálásának megtanulását. Legutóbb lapos formákat forgattunk, és 3D testeket kaptunk. Némelyikük nagyon csábító és hasznos. Azt gondolom, hogy a bűvész által kitalált sok hasznosítható lesz a jövőben.
Ma elforgatjuk a görbéket. Nyilvánvaló, hogy így valamilyen nagyon vékony szélű tárgyat kaphatunk (kúp vagy üveg bájitalokhoz, váza virágokhoz, pohár italokhoz stb.), mert egy forgó görbe pont ilyen tárgyakat hozhat létre. . Vagyis a görbe elforgatásával valamilyen felületet kaphatunk - minden oldalról zárt vagy sem. Miért éppen most jutott eszembe a szivárgó tál, amelyből Sir Shurf Loneley-Lockley egész idő alatt ivott.
Tehát létrehozunk egy szivárgó és egy nem lyukas tálat, és kiszámítjuk a létrehozott felület területét. Azt hiszem, valamiért (általában a felületre) szükség lesz rá - nos, legalábbis speciális varázsfesték felviteléhez. Másrészt a mágikus tárgyak területére szükség lehet a rájuk ható mágikus erők kiszámításához, vagy valami máshoz. Megtanuljuk megtalálni, és megtaláljuk, hol alkalmazzuk.
Tehát a tál formája egy darab parabolát adhat nekünk. Vegyük az intervallum legegyszerűbb y = x 2 értékét. Látható, hogy ha az OY tengely körül forgatja, csak egy tálat kapunk. Nincs alsó.
A forgási felület kiszámításának varázslata így néz ki:
Itt | y | a távolság a forgástengelytől a görbe bármely forgó pontjáig. Mint tudod, a távolság merőleges.
Egy kicsit nehezebb a varázslat második eleme: ds az ívkülönbség. Ezek a szavak nem adnak nekünk semmit, ezért nem fogunk vesződni, hanem áttérünk a képletek nyelvére, ahol ez a különbség minden általunk ismert esetre kifejezetten fel van tüntetve:
- Derékszögű koordinátarendszer;
- görbe rögzítése parametrikus formában;
- poláris koordináta-rendszer.
Esetünkben a forgástengely és a görbe bármely pontja közötti távolság x. Figyelembe vesszük a kapott szivárgó tál felületét:
Egy aljú tál elkészítéséhez egy másik darabot kell venni, de más görbülettel: az intervallumon ez az y = 1 egyenes.
Nyilvánvaló, hogy amikor az OY tengely körül forog, akkor a tál alját egységsugarú kör formájában kapja meg. És tudjuk, hogyan számítják ki a kör területét (a pi * r ^ 2 képlet szerint. Esetünkben a kör területe egyenlő lesz pi-vel), de kiszámoljuk egy új képlet - az ellenőrzéshez.
A forgástengely és a görbe bármely pontja közötti távolság szintén x.
Nos, számításaink helyesek, ami tetszik.
És most házi feladat.
1. Határozza meg az ABC szaggatott vonal ОХ tengely körüli elforgatásával kapott felület területét, ahol A = (1; 5), B = (1; 2), C = (6; 2).
Tanács. Írja fel az összes szegmenst parametrikus formában.
AB: x = 1, y = t, 2≤t≤5
BC: x = t, y = 2, 1≤t≤6
Egyébként hogyan néz ki a kapott elem?
2. Most találj ki valamit magad. Három tétel szerintem elég lesz.
Ezért egyenesen az alapfogalmakra és a gyakorlati példákra térek ki.
Nézzünk egy lakonikus képet
És ne feledje: mi alapján lehet kiszámítani határozott integrál ?
Először is természetesen ívelt trapéz alakú terület ... Iskolai időkből ismerős.
Ha ez az ábra a koordináta tengelye körül forog, akkor már megtalálásról beszélünk a forradalom testének térfogata ... Egyszerű is.
Mi más? Nem is olyan régen tartották ívhossz probléma .
És ma megtanuljuk, hogyan kell kiszámítani egy további jellemzőt - még egy területet. Képzeld el, hogy a vonal forog a tengely körül. Ennek a műveletnek az eredményeként egy geometriai alakzatot kapunk, ún forradalom felülete... Ebben az esetben egy ilyen fenék nélküli edényhez hasonlít. És fedél nélkül. Ahogy a szamár Eeyore mondaná, szívszorító látvány =)
A félreérthető értelmezés kizárására egy unalmas, de fontos pontosítást teszek:
geometriai szempontból a mi „fazékunknak” van végtelenül vékony fal és kettő azonos területű felületek - külső és belső. Tehát minden további számítás magában foglalja a területet csak a külső felület.
Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a forradalom felületét a következő képlettel számítják ki:
vagy ha kompaktabb: 
.
A függvényre és származékára ugyanazok a követelmények vonatkoznak, mint a keresésnél ív ívhosszai
, de emellett a görbét el kell helyezni felett tengely. Ez elengedhetetlen! Könnyű megérteni, hogy ha a vonal található alatt tengely, akkor az integrandus negatív lesz : 
, ezért a képlethez mínuszjelet kell adni, hogy megőrizzük a feladat geometriai jelentését.
Vegyünk egy méltatlanul figyelmen kívül hagyott ábrát:
A tórusz felülete
Dióhéjban, tórusz egy fánk... Egy tankönyvpélda, amelyet szinte az összes matán tankönyvben figyelembe vettek, a megtalálásnak szentelték hangerő tórusz, ezért a változatosság kedvéért elemzem a ritkább problémát felülete... Először konkrét számértékekkel:
1. példa
Számítsa ki a kör elforgatásával kapott tórusz felületét! 
a tengely körül.
Megoldás: mint tudod, az egyenlet 
kérdi kör
egységsugár egy pontban középre állítva. Ennek ellenére könnyen beszerezhető két funkció: 
- beállítja a felső félkört; 
- beállítja az alsó félkört: 
A lényeg kristálytiszta: kör az abszcissza tengelye körül forog és formál felület fánk. Az egyetlen dolog itt, a durva fenntartások elkerülése érdekében, legyen óvatos a terminológiában: ha forog egy kör körrel határolják 
, kapsz egy geometriai test, vagyis magát a fánkot. És most beszéljen a területéről felület, amelyet nyilvánvalóan a területek összegeként kell kiszámítani:
1) Határozza meg a felületet, amelyet a "kék" ív elforgatásával kapunk 
az abszcissza tengely körül. A képletet használjuk 
... Ahogy már többször is tanácsoltam, kényelmesebb a műveleteket szakaszosan végrehajtani:
Vegyük a függvényt 
és találd meg őt derivált
:
És végül töltse be az eredményt egy képletbe: 
Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben racionálisabbnak bizonyult páros függvény integráljának kétszerese a döntés során, nem pedig előzetes okoskodás az ábra ordinátatengelyhez viszonyított szimmetriájáról.
2) Határozza meg a felületet, amelyet a "piros" ív elforgatásával kapunk 
az abszcissza tengely körül. Valójában minden tevékenység csak egy jelben különbözik. Más stílusban fogom megtervezni a megoldást, aminek természetesen az élethez is joga van: 
3) Így a tórusz felülete:
Válasz:
A probléma általános módon megoldható - kiszámítja a tórusz felületét, amelyet az abszcissza tengely körüli kör elforgatásával kapunk, és megkapja a választ 
... Az áttekinthetőség és a nagyobb egyszerűség kedvéért azonban meghatározott számokon futtattam a megoldást.
Ha magának a fánk térfogatát kell kiszámítania, használja a tankönyvet kifejezett hivatkozásként: 
Az elméleti megjegyzés szerint a felső félkört tekintjük. "Kirajzolódik", ha a paraméter értéke belül változik (ez könnyen belátható 
ezen az intervallumon), így:
Válasz:
Ha általános formában oldja meg a problémát, akkor pontosan megkapja az iskolai képletet egy gömb területének, ahol a sugara van.
Valami bántott egy egyszerű feladatot, még szégyelltem is magam… Azt javaslom, javítsd ki ezt a hibát =)
4. példa
Számítsa ki a cikloid első ívének tengely körüli elforgatásával kapott felületet!
A feladat kreatív. Próbáljon következtetni vagy intuitív módon kitalálni a görbe ordináta tengelye körüli elforgatásával kapott felület kiszámításának képletét. És természetesen ismét meg kell jegyezni a parametrikus egyenletek előnyét - semmilyen módon nem kell módosítani őket; nem kell az integráció egyéb korlátainak megtalálásával foglalkozni.
A cikloid gráf megtekinthető a oldalon Terület és térfogat, ha a vonal paraméteresen van megadva ... A forgás felülete hasonlítani fog... nem is tudom mihez hasonlítani... valami földöntúlihoz - kerek formához, középen hegyes mélyedéssel. A cikloid tengely körüli forgásának esetére azonnal az asszociáció jutott eszembe - egy hosszúkás labda a rögbihez.
Megoldás és válasz a lecke végén.
Lenyűgöző áttekintésünket egy esettel zárjuk poláris koordináták ... Igen, csak egy áttekintés, ha megnézi a matematikai elemzésről szóló tankönyveket (Fichtengolts, Bokhan, Piskunov, más szerzők), tucatnyi (vagy akár észrevehetően több) szabványos példát kaphat, amelyek között lehet, hogy van egy probléma, amire szüksége van.
Hogyan számítsuk ki a forradalom felületét,
ha az egyenes polárkoordináta-rendszerben van megadva?
Ha a görbe a poláris koordináták
egyenletet, és a függvénynek egy adott intervallumban folytonos deriváltja van, akkor ennek a görbének a poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet a képlet számítja ki 
, ahol a görbe végeinek megfelelő szögértékek vannak.
A feladat geometriai jelentésének megfelelően az integrand függvény 
, és ez csak a feltételek mellett érhető el (és természetesen nem negatívak). Ezért figyelembe kell venni a szög értékeit a tartományból, más szóval a görbét el kell helyezni felett poláris tengely és annak folytatása. Mint látható, a történet ugyanaz, mint az előző két bekezdésben.
5. példa
Számítsa ki a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kialakuló felületet!
Megoldás: ennek a görbének a grafikonja megtekinthető a lecke 6. példájában poláris koordináta-rendszer ... A kardioid szimmetrikus a poláris tengelyre, ezért a felső felét tekintjük az intervallumban (ami valójában a fenti megjegyzésnek köszönhető).
A forgás felülete bikaszemhez fog hasonlítani.
A megoldás technikája szabványos. Keressük meg a származékot a "phi"-re vonatkozóan:
Állítsuk össze és egyszerűsítsük a gyökeret:
Remélhetőleg számfelesleggel
Példa: Határozzuk meg egy sugarú gömb térfogatát R.
A golyó keresztmetszetein változó y sugarú köröket kapunk. Az aktuális x-koordinátától függően ezt a sugarat a képlet fejezi ki.
Ekkor a keresztmetszeti területek függvénye a következőképpen alakul: Q (x) =.
Megkapjuk a labda térfogatát:
Példa: Határozzuk meg egy H magasságú és alapterületű tetszőleges gúla térfogatát! S.
 |
Amikor a piramis metszi a magasságra merőleges síkokat, a metszetben az alaphoz hasonló alakzatokat kapunk. Ezen számok hasonlósági együtthatója megegyezik az aránnyal x / H , ahol x a metszetsík és a gúla teteje közötti távolság.
A geometriából ismert, hogy a hasonló ábrák területének aránya egyenlő a hasonlósági együttható négyzetével, azaz.
Innen megkapjuk a keresztmetszeti területek függvényét:
Keresse meg a piramis térfogatát: 
A forradalom testeinek térfogata.
Tekintsük az egyenlet által adott görbét y = f (x ). Tegyük fel, hogy a függvény f (x ) folyamatos a [ szegmensen a, b ]. Ha a megfelelő görbe vonalú trapéz a és alapjaival b forgatjuk az Ox tengelye körül, akkor kapjuk az ún forradalom teste.
y = f (x)
A forradalom testének felülete.
M i B
Meghatározás: A forradalom felszíne Az e tengely körüli AB görbét annak a határnak nevezzük, amelyre az AB görbébe írt sokszögvonalak forgásfelületeinek területei hajlanak, mivel ezen sokszögvonalak láncszemeinek hossza közül a leghosszabb nullára hajlik.
Az AB ívet felosztjuk n rész M 0, M 1, M 2, ..., M n pontok szerint ... A kapott vonallánc csúcsainak koordinátáinak vannak koordinátái x i és y i ... Amikor a vonallánc a tengely körül forog, egy csonka kúpok oldalfelületeiből álló felületet kapunk, amelynek területe D P i ... Ezt a területet a képlet határozza meg:
