≡× MENÜ

• Szivattyúk
• Szűrők a tisztításhoz
• Kútfúrás
• Fúrólyuk-szivattyúk
• Wells

A kifejezés nem lesz ítélet. Az ítélet mint gondolkodás egyik formája. A logika törvényei és a helyes gondolkodás elvei. Az ítéletek a kimondás típusa szerint

Bár a velük végzett műveletek nagyon fontosak és mindenütt jelen vannak, önmagukban nem képeznek érvelést. Ebben a leckében csak egyre közelebb kerülünk ahhoz a témához, hogy miként kell helyesen érvelni. Az okfejtést a szillogisztika példáján keresztül vizsgáljuk meg. A szillogisztika a legősibb logikai rendszer. Őt találták fel ókori görög filozófus Arisztotelész a Kr. E. 4. században. Eddig is az egyik legérthetőbb, a természetes nyelvhez közel álló és könnyen tanulmányozható logikai rendszer. Az egyik fő előnye, hogy különösebb erőfeszítés nélkül használható mindennapi helyzetekben.

Ítéletek és nyilatkozatok

Mi az érvelés? Mondhatnánk: következtetés, következtetés, elmélkedés, bizonyítás stb. Mindez igaz, de talán a legkézenfekvőbb válasz az lenne: az érvelés olyan ítéletek sorozata, amelyet ideális esetben a logika szabályai szerint kell összekapcsolni egymással. Ezért a helyes érvelés tanításának azzal kell kezdődnie, hogy melyek az ítéletek és hogyan kell azokat helyesen használni.

Ítélet az a gondolat, hogy megerősítenek vagy cáfolnak egy bizonyos helyzetet a világon.

Természetes nyelven az ítéleteket deklaratív mondatokkal vagy kimondásokkal közvetítik. Példák a nyilatkozatokban kifejezett ítéletekre: "Eljött az ősz", "Katya nem tud angolul", "Imádok olvasni", "A fű zöld, az ég pedig kék". Egy és ugyanaz az ítélet különböző kijelentések segítségével fejezhető ki, különösen: "Az ég kék" és a "Theskyisblue" különböző állítások, de ugyanazt az ítéletet fejezik ki, mivel ugyanazt a gondolatot közvetítik. Hasonlóképpen, a „senki sem hagyta el otthon” és a „mindenki otthon maradt” mondatok különböznek, de ugyanazt az ítéletet adják.

Mivel az ítéletek útján tett kijelentések a fogalmakkal és a definíciókkal ellentétben rögzítik a világ bizonyos helyzetét, igazságosságuk és hamisságuk alapján értékelhetjük őket. Tehát a „Bill Gates megalapította a Microsoftot” mondás igaz, de a „Lila narancs” mondás hamis.

Az ábrák következetesen ábrázolják a kapcsolatokat: metszéspont, komplementaritás, alárendelés, egyenlő volumen és fordított alárendelés. Az első három képpel mindennek nagyon világosnak kell lennie: egyértelmű, hogy az S és P kifejezések kötetei keresztezik egymást, ezért a kereszteződés területén vannak olyan elemek, amelyek egyszerre rendelkeznek mind az S, mind a P tulajdonságokkal. ilyen típusú állítások: "Egyes színészek jól énekelnek", "Néhány millió alatti árú autó több mint hatszázezerbe kerül", "Néhány gomba ehető".

Ami az egyenlő volumenű és a kölcsönös alárendeltség összefüggéseit illeti, felmerülhet a kérdés, hogy miért jelentik az adott megerősítő állítások igazságfeltételeit is, ha az őket jelölő képek egyértelműen azt mutatják, hogy nemcsak egyes S-ek P, hanem mind S-k. Igaz, természetes a nyelv arra az elképzelésre késztet bennünket, hogy ha néhány S P, akkor vannak más S-k, amelyek nem P: egyes gombák ehetők, mások ehetetlenek. A logikusok számára ez a következtetés téves. A "Néhány S jelentése P" állításból lehetetlen levonni azt a következtetést, hogy egyes S nem P. De az "All S P" állításból arra következtethetünk, hogy néhány S P, mert ha valami igaz a a kifejezés kötetének minden eleme, akkor ez egyes egyes elemekre igaz lesz. Ezért a szillogisztikában a "néhány" szót a "legalább néhány", de nem a "csak néhány" jelentésben használják. Így az "Az összes páfrány spóránként tenyészik" állításból biztonságosan levezethető a "Néhány páfrány spóránként tenyészik" és az "Az ötödik osztályos tanulók úttörők" állításból - a "Néhány ötödik osztályos diák úttörő".

Különösen az igenlő állítások hamisak, ha az S és P kifejezések ellentmondással vagy alárendeltséggel állnak kapcsolatban: "Egyes traktorok repülőgépek", "Néhány hamis állítások igazak".

Néhány S nem P, akkor igaz, ha az S és P kifejezések a következők:

Ezek a kapcsolatok: metszéspont, komplementaritás, befogadás, ellentmondás és alárendeltség. Nyilvánvaló, hogy az első három összefüggés egybeesik azzal, ami bizonyos megerősítő állításokra is igaz volt. Mindegyik csak azokat az eseteket reprezentálja, amikor néhány S értéke P, ugyanakkor S nem P. Példák ilyen igaz állításokra: "Néhány egészséges ember nem iszik alkoholt", "Néhány negyven év alatti munkavállalónk még nem érték el a huszonöt éves kort "," Néhány fa nem örökzöld ".

Ugyanazon okokból, amelyek miatt az azonos volumenű és a kölcsönös alárendeltségi viszonyok valódi feltételek voltak bizonyos állításokhoz, az ellentmondás és az alárendeltség kapcsolata igaz lesz a részben negatív állításokra is. A "Néhány S nem P" formájú állításból lehetetlen logikusan levezetni a "Néhány S-t P" állítást. Az „összes S nem P” állításból azonban elmehetünk a „Néhány S nem P” állításra, mivel az S és P kifejezések kötetének összes eleméről rendelkezésünkre álló információk alapján következtetéseket vonhatunk le egyes képviselőikről. Ezért az állítások igazak lesznek: "Néhány magazin nem könyv", "Néhány bolond nem okos" stb.

A részben negatív állítások csak akkor lesznek hamisak, ha az S és P kifejezések azonos térfogatú és kölcsönös alárendeltségi viszonyban vannak. Példák hamis állításokra: "Néhány hal nem tud lélegezni a víz alatt", "Néhány alma nem gyümölcs."

Megtudtuk tehát, hogy az egyik vagy másik forma állításai milyen feltételek mellett lesznek igazak és hamisak. Ugyanakkor világossá vált, hogy az állítások logikai szempontból való igazsága és valótlansága nem mindig esik egybe intuitív elképzeléseinkkel. Néha első pillantásra az azonos állításokat teljesen más módon értékelik, mivel különböző logikai formákat rejtenek, és ezért különböző kapcsolatokat tartalmaznak a bennük szereplő kifejezések között. Fontos megjegyezni ezeket az igazságfeltételeket. Jól fognak jönni, amikor a következő leckében megtanuljuk, hogyan tegyük az állításokat az érvelés láncolatába, és megpróbálunk olyan következtetési formákat találni, amelyek mindig helyesek lesznek.

Állítsa be a kereszteződés játékát

Ebben a gyakorlatban gondosan el kell olvasnia a feladat szövegét, és helyesen kell elrendeznie a fogalmaknak megfelelő halmazokat.

Feladatok

Olvassa el a következő kategorikus attribútív állításokat. Határozza meg, hogy milyen típusúak. Használja a diagramokat, hogy igazak vagy hamisak legyenek.

• Minden, ami valóságos, ésszerű, minden, ami ésszerű, az valóságos.
• A só méreg.
• A méreg só.
• Minden zenésznek jó a füle.
• Néhány zenésznek jó a füle.
• Minden jó hallású ember zenész.
• Néhány jó hallású ember zenész.
• Néhány vámpír elkésett a munkából.
• A farkasok egyfajta vérfarkasok.
• Minden kerek négyzetnek nincs sarka.
• Senki sem szereti, ha fáj a foga.
• Egyetlen papagáj sem iszik whiskyt.
• Néhány ember nem szereti a munkáját.
• Ivan Ivanovich veszekedett Ivan Nikiforovich-szal.
• Tarkovszkij filmjeit az orosz mozi klasszikusainak tekintik.
• Dosztojevszkij soha nem kártyázott.
• Néhány kuzdra egyáltalán nem glock.
• Minden alkalmazott előléptetésről álmodik.
• Néhány kutya képes olvasni.
• Minden boldog család egyforma, minden boldogtalan család a maga módján boldogtalan.
• Néhány cápa hal.
• Néhány ember nem ment a Marsra.

Tesztelje tudását

Ha szeretné tesztelni ismereteit a lecke témájáról, tehet egy rövid, több kérdésből álló tesztet. Minden kérdésben csak 1 opció lehet helyes. Miután kiválasztotta az egyik lehetőséget, a rendszer automatikusan folytatja a következő kérdést. A kapott pontokat befolyásolja válaszai helyessége és az átadásra fordított idő. Felhívjuk figyelmét, hogy a kérdések minden alkalommal különbözőek, és a lehetőségek vegyesek.

Propozíciós logika , propozíciós logikának is nevezik, a matematika és a logika olyan ága, amely logikai műveletek segítségével tanulmányozza az egyszerű vagy elemi állításokból felépített komplex állítások logikai formáit.

Az állítások logikája elterelődik az állítások értelmes terheléséről, és tanulmányozza azok igazságértékét, vagyis hogy az állítás igaz vagy hamis.

A fenti kép szemlélteti a hazug paradoxon néven ismert jelenséget. Ugyanakkor a projekt szerzője szerint ilyen paradoxonok csak olyan környezetekben lehetségesek, amelyek nem mentesek a politikai problémáktól, ahol valakit eleve hazugnak lehet bélyegezni. Természetes többrétegű világban tovább az "igazság" vagy a "hamis" témát csak az egyes állítások esetében értékelik ... És ebben a leckében tovább ismertetjük a lehetőség, hogy sok állítást értékeljen ebben a témában (majd nézze meg a helyes válaszokat). Beleértve az összetett utasításokat, amelyekben az egyszerűbbeket logikai műveletek jelei kapcsolják össze. De először vegyük figyelembe ezeket a műveleteket magukon a kijelentéseken.

A propozíciós logikát a számítástechnikában és a programozásban a logikai változók deklarálása és logikai értékek "hamis" vagy "igaz" hozzárendelése formájában használják, ettől függ a program további végrehajtásának menete. Kicsi programokban, ahol csak egy logikai változó vesz részt, ennek a logikai változónak gyakran nevet adnak, például "flag", és feltételezzük, hogy "flag flag", ha ennek a változónak az értéke "true" és "flag off", amikor ennek a változónak az értéke hamis. A nagy volumenű programokban, amelyekben több vagy akár sok logikai változó van, a szakembereknek meg kell adniuk a logikai változók nevét, amelyek állítások formájában és olyan szemantikai terheléssel rendelkeznek, amely megkülönbözteti őket a többi logikai változótól és érthető. más szakembereknek, akik elolvassák a program szövegét.

Így deklarálható egy "UserRegistered" (vagy annak angol nyelvű analógja) nevű logikai változó, amelynek egy nyilatkozata van, amelyhez logikai értéket "true" -ként lehet rendelni, ha teljesülnek azok a feltételek, hogy a regisztrációhoz szükséges adatok a felhasználó küldte el, és ezeket az adatokat a program megfelelőnek ismeri fel. További számítások során a változók értéke megváltozhat attól függően, hogy a "UserRegistered" változó melyik logikai értékkel ("true" vagy "false") rendelkezik. Más esetekben egy változó, például "UntilDaysHOutMore than ThreeDays" néven, egy "True" értékhez rendelhető egy bizonyos számítási blokkig, és a program további végrehajtása során ez az érték elmenthető vagy megváltoztatható "hamis" programokhoz.

Ha egy program több logikai változót használ, amelyek nevei utasítások formájában vannak, és ezekből összetettebb utasításokat építenek, akkor sokkal könnyebb egy programot kifejleszteni, ha annak fejlesztése előtt az utasításokból származó összes műveletet formában írják az állításlogikában használt képletek közül, mint ebben a leckében, és tegyük meg.

Logikai műveletek az utasításokon

A matematikai állításoknál mindig kétféle "igaz" és "hamis" alternatíva közül választhat, a "verbális" nyelven tett állítások esetében az "igazság" és a "hamis" fogalmai valamivel homályosabbak. Azonban például az olyan verbális formák, mint a "Menj haza" és "Esik az eső?", Nem szólások. Ezért egyértelmű, hogy az állítások olyan verbális formák, amelyekben valami megfogalmazódik ... A kérdő vagy felkiáltó mondatok, fellebbezések, valamint kívánságok vagy követelések nem nyilatkozatok. Nem értékelhetők az "igaz" és "hamis" jelentéssel.

Másrészt az állítások olyan mennyiségnek tekinthetők, amely két jelentést kaphat: "igaz" és "hamis".

Például a következő ítéleteket adják meg: "a kutya állat", "Párizs Olaszország fővárosa", "3

Ezen állítások közül az első az "igaz", a második - "hamis", a harmadik - "igaz" és a negyedik - "hamis" szimbólummal értékelhető. A propozíciók ilyen értelmezése a propozíciós algebra tárgya. Az állításokat nagy latin betűkkel jelöljük A, B, ... és értékeik, vagyis igaz és hamis, ill ÉSés L... A hétköznapi beszédben a "és", "vagy" és mások állítások közötti kapcsolatokat használják.

Ezek a kapcsolatok lehetővé teszik, hogy különböző állításokat összekapcsolva egymással új állításokat alkossanak - nehéz szólások ... Például egy csomó "és". Adjuk meg az állításokat: " π több mint 3 "és azt mondja" π kevesebb, mint 4 ". Rendezhet új - összetett utasítást" π több mint 3 és π kevesebb, mint 4 ". Mondván", ha π irracionális tehát π A ² szintén irracionális „, ha két állítást összekapcsolunk egy„ ha - akkor ”linkkel. Végül bármely állításból új - összetett állítást - kaphatunk az eredeti állítás tagadásával.

Az állításokat értékeket felvevő mennyiségeknek tekintve ÉSés L, tovább definiáljuk a kijelentések logikai műveletei amelyek lehetővé teszik, hogy újakat szerezzen ezekből az állításokból - összetett állításokból.

Adjon két tetszőleges állítást Aés B.

1 ... Ezeknek az állításoknak az első logikai művelete - az együttállás - egy új állítás kialakítása, amelyet meg fogunk jelölni A ∧ Bés ami akkor és csak akkor igaz Aés B igazak. A hétköznapi beszédben ez a művelet megfelel a megnyilatkozások "és" hivatkozással történő összekapcsolásának.

Igazságtábla az együttálláshoz:

A	B	A ∧ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	L
L	L	L

2 ... Az utasítások második logikai művelete Aés B- disszjunkció, kifejezve: A ∨ B, a következőképpen van meghatározva: akkor és csak akkor igaz, ha az eredeti állítások közül legalább egy igaz. A hétköznapi beszédben ez a művelet megfelel a megnyilatkozások kombinációjának a "vagy" linkkel. Azonban itt nincs elválasztó vagy ", ami a" vagy-vagy "mikor értendő Aés B mindkettő nem lehet igaz. Az állítások logikájának meghatározásában A ∨ B igaz, ha csak az egyik állítás igaz, és ha mindkét állítás igaz Aés B.

Igazságtábla disszjunkcióhoz:

A	B	A ∨ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	ÉS
L	ÉS	ÉS
L	L	L

3 ... Az állítások harmadik logikai művelete Aés B-ként kifejezve A → B; az így kapott állítás akkor és csak akkor hamis A igaz, és B hamis. A hívott csomag , B - következmény és az állítást A → B - következő , implikációnak is nevezik. A hétköznapi beszédben ez a művelet megfelel az "if - then": "if" kötőszónak A, azután B". Az állítások logikájának meghatározásában azonban ez az állítás mindig igaz, függetlenül attól, hogy az állítás igaz vagy hamis. B... Ez a körülmény röviden a következőképpen fogalmazható meg: "bármi következik a hamisból". Viszont ha A igaz, és B hamis, akkor az egész állítás A → B hamis. Akkor és csak akkor lesz igaz, ha és A, és B igazak. Röviden, a következőképpen lehet megfogalmazni: "a hamis nem következhet az igazból".

Igazságtáblázat a következőkhöz (implikáció):

A	B	A → B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	ÉS
L	L	ÉS

4 ... Az állítások, pontosabban egy állítás negyedik logikai műveletét az állítás tagadásának nevezzük Aés ~ jelöli A(megtalálhatja a ~ szimbólum, hanem a ¬ szimbólum, valamint a fenti felső pontszám használatát A). ~ A van olyan mondás, amely hamis, amikor A igaz és igaz mikor A hamis.

Igazságtábla a tagadáshoz:

A	~ A
L	ÉS
ÉS	L

5 ... Végül az állítások ötödik logikai műveletét ekvivalenciának nevezzük és jelöljük A ↔ B... A kapott állítás A ↔ B akkor és csak akkor igaz állítás Aés B mindkettő igaz vagy mindkettő hamis.

Igazságtábla az egyenértékűségre:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	ÉS	L
L	ÉS	ÉS	L	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS

A legtöbb programozási nyelv speciális karakterekkel rendelkezik az állítások logikai értékeinek jelölésére, szinte minden nyelven igaznak és hamisnak írva.

Foglaljuk össze a fentieket. Propozíciós logika olyan kapcsolatokat tanulmányoz, amelyeket teljesen meghatároz az a mód, ahogyan egyes állítások másokból épülnek fel, úgynevezett elemi. Ebben az esetben az elemi állításokat egésznek tekintjük, nem bomolhatók fel részekre.

Rendszerezzük az alábbi táblázatban az állítások logikai műveleteinek nevét, megnevezését és jelentését (hamarosan újra szükségünk lesz rájuk a példák megoldásához).

Csomag	Kijelölés	Művelet neve
nem		tagadás
és		kötőszó
vagy		disszjunkció
ha akkor ...		következmény
akkor és csak akkor		egyenértékűség

Logikai műveleteknél a következők helyesek a logikai algebra törvényei amellyel le lehet egyszerűsíteni a logikai kifejezéseket. Meg kell jegyezni, hogy az állítások logikájában elvonják a figyelmet az állítás szemantikai tartalmától, és arra korlátozódnak, hogy abból a szempontból tekintsék, hogy igaz vagy hamis.

1. példa

1) (2 = 2) ÉS (7 = 7);

2) Nem (15;

3) ("Fenyő" = "Tölgy") VAGY ("Cseresznye" = "Juhar");

4) Nem ("fenyő" = "tölgy");

5) (Nem (15 20);

6) ("Szeme van látni") ÉS ("A harmadik emelet alatt van a második emelet");

7) (6/2 = 3) VAGY (7 * 5 = 20).

1) Az első zárójelben szereplő állítás értéke "igaz", a második zárójelben szereplő kifejezés értéke is igaz. Mindkét állítást összekapcsolja az "ÉS" logikai művelet (lásd fentebb a művelet szabályait), ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése "igaz".

2) A zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt az állítást megelőzi a tagadás logikai művelete, ezért az egész adott állítás logikai jelentése "igazság".

3) Az első zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis", a második zárójelben szereplő állítás jelentése szintén "hamis". A kijelentéseket az "OR" logikai művelet kapcsolja össze, és egyik állítás sem rendelkezik "true" értékkel. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése "hamis".

4) A zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt az állítást a tagadás logikai művelete előzi meg. Ezért ennek az egész állításnak logikai jelentése az "igazság".

5) Az első zárójelben a belső zárójelben szereplő állítást elutasítjuk. Ez a belső zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis", ezért tagadásának logikus jelentése lesz "igaz". A második zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt a két állítást összekapcsolja az "ÉS" logikai művelet, vagyis "igaz ÉS hamis" értéket kapunk. Ezért az egész adott állítás logikai jelentése "hamis".

6) Az első zárójelben szereplő állítás jelentése "igaz", a második zárójelben szereplő állítás jelentése is "igaz". Ezt a két állítást összekapcsolja az "ÉS" logikai művelet, vagyis "igazságot és igazságot" kapunk. Következésképpen a teljes adott állítás logikai jelentése "igazság".

7) Az első zárójelben szereplő állítás jelentése "igaz". A második zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt a két állítást az "OR" logikai művelet kapcsolja össze, vagyis "true OR false" -ot kapunk. Következésképpen a teljes adott állítás logikai jelentése "igazság".

2. példaÍrja le a következő összetett utasításokat logikai műveletek segítségével:

1) "A felhasználó nincs regisztrálva";

2) "Ma vasárnap van, és néhány alkalmazott dolgozik";

3) "A felhasználót csak akkor regisztrálják, ha a felhasználó által elküldött adatokat érvényesnek találják."

1) o- egyetlen állítás: "A felhasználó regisztrálva van", logikai művelet :;

2) o- egyetlen nyilatkozat: "Ma vasárnap van", q- "Néhány alkalmazott dolgozik", logikus működés :;

3) o- egyetlen nyilatkozat: "A felhasználó regisztrálva van", q- "A felhasználó által küldött adatok érvényesek", logikai művelet :.

Maga oldja meg az állítások logikájára vonatkozó példákat, majd nézze meg a megoldásokat

3. példa Számítsa ki a következő állítások logikai értékeit:

1) ("70 másodperc van egy perc alatt") VAGY ("A futó óra mutatja az időt");

2) (28> 7) ÉS (300/5 = 60);

3) ("TV - elektromos készülék") ÉS ("Üveg - fa");

4) Nem ((300> 100) VAGY ("A szomjat vízzel csillapíthatjuk"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

4. példa Logikai műveletek segítségével írja le a következő összetett utasításokat, és számítsa ki azok logikai értékeit:

1) "Ha az óra helytelenül mutatja az időt, akkor nem jöhet rossz időben az órára";

2) "A tükörben láthatja a tükörképét, és Párizs az Egyesült Államok fővárosa";

5. példa Határozza meg a kifejezés logikai értékét

(o → q) ↔ (r → s) ,

o = "278 > 5" ,

q= "Alma = narancs",

o = "0 = 9" ,

s= "Kalap fedi a fejét".

Propozíciós logikai képletek

A komplex állítás logikai formájának fogalmát a koncepció segítségével tisztázzuk propozíciós logikai képletek .

Az 1. és 2. példában megtanultunk komplex utasításokat írni logikai műveletek segítségével. Valójában propozíciós logika képleteinek nevezik őket.

Az állítások jelölésére, mint a fenti példában, továbbra is a betűket fogjuk használni

o, q, r, ..., o 1 , q 1 , r 1 , ...

Ezek a betűk olyan változók szerepét fogják játszani, amelyek az "igaz" és "hamis" igazságértékeket veszik értékként. Ezeket a változókat propozíciós változóknak is nevezzük. Felhívjuk őket tovább elemi képletek vagy atomok .

Az állítások logikájának képleteinek összeállításához a fenti betűk mellett a logikai műveletek jeleit használják

~, ∧, ∨, →, ↔,

valamint szimbólumok, amelyek lehetővé teszik a képletek egyértelmű olvasását - bal és jobb zárójelben.

Koncepció propozíciós logikai képletek meghatározása a következőképpen történik:

1) az elemi képletek (atomok) a propozíciós logika képletei;

2) ha Aés B- az állítások logikájának képletei, majd ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) szintén az állítások logikájának képletei;

3) csak azok a kifejezések a képletek a propozíciók logikájára, amelyekre az 1. és 2. pontból következik.

A propozíciós logikai képlet meghatározása tartalmazza a képletek kialakításának szabályait. A meghatározás szerint a propozíciós logika bármely képlete vagy atom, vagy atomokból képződik a 2. szabály következetes alkalmazásának eredményeként.

6. példa Legyen o- egyetlen állítás (atom): "Minden racionális szám valós", q- "Néhány valós szám racionális szám", r- "néhány racionális szám valós". Konvertálja az állítások logikájának következő képleteit verbális kijelentésekké:

6) .

1) "nincsenek ésszerű számok";

2) "ha nem minden racionális szám valós, akkor nincsenek racionális számok, amelyek valósak";

3) "ha minden racionális szám valós, akkor néhány valós szám racionális szám, és néhány racionális szám valós";

4) "minden valós szám racionális szám, és néhány valós szám racionális szám, és néhány racionális szám valós szám";

5) "minden racionális szám akkor és csak akkor valós, ha nem az a tény, hogy nem minden racionális szám valós";

6) "nincs hol lenni, hogy nincs hely, ahol nem minden racionális szám valós, és nincsenek racionális számok, vagy nincsenek racionális számok."

7. példa Készítsen igazságtáblát egy propozíciós logikai képlethez , amely a táblázatban jelölhető f .

Megoldás. Az igazságtábla összeállítását azzal kezdjük, hogy rögzítjük az egyes állítások (atomok) értékeit ("igaz" vagy "hamis"). o , qés r... Az összes lehetséges értéket a táblázat nyolc sorában rögzítjük. Továbbá, meghatározva az implikációs művelet értékeit, és jobbra haladva a táblázatban, ne feledje, hogy az érték egyenlő a „hamis” értékkel, amikor a „hamis” következik az „igazságból”.

o	q	r					f
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	ÉS	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS
ÉS	L	ÉS	ÉS	L	L	L	L
ÉS	L	L	ÉS	L	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	ÉS	L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	L	L	ÉS	L	ÉS	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
L	L	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS

Vegye figyelembe, hogy egyetlen atomnak sincs ~ alakja A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). A komplex képletek rendelkeznek ezzel a formával.

A propozíciós logika képleteiben a zárójelek száma csökkenthető, ha ezt feltételezzük

1) egy összetett képletben elhagyjuk a zárójelek külső párját;

2) rendezzük a logikai műveletek jeleit "idő szerint":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Ebben a listában a ↔ terjedelme a legnagyobb, a ~ pedig a legkisebb. A műveleti jel hatókörét a propozíciós logikai képlet azon részein értjük, amelyekre a jel feltételezett előfordulását alkalmazzák (amelyekre hat). Így bármilyen képletben el lehet hagyni azokat a zárójelpárokat, amelyek visszaállíthatók, figyelembe véve az "elsőbbségi sorrendet". A zárójelek visszaállításakor először a ~ jel minden előfordulásához kapcsolódó zárójelet helyezzük el (miközben balról jobbra haladunk), majd a ∧ jel minden előfordulására stb.

8. példa Javítsa ki a zárójeleket a propozíciós logikai képletben B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Megoldás. A zárójeleket lépésről lépésre állítják vissza az alábbiak szerint:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Nem minden propozíciós logikai képlet írható zárójelek nélkül. Például a képletekben DE → (B → C) és ~ ( A → B) a zárójelek további megszüntetése nem lehetséges.

Tautológiák és ellentmondások

A logikai tautológiák (vagy egyszerűen csak a tautológiák) a propozíciók logikájának olyan képletei, hogy ha a betűket önkényesen helyettesítjük propozíciókkal (igaz vagy hamis), akkor az eredmény mindig igaz állítás lesz.

Mivel a komplex állítások igazsága vagy hamissága csak a jelentéstől függ, és nem az állítások tartalmától, amelyek mindegyike egy-egy betűnek felel meg, annak ellenőrzése, hogy egy adott állítás tautológia-e, a következő módon helyettesíthető. A vizsgált kifejezésben az 1 és 0 értékeket (illetve "igaz" és "hamis") minden lehetséges módon helyettesítjük a betűk helyett, és a kifejezések logikai értékeit logikai műveletek segítségével számoljuk ki. Ha ezek az értékek egyenlőek 1-vel, akkor a vizsgált kifejezés tautológia, és ha legalább egy szubsztitúció 0-t ad, akkor ez nem tautológia.

Tehát a propozíciós logika képletét, amely az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlására az "igaz" értéket veszi fel, az ún. a valódi képlettel azonos módon vagy tautológia .

Az ellenkező jelentésnek logikai ellentmondása van. Ha az állítások összes értéke 0-val egyenlő, akkor a kifejezés logikai ellentmondás.

Tehát a propozíciós logika képletét, amely az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlásához "hamis" értéket vesz fel, az ún. azonos hamis képlet vagy ellentmondás .

A tautológiák és a logikai ellentmondások mellett léteznek olyan állítások logikájának képletei, amelyek sem tautológiák, sem ellentmondások.

9. példa Hozzon létre egy igazságtáblát a propozíciós logikai képlethez, és határozza meg, hogy tautológia, ellentmondás-e vagy sem.

Megoldás. Összeállítunk egy igazságtáblát:

ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	L	ÉS
L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	L	L	L	ÉS

Az implikáció értékeiben nem találunk olyan sort, amelyben az "igazságból" következik a "hamis". Az eredeti állítás minden jelentése megegyezik az "igazsággal". Következésképpen a propozíciós logika e képlete tautológia.

Ítélet (kifejezés) A gondolkodás egyik formája, amelyben valamit megerősítenek vagy megtagadnak. Például: "Minden fenyő fa", "Néhány ember sportoló", "A bálna nem hal", "Néhány állat nem ragadozó".

Tekintsük az ítélet számos fontos tulajdonságát, amelyek egyúttal megkülönböztetik a fogalmatól:

1. Bármely ítélet egymáshoz kapcsolódó fogalmakból áll.

Például, ha összekapcsolja a „ kárász"És" hal", Akkor kiderülhetnek az ítéletek:" Minden ponty hal "," Néhány hal ponty ".

2. Bármely ítéletet mondat formájában fejeznek ki (ne feledje, hogy a fogalmat egy szó vagy kifejezés fejezi ki). Azonban nem minden mondat képes kifejezni az ítéletet. Mint tudják, a mondatok deklaratívak, kérdő és felkiáltó jellegűek. Kérdező és felkiáltó mondatokban semmit sem erősítenek vagy tagadnak, ezért nem tudnak ítéletet kifejezni. A kijelentő mondat viszont mindig megerősít vagy cáfol valamit, amelynek alapján az ítéletet kijelentő mondat formájában fejezik ki. Ennek ellenére vannak olyan kérdő és felkiáltó mondatok, amelyek csak formában kérdések és felkiáltások, de jelentésükben valamit állítanak vagy cáfolnak. Felhívják őket retorikai... Például a híres mondás: És mi az orosz nem szereti a gyors vezetést?"- egy retorikai kérdő mondat (retorikai kérdés), mivel kérdés formájában azt állítja, hogy minden orosz szereti a gyors vezetést.

Van ítélet egy ilyen kérdésben. Ugyanez mondható el a retorikai felkiáltásokról is. Például a nyilatkozatban: Próbáljon egy fekete macskát találni egy sötét szobában, ha nincs ott!"- felkiáltó mondat formájában megerősíti a javasolt intézkedés lehetetlenségének gondolatát, amely miatt ez a felkiáltás ítéletet fejez ki. Világos, hogy nem retorikai, hanem valódi kérdés, Például: " Mi a neved?"- nem fejezi ki ítéletét, ahogyan nem is annak valós, és nem retorikai felkiáltást, például:" Viszlát, szabad elem! "

3. Bármely ítélet igaz vagy hamis. Ha az ítélet megfelel a valóságnak, akkor igaz, és ha nem felel meg, akkor hamis. Például az ítélet: Minden rózsa virág", - igaz, és az ítélet:" Minden legy madár"- hamis. Meg kell jegyezni, hogy a fogalmak az ítéletekkel ellentétben nem lehetnek igazak vagy hamisak. Lehetetlen például azt állítani, hogy a „ iskola"- igaz, és a fogalom" intézet"- hamis, a fogalom" csillag"- igaz, és a fogalom" bolygó"- hamis stb. De nem ezek a fogalmak" Sárkány», « Koschei a Halhatatlan», « örökmozgó"Nem hamisak? Nem, ezek a fogalmak semmisek (üresek), de nem igazak vagy hamisak. Emlékezzünk arra, hogy a fogalom olyan gondolkodásmód, amely egy tárgyat jelöl - és ezért nem lehet igaz vagy hamis. Az igazság vagy hamisság mindig jellemző valamilyen állításra, állításra vagy tagadásra, ezért csak az ítéletekre vonatkozik, a fogalmakra nem. Mivel bármely ítélet kétféle jelentésnek felel meg - igaz vagy hamis -, akkor gyakran hívják az arisztotelészi logikát is kétértékű logika.

4. Az ítéletek egyszerűek és összetettek. Az összetett ítéletek egyszerűekből állnak, amelyeket valamiféle unió köt össze.

Amint láthatja, az ítélkezés a koncepcióhoz képest összetettebb gondolkodásmód. Ezért nem meglepő, hogy az ítéletnek bizonyos szerkezete van, amelyben négy rész különböztethető meg:

1. Tantárgy S) Erről szól az ítélet. Például az ítéletben: ", - tankönyvekről beszélünk, ezért az ítélet tárgya a" tankönyvek».

2. Állítmány(latin betűvel jelölve R) Amit a témáról mondanak. Például ugyanabban az ajánlatban: „ Minden tankönyv könyv", - a témáról (a tankönyvekről) azt mondják, hogy könyvek, ezért a" könyveket».

3. Csomag Ami összeköti az alanyot és az állítmányt. A csomag szerepében a "van", "van", "ez" stb. Szavak használhatók.

4. Kvantor Mutatja a téma hangerejét. Az „összes”, „némelyik”, „nincs” stb. Szavak használhatók kvantorként.

Tekintsük az ítéletet: " Néhány ember sportoló". Ebben a téma a „ emberek", Az állítmány a fogalom" sportolók", A szó" vannak", És a" néhány"Számszerűsítő. Ha valamilyen megítélés szerint nincs összekötő vagy kvantor, akkor azok továbbra is implicitek. Például az ítéletben: A tigrisek ragadozók", - nincs kvantor, de implicit - ez a" minden "szó. Keresztül legenda alany és állítmány elvetheti az ítélet tartalmát, és csak annak logikai formáját hagyhatja meg.

Például, ha az ítélet: Minden téglalap geometriai alakzat", - a tartalom elvetése és az űrlap elhagyása után kiderül:" Minden S van R". Az ítélet logikai formája: " Néhány állat nem emlős", -" Néhány S ne edd meg R».

Bármely ítélet szubjektuma és állítmánya mindig olyan fogalmak, amelyek, mint már tudjuk, különböző viszonyban lehetnek egymással. A következő kapcsolatok lehetnek az alany és az ítélet állítmánya között.

1. Egyenértékűség... Ítéletben: " Minden négyzet egyenlő oldalú téglalap", - a téma" négyzetek"És az állítmány" egyenlő oldalú téglalapok»Az egyenértékűség viszonyában vannak, mert ekvivalens fogalmak (a négyzet szükségszerűen egyenlő oldalú téglalap, S = Pés az egyenlő oldalú téglalap szükségszerűen négyzet) (18. ábra).

2. Átkelés... Ítéletben:

« Néhány író amerikai", - a téma" írók"És az állítmány" az amerikaiak»A kereszteződés viszonyában vannak, mivel kereszteződő fogalmak (az író lehet, hogy nem amerikai, és lehet, hogy amerikai, de nem is) (19. ábra).

3. Alárendeltség... Ítéletben:

« Minden tigris ragadozó", - a téma" tigrisek"És az állítmány" ragadozók»Alárendeltségi viszonyban vannak, mert konkrét és általános fogalmakat képviselnek (a tigris szükségszerűen ragadozó, de a ragadozó nem feltétlenül tigris). Az ítéletben is: Néhány ragadozó tigris", - a téma" ragadozók"És az állítmány" tigrisek»Alárendeltségi viszonyban vannak, általános és specifikus fogalmak. Tehát a szubjektum és az ítélet állítmánya közötti alárendeltség esetén a kapcsolatok két változata lehetséges: a szubjektum hatóköre teljes mértékben beletartozik az állítmány körébe (20. ábra, a), vagy fordítva (20. ábra, b).

4. Inkompatibilitás... Ítéletben: " ", - a téma" bolygók"És az állítmány" csillagok»Inkompatibilitási viszonyban vannak, mivel inkompatibilis (alárendelt) fogalmak (egyetlen bolygó sem lehet csillag, és egyetlen csillag sem lehet bolygó) (21. ábra).

A szubjektum és az adott ítélet állítmánya közötti kapcsolat megállapításához először meg kell állapítani, hogy az adott ítélet melyik fogalma szubjektum, és melyik predikátum. Például meg kell határozni az alany és az állítmány viszonyát az ítéletben: Néhány katonai személyzet orosz". Először megtaláljuk az ítélet tárgyát - ez a fogalom „ katonai személyzet"; akkor megalapozzuk az állítmányát - ez a fogalom „ Oroszok". A fogalmak " katonai személyzet"És" Oroszok»Az átkeléshez kapcsolódnak (a katonás lehet vagy nem orosz, és egy orosz lehet vagy nem. Ezért a jelzett ítéletben az alany és az állítmány keresztezi egymást. Hasonlóképpen, az ítéletben: Minden bolygó égitest", - az alany és az állítmány az alárendeltség és az ítélet viszonyában vannak:" A bálna nem hal

Rendszerint minden ítélet három típusra oszlik:

1. Attributív ítéletek(lat. attributum- attribútum) olyan ítéletek, amelyekben az állítmány az alany bármely lényeges, velejárója. Például az ítélet: Minden vereb madár", - attribútum, mert az állítmánya az alany elidegeníthetetlen tulajdonsága: a madár lét a veréb fő jellemzője, attribútuma, amely nélkül nem lesz önmagának (ha egy tárgy nem madár, akkor nem szükségszerűen egy veréb). Meg kell jegyezni, hogy egy attribútív megítélésben az állítmány nem feltétlenül az alany attribútuma, hanem fordítva is lehet - az alany a predikátum attribútuma. Például az ítéletben: Néhány madár vereb"(Amint láthatja, a fenti példához képest az alany és az állítmány helyet cserélt), az alany az állítmány szerves jellemzője (attribútuma). Ezek az ítéletek azonban formálisan mindig megváltoztathatók oly módon, hogy az állítmány az alany attribútumává váljon. Ezért az attributívnak általában azokat az ítéleteket nevezzük, amelyekben az állítmány az alany attribútuma.

2. Egzisztenciális ítéletek(lat. egzistentia- lét) olyan ítéletek, amelyekben az állítmány az alany létét vagy nem létezését jelzi. Például az ítélet: Nincsenek örökmozgó gépek", - egzisztenciális, mivel a predikátum" nem lehet»A szubjektum (vagy inkább az alany által kijelölt objektum) nem létezéséről tanúskodik.

3. Relatív ítéletek(lat. relativus- relatív) - ezek olyan ítéletek, amelyekben az állítmány valamilyen viszonyt fejez ki az alanyhoz. Például az ítélet: Moszkvát Szentpétervárnál korábban alapították", - relációs, mert az állítmánya" Szentpétervárnál korábban alapították»Jelzi az egyik város időbeli (életkori) viszonyát és a hozzá tartozó fogalmat egy másik városhoz, és a hozzá tartozó fogalmat, amely az ítélet tárgya.

Ellenőrizd le magadat:

1. Mi az ítélet? Melyek a legfőbb tulajdonságai és eltérései a koncepciótól?

2. Milyen nyelvi formákban fejeződik ki az ítélet? Miért nem fejthetik ki a kérdő és felkiáltó mondatok az ítéleteket? Mik a retorikai kérdések és a retorikai felkiáltások? Lehetnek-e az ítélőképesség egyik formája?

3. Keresse meg az ítélet nyelvi formáit az alábbi kifejezésekben:

1) Nem tudtad, hogy a Föld a Nap körül forog?

2) Viszlát, mosatlan Oroszország!

3) Ki írta a tiszta ész kritikájának filozófiai értekezését?

4) A logika az 5. század körül jelent meg. időszámításunk előtt NS. az ókori Görögországban.

5) Amerika első elnöke.

6) Fordulj meg a meneten!

7) Mindannyian tanultunk egy kicsit ...

8) Próbáljon fénysebességgel mozogni!

4. Miért nem lehetnek a fogalmak az ítéletekkel ellentétben igazak vagy hamisak? Mi a kétértékű logika?

5. Mi az ítélet felépítése? Öt ítélettel álljon elő, és mindegyikben tüntesse fel az alanyot, az állítmányt, a kötőszót és a kvantort.

6. Milyen kapcsolatban lehet az ítélet alanya és állítmánya? Adjon három példát az alany és az állítmány közötti kapcsolat minden egyes esetére: ekvivalencia, metszéspont, alárendeltség, inkompatibilitás.

7. Határozza meg a szubjektum és az állítmány közötti kapcsolatot, és ábrázolja őket Euler kördiagramjaival a következő javaslatokhoz:

1) Minden baktérium élő szervezet.

2) Néhány orosz író világhírű ember.

3) A tankönyvek nem lehetnek szórakoztató könyvek.

4) Az Antarktisz egy jégrész.

5) Néhány gomba ehetetlen.

8. Melyek az attribútív, az egzisztenciális és a relációs ítéletek? Adjon önállóan választva öt példát az attribútív, az egzisztenciális és a relációs ítéletekre.

2.2. Egyszerű ítéletek

Ha egy ítélet egy alanyot és egy állítmányt tartalmaz, akkor az egyszerű. Az alany térfogatára és az ínszalag minőségére vonatkozó összes egyszerű ítéletet négy típusra osztjuk. Az alany térfogata lehet általános ("minden") és specifikus ("néhány"), és a link lehet igenlő ("van") és negatív ("nem"):

A tárgy mennyisége ……………… "mind" "néhány"

Kötvényminőség ……………… “van” “nem”

Mint látható, a téma terjedelme és a link minősége alapján csak négy kombináció különböztethető meg, amelyek kimerítik az egyszerű ítéletek minden típusát: „minden van”, „néhány van”, „minden” nem ”,„ néhány nem ”. E fajok mindegyikének megvan a maga neve és megnevezése:

1. Általában igenlő ítéletek A) Vannak-e olyan ítéletek, amelyek a tárgy teljes térfogatát és az igenlő linket tartalmazzák: „Mind S van R". Például: " Minden hallgató hallgató».

2. Részben igenlő ítéletek(latin betűvel jelölve én) - ezek olyan ítéletek, amelyek a téma saját kötetével és igenlő kapcsolattal rendelkeznek: „Néhány S van R". Például: " Néhány állat ragadozó».

3. Általános negatív ítéletek(latin betűvel jelölve E) - ezek a tantárgy teljes mennyiségét és negatív linket tartalmazó ítéletek: „Mind S ne edd meg R(vagy "Nincs S ne edd meg R"). Például: " Minden bolygó nem csillag», « Egyetlen bolygó sem csillag».

4. Részben negatív ítéletek(latin betűvel jelölve O) Vannak-e olyan ítéletek, amelyek a téma magánkötetével és negatív láncszemmel rendelkeznek: „Néhány S ne edd meg R". Például: " ».

Ezután arra a kérdésre kell válaszolni, hogy melyik - általános vagy különös - ítéleteket kell tulajdonítani az alany egységnyi térfogatú ítéleteinek (vagyis azoknak az ítéleteknek, amelyekben a téma egyetlen fogalom), például: A nap egy égitest ”,„ Moszkvát 1147-ben alapították ”,„ az Antarktisz a Föld egyik kontinense ”. Az ítélet általános, ha a szubjektum teljes terjedelméről szól, és privát, ha a szubjektum terjedelmének egy részéről szól. A téma egyetlen kötetével kapcsolatos megítélésekben a téma teljes kötetéről beszélünk (a megadott példákban az egész Napról, egész Moszkváról, az Antarktisz egészéről). Így azokat az ítéleteket, amelyekben a szubjektum egyetlen fogalom, általánosnak tekintenek (általában igenlő vagy általában negatív). Tehát a fenti három ítélet általában igenlő, és az ítélet: „ A híres olasz reneszánsz tudós, Galileo Galilei nem az elmélet szerzője elektromágneses mező », - általában negatív.

A jövőben az egyszerű ítéletek típusairól fogunk beszélni, hosszú nevük használata nélkül, konvencionális jelöléssel - latin betűkkel A, én, E, O... Ezek a betűk két latin szóból származnak: a ff én rmo- jóváhagyni és n e g o - tagadni, az egyszerű ítéletek típusainak megjelölésére javasolták még a középkorban.

Fontos megjegyezni, hogy az egyszerű ítéletek mindegyik típusában az alany és az állítmány bizonyos kapcsolatban állnak. Tehát az alany teljes volumene és a forma ítéleteinek igenlő csomója A ahhoz vezet, hogy bennük az alany és az állítmány ekvivalencia vagy alárendeltségi viszonyban lehetnek (az alany és az állítmány egyéb viszonyai a forma ítéleteiben) A nem lehet). Például az ítéletben: Az összes négyzet (S) egyenlő oldalú téglalap (P)", - a szubjektum és az állítmány az egyenértékűség viszonyában van, és az ítéletben:" Minden bálna (S) emlős (P)"- az alárendeltség vonatkozásában.

Az alany privát kötete és a forma ítéleteinek igenlő csomója én határozza meg, hogy bennük az alany és az állítmány metszés vagy alárendeltség kapcsolatában lehet (másokban viszont nem). Például az ítéletben: Egyes sportolók negrók (P)", - az alany és az állítmány a metszés és az ítélet viszonyában van:" Néhány fa (S) fenyő (P)"- az alárendeltség vonatkozásában.

Az alany teljes térfogata és a típusú ítéletek negatív kötege E arra vezet, hogy bennük az alany és az állítmány csak az összeférhetetlenség viszonyában van. Például az ítéletekben: Az összes bálna (S) nem hal (P) "," Az összes bolygó (S) nem csillag (P) "," Az összes háromszög (S) nem négyzet (P)", - az alany és az állítmány nem kompatibilis.

Az alany privát kötetét és a típusú ítéletek negatív kötegét O határozza meg, hogy az alany és az állítmány bennük, valamint a forma megítélésében én, csak a metszés és az alárendeltség viszonyában lehet. Az olvasó könnyen talál példákat a forma megítélésére O mely szubjektum és állítmány van ebben a kapcsolatban.

Ellenőrizd le magadat:

1. Mi az egyszerű ítélet?

2. Mi alapján oszlanak meg az egyszerű ítéletek típusokra? Miért vannak pontosan négy típusra osztva?

3. Írja le az egyszerű ítéletek minden típusát: név, szerkezet, szimbólum. Jöjjön elő egy-egy példa mindegyikre. Milyen - általános vagy különös - ítéletekre utalnak az alany egységnyi térfogatú ítéletei?

4. Honnan jöttek a levelek az egyszerű ítéletek típusainak jelölésére?

5. Milyen kapcsolatban lehet alany és állítmány az egyszerű ítéletek mindegyik típusában? Gondolja át, miért, olyan ítéleteknél, mint A a szubjektum és az állítmány nem keresztezhetõ vagy nem lehet összeférhetetlen? Miért a fajta ítéleteknél én az alany és az állítmány nem lehet ekvivalencia vagy inkompatibilitás viszonyában? Miért a fajta ítéleteknél E az alany és az állítmány nem lehet egyenértékű, keresztező vagy alárendelt? Miért ilyen jellegű ítéleteknél O az alany és az állítmány nem állhat kapcsolatban az egyenértékűséggel vagy az összeférhetetlenséggel? Rajzoljon köröket Euler számára lehetséges kapcsolat a szubjektum és az állítmány között mindenféle egyszerű megítélésben.

2.3. Terjesztett és nem kiosztott feltételek

Ítélet feltételei alanyát és állítmányát nevezik meg.

A kifejezést figyelembe veszik megosztott(kibővítve, kimerítve, teljes egészében figyelembe véve), ha az ítélet az összes olyan tárgyra vonatkozik, amelyek e kifejezés hatálya alá tartoznak. Az elosztott kifejezést a "+" jel jelöli, Euler diagramjain pedig teljes körként (olyan körként, amely nem tartalmaz másik kört, és nem metszik egy másik körrel) ábrázolják (22. ábra).

A kifejezést figyelembe veszik nem kiosztott(fejletlen, kimeríthetetlen, nincs teljes egészében átvéve), ha az ítélet nem vonatkozik a jelen kifejezés körébe tartozó összes tárgyra. A fel nem osztott kifejezést a "-" jel jelöli, Euler diagramjain pedig egy hiányos kör (egy másik kört tartalmazó kör (23. ábra, a) vagy metszik egy másik körrel (23. ábra, b).

Például az ítéletben: Minden cápa (S) ragadozó (P)", - az összes cápáról beszélünk, ami azt jelenti, hogy az ítélet tárgya megoszlik.

Ebben az ítéletben azonban nem minden ragadozóról beszélünk, hanem csak a ragadozók egy részéről (nevezetesen azokról, akik cápák), ezért ezen ítélet állítmánya nem oszlik meg. Miután bemutattuk a szubjektum és az állítmány (az alárendeltségi viszonyban lévő) viszonyát az Euler-sémák által figyelembe vett ítélethez, látni fogjuk, hogy az elosztott kifejezés (az alany) cápa") Teljes körnek felel meg, és a fel nem osztott (állítmány" ragadozók") - hiányos (az alany körébe esik, mintha kivágná annak egy részét):

A kifejezések eloszlása ​​az egyszerű ítéleteknél eltérő lehet az ítélet típusától, valamint az alany és az állítmány közötti kapcsolat jellegétől függően. asztal A 4. ábra a kifejezések eloszlásának összes esetét mutatja egyszerű megítélésekben:

Az egyszerű ítéletek mind a négy típusát, valamint az alany és az azokban szereplő állítmány közötti kapcsolatok minden lehetséges esetét itt vizsgáljuk (lásd a 2. 2. szakaszt). Ügyeljen a forma megítélésére O amelyben az alany és az állítmány metszésviszonyban vannak. Annak ellenére, hogy az Euler-séma keresztezi egymást, az ítélet tárgya nem oszlik el, és az állítmány eloszlik. Miért történik ez? Fentebb azt mondtuk, hogy a diagramon metsző Euler körök nem felosztott kifejezéseket jelölnek. Az árnyékolás megmutatja a téma azon részét, amelyet az ítéletben tárgyalnak (jelen esetben a nem sportolókról), amely miatt az Euler-diagramban az állítmányt jelölő kör teljes maradt (az alanyot jelölő kör nem vág le bármilyen - ez a rész hogyan történik a faj megítélése során én ahol az alany és az állítmány metszésviszonyban vannak).

Tehát azt látjuk, hogy az alany mindig a forma megítélésében oszlik el Aés Eés mindig nem oszlik meg a forma ítéleteiben énés O, és az állítmány mindig eloszlik a forma megítélésében Eés O, hanem a forma megítélésében Aés én lehet terjesztve és nem is terjesztve, a köztük és az alany között fennálló kapcsolat jellegétől függően ezekben az ítéletekben.

A legegyszerűbb módszer a kifejezések eloszlásának megállapítása egyszerű megítélésekben Euler sémáinak felhasználásával (egyáltalán nem szükséges minden elosztási esetet megjegyezni a táblázatból). Elég, ha a javasolt ítéletben meg tudjuk határozni az alany és az állítmány közötti kapcsolat típusát, és körkörös ábrázolással ábrázoljuk őket. Továbbá még egyszerűbb - egy teljes kör, amint már említettük, elosztott kifejezésnek felel meg, a hiányos pedig egy fel nem osztott kifejezésnek. Például az ítéletben meg kell állapítani a feltételek megoszlását: Néhány orosz író világhírű ember". Először is ebben az ítéletben megtaláljuk a témát és az állítást: „ Orosz írók"- tantárgy," világhírű emberek»Predikátum. Most állapítsuk meg, hogy milyen viszonyban vannak. Az orosz író lehet, hogy nem világhírű személy, és egy világhírű személy lehet, hogy nem, vagy nem, ezért az ítélet tárgya és állítmánya kereszteződésben vannak. Ábrázoljuk ezt a kapcsolatot az Euler-diagramon, árnyékolva az ítéletben tárgyalt részt (25. ábra):

A szubjektumot és az állítmányt is hiányos körök ábrázolják (úgy tűnik, mindegyiknek van egy része elvágva), ezért a javasolt ítélet mindkét kifejezése nem oszlik meg ( S –, P –).

Vegyünk egy másik példát. Az ítéletben meg kell állapítani a feltételek megoszlását: ". Miután megtalálta ebben az ítéletben az alanyot és az állítást: emberek"- tantárgy," sportolók»Predikátum, és miután megállapítottuk a köztük fennálló kapcsolatot - a benyújtás, az Euler-sémán ábrázoljuk, árnyékolva az ítéletben tárgyalt részt (26. ábra):

Az állítmányt jelölő kör teljes, az alanynak megfelelő kör pedig hiányos (az állítmány körje annak mintegy részét kivágja). Tehát ebben az ítéletben az alany nincs kiosztva, és az állítmány eloszlik ( S –, P –).

Ellenőrizd le magadat:

1. Milyen esetben tekinthető az ítélet kifejezés elosztottnak, és milyen esetben - nem osztott? Hogyan állapíthatja meg a kifejezések eloszlását egyszerű javaslatban Euler körsémáinak felhasználásával?

2. Mi a kifejezések megoszlása ​​az egyszerű ítéletek minden típusában, valamint a szubjektum és az állítmány közötti viszony minden esetben?

3. Az Euler-sémák felhasználásával állapítsa meg a kifejezések megoszlását a következő ítéletekben:

1) Minden rovar élő szervezet.

2) Néhány könyv tankönyv.

3) Néhány hallgató nem jár sikerrel.

4) Minden város település.

5) Egyetlen hal sem emlős.

6) Néhány ókori görög híres tudós.

7) Néhány égitest csillag.

8) Minden derékszögű rombusz négyzet.

2.4. Egyszerű ítélet átalakítása

Az átalakításnak három módja van, vagyis a forma megváltoztatása, az egyszerű ítéletek: inverzió, transzformáció és az állítmány szembeállítása.

Fellebbezés (átalakítás) Egy egyszerű tétel átalakulása, amelyben az alany és az állítmány felcserélődik. Például az ítélet: Minden cápa hal", - átalakul az ítéletté változtatással:" ". Itt felmerülhet a kérdés, hogy miért kezdődik az eredeti ítélet a kvantorral " összes", És új - a kvantorból" néhány"? Ez a kérdés első pillantásra furcsának tűnik, mert nem lehet azt mondani: „ Minden hal cápa", - ezért csak az marad meg:" Néhány hal cápa". Ebben az esetben azonban rátértünk az ítélet tartalmára és megváltoztattuk a kvantort összes"A kvantorhoz" néhány"; és a logika, amint már említettük, elvonatkozik a gondolkodás tartalmától, és csak annak formájával foglalkozik. Ezért az ítélet visszavonása: " Minden cápa hal”, - formálisan is elvégezhető, anélkül, hogy hivatkoznánk a tartalmára (értelmére). Ehhez ebben az ítéletben körkörös sémát használva állapítjuk meg a kifejezések eloszlását. Az ítélet feltételei, vagyis a tárgy " cápa"És az állítmány" hal", Ebben az esetben az alárendeltséghez kapcsolódnak (27. ábra):

A kördiagram azt mutatja, hogy az alany eloszlik (teljes kör), és az állítmány nincs elosztva (hiányos kör). Emlékeztetve arra, hogy a kifejezést elosztják, ha az összes benne lévő objektumról van szó, és ha nem mindenről van szó, akkor mentálisan automatikusan a „ cápa"Quantifier" összes", És a kifejezés előtt" hal"Quantifier" néhány". A meghatározott ítélet megfordításával, vagyis annak alanyának és állítmányának felcserélésével és új ítélet megindításával a „ hal", Ismét automatikusan megadjuk a kvantort" néhány"Anélkül, hogy az eredeti és az új ítéletek tartalmára gondolnánk, és egy összetéveszthetetlen változatot kapunk:" Néhány hal cápa". Talán mindez egy elemi művelet túlzott bonyodalmának tűnik, azonban, amint alább láthatjuk, más esetekben az ítéletek átalakítását nem könnyű megtenni a kifejezések és körkörös sémák elosztása nélkül.

Ne feledje, hogy a fenti példában az eredeti ítélet formájú volt A, és az új formájú én, vagyis a visszafordítás működése megváltoztatta az egyszerű megítélés típusát. Természetesen formája természetesen megváltozott, de a tartalma nem változott, mert az ítéletekben: „ Minden cápa hal"És" Néhány hal cápa", - ugyanarról beszélünk. asztal Az 5. ábra a kezelés minden esetét mutatja, az egyszerű megítélés típusától, valamint az alany és az állítmány közötti kapcsolat jellegétől függően:

A faj megítélése A én... A faj megítélése én vagy önmagává, vagy a forma megítélésévé válik A... A faj megítélése E mindig önmagává és a forma megítélésévé válik O nem kezelhető.

Az egyszerű ítéletek átalakításának második módja, az ún átalakítás (előlap) abban rejlik, hogy az összefüggés megváltozik az ítéletben: pozitív-negatív, vagy fordítva. Ebben az esetben az ítélet állítmányát ellentmondásos fogalom váltja fel (vagyis a „nem” részecskét az állítmány elé helyezzük). Például ugyanaz az ítélet, amelyet példaként vettünk a megszólításra: „ Minden cápa hal", - átalakul az ítéletté változtatással:" ". Ez az ítélet furcsának tűnhet, mert általában nem ezt mondják, bár valójában rövidebb megfogalmazásunk van arról, hogy egyetlen cápa sem lehet olyan lény, amely nem hal, vagy hogy az összes cápa közül sok ki van zárva a sokaságból az összes teremtmény közül. amelyek nem halak. A téma " cápa"És az állítmány" nem hal»Az átalakulás eredményeként született ítéletek összefüggenek az összeférhetetlenséggel.

Az átalakítás fenti példája fontos logikai mintát mutat: bármelyik állítás egyenlő egy kettős tagadással, és fordítva. Mint látható, a forma kezdeti megítélése A az átalakulás eredményeként egyfajta ítélet lett E... Az inverzióval ellentétben az átalakulás nem függ az alany és az egyszerű ítélet állítmánya közötti kapcsolat jellegétől. Ezért a forma megítélése A E, és a forma megítélése E- a faj megítélése szerint A... A faj megítélése én mindig ilyen jellegű ítéletté válik O, és a forma megítélése O- a faj megítélése szerint én(28. ábra).

Az egyszerű ítéletek átalakításának harmadik módja az állítmány ellenzése- abban áll, hogy először az ítéletet átalakítják, majd átalakítják. Például az ítélet átalakításához az állítmány szembeállításával: Minden cápa hal"- először átalakításnak kell alávetni. Kiderül: " Minden cápa nem hal". Most fellebbezést kell benyújtani az ebből eredő ítélettel, vagyis megváltoztatni az alany helyét " cápa"És az állítmány" nem hal". Annak érdekében, hogy ne tévedjünk, ismét alkalmazzuk a kifejezések eloszlásának megállapítását körkörös séma segítségével (az ítélet alanya és állítmánya az inkompatibilitáshoz kapcsolódik) (29. ábra):

A kördiagram azt mutatja, hogy mind az alany, mind az állítmány eloszlik (egy teljes kör mindkét kifejezésnek megfelel), ezért a szubjektumot és az állítmányt is kvantorral kell kísérnünk " összes". Ezt követően nyújtsunk be fellebbezést az ítélettel: Minden cápa nem hal". Kiderül: " Minden nem hal nem cápa". Az ítélet szokatlanul hangzik, de ez egy rövidebb megfogalmazása annak az elképzelésnek, hogy ha egy lény nem hal, akkor semmilyen módon nem lehet cápa, vagy hogy minden olyan lény, amely automatikusan nem hal, nem lehet cápa, beleértve ... A fellebbezést megkönnyítheti az asztal megnézése. 5. ábra a fenti hivatkozáshoz. Ezt a fajta ítéletet látva E mindig önmagává alakul, körkörös séma használata és a kifejezések eloszlásának megállapítása nélkül azonnal az állítmány elé állíthatnánk nem hal"Quantifier" összes". Ebben az esetben egy másik módszert javasoltak annak bemutatására, hogy teljesen meg lehet csinálni táblázat nélkül. referenciaként, és megjegyzése egyáltalán nem szükséges. Itt körülbelül ugyanaz történik, mint a matematikában: memorizálhat különféle képleteket, de megteheti memorizálás nélkül is, mivel nem nehéz önmagában egyetlen képletet is levezetni.

Az egyszerű ítéletek átalakításának mindhárom műveletét a legkönnyebb körkörös sémák segítségével végrehajtani. Ehhez három kifejezést kell ábrázolnia: tárgy, állítmány és egy fogalom, amely ellentmond az állítmánynak (nem állítmány). Ezután meg kell állapítani az eloszlásukat, és az eredményül kapott Euler-sémából négy ítélet következik - egy kezdeti és három transzformációs eredmény. A legfontosabb az, hogy ne felejtsük el, hogy az elosztott kifejezés megegyezik a kvantorral " összes", És fel nem osztott - a kvantorhoz" néhány"; hogy az Euler-diagramot érintő körök megfelelnek a csomagnak « egy", És nem érintkezők - a csomaghoz" nem". Például három átalakítási műveletet kell végrehajtani ítélettel: „ Minden tankönyv könyv". Ábrázoljuk a témát " tankönyvek", Az állítmány" könyveket"És nem predikátum" nem könyveket»Körkörösen és állapítsa meg ezen kifejezések eloszlását (30. ábra):

1. Minden tankönyv könyv(eredeti ítélet).

2. Néhány könyv tankönyv(fellebbezés).

3. Az összes tankönyv nem nem könyv(átalakítás).

4. Minden nem könyv nem tankönyv

Vegyünk egy másik példát. Három módon kell átalakítani az ítéletet: Minden bolygó nem csillag". Ábrázoljuk Euler körökkel a témát " bolygók", Az állítmány" csillagok"És nem predikátum" nem csillagok". Felhívjuk figyelmét, hogy a bolygók"És" nem csillagok Az alávetettség viszonyában vannak: a bolygó nem feltétlenül csillag, de az égitest, amely nem csillag, nem feltétlenül bolygó. Hadd állapítsuk meg ezeknek a kifejezéseknek az eloszlását (31. ábra):

1. Minden bolygó nem csillag(eredeti ítélet).

2. Minden csillag nem bolygó(fellebbezés).

3. Minden bolygó nem csillag(átalakítás).

4. Néhány nem csillag csillag bolygó(az állítmány ellenzése).

Ellenőrizd le magadat:

1. Hogyan hajtják végre a hívási műveletet? Három ítéletet hoz, és mindegyiknél fellebbezhet. Hogyan történik a megtérés mindenféle egyszerű megítélésben, valamint az alanyuk és az állítmányuk közötti viszony minden esetben? Milyen ítéletek dacolnak a megtéréssel?

2. Mi az átalakulás? Hozza meg bármelyik három ítéletet, és hajtson végre mindegyikkel átalakítási műveletet.

3. Mi a művelet az állítmány ellentétével? Vegyen három ítéletet, és alakítsa át mindegyiket az állítmány szembeállításával.

4. Hogyan segíthetnek az ítéletek transzformációs műveleteinek végrehajtásában az egyszerű megítélésekben a kifejezések eloszlásának ismerete és a kördiagramok segítségével történő megállapításának képessége?

5. Tegyen valamiféle ítéletet Aés végezzen vele minden átalakítási műveletet körkörös sémák és a kifejezések eloszlásának megállapítása révén. Tegye ugyanezt valamiféle ítélettel E.

2.5. Logikus tér

Az egyszerű ítéletek összehasonlíthatóakra és összehasonlíthatatlanokra oszlanak.

Összehasonlítható (anyagában azonos) az ítéleteknek ugyanazok az alanyai és predikátumai, de különbözhetnek számszerűsítőkben és összekötőkben. Például ítéletek: », « Néhány iskolás nem tanul matematikát», - összehasonlíthatók: ugyanazok az alanyaik és predikátumaik vannak, de a kvantorok és az összekötők különböznek. Egyedülálló az ítéleteknek különböző alanyai és predikátumai vannak. Például ítéletek: Minden diák matematikát tanul», « Néhány sportoló olimpiai bajnok", - összehasonlíthatatlanok: alanyaik és predikátumaik nem esnek egybe.

Az összehasonlítható megítélések a fogalmakhoz hasonlóan kompatibilisek és összeegyeztethetetlenek, és különböző viszonyban lehetnek egymással.

Összeegyeztethető olyan ítéleteknek nevezzük, amelyek egyszerre lehetnek igazak. Például ítéletek: Néhány ember sportoló», « Néhány ember nem sportoló", - mind igazak, mind kompatibilis ítéletet képviselnek.

Összeegyeztethetetlen olyan ítéleteknek nevezzük, amelyek nem lehetnek egyszerre igazak: egyikük igazsága szükségszerűen a másik hamisságát jelenti. Például ítéletek: Minden iskolás matematikát tanul "," Néhány iskolás nem matematikát tanul", - nem lehetnek egyszerre igazak és összeegyeztethetetlenek (az első ítélet igazsága elkerülhetetlenül a második hazugságához vezet).

Kompatibilis ítéletek a következő összefüggésekben találhatók:

1. Egyenértékűség Kapcsolat két olyan ítélet között, amelyben az alanyok, a predikátumok, az összekötők és a kvantorok egybeesnek. Például ítéletek: Moszkva ősi város»,

« Oroszország fővárosa ősi város", - az egyenértékűséggel vannak kapcsolatban.

2. Alárendeltség- ez a kapcsolat két olyan ítélet között, amelyekben a predikátumok és a konnektívek egybeesnek, az alanyok pedig a fajhoz és a nemzetséghez viszonyítva. Például ítéletek: Minden növény élő szervezet», « Minden virág (néhány növény) élő szervezet", - alárendeltségi viszonyban vannak.

3. Részleges mérkőzés (alvállalkozás) Néhány gomba ehető», « Néhány gomba nem ehető", - részleges egybeesés viszonyában vannak. Meg kell jegyezni, hogy e tekintetben csak magánítéletek léteznek - részben igenlőek ( én) és részleges negatív ( O).

Összeférhetetlen ítéletek a következő kapcsolatokban találhatók.

1. Szemben (különcködés) Van-e kapcsolat két olyan ítélet között, amelyekben az alanyok és a predikátumok egybeesnek, és a kapcsolatok különböznek egymástól? Például ítéletek: Minden ember igaz», « ", - ellentétes viszonyban vannak. E tekintetben csak általános ítéletek lehetnek - általában igenlőek ( A) és általában negatív ( E). Az ellentétes ítéletek fontos jele, hogy nem lehetnek egyszerre igazak, ugyanakkor hamisak is. Tehát a két ellentétes ítélet nem lehet egyszerre igaz, de egyszerre lehet hamis is: nem igaz, hogy minden ember igaz, de az sem igaz, hogy nem minden ember igaz.

Az ellentétes ítéletek egyszerre lehetnek hamisak, mert közöttük, néhány szélsőséges opciót jelölve, mindig van egy harmadik, középső, köztes lehetőség. Ha ez a középső opció igaz, akkor a két szélsőség hamisnak bizonyul. Ellentétes (szélsőséges) ítéletek között: Minden ember igaz», « Minden ember nem igaz", - van egy harmadik, középső lehetőség:" Vannak, akik igazak, mások pedig nem."- amely igaz ítélet lévén meghatározza két szélsőséges, ellentétes ítélet egyidejű valótlanságát.

2. Ellentmondás (ellentmondó)- ez a kapcsolat két olyan ítélet között, amelyekben az predikátum egybeesik, az összekötők különböznek, és az alanyok térfogatukban különböznek, vagyis alárendeltségi viszonyban vannak (faj és nemzetség). Például ítéletek: Minden ember igaz "," Néhány ember nem igaz ", - ellentmondásos viszonyban vannak. Az ellentmondó ítéletek fontos jele az ellentétesekkel szemben, hogy nem lehet harmadik, középső, köztes lehetőség közöttük. Emiatt két egymásnak ellentmondó ítélet nem lehet egyszerre igaz és nem lehet egyszerre hamis: egyikük igazsága szükségszerűen a másik hazugságát jelenti, és fordítva - az egyik hamissága meghatározza a másik igazságát. Visszatérünk az ellentétes és ellentmondásos ítéletekre, amikor az ellentmondás logikai törvényeiről és a kizárt harmadikról van szó.

Az egyszerű összehasonlítható ítéletek közötti összefüggéseket vázlatosan ábrázoljuk egy logikai négyzet alkalmazásával (32. ábra), amelyet a középkori logikusok fejlesztettek ki:

A négyzet csúcsai négyféle egyszerű tételt képviselnek, oldalai és átlói pedig a köztük lévő kapcsolatot. Szóval, a forma megítélései Aés kedves én, valamint a forma megítélése Eés kedves O alárendeltségi viszonyban vannak. Az ilyen ítéletek Aés kedves E az ellenkezőjéhez és a forma megítéléséhez viszonyulnak énés kedves O- részleges mérkőzés. Az ilyen ítéletek Aés kedves O, valamint a forma megítélése Eés kedves én ellentmondásos viszonyban vannak. Nem meglepő, hogy a logikai négyzet nem az egyenértékűség viszonyát képviseli, mert ebben a tekintetben vannak ugyanolyan típusú ítéletek, vagyis az ekvivalencia az ítéletek közötti kapcsolat Aés A, énés én, Eés E, Oés O... Két ítélet közötti kapcsolat megállapításához elegendő meghatározni, hogy melyik típusba tartozik mindegyik. Például meg kell deríteni, milyen viszonyban vannak az ítéletek: Minden ember logikát tanult», « Néhány ember nem tanult logikát". Mivel az első ítélet általában igenlő ( A), a második pedig részben negatív ( O), logikai négyzet - ellentmondás - segítségével könnyen megállapíthatjuk a köztük lévő kapcsolatot. Ítéletek: " Minden ember logikát tanult (A)», « Néhány ember logikát tanult (I)", Alárendeltség és ítéletek viszonyában vannak:" Minden ember logikát tanult (A)», « Minden ember nem tanult logikát (E)", - ellentétes viszonyban vannak.

Mint már említettük, az ítéletek fontos tulajdonsága a fogalmakkal ellentétben az, hogy igazak vagy hamisak lehetnek.

Ami az összehasonlítható ítéleteket illeti, mindegyikük igazságértékei bizonyos módon összefüggenek a többiek igazságértékeivel. Tehát, ha a forma megítélése A igaz vagy hamis, akkor a másik három ( én, E, O), összehasonlítható ítéletek (amelyeknek hasonló alanyai és predikátumai vannak), ettől függően (a formai ítélet igazságától vagy hamisságától függően) A) igazak vagy hamisak is. Például, ha a forma megítélése A: « Minden tigris ragadozó", - igaz, akkor a forma megítélése én: « Néhány tigris ragadozó", - igaz is (ha az összes tigris ragadozó, akkor néhányuk, vagyis néhány tigris is ragadozó), a faj megítélése E: « Minden tigris nem ragadozó", - hamis, és a forma megítélése O: « Néhány tigris nem ragadozó”Hamis is. Így ebben az esetben a forma megítélésének igazságából A magában foglalja a forma megítélésének igazságát énés a forma ítéleteinek hamissága Eés kedves O(természetesen összehasonlítható ítéletekről beszélünk, vagyis ugyanazon alanyokkal és predikátumokkal rendelkeznek).

Ellenőrizd le magadat:

1. Milyen ítéleteket nevezünk összehasonlíthatónak, és milyeneket - összehasonlíthatatlannak?

2. Melyek az összeegyeztethető és összeegyeztethetetlen ítéletek? Mondjon három példát az összeegyeztethető és összeegyeztethetetlen ítéletekről.

3. Milyen kapcsolatokban lehetnek kompatibilis ítéletek? Mondjon két példát az egyenértékűség, az alárendeltség és az átfedés kapcsolatára.

4. Milyen módon lehetnek összeférhetetlen ítéletek?

Mondjon három példát az ellentét és az ellentmondás kapcsolatára. Miért lehetnek egyszerre hamisak az ellentétes ítéletek, az ellentmondásosak pedig nem?

5. Mi a logikai négyzet? Hogyan ábrázolja az ítéletek közötti kapcsolatot? Miért nem a logikai négyzet képviseli az ekvivalencia viszonyát? Hogyan lehet logikai négyzetet használni két egyszerű összehasonlítható ítélet kapcsolatának meghatározásához?

6. Tegyen valamiféle igaz vagy hamis ítéletet Aés vonjon le belőle következtetéseket a faj összehasonlítható megítélésének igazságáról E, én, O... Vegyen valamilyen igaz vagy hamis ítéletet Eés vonjon le belőle következtetéseket az összehasonlítható ítéletek igazságáról A, én, O.

2.6. Nehéz ítélet

Attól függően, hogy milyen unióval kombinálják az egyszerű ítéleteket összetettekké, ötféle összetett ítélet létezik:

1. Konjunktív ítélet (kötőszó)- ez egy összetett ítélet összekötő "és" kötőszóval, amelyet logikában a "?" konvencionális jel jelöl. Ezzel a jellel két egyszerű ítéletből álló konjunktív ítéletet lehet képlet formájában megjeleníteni: a ? b(olvas " aés b"), ahol aés b Két egyszerű ítélet. Például egy összetett ítélet: Villám villant, és mennydörgés harsant", - két egyszerű ítélet együttese (kombinációja): "Villám villant", "Mennydörgés dübörgött"... Az együttállás nemcsak kettőből állhat, hanem nagyobb számú egyszerű ítéletről is. Például: " Villám villant, mennydörgés üvölt és esni kezdett (a ? b ? c)».

2. Szétválasztó (disszjunkció)- ez egy összetett ítélet a "vagy" elválasztó kötőszóval. Emlékezzünk arra, hogy a fogalmak összeadásának és szorzásának logikai műveleteiről szólva megállapítottuk ennek az uniónak a kétértelműségét - mind nem szigorú (nem kizárólagos), mind pedig szigorú (kizárólagos) értelemben használható. Ezért nem meglepő, hogy a disjunktív ítéletek két típusra oszthatók:

1. laza diszjunkció- ez egy összetett ítélet a megosztó unióval „vagy” annak nem szigorú (nem kizárólagos) jelentésében, amelyet a konvencionális „?” jel jelöl. Ennek a jelnek a segítségével egy laza, két egyszerű ítéletből álló elkülönítő ítéletet lehet képlet formájában megjeleníteni: a ? b(olvas " a vagy b"), ahol aés b Angolul tanul, vagy németül", - két egyszerű ítélet laza disszjunkciója (elválasztása): "Angolul tanul", "Németül". Ezek az ítéletek nem zárják ki egymást, mert egyszerre lehet angolt és németet is tanulni, ezért ez az eltérés nem szigorú.

2. Szigorú diszjunkció- ez egy összetett ítélet, amelynek a "vagy" elválasztó kötőszó a szigorú (kizárólagos) jelentésében, amelyet a "" konvencionális jel jelöl. Ennek a jelnek a segítségével egy két egyszerű ítéletből álló szigorú elkülönítő ítéletet lehet képlet formájában megjeleníteni: a b(olvassa "vagy a, vagy b"), ahol aés b Két egyszerű ítélet. Például egy összetett ítélet: 9. vagy 11. osztályba jár", - két egyszerű ítélet szigorú elkülönítése (elkülönítése): "A 9. osztályban tanul", "A 11. osztályban tanul"... Figyeljünk arra, hogy ezek az ítéletek kizárják egymást, mert lehetetlen egyszerre tanulni mind a 9., mind a 11. osztályban (ha 9. évfolyamos, akkor biztosan nem a 11. évfolyamon tanul, és fordítva versa), amelyek miatt ez az elkülönülés szigorú.

A nem szigorú és a szigorú elutasítások is kettőből állhatnak, hanem nagyobb számú egyszerű ítéletből is. Például: " Angolt tanul, vagy németet tanul, vagy franciát tanul (a? B? C)», « 9. vagy 10. osztályba jár, vagy 11. osztályba jár (a b c)».

3. Implikatív megítélés (következmény)- Ez egy összetett ítélet a "ha ... akkor" feltételes unióval, amelyet a ">" feltételes előjellel jelölünk. Ezzel a jellel két egyszerű ítéletből álló implikatív ítéletet lehet képlet formájában megjeleníteni: a > b(olvassa el a "ha a, azután b"), ahol aés b Két egyszerű ítélet. Például egy összetett ítélet: Ha az anyag fém, akkor elektromos vezető", - két egyszerű ítélet implicit implikációja (oksági viszony): "Az anyag fém", "Az anyag elektromosan vezető"... Ebben az esetben ez a két ítélet összekapcsolódik oly módon, hogy a második következik az elsőből (ha az anyag fém, akkor szükségszerűen elektromosan vezető), de az első nem következik a másodikból (ha az anyag villamosan vezető, ez nem azt jelenti, hogy fém). Az implikáció első részét hívjuk alapján a második pedig az következmény; a következmény következik az okból, de a következmény nem következik. Implikációs képlet: a > b, így olvasható: „ha a, akkor biztosan b, de ha b akkor nem szükséges a».

4. Egyenértékű ítélet (egyenértékű)- ez egy összetett ítélet, amely "ha ... akkor" kötőszóval nem konvencionális jelentésben (mint az implikáció esetében), hanem azonos (ekvivalens). Ebben az esetben ezt az egyesülést a "" jel jelöli, amelynek segítségével két egyszerű ítéletből álló egyenértékű ítélet képlet formájában ábrázolható: a b(olvassa el a "ha a, azután b, és ha b, azután a"), ahol aés b Két egyszerű ítélet. Például egy összetett ítélet: Ha a szám páros, akkor maradék nélkül osztható 2-vel", - két egyszerű ítélet egyenértékű ítélete (egyenlőség, identitás): "A szám páros", "A szám egyenletesen osztható 2-vel"... Könnyen belátható, hogy ebben az esetben a két ítélet összekapcsolódik úgy, hogy a második következik az elsőből, az első pedig a másodikból következik: ha a szám páros, akkor maradék nélkül oszthatónak kell lennie 2-vel. , és ha a szám maradék nélkül osztható 2-vel, akkor párosnak kell lennie ... Nyilvánvaló, hogy az ekvivalenciában, a implikációval ellentétben, nem lehet oka vagy következménye, mivel két része egyenértékű ítélet.

5. Negatív megítélés (tagadás)- ez egy összetett ítélet a "nem igaz, hogy ..." kötőszóval, amelyet a konvencionális "¬" jel jelöl. Ezzel a jellel a negatív ítéletet képletként ábrázolhatjuk: ¬ a(ez így hangzik: „ez nem igaz a"), ahol a Egyszerű javaslat. Itt felmerülhet a kérdés - hol van egy összetett ítélet második része, amelyet általában szimbólummal jelölünk b? Felvett: ¬ a, már két egyszerű ítélet létezik: a- ez valamiféle állítás, és a "¬" jel a tagadása. Mintha két egyszerű megítélés lenne előttünk - az egyik pozitív, a másik negatív. Példa egy negatív ítéletre: Nem igaz, hogy minden legy madár.».

Tehát ötféle összetett ítéletet vettünk figyelembe: együttállás, diszjunkció (laza és szigorú), implikáció, ekvivalencia és tagadás.

A természetes nyelvben számos kötőszó létezik, de mindegyik jelentésükben az öt figyelembe vett típusra redukálódik, és minden összetett megítélés az egyikre vonatkozik. Például egy összetett ítélet: Már éjfél is közeleg, de Herman még mindig nincs ott", - kötőszó, mert benne az unió" de"Az összekötő unió szerepében használják" és ". Összetett ítélet, amelyben egyáltalán nincs unió: „ Vesse el a szelet, arassa le a vihart", - implikáció, mivel két egyszerű ítéletet összeköt a feltételes unió jelentése" ha ... akkor ".

Bármely bonyolult ítélet igaz vagy hamis, az abban foglalt egyszerű ítéletek igazságától vagy hamisságától függően. A táblázat meg van adva. 6 igazság mindenféle bonyolult ítéletről, a benne foglalt két egyszerű ítélet minden lehetséges igazságérték-készletétől függően (csak négy ilyen halmaz létezik): mindkét egyszerű ítélet igaz; az első ítélet igaz, a második hamis; az első ítélet hamis, a második igaz; mindkét ítélet hamis).

Mint láthatja, a kötőszó csak akkor igaz, ha a benne foglalt mindkét egyszerű ítélet igaz. Meg kell jegyezni, hogy a nem kettőből, hanem nagyobb számú egyszerű ítéletből álló kötőszó szintén csak akkor igaz, ha az összes benne szereplő ítélet igaz. Minden más esetben hamis. A laza diszjunkció viszont minden esetben igaz, kivéve, ha mindkét benne foglalt egyszerű ítélet hamis. A laza diszjunkció, amely nem kettőből, hanem nagyobb számú egyszerű ítéletből áll, szintén csak akkor hamis, ha az abban szereplő összes egyszerű ítélet hamis. A szigorú diszjunkció csak akkor igaz, ha az abban szereplő egyik egyszerű tétel igaz, a másik hamis. A szigorú eltérés, amely nem kettőből, hanem nagyobb számú egyszerű ítéletből áll, csak akkor igaz, ha a benne foglalt egyszerű ítéletek közül csak egy igaz, és az összes többi hamis. A következtetés csak egy esetben hamis - amikor alapja igaz, és a következmény hamis. Minden más esetben igaz. Az egyenértékűség akkor igaz, ha két egyszerű ítélete igaz, vagy ha mindkettő hamis. Ha az egyenérték egyik része igaz, a másik hamis, akkor az egyenérték hamis. A legegyszerűbb módszer a tagadás igazságának meghatározása: ha egy állítás igaz, akkor negatívja hamis; ha egy állítás hamis, akkor annak tagadása igaz.

Ellenőrizd le magadat:

1. Mi alapján különböztetik meg az összetett ítéletek típusait?

2. Ismertesse az összetett ítéletek minden típusát: név, egyesülés, szimbólum, képlet, példa. Mi a különbség a nem szigorú disszjunkció és a szigorú között? Hogyan lehet megkülönböztetni az implikációt az egyenértéktől?

3. Hogyan lehet meghatározni a bonyolult megítélés típusát, ha a "és", "vagy", "" kötőszavak helyett, ha ... akkor "bármilyen más kötőszót használunk?

4. Mondjon három példát az összetett ítéletek minden típusára, az „és”, „vagy”, „ha… akkor” kötőszavak használata nélkül.

5. Határozza meg, hogy a következő összetett ítéletek melyik típusba tartoznak:

1. Egy élőlény csak akkor emberi, ha gondolkodott.

2. Az emberiség meghalhat a föld erőforrásainak kimerüléséből, vagy ökológiai katasztrófából, vagy a harmadik világháború következtében.

3. Tegnap nemcsak matematikából, hanem oroszból is B-t kapott.

4. A vezető felmelegszik, amikor elektromos áram halad át rajta.

5. A körülöttünk lévő világ vagy felismerhető, vagy sem.

6. Vagy teljesen képtelen, vagy teljesen lusta ember.

7. Amikor az ember hízelgő, akkor hazudik.

8. A víz csak 0 ° C-tól alacsonyabb hőmérsékleten válik jéggé.

6. Mi határozza meg az összetett ítéletek igazságát? Milyen igazságértékeket vesz fel a konjunkció, a nem szigorú és szigorú diszjunkció, implikáció, ekvivalencia és tagadás, az egyszerű ítéletek igazságértékeinek összes halmazától függően?

2.7. Logikai képletek

Bármely állítás vagy egész érvelés formalizálható. Ez azt jelenti, hogy elveti a tartalmát, és csak logikai formáját hagyja meg, kifejezi azt a már jól ismert konjunkció, nem szigorú és szigorú diszjunkció, implikáció, ekvivalencia és tagadás jelölése segítségével.

Például a következő állítás formalizálása: Festéssel, zenével vagy irodalommal foglalkozik”, - először ki kell választania a benne szereplő egyszerű ítéleteket, és meg kell állapítania a közöttük lévő logikai kapcsolat típusát. A fenti állítás három egyszerű javaslatot tartalmaz: "Fest", "zenét tanul", "irodalommal foglalkozik".

Ezeket az ítéleteket elválasztó kapcsolat egyesíti, de nem zárják ki egymást (festést, zenét és irodalmat is csinálhat), ezért laza diszjunkció áll előttünk, amelynek formáját a következő feltételes jelölés képviselheti : a ? b ? c, ahol a, b, c- a fenti egyszerű ítéletek. Forma: a ? b ? c, bármilyen tartalommal kitölthető, például: „ Cicero politikus, szónok vagy író volt "," Angolul, németül vagy franciául tanul "," Az emberek szárazföldön, légi úton vagy vízi úton közlekednek».

Formalizáljuk az érvelést: „ 9. vagy 10. vagy 11. osztályba jár. Ismert azonban, hogy sem a 10., sem a 11. osztályban nem tanul. Ennélfogva 9. osztályos". Emeljük ki az ebben az érvben szereplő egyszerű állításokat, és jelöljük őket kis latin ábécé betűivel: „9. (a) osztályba jár”, „10. (b) osztályba jár”, „11. osztályba jár (c)”... Az érv első része e három állítás szigorú elvetése: a ? b ? c... Az érvelés második része a második tagadása: ¬ b, harmadik pedig: ¬ c, állítások, és ez a két tagadás összekapcsolódik, vagyis összekapcsolódnak: ¬ b ? ¬ c... A negációk együttállása a fent említett szigorú diszjunkcióhoz kapcsolódik három egyszerűítéletek: ( a ? b ? c) ? (¬ b ? ¬ c), és ennek következtében már ebből az új együttállásból következik az első egyszerű tétel állítása: „ 9. évfolyamon jár". A logikai következtetés, mint már tudjuk, implikáció. Így az érvelésünk formalizálásának eredményét a következő képlet fejezi ki: (( a ? b ? c) ? (¬ b ?¬ c)) > a... Ez a logikai űrlap bármilyen tartalommal kitölthető. Például: " Először egy férfi 1957-ben, vagy 1959-ben, vagy 1961-ben repült az űrbe. Ismert azonban, hogy az első ember nem 1957-ben vagy 1959-ben repült az űrbe. Következésképpen egy ember először repült az űrbe 1961-ben"Egy másik lehetőség:" A tiszta ész kritikájának filozófiai értekezését vagy Immanuel Kant, vagy Georg Hegel, vagy Karl Marx írta. Ennek a tanulmánynak azonban sem Hegel, sem Marx nem a szerzője. Ezért Kant írta».

Bármely okfejtés formalizálásának eredménye, amint láttuk, egy olyan formula, amely a latin ábécé kisbetűiből áll, amelyek kifejezik az érvelésben szereplő egyszerű állításokat, és a köztük lévő logikai kapcsolatok szimbólumai (kötőszó, diszjunkció stb.) . Az összes képlet logikailag három típusra oszlik:

1. Ugyanolyan igaz képletek igazak a bennük szereplő változók minden igazságérték-halmazára (egyszerű ítéletek). Bármely azonos igaz képlet logikai törvény.

2. Ugyanolyan hamis képletek hamisak a bennük szereplő változók minden igazságérték-halmazánál.

Az azonos hamis képletek az azonosan igaz képletek tagadását jelentik, és megsértik a logikai törvényeket.

3. Megvalósítható (semleges) képletek a különböző igazságérték-halmazok mellett a bennük szereplő változók igazak vagy hamisak.

Ha bármely érvelés formalizálása eredményeként azonos igaz képletet kapunk, akkor az ilyen érvelés logikailag hibátlan. Ha a formalizálás eredménye azonos hamis képlet, akkor az érvelést logikailag hibásnak (hibásnak) kell ismerni. A futtatható (semleges) képlet az érvelés logikai helyességéről tanúskodik, amelynek formalizálása ez.

Annak megállapítása érdekében, hogy egy adott képlet melyik típusba tartozik, és ennek megfelelően néhány érvelés logikai hűségének értékeléséhez általában egy speciális igazságtáblát alkotnak ehhez a képlethez. Vegye figyelembe a következő érvelést: Vlagyimir Vlagyimirovics Majakovszkij 1891-ben vagy 1893-ban született. Ismeretes azonban, hogy nem 1891-ben született. Ezért 1893-ban született. "... Ezt az érvelést megfogalmazva emeljük ki a benne foglalt egyszerű állításokat: "Vlagyimir Vlagyimirovics Majakovszkij 1891-ben született". "Vlagyimir Vlagyimirovics Majakovszkij 1893-ban született"... Indoklásunk első része kétségtelenül e két egyszerű állítás szigorú elvetése: a ? b... Ezenkívül az első egyszerű állítás tagadását hozzáadjuk a diszjunkcióhoz, és megkapjuk a kötőszót: ( a ? b) ? ¬ a... Végül a második egyszerű tétel állítása ebből az összefüggésből következik, és a következtetést megkapja: (( a ? b) ? ¬ a) > b, amely ezen érvelés formalizálásának eredménye. Most asztalt kell készítenie. 7 igazság a kapott képlethez:

A táblázat sorainak számát a szabály határozza meg: 2 n, ahol n a változók (egyszerű utasítások) száma a képletben. Mivel a képletünkben csak két változó van, a táblázatban négy sornak kell lennie. A táblázat oszlopainak száma megegyezik a változók és a képletben szereplő logikai uniók számának összegével. A vizsgált képletben két változó és négy logikai unió van (?,?, ¬,>), ami azt jelenti, hogy a táblának hat oszloppal kell rendelkeznie. Az első két oszlop a változók igazságértékeinek összes lehetséges halmazát mutatja (csak négy ilyen halmaz van: mindkét változó igaz; az első változó igaz, a második hamis; az első változó hamis, a második pedig igaz; mindkét változó hamis). A harmadik oszlop a szigorú diszjunkciós igazságértékek, amelyekre a változó igazságértékek mind a (négy) halmazától függ. A negyedik oszlop az első egyszerű állítás tagadásának igazságértékei: ¬ a... Az ötödik oszlop a kötőszó igazságértéke, amely a fenti szigorú disszjunkcióból és tagadásból áll, végül a hatodik oszlop az egész képlet vagy implikáció igazságértékei. Az egész képletet összetevőire bontottuk, amelyek mindegyike két távú összetett ítélet, vagyis két elemből áll (az előző bekezdésben azt mondták, hogy a tagadás egyben két távú összetett ítélet is):

A táblázat utolsó négy oszlopa ezeknek a kéttagú összetett ítéleteknek a képletet alkotó igazságértékeit mutatja. Először töltsük ki a táblázat harmadik oszlopát. Ehhez vissza kell térnünk az előző bekezdéshez, ahol a komplex ítéletek igazságtábláját mutatták be ( lásd a táblázatot. 6.), amely ebben az esetben alapvető lesz számunkra (mint a matematika szorzótáblája). Ebben a táblázatban azt látjuk, hogy a szigorú eltérés hamis, ha mindkét oldal igaz vagy mindkettő hamis; amikor egyik része igaz, a másik hamis, akkor a szigorú elkülönülés igaz. Ezért a kitöltött táblázatban szigorú disszjunkció értékei (fentről lefelé) a következők: "hamis", "igaz", "igaz", "hamis". Ezután kitöltjük a táblázat negyedik oszlopát: ¬ a: amikor az állítás kétszer igaz és kétszer hamis, akkor az ¬ a tagadás éppen ellenkezőleg, kétszer hamis és kétszer igaz. Az ötödik oszlop a kötőszó. A szigorú diszjunkció és tagadás igazságértékeinek ismeretében megállapíthatjuk a kötőszó igazságértékeit, ami csak akkor igaz, ha az abban foglalt összes elem igaz. Az adott kötőszót alkotó szigorú diszjunkció és tagadás egyszerre csak egy esetben igaz, ezért a kötőszó egyszer az "igaz", más esetekben pedig "hamis" értéket veszi fel. Végül ki kell töltenie az utolsó oszlopot: a következtetéshez, amely a teljes képlet igazságértékeit fogja képviselni. Visszatérve a bonyolult ítéletek alapvető igazságtáblázatára, emlékeztetünk arra, hogy a következtetés csak egy esetben hamis: amikor igaz az alapja, és a következmény hamis. Implikációnk alapja a táblázat ötödik oszlopában bemutatott kötőszó, a következmény pedig egy egyszerű ítélet ( b) a második oszlopban. Némi kellemetlenség ebben az esetben abban rejlik, hogy balról jobbra a következmény az alapozás elé kerül, de mentálisan mindig cserélhetjük őket. Az első esetben (a táblázat első sorában, nem számítva a "fejet") az implikációs alap hamis, a következmény pedig igaz, ami azt jelenti, hogy az implikáció igaz. A második esetben mind az alap, mind a hatás hamis, ami azt jelenti, hogy a implikáció igaz. A harmadik esetben mind az alap, mind a hatás igaz, ami azt jelenti, hogy a implikáció igaz. A negyedik esetben, akárcsak a másodikban, mind az alap, mind a hatás hamis, ami azt jelenti, hogy az implikáció igaz.

A figyelembe vett képlet a benne szereplő változók minden igazságérték-halmazánál az „igaz” értéket veszi fel, ezért azonos módon igaz, és az érvelés, amelynek formalizálását végrehajtja, logikailag hibátlan.

Vegyünk egy másik példát. Formalizálni kell a következő érvelést és meg kell állapítani, hogy az azt kifejező képlet milyen formába tartozik: Ha bármely épület régi, akkor komoly javításokra szorul. Ez az épület nagy felújításra szorul. Ezért ez az épület régi". Emeljük ki az ezen érvelésben szereplő egyszerű állításokat: "Néhány épület régi", "Néhány épület nagy javításra szorul"... Az érvelés első része a következmény: a > b, ezek az egyszerű állítások (az első az alapja, a második pedig a következménye). Ezenkívül a implikációhoz hozzáadjuk a második egyszerű állítás állítását, és a kötőszót kapjuk: ( a > b) ? b... És végül, az első egyszerű állítás állítása ebből az összefüggésből következik, és új következményt kapunk: (( a > b) ? b) > a, amely a megfontolt érvelés formalizálásának eredménye. A kapott képlet típusának meghatározásához készítsünk egy táblázatot. 8 az igazságából.

Két változó van a képletben, ami azt jelenti, hogy a táblázatban négy sor lesz; a képletben is három unió van (>,?,>), ami azt jelenti, hogy a táblázat öt oszloppal rendelkezik. Az első két oszlop a változók igazságértékei. A harmadik oszlop az implikáció igazságértékei.

A negyedik oszlop a kötőszó igazságértékei. Az ötödik, utolsó oszlop - az egész képlet igazságértékei - a végső implikáció. Így a képletet három részre bontottuk, amelyek két távú összetett ítéletek:

Töltsük ki egymás után a táblázat utolsó három oszlopát ugyanazon az elven alapulva, mint az előző példában, vagyis támaszkodva az összetett ítéletek alapigazság-táblájára (lásd 6. táblázat).

A figyelembe vett képlet mind az "igaz", mind a "hamis" értéket felveszi a benne szereplő változók különböző igazságérték-halmazaira, ezért megvalósítható (semleges), és az érvelést, amelynek formalizálása működik , logikailag helytálló, de nem hibátlan: különben az érvelés tartalma, felépítésének ilyen formája hibához vezethet, például: Ha a szó egy mondat elején van, akkor nagybetűvel írjuk. A "Moszkva" szót mindig nagybetűvel írják. Ezért a "Moszkva" szó mindig a mondat elején jelenik meg».

Ellenőrizd le magadat:

1. Mi az állítás vagy az érvelés formalizálása? Jöjjön elő néhány érvelés és formalizálja.

2. Formázza a következő érvelést:

1) Ha bármely anyag fém, akkor ez elektromosan vezető. A réz fém. Ezért a réz villamosan vezető.

2) A híres angol filozófus, Francis Bacon a 17. században, vagy a 15. században, vagy a 13. században élt. Francis Bacon a 17. században élt. Következésképpen sem a 15. században, sem a 13. században nem élt.

3) Ha nem vagy makacs, akkor meggondolhatod magad. Ha meggondolhatod magad, akkor képes vagy felismerni ezt az ítéletet hamisnak. Ezért, ha nem vagy makacs, akkor képes vagy felismerni ezt az ítéletet hamisnak.

4) Ha egy geometriai ábra belső szögeinek összege 180 °, akkor egy ilyen ábra háromszög. Egy adott geometriai ábra belső szögeinek összege nem 180 °. Ezért ez a geometriai ábra nem háromszög.

5) Az erdők tűlevelűek, lombhullatóak vagy vegyesek. Ez az erdő nem lombhullató és nem tűlevelű. Ezért ez az erdő vegyes.

3. Melyek az egyformán igaz, azonos hamis és kielégítő képletek? Mit lehet mondani az érvelésről, ha formalizálásának eredménye egyformán igaz képlet? Mi lesz az érvelés, ha formalizálását azonos hamis képlet fejezi ki? Mik azok az érvek a logikai hűség szempontjából, amelyek formalizálva kielégítő formulákhoz vezetnek?

4. Hogyan lehet meghatározni egy adott képlet típusát, amely kifejezi egy bizonyos érvelés formalizálásának eredményét?

Mi az algoritmus a logikai képletek igazságtábláinak összeállításához és kitöltéséhez? Jöjjön elő néhány érvelés, formalizálja azt, és az igazságtábla segítségével határozza meg a kapott képlet formáját.

2.8. A kérdés típusai és szabályai

A kérdés nagyon közel áll az ítélőképességhez. Ez abban nyilvánul meg, hogy bármely ítélet válaszként tekinthető egy kérdésre.

Ezért a kérdés logikus formaként jellemezhető, mintha az ítéletet megelőzné, ami egyfajta "előítélet". A kérdés tehát egy logikai forma (konstrukció), amelynek célja valamiféle ítélet formájában a válasz megszerzése.

A kérdések kutatási és információs kérdésekre oszlanak.

Kutatás a kérdések új ismeretek megszerzésére irányulnak. Ezek olyan kérdések, amelyekre még nem érkezett válasz. Például a következő kérdés: Hogyan született az univerzum?"- kutatás.

Információ a kérdések célja a már meglévő ismeretek (információk) megszerzése (átadása egyik emberről a másikra). Például a következő kérdés: Mi az ólom olvadáspontja?»- tájékoztató jellegű.

A kérdéseket kategorikus és propozíciós kérdésekre is felosztják.

Kategorikus (kiegészítő, különleges) kérdések tartalmazzák a „kik”, „mi”, „hol”, „mikor”, „miért”, „hogyan” stb. kérdő szavakat, feltüntetve a válaszok keresésének irányát és ennek megfelelően az objektumok, tulajdonságok kategóriáját vagy olyan jelenségek, ahol meg kell keresnie a szükséges válaszokat.

Propozíciós(lat. propositio- ítélet, javaslat) ( tisztázó, Tábornok) kérdések, amelyeket gyakran hívnak is, a már rendelkezésre álló információk megerősítésére vagy megtagadására irányulnak. Ezekben a kérdésekben a válasz már kész ítélet formájában szerepel, amelyet csak megerősíteni vagy elutasítani kell. Például a következő kérdés: Ki hozta létre az időszakos rendszert kémiai elemek? "- kategorikus, és a kérdés:" Hasznos a matematika tanulása?"- propozicionális.

Nyilvánvaló, hogy a kutatási és az információs kérdések egyaránt lehetnek kategorikusak és javaslatok. Lehet fordítva megfogalmazni: a kategorikus és a propozíciós kérdések egyaránt lehetnek kutatási és információs kérdések. Például: " Hogyan készíthetünk egyetemes bizonyítást Fermat tételéről?"- kategorikus kutatási kérdés:

« Vannak-e olyan bolygók az Univerzumban, amelyeket intelligens lények laknak, mint a Föld?"- kutatási javaslat:

« Mikor jelent meg a logika?"- információs kategorikus kérdés:" Igaz, hogy a szám ? A kerület és az átmérő aránya?»- tájékoztató javaslattételi kérdés.

Bármely kérdésnek sajátos szerkezete van, amely két részből áll. Az első rész valamilyen információt képvisel (amelyet általában valamiféle ítélet fejez ki), a második rész pedig annak elégtelenségét és annak szükségességét, hogy bármilyen válaszsal kiegészítsék. Az első rész neve alapvető (alapvető)(néha hívják is a kérdés előfeltétele), a második rész pedig a keresett... Például egy információs, kategorikus kérdésben: Mikor alakult ki az elektromágneses tér elmélete?"- a fő (alapvető) rész igenlő ítélet:" Elkészült az elektromágneses tér elmélete", - és a keresett rész, amelyet a kérdő szó képvisel" amikor», Jelzi a kérdés alapvető részében található információk elégtelenségét, és megköveteli azok kiegészítését, amelyet az ideiglenes jelenségek területén (kategóriájában) kell keresni. Egy kutatási javaslat kérdésében: Lehetséges, hogy a földiek más galaxisokba repülhetnek?", - a fő (alap) részt az ítélet képviseli:" A földiek lehetséges repülései más galaxisokba", - és a keresett rész, a részecskével kifejezve" hogy", Jelzi az ítélet megerősítésének vagy elutasításának szükségességét. Ebben az esetben a kérdés keresett része nem az alaprészében található egyes információk hiányát, hanem annak igazságáról vagy hamisságáról való hiányt jelzi, és megköveteli ezen ismeretek megszerzését.

A kérdés feltevésének legfontosabb logikai követelménye, hogy fő (alapvető) része egy igazi ítélet. Ebben az esetben a kérdést logikailag helyesnek tekintjük. Ha a kérdés fõ része hamis ítélet, akkor a kérdést logikailag helytelennek kell tekinteni. Az ilyen kérdésekre nincs szükség válaszra, ezért el kell utasítani őket.

Például a következő kérdés: Mikor vállalták az első utazást a világ körül?"- logikailag helytálló, mivel fő részét igaz ítélet fejezi ki:" A világkörüli út első fordulójára az emberiség történetében került sor". Kérdés: " Melyik évben fejezte be a híres angol tudós, Isaac Newton az általános relativitáselmélet munkáját?"- logikailag helytelen, mivel fő részét hamis ítélet képviseli:" A relativitáselmélet általános szerzője a híres angol tudós, Isaac Newton».

Tehát a kérdés fő (alap) részének igaznak kell lennie, és nem lehet hamis. Vannak azonban logikailag helyes kérdések, amelyek fő részei a hamis ítéletek. Például kérdések: "Lehet-e örökmozgót létrehozni?", "Van-e intelligens élet a Marson?", "Feltalálnak-e egy időgépet?"- kétségtelenül logikailag helytállónak kell ismerni, annak ellenére, hogy alapvető részeik hamis ítéleteket képviselnek: ... Az a tény, hogy ezeknek a kérdéseknek a keresett részei a fő, alapvető részeik igazságértékeinek tisztázására irányulnak, vagyis meg kell tudni, hogy az ítéletek igazak vagy hamisak: „ Lehetséges örökmozgót létrehozni ”,„ Intelligens élet van a Marson ”,„ Feltalálnak egy időgépet ”... Ebben az esetben a kérdések logikailag helyesek. Ha a megvizsgált kérdések keresett részei nem a fő részeik igazságának tisztázására irányultak volna, hanem valami más céljuk lenne, akkor ezek a kérdések logikailag helytelenek lennének, például: Hol jött létre az első örökmozgó? "," Mikor jelent meg az intelligens élet a Marson? "," Mennyibe fog kerülni az időgéppel való utazás? "... Így ki kell bővíteni és tisztázni kell a kérdés feltevésének fő szabályát: a helyes kérdés fő (alapvető) részének igaz ítéletnek kell lennie; ha ez hamis ítélet, akkor annak keresett részének a fő rész igazságértékének tisztázására kell irányulnia; különben a kérdés logikailag helytelen lesz. Nem nehéz kitalálni, hogy a fő rész igazságának követelménye elsősorban a kategorikus kérdésekre vonatkozik, és az a követelmény, hogy a keresett rész a fő rész igazságának tisztázása legyen, a javaslati kérdésekre vonatkozik.

Meg kell jegyezni, hogy a helyes kategorikus és propozíciós kérdések hasonlóak egymáshoz, mivel mindig valódi (és hamis) válasszal is megválaszolhatók. Például egy kategorikus kérdésre: Mikor ért véget az első világháború?"- igaz válaszként adható meg:" 1918-ban g."- és hamis:" 1916-ban g.". A felvető kérdésre: Forog-e a Föld a Nap körül?"- igazként is megadható:" Igen, forog"- és hamis:" Nem, nem forog", - válasz. Mindkét fenti kérdés logikailag helytálló. Tehát az igaz válaszok alapvető lehetősége a helyes kérdések fő jele. Ha alapvetően lehetetlen valódi válaszokat kapni bizonyos kérdésekre, akkor azok helytelenek. Például nem lehet igaz választ kapni egy felvetési kérdésre: „ Véget ér-e valaha az első világháború?"- ahogyan kategorikus kérdés esetén sem lehet megszerezni:" Milyen sebességgel forog a Nap egy álló Föld körül?».

Az ezekre a kérdésekre adott válaszokat kielégítőnek kell tekinteni, és maguk a kérdések is - logikailag helytelenek, elutasítás alatt állnak.

Ellenőrizd le magadat:

1. Mi a kérdés? Mi a kérdés és az ítélet közelsége?

2. Miben különböznek a kutatási kérdések az információs kérdésektől? Adjon öt példát kutatási és információs kérdésekre.

3. Melyek a kategorikus és a propozíciós kérdések? Mondjon öt példát kategorikus és javaslattételre.

4. Írja le az alábbi kérdéseket a kutatáshoz vagy információhoz való tartozásuk, valamint a kategorikus vagy javaslattétel szempontjából:

1) Mikor fedezték fel az egyetemes gravitáció törvényét?

2) Képesek lesznek-e a Föld lakói letelepedni a Naprendszer más bolygóira?

3) Milyen évben született Bonaparte Napoleon?

4) Mi az emberiség jövője?

5) Meg lehet-e akadályozni egy harmadik világháborút?

5. Mi a kérdés logikai felépítése? Mondjon példát egy kategorikus kutatási kérdésre, és emelje ki a fő (alap) és a szükséges részeket. Tegye ugyanezt egy kategorikus információs kérdéssel, egy propozíciós kutatási kérdéssel és egy propozíciós információs kérdéssel.

6. Melyik kérdés logikailag helyes és melyik helytelen? Mondjon öt példát logikailag helyes és helytelen kérdésekre. Lehet, hogy egy logikailag helyes kérdés hamis testet tartalmaz? Elég-e egy helyes kérdés meghatározásához a fő rész igazságának megkövetelése?

Mi a közös a logikailag helyes kategorikus és propozíciós kérdésekben?

7. Válaszolja meg, hogy az alábbi kérdések közül melyik logikailag helyes és melyik helytelen:

1) Hányszor nagyobb a Jupiter bolygó, mint a Nap?

2) Mekkora a Csendes-óceán területe?

3) Melyik évben írta Vlagyimir Vlagyimirovics Majakovszkij "A felhő a nadrágban" című versét?

4) Meddig tartott a termékeny ízület tudományos munka Isaac Newton és Albert Einstein?

5) Mekkora a földgolyó égtája?

3. FEJEZET. Tételajánlati logika kifejezés (ítélet) megérti azt a gondolatformát, amely kifejezi a valóságával való megfelelést vagy ellentmondást. Így a nagy ókori filozófus, Platón azt állította, hogy "aki a dolgokról annak megfelelően beszél, amelyek igazak, az igazat mondja, aki másképp beszél róluk - hazudik".

A hagyományos logikában, amely a dolgok és tulajdonságaik viszonyának vizsgálatára korlátozódott, az "ítélet" kifejezést általánosan elfogadottnak tekintették, míg a modern logikában inkább a kijelentésekről beszélnek. Ezeket a kifejezéseket azonban szinonimának tekintjük, ezért a jövőben ekvivalensként fogjuk használni őket.

Az állítások a következtetések szerves részeként szerepelnek, akár előfeltevésként, akár érvelés eredményeként. Bizonyos logikai összefüggés van a helyiségek és az esetleges érvelés között. A deduktív következtetésekben, amelyeket ebben és a későbbi fejezetekben figyelembe fogunk venni, ennek a kapcsolatnak logikus következménye vagy következtetése van, hihetően - egy valószínűségi kapcsolat jellege, amikor a feltételezés csak egy valószínűséggel egy fokon megerősíti a következtetést.

A modern deduktív logika megkezdi az állítások tanulmányozását, elvonatkoztatva belső szerkezetüktől, és akár igaznak, akár hamisnak tartja őket. Mint később látni fogjuk, éppen ez a megközelítés szolgál alapul a propozíciós számítás összeállításához, és lehetővé teszi, hogy az érvelést úgy kezeljük, mint a számítással. A jövőben ez a korlátozott és túl elvont megközelítés leküzdhető az ilyen korlátozások megszüntetésével. Ezekre a célokra épül a predikátumok logikája, amelyben az objektumok és az őket jellemző predikátumok közötti logikai kapcsolatot vesszük figyelembe. Alatti hagyományos logikával ellentétben állítmányok most nemcsak a tulajdonságokat értjük, hanem az objektumok közötti különböző kapcsolatokat is.

Bár a fogalmak kifejezésként szerepelnek az állításokban, a megismerésben teljesen más szerepet játszanak. Mint korábban láttuk, a fogalmak megkülönböztető jellemzőik szerint elválasztják a tárgyak bizonyos osztályait másoktól. A nyelvben egyetlen névvel fejezik ki őket, amely akár egyetlen szó, akár szavak kombinációja. Az állításokat mondatok segítségével fogalmazzák meg.

3.1. Mondás és javaslat

Bármely gondolat csak akkor válik elérhetővé más emberek számára, ha nyelven, szóbeli vagy írásbeli beszédben fejezik ki. A megnyilatkozások kifejezési formája mondatok, de nem minden mondat fejezi ki kimondását. Ha azt kérdezem: "Mi az időjárás ma?", Akkor ez nem erősíti meg vagy tagadja a valósággal kapcsolatos gondolatokat. Ugyanígy, amikor arra kérem Önt, hogy zárja be az ajtót, én sem fejezek ki ítéletet. Ebből kiderül, hogy az ítéletek nyelvi kifejezési formája narratív mondatok.
Az ítélet (kijelentés) meghatározható olyan gondolkodási formaként, amelyben a valóságról valamit megerősítenek vagy megtagadnak. Szélesebb körben: az ítélet megerősíti vagy tagadja a tárgyak és tulajdonságaik közötti kapcsolatok jelenlétét, valamint a tárgyak közötti kapcsolatokat.
Nyilvánvaló, hogy a tulajdonságokra és a kapcsolatokra vonatkozó állítások logikai felépítésükben különböznek egymástól, de nyelvtanilag deklaratív mondatokban vannak kifejezve. Például a mondat "Ez az ősz száraz" kifejezi az idei őszi ingatlan gondolatát és a javaslatot "3 több mint 2." - megállapítja a kapcsolatot a megadott természetes számok között.

Maga a gondolat mindaddig ismeretlen számunkra, amíg ki nem fejezi azt a nyelven. Ezért helyett ítéletek gyakran használnak semlegesebb kifejezést "kifejezés" amely hangsúlyozza, hogy pontosan egy megfogalmazott, kimondott gondolatról beszélünk, amelyet egy mondat fordít a nyelv szférájába. E tekintetben felmerül a kérdés, hogy a kijelentést gondolatként kell-e érteni egy mondattal együtt, mint a gondolat nyelvi kifejezésének eszközét.

A tudósok különböző módon válaszoltak erre a kérdésre, és számos vita tárgyát képezte. Ha nem választja el a gondolatot a kifejezés eszközeitől, akkor ugyanaz a gondolat, amelyet különböző nyelveken fejeznek ki, különböző ítéleteket fog képviselni. De ebben az esetben a gondolat és a fordítás egyik nyelvről a másikra való átvitele lehetetlen. Ezért ennek a nézőpontnak a kritikusai, akik között olyan kiemelkedő logikusokat lehet megnevezni, mint G.V. Leibniz, B. Bolzano, G. Frege és mások kijelentették, hogy a gondolkodást és az ítéletet elvonatkoztatva, a kifejezés eszközeitől elvonatkoztatva kell figyelembe venni. Egy és ugyanaz a gondolat különböző nyelveken különböző módon hangozhat és fogalmazható meg, de tartalma vagy jelentése valamiféle absztrakciónak tekinthető, külön a nyelvi kifejezéstől.

Amint az előző fejezetben megjegyeztük, gyakran a közönséges beszédben, nem tesznek egyértelmű különbséget a nyelvi kifejezés jelentése és jelentése között, aminek eredményeként kétértelműség, sőt zavart okozhat. Ezek elkerülése érdekében a logika szerint a nyelvi kifejezés jelentését az általa kijelölt tárgyként értjük, a jelentést pedig annak a tartalomnak vagy információnak nevezzük, amelyet kommunikál.

A kimondás jelentését az általa közvetített tartalom vagy információ fejezi ki. Azonban a valós tárgyakat jelölő konkrét nevektől eltérően az állításoknak absztrakt tárgyak vannak a jelentése: "igazság" és "hamis".
Az ítéletek (állítások), mint logikai kategóriák és a mondatok, mint nyelvtani kategóriák közötti alapvető különbség az, hogy csak a szó szoros értelmében vett ítéletek tekinthetők igaznak és hamisnak, míg a mondatok helyesen vagy helytelenül felépítve jellemezhetők.
Ez a különbség közvetlenül abból a tényből következik, hogy az ítéletet a valósághoz kapcsolódó gondolatként definiáljuk, amely megerősíti vagy tagadja a tárgyakban lévő tulajdonságok jelenlétét vagy maguknak a tárgyaknak a kapcsolatát. Ha a tárgyaknak valóban van ilyen tulajdonságuk vagy kapcsolatuk, akkor az ítélet igaz lesz, különben hamis. Mivel egy állítást mondat fejez ki, néha mondják a mondatok igazságáról és valótlanságáról, bár ez nem igaz.

3.2. Az állítások logikai felépítése

A kimondások és a mondatok közötti különbség szerkezetükben nyilvánvaló. A kijelentő mondatok nyelvtani szerkezete egy alanyból, egy állítmányból és kiskorú tagok javaslatok. A logikában az ítéletek is fel vannak osztva egy logikai alany szerepét játszó alanyra és egy állítmányra - logikai állítmányra. Ha az alany a gondolkodás tárgyát jelöli, akkor az állítmány jellemzi az objektumban rejlő tulajdonságokat, vagy az objektumok közötti kapcsolatot. A relációk előtérbe kerülése előhozza az állítmányt, mert ebben az esetben lehetetlen kiemelni egy olyan alanyot, amelyhez ez a reláció tartozna. Például, amikor ezt mondjuk - Elbrus magasabb, mint Mont Blanc. vagy "5 több mint 3. " akkor a "magasabb" arány mindkét hegycsúcsra, a "magasabb" pedig két számra vonatkozik. Éppen ellenkezőleg, az ítéleteknél - Az Elbrus egy hegycsúcs. vagy "5 - páratlan szám."állítmányaik egy meghatározott alanyra vonatkoznak. Ezért az ítéletek és mondatok összehasonlításakor az előbbit gyakran a hagyományos logika attribútív ítéleteire kell érteni. Jelző (Latin atributum - rendeltetésű, felruházott, hozzáadott) azért hívják őket, mert kifejezik egy tulajdonságnak egy tárgyhoz való tartozását vagy nem tartozását. Így a "vas - fém" ítéletben a fém tulajdonságait a vas szerves jellemzőinek ismerik el, az ítéletben pedig a "2 páros szám" - a 2-es paritás tulajdonságát. Ezeket a tulajdonságokat pontosan attribútívnak nevezzük. mert felismerik őket a vizsgált tárgyak attribútumaként, azaz szükségszerűen benne rejlő vagy nem benne rejlő.

A legtöbb olyan ítélet, amellyel a tudományban és főleg Mindennapi élet attribútívak. Az arisztotelészi logika szerint az ilyen ítéleteket csak elemezték. Logikai felépítésüket a séma fejezheti ki:

S van R,

Ahol S szubjektumot jelöl, azaz gondolat tárgya, és R -állítmány, amely a gondolkodás tárgyában rejlő tulajdonságot jelöl; az "is" (vagy "lényeg") logikai kapcsolat az alany és az állítmány között, vagyis a tulajdonság az objektumhoz tartozik.

Ha nincs ilyen kapcsolat, akkor az ítélet negatív lesz, és a rendszer fejezi ki:

S ne edd meg R vagy S van nem-R.

BAN BENrelációs (lat. relatio - utaló) ítéletek, kapcsolatokról szóló ítéletek, amelyeket a múlt század közepén kezdtek tanulmányozni, különféle alanyok kapcsolatáról beszélünk. Így a "Tver Szentpétervár és Moszkva között található" ítéletben jellemzik a térben a jelzett városok között fennálló viszonyt; az ítéletben "Elbrus magasabb, mint Mont Blanc" - a hegycsúcsok közötti magasság aránya; az ítéletben "Michael George testvére" - a testvérek közötti rokoni kapcsolat. Leggyakrabban a kapcsolatokra vonatkozó ítéletek a matematikában találhatók; kutatásukkal kezdődött a kapcsolatok logikájának kialakulása.

A modern logikában a tulajdonságokat és a kapcsolatokat az "állítmány" (latin praedicatum - állítmány) általános kifejezés jelöli, amelyben megkülönböztetik a helyek számát. Így, ingatlan hívják unárius állítmány, de hozzáállás "több mint" vagy "magasabb, mint", "idősebb, mint" stb. - kettős (bináris) hozzáállás. A kapcsolatokról további részleteket a következő fejezet tárgyal, de itt továbbra is a hagyományos logika megítélését vizsgáljuk a minőség és a mennyiség tekintetében.

A "minőség" kifejezést a logika kizárólag arra használja, hogy jellemezze a tulajdonságok objektumhoz való tartozását vagy nem tartozását.

Minőségi szempontból az ítéletek lehetnek igenlőek vagy negatívak. Ahogy a nevük is sugallja, igenlőítéleteknek nevezzük, amelyekben azt mondják ("állítják"), hogy egy tulajdonság egy tárgyhoz tartozik, vagy hogy az állítmány az alanyban rejlik, azaz S van R. Például: "az összes fém az elektromosság vezetője", "a logika a tudomány", "néhány gomba mérgező".

Negatív olyan ítéleteknek nevezzük, amelyekben megtagadják egy tulajdonság jelenlétét egy objektumban (az állítmány képtelensége az alany számára), azaz S nem P vagy S van nem-R. Például: "semmi emberi nem idegen számomra", "a bálna nem hal", "az asztrológia nem tudomány". Formálisan negatív ítéletek átalakíthatók igenlővé, amelyekben a negatív megelőzi az állítmányt:

S nincs-R.

Az ítéletek száma szerint fel vannak osztva általános, magánés egyetlen. Mivel egy tulajdonság (viszony) jelenléte vagy hiánya a tárgyakban egy ítéletben fejeződik ki, megkülönböztethetjük közöttük azokat, amelyekben a számunkra érdekes tulajdonság (viszony) minden, több, sőt egyetlen tárgyhoz tartozik. Nyilvánvaló, hogy egy relációhoz legalább két objektum szükséges, míg egy ingatlan tulajdonjoga csak egy objektum létezését feltételezi. Az ítéletek mennyiségi jellemzője leírja alkalmazási területüket, azaz jelentésük (denotáció). Ez a terület állhat az osztály összes eleméből, vagy néhányból, vagy akár egy elemből. Így az "összes fém elektromosan vezető" ítéletet általánosnak nevezzük, a "néhány hal repül" ítéletet - magán, a "Moszkva Oroszország fővárosa" - egyetlen. Mivel az általános és a konkrét ítéletek lehetnek igenlőek és negatívak, négy csoportba sorolhatók:

1) általában igenlő, amelyet a séma képvisel: "all S van R ". Ezekben egy tulajdonság vagy állítmány az osztály minden elemére utal;

2) általában negatív a séma képviseli: "nincs S nem P ";

3) magán igenlő:"néhány S van R ";

4) részleges negatív:"néhány S ne edd meg R ".

Ez a besorolás hasznos lehet számunkra a következő fejezetben a szillogizmusok tanulmányozása során.

Az ítéletek logikai felépítésének tanulmányozása lehetővé teszi, hogy kiemelje azok logikai formáját. Ebből a célból elvonatkoztatunk, elvonatkoztatunk a mondatok sajátos tartalmától és jelentésétől, amelyekkel a nyelvben kifejeződnek, és csak arra koncentrálunk, hogy az ítélet elemei logikusan hogyan kapcsolódnak egymáshoz. A klasszikus logika megalapozója, Arisztotelész így közelítette meg az ítéletek elemzését, aki néhány szimbólummal jelölte a logikai kifejezéseket. A természetes nyelv formalizálása azonban hiányos és korlátozott volt. A kijelentés vagy az érvelés természetes nyelven kifejezett logikai formájának azonosításához szükség van elvonatkoztatni a nyelv leíró (leíró) terminusaitól, és ezeket változóként kell bemutatni - akárcsak a matematika változóit. Ennek eredményeként kapunk egy állítás vagy érvelés csontvázat, amelyben csak a logikai kifejezések és a közöttük fennálló kapcsolatok maradnak meg.

Így a logikai forma azonosításához szükséges formalizált nyelv, azaz szimbolikus, mesterséges nyelv építésére, amelyet gyakran azonosítanak a számítással.

Formalizált logikus nyelv nem annyira a jegyzetek lerövidítése és a könnyű kommunikáció érdekében épül fel, hanem a természetes nyelven folytatott érvelés helyességének igazolására. A múlt században a híres német logikus és matematikus, Gottlob Frege arra hívta fel a figyelmet, hogy a mesterséges nyelveket, különösen a matematikában és a logikában, a könnyű és rövid kommunikáció rovására építik, amint azt megismerheti, miután megismerte a logika szimbolikus nyelvei.

Az ilyen nyelvekkel való ismerkedést azzal kezdjük állítások logikája. Ez a legegyszerűbb nyelv, amelyben az ember teljesen elvonatkoztat egy mondanivaló belső logikai felépítéséből, és valami egésznek tekinti: minden mondanivalót csak az igazságértéke szempontjából jellemez, azaz mint igaz vagy hamis. Magukat az állításokat a változókkal jelöljük x, y,z, ..., NS 1, nál nél 1, z 1. Minden változó csak két értéket vehet fel: "igaz" és "hamis", amelyeket 1-nek és 0-nak jelölhetünk. Az elemi (atomi) állításokat logikai módon kombinálhatjuk komplex (molekuláris) állításokká üzemeltetők, melyeket ún szalagok, csatlakozók vagy állandók. Mint később látni fogjuk, nagyjából megfelelnek néhány nyelvtani kötőszónak. Az elemi állítások igazságértékének és a logikai összekötőkkel való működés szabályainak ismeretében könnyen meghatározhatók azok a komplex állítások igazságértékei, amelyek bizonyos logikai funkcióként fognak működni. Ahogyan a matematikában, az argumentumok megadásával kiszámítják a matematikai függvény értékét, az állítások logikájában meghatározzák az elemi (atomi) állításokból képzett logikai függvény értékét. A kémiából kölcsönzött terminológiával való analógia egyértelműen megmutatja a molekuláris állítások atomból való képződésének folyamatát, és különösen azt a tényt, hogy egy elemi állítást tovább bonthatatlannak tekintenek.

Nem nehéz megérteni, hogy a kijelentés ilyen gondolata nagymértékben leegyszerűsíti a dolgot, és absztrakció, de lehetővé teszi az érvelés struktúrájának jobb megértését a legegyszerűbb szinten. A jövőben pontosításokat, kiegészítéseket tehet ebbe a struktúrába annak érdekében, hogy valódi belső kapcsolatot fejezzen ki az állítások elemei között. Amint azt a Ch. Az 5. ábra szerint erre a célra épül fel az állítmányi logika, ahol az állítások belső struktúráját figyelembe veszik az érvelésben. Ez az elemzési módszer lehetővé teszi annak megértését, hogy az egyszerű logikai rendszerekből a komplexekbe való átmenet hogyan valósul meg az igazságértékek növelésével és további logikai műveletek bevezetésével. Ez elsősorban az állítások igazságértékeinek számára vonatkozik. A modern nem klasszikus logikában a klasszikus logika szokásos két igazságértékével (igazság és hamisság) együtt több igazságértéket tekintenek, például "igaz", "hamis" és "határozatlan". Valószínűségi (induktív) logikában még végtelen számú igazságértéket is működtetnek, mivel a valószínűségnek a 0 intervallumban folyamatos az értékskálája x1.

Ezenkívül a kijelentéseket nem az igazságértékük alapján lehet elemezni, hanem a bennük lévő ismeretek érvényességének vagy a megismerő alany modális kategóriákon keresztüli hozzáállásának szempontjából értékelni. Részletesebben e fejezet végén fogunk beszélni róluk. A klasszikus kétértékű logika a legegyszerűbb logikai rendszer, amelyben a legkönnyebb megérteni, hogy az összetett állítások hogyan képződnek az egyszerűből, és hogyan határozzák meg magukon a logikai műveleteket.

3.3. Komplex állítások kialakításának módszerei

Az összetett ítéletek az egyszerűekből két fő módon alakulnak ki:

1) az állítások számszerűsítésével;

2) egyszerű vagy elemi utasítások kombinálása logikai kapcsolatok vagy operátorok segítségével.

Az első módszer az általános ítéletek megszerzésének módszere az ítélet hatókörét jellemző logikai kvantorok alkalmazásával. Mielőtt tovább térne a megbeszélésre, fontolja meg a koncepciót függvény-utasítások, amely fontos szerepet játszik a logikában.
Az állításfüggvényben szereplő állításokat igazságértékük alapján értékelik, ezért ezt a függvényt is hívják igazságfunkció. Matematikai függvénnyel analógia útján alakul ki, de az utóbbival ellentétben a benne szereplő érvek nem számok és egyéb matematikai objektumok, hanem logikai objektumok - állítások. E tekintetben hívják is propozíciós funkció vagy - ami kevésbé eufónikus - a kifejező funkció. Argumentumai és maga a függvény értéke igaz és hamis. Így itt a kétértékű klasszikus logika propozíciós funkciójával van dolgunk.
A propozíciós függvény fogalmának meghatározásához vegye figyelembe a következő példákat:

NS- Prímszám;

nál nél- fém;

z- hallgató.

Formájukban ezek a kifejezések állításokra hasonlítanak, de nem határoznak meg konkrét állítást, mivel változókat tartalmaznak, amelyek jelentése ismeretlen marad. Ez analógiát vet fel olyan algebrai függvényekkel vagy képletekkel, amelyek specifikus számtani függőségeket képesek kifejezni. Tehát például a lineáris függvény y =ax +ban ben akkor kap határozott jelentést, ha konstansok és változók helyett konkrét számokat helyettesítünk.

Ugyanígy a logika propozíciós függvényei konkrét állításokká válnak, ha bizonyos neveket helyettesítenek a logikai változók. Tehát az első példában, ha helyett NS helyettesítse a 3-as számot, megkapja a "3 egy prímszám" igaz állítást. Ha ahelyett NS a 4-es számot helyettesítjük, akkor kap egy hamis állítást "4 a prímszám". Ennek megfelelően a második példában, ha helyett nál nél helyettesítse a „vasat”, megkapja a „vas-fém” igaz mondást. Ha ahelyett nál nél helyettesíti a "foszfort", akkor hamis állítást kap "foszfor - fém".

Végül, a harmadik példában, ha a változó helyett Ivanov tanuló nevét helyettesíti, akkor az "Ivanov tanuló" igaz állítást kapja. Tehát a változók egyes értékei kielégítik a propozíciós függvényeket, mások nem, azaz. az első esetben igazgá, a másodikban - hamissá változtatják őket, de mindkét esetben határozott, konkrét állításokkal teszik őket.
Ezért könnyen meghatározható javaslattétel egy függvény, amely alatt bármilyen olyan változót értünk, amely változókat tartalmaz, amelyek állandókkal helyettesítve egy konkrét állítássá változtatják a kifejezést.
Itt egyértelmű analógia van a logikai, a propozíciós és a matematikai függvények között. De az analógia nem jelenti az azonosságot, mivel egy propozíciós függvényben a változók helyett nemcsak számok, hanem bármilyen nem matematikai objektum nevét is helyettesíteni lehet, amint azt a második és a harmadik példa is mutatja. Ebből a szempontból a propozíciós függvény mélyebb absztrakció, mint egy matematikai függvény, bár analóg vele.

A propozíciós függvények valódi állításokká alakításához először is a jelentésekhez rendelhetünk konkrét jelentéseket a változókhoz, a fentiek szerint; másodszor a kijelentések számszerűsítésének vonalán haladhat. Nézzünk meg egy példát a pontosítás érdekében. Kifejezés

x + y = y + x

Konkrét állítássá változtatható, ha változók helyett NSés nál nél vegyen be bizonyos számokat. De lehet mondást kapni Tábornok ha megkötözzük a változókat kvantorok, amelyek azt mutatják, hogy a vizsgált identitás minden számra érvényes. Ezért a következő formában írhatjuk:

(NS)(nál nél)(NS + nál nél = nál nél + NS),

Ahol (NS)és y) jelöli közösségi kvantorok, amelyeket gyakran emlegetnek univerzális kvantorok. Ez a képlet valódi általános felvetést fejez ki, amely az összeadás kommutatív (elmozdulási) törvényeként ismert, amelyet általában szóban fejezünk ki: az összeg nem változik, amikor a kifejezéseket átrendezzük.

Univerzális kvantorral ellátott állítások segítségével fogalmazódnak meg a tudomány általános törvényei, különös tekintettel a matematikai törvényekre, tételekre és azok következményeire. Felhívjuk figyelmét, hogy az "egyetemes" kifejezés csak egy adott tantárgy általános állításaira vonatkozik, mint például matematika, fizika, közgazdaságtan és más tudományok. Nyilvánvaló, hogy még a matematikában sem minden állítás egyetemes. Például a képlet x + y= 5 csak a változók bizonyos numerikus értékeire teljesül, mégpedig csak akkor x = 1 és nál nél= 4, vagy x = 2 és nál nél= 3, vagy x =És 3 nál nél= 2, vagy

x = 4 és nál nél= 1. Ezért nem lehet azt állítani, hogy ez az egyenlőség minden számra érvényes. Csak azt mondhatjuk, hogy vannak olyan számok, amelyek kielégítik az egyenlőséget x + y= 5. A "számok vannak" szavak helyett NSés nál nél " bevezethet egy létezés-kvantort. Ekkor a megadott egyenlőség a következő szimbolikus formában ábrázolható:

(Volt) (E y) (NS + nál nél = 5),

Ahol (Volt)és (Ey) egzisztenciális kvantorok.

A hagyományos logika szerint ezeket az állításokat privát ítéleteknek nevezzük. Az ilyen ítéleteket igaznak vagy hamisnak ítélik meg.

Így az állítások megalkotásának egyik módja az, hogy előbb összeállítunk egy propozíciós függvényt, ahol a megfelelő változók megjelennek, majd összekapcsoljuk őket az általánosság és a létezés számszerűsítőivel. Ennek köszönhetően általános és különös megállapításokat kapunk.

A komplex (összetett) állítások alapvetően eltérő módja az, ha két vagy több egyszerű állítást kombinálunk logikai operátorok vagy összekötők segítségével, amelyeket az "és", "vagy", "ha, akkor" stb. Kifejezések fejeznek ki. Ez a módszer hasonlít összetett mondatok alkotásának grammatikai módszere kompozíciós és alárendelt uniók felhasználásával. Tehát a "Keleten sütött a hajnal, és úgy tűnt, hogy az arany felhősorok a napra várnak" mondatban két egyszerű mondatot összekötő "és" kötőszót is használnak.

A logikai kapcsolatok azonban abban különböznek a nyelvtani kötőszótól, hogy az ítéleteket nem jelentésük, hanem csak igazságuk értéke alapján kombinálják. Ezzel szemben a nyelvtani kötőszók jelentésük szerint kombinálják a mondatokat, így egy összetett mondatnak bizonyos holisztikus, egyetlen jelentést ad.
Így amikor az állításokat logikailag kombinálják, elvonják őket a kijelentések konkrét tartalmától és értelmétől. Ezért a mindennapi tudat szempontjából egyes logikai műveletek egyértelműen paradoxnak tűnnek. Éppen ezért a logika tanulmányozásának kezdői itt szembesülnek a legnagyobb nehézségekkel. Ezek leküzdéséhez már a kezdetektől meg kell érteni, hogy a logikai megközelítés általánosabb, és ezért nem veheti figyelembe a kötőszavak nyelvtanban történő használatának minden sajátosságát.

3.4. Alapvető logikai műveletek az utasításokon

Mielőtt tovább folytatnánk a logikai műveletek és a konnektívek meghatározását, amelyeken keresztül összetett állítások képződnek egyszerűekből, a következő feltételezéseknek kell vezérelniük.

1. A klasszikus logika bármely állításának két igazságértéke van - és csak egy - "igaz" vagy "hamis". Ebből a szempontból a jövőbeli események igazságértéke továbbra is bizonytalan.

2. A komplex állítás igazságának értéke kizárólag a benne foglalt egyszerű állítások igazságértékeitől függ. Ezért egy komplex állítás igazságértéke az igazság függvénye az azt alkotó egyszerű állításoktól.

3. A komplex állítások kialakításakor csak a benne foglalt egyszerű állítások igazságértékét veszik figyelembe, és nem azok jelentését.

Logikai műveletek meghatározása

A legegyszerűbb logikai művelet az tagadás, val vel amelynek segítségével egy adott állításból ellentmondásos állítás képződik. A hétköznapi nyelvben a műveletet a "nem igaz" vagy egyszerűen a "nem" szavakkal fejezik ki, szimbolikus nyelven - a kijelentés elé helyezett tagadó jellel. Ha állítást adnak NS, akkor negációja az lesz - x. A hétköznapi beszédben a tagadás legtöbbször az igék és az állítmány névleges része előtt áll. Például a "2 páros szám" állítás tagadása a "Nem igaz, hogy 2 páros szám" állítás lenne, ami hamis. Tagadva azt kapjuk, hogy "Nem igaz, hogy 2 nem páros szám", amely egyenértékű a "2 páros szám" állítással. Ez azt jelenti, hogy a kettős tagadás az eredeti kimondáshoz vezet. Felhívjuk figyelmét, hogy az eredeti tagadásával kapott állítás ellentétes vele, azaz valamit tagad, de nem állít valamit. Tehát, amikor azt mondjuk, hogy "ez a papírlap nem fehér", nem azt állítjuk, hogy zöld, kék vagy lila.

A tagadás meghatározásához egy igazságmátrixot (táblázatot) használunk, amelyben a kezdeti állítás két igazságértékét ("igaz" és "hamis") adjuk meg a bal oszlopban, tagadását pedig a jobb oszlopban (1. táblázat). ). Az állítás igazságát "és" betűvel vagy az 1-es számmal, hamisat - "l" betűvel és 0-val jelölik.

Ha az állítás igaz, akkor az ellentmondó állítás hamis lesz, és fordítva, ha az állítás hamis, akkor az ellentmondó állítás igaz lesz.

Konjunkció(logikai szorzat) két vagy több egyszerű állításból áll össze, összekapcsolva őket egy logikai "és" kapcsolattal. Például, ha az egyszerű állítások egyikét betűvel jelöli meg NS, a másik pedig y, akkor együttállásuk az "x és y" vagy a komplex kimondás lesz "NSy ", ahol a sign jel konjunktív operátort jelöl (logikai összekötő). A komplexumba tartozó egyszerű állításokat hívjuk kötőszavak tagjai.

Egy kötőszót akkor és akkor tekintünk igaznak, ha összes kötőszava igaz. Legalább egy hamis kifejezés jelenléte az egész kötőszót hamis állítássá változtatja. Ennek alapján nem nehéz igazságtáblát összeállítani a kötőszóhoz (2. táblázat).

Disszjunkció (logikai összeg) két vagy több egyszerű állításból áll össze, kombinálva őket egy logikai linkkel "vagy". A "vagy" kötőszót a nyelvben leggyakrabban kizárólagos értelemben használjuk, amikor két alternatíva közül választhatunk: egyik vagy másik. Ritkábban használják ezt az uniót nem kizárólagos értelemben, azaz "és" szóval kifejezve. A logikában és a matematikában az "or" linket elsősorban nem kizárólagos értelemben használják. Tehát például a "2 kisebb, mint 3 vagy 3 kisebb, mint 5" elkülönülést nem kizárólagos értelemben értjük, mivel nemcsak 2, hanem 3 is kisebb, mint 5.

A nem kizárólagos disszjunkció akkor és csak akkor tekinthető hamisnak, ha az összes disszjunktív kifejezése hamis. Ezért elég egy igaz kifejezés ahhoz, hogy a diszjunkció igaz legyen. A kizáró diszjunkció akkor igaz, ha csak egyik tagja igaz, a másik hamis. Hamis lesz, ha mindkét tagja egyszerre igaz vagy hamis. A diszjunkció operátort  jelöli a nem kizárólagos diszjunkció és  a kizárólagos diszjunkció esetén.

Figyelembe véve az elfogadott konvenciókat, elkészíthetünk igazságtáblákat (3. táblázat) a nem kizárólagos (bal oldali) és a kizárólagos (jobb) disszjunkcióra.

Művelet következményei abból áll, hogy két egyszerű megszólalásból egy komplex mondat képződik egy logikai összekötő eszköz segítségével, amelyet az "ha ... akkor ..." szavakkal jelölünk, és amely megközelítőleg megfelel egy természetes nyelvű feltételes mondatnak. A logika szerint ezt a csomagot hívják következmény,és nyíllal jelöljük.

Feltételes nyilatkozat két egyszerű állításból áll. Azt hívják, amelyet a "ha" szó vezet be előzmény(az előző állítás), valamint az alapja, és kezdődik az "hogy" szóval - következetes(későbbi állítás) vagy egy feltételes nyilatkozat következménye.

A tudományban és a mindennapi gondolkodásban a feltételes állításokat használják arra, hogy kapcsolatot teremtsenek a különböző formájú állítások között. A szükséges és elegendő feltételeket az előzmény és a következmény fogalmának segítségével határozzuk meg. Így az előzmény elegendő feltétel (alap) a következményhez (következményhez). Például a "Ha egy háromszögnek van egyenlő oldalak, akkor az összes szöge egyenlő lesz "az oldalak egyenlőségének feltétele elegendő feltételként (alapként) szolgál a következményekhez - szögei egyenlőségéhez. Ugyanakkor kijelenthetjük, hogy a következmény szükséges feltétele a alapot, mivel "A háromszög szögeinek egyenlősége szükséges feltétele az oldalai egyenlőségének".

A hétköznapi beszédben gyakran nem tesznek különbséget az alap és a következmény, mint logikai összefüggés, valamint az ok és okozat, mint viszony között. a való Világ... Az oksági összefüggés jelenlétéről csak a körülöttünk lévő világ jelenségeinek sajátos tanulmányozásával lehet meggyőződni. Ha az egyik jelenség egy másik jelenséget okoz vagy okoz, akkor az elsőt nevezzük oknak, a másodikat pedig a hatásnak. Tehát a rúd felmelegedése - az ok - megnyújtását - a hatását okozza. Ezt a függőséget empirikusan - megfigyeléssel és méréssel - állapítjuk meg. Az alapozás és a hatás közötti logikai kapcsolat nem igényel empirikus kutatást, mivel pusztán logikai érvelés segítségével jön létre. Példánkban az egyenlő oldalú háromszög szögeinek egyenlőségét geometriai tételként vezetjük le.

A feltételes állításokat az állítások közötti sokféle kapcsolat kifejezésére használják, de nem minden esetben veszik figyelembe azok tartalmát és jelentését. A modern logika során kizárólag az állítások közötti kapcsolatra figyelnek az igazságuk értéke szerint, mert a logika feladata a következtetés igazságának garantálása a valódi premisszákból, és ehhez szükséges az igazság átadása a helyiségeket a következtetésre. E tekintetben a logikai implikációban elvonatkoztatnak (elvonják a figyelmet) a tartalomtól és a jelentéstől, és csak az állítások igazságuk értéke szerinti összekapcsolására figyelnek. Ennek eredményeként megfontolhatjuk azokat az implikációkat, amelyek a hétköznapi, a józan ész szempontjából értelmetlenek és paradoxak. Például: "Ha 2 x 2 = 5, akkor Moszkva nagyváros", akkor ez nemcsak elfogadható, hanem valódi következmény is.
Így az implikáció az igazságértékek eloszlásának minden esetét figyelembe veszi, és csak akkor tekinthető hamisnak, ha előzménye igaz és a következmény hamis.
Például a "Ha 2 x 2 = 4, akkor Moszkva egy kis város" implikáció hamis, mivel előzménye igaz állítás, következménye pedig hamis.
Ezért egyértelmű, hogy az implikáció kifejezi a helyes érvelés legfontosabb tulajdonságát. Ismeretes, hogy lehetetlen hamis következtetést levonni valódi premisszákból, ha helyesen okoskodunk. Ez az alapelv minden deduktív logikát megalapoz, és megmarad az implikáció működésének meghatározásában.
Az implikációkra vonatkozó állítások igazságértékeinek megoszlását a 4. táblázat mutatja be, ahol a nyíl az implikációt jelöli.

A feltételes állítások természetes beszédben való használata és a modern logika közötti éles ellentmondás sok vitát és vitát váltott ki, amelyekben a logikusokat azzal vádolták, hogy nem vették figyelembe a kijelentések közötti szemantikai kapcsolatot, és ezért ostobaságra jutottak. De amint azt a fentiekben már hangsúlyoztuk, a logikusok egy feltételes állítást csak implikációnak tekintenek, azaz az előzmény és a következmény igazságértékeit tekintve. Az implikáció egy formalizált nyelv művelete, és nem egy sajátos feltételes kijelentés, amelyet különböző összefüggésekben különböző módon lehet megérteni (oksági kapcsolat, az elégséges és szükséges feltételek közötti kapcsolat, az ok és a hatás kapcsolata stb.). Ha nem veszik figyelembe a formalizált és a természetes nyelv megkülönböztetését az implikatív és a feltételes állítások között, akkor elkerülhetetlenül felmerülnek az implikáció paradoxonjai, amelyek közül a leghíresebbek az implikáció logikai következménnyel való azonosításához kapcsolódnak. Azt a tényt, hogy implikációban a valódi következmény bármilyen előzménytől származik, igaz és hamis, azt az állítást kezdték értelmezni, amelyből az igazság következik w h y g o d n kb. Vagy másként fogalmazva, hogy a hamis előzmény bármilyen következményt magában foglal, igaz vagy hamis, úgy értelmezték, mint azt az állítást, hogy bármely állítás hamis állításból következik. De ezek az állítások nem értenek egyet intuitív elképzeléseinkkel, ezért paradoxonként hatnak az ún anyagi vonzat. Az elmúlt évtizedekben erőfeszítéseket tettek ezeknek a paradoxonoknak a leküzdésére, és olyan logikai fogalmak felkutatására, amelyek megfelelőbben tükrözik a szemantikai kapcsolatot a feltételes állításokban. Az egész kérdés azonban az, hogy hogyan lehet azonosítani egy ilyen összefüggést általánosságban, függetlenül az előzmény és a következmény konkrét tartalmától. Mindenesetre az implikációk, amelyek azt állítják, hogy jelentést képviselnek, minden bizonnyal szűkebbek, mint az anyagi implikációk fogalma.

Művelet egyenértékűség két olyan állítást ötvöz, amelyek azonos igazságértékekkel bírnak. Ezért egyrészt az igaz állítások ekvivalensek lesznek, másrészt a hamis állítások. Egyébként az állításokat nem tekintjük egyenértékűnek. Ennek alapján könnyen elkészíthető az egyenértékűségre vonatkozó igazságtábla, amelynek szimbóluma ellentétes végű nyíl (5. táblázat).

Az ekvivalencia természetes nyelven kifejezhető az "ha és csak akkor" szavakkal, és mint ilyen gyakran megtalálható a tudományos meghatározások megfogalmazásában.

A táblázatos meghatározás mellett a logikai műveletek (a tagadás kivételével) mások által is meghatározhatók, a tagadás kötelező használatával. A táblázatos módszerrel (6. táblázat) valóban meg lehet győződni arról, hogy a kifejezések (x? y)és (¬y? ¬x) egyenértékű lesz, azaz (x? y) ? (¬y? ¬x).

Az első implikáció és a fordított (inverz) minden sora, amelyet az első következményének és előzményének negációinak permutációjával kapunk, egybeesnek egymással. Ezért ezek a következmények ekvivalensek lesznek.

Az igazságtáblák segítségével ellenőrizheti, hogy a többi logikai művelet meghatározható-e a másik kettőn keresztül, és a második művelet mindig negáció lesz. Például egy diszjunkció kifejezhető konjunkcióval: (NS  y) ? (¬ x¬y).

Az amerikai logikus C.S. javaslatot tett egy módszerre az egyszerű állításokból összeállított összetett állítások valóságának megállapításához egy táblázat segítségével. Pierce és nagyon kényelmesnek bizonyult. Mint láttuk, ez a módszer az egyszerű állítások igazságértékeinek kombinációján és a negáció, együttállás, diszjunkció és implikáció műveletei alapján kialakított komplex állítások igazságának későbbi meghatározásán alapul. Például, ha két állítás van, akkor az igazságértékeik különböző kombinációinak száma 4, három - 8, négy - 16, és ezért egy adott számra NS egyenlő 2ⁿ-vel. Ezért könnyen belátható, hogy egy komplex állítás igazságának meghatározása lényegében az egyszerű állítások igazságértékei alapján történő kiszámításra szorul. Ez a benyomás megerősödik, ha az igazságot 1-nek, a hamisat 0-nak jelöljük, és egyesítjük őket tagadás, konjunkció, diszjunkció stb. Illusztrációként számítsuk ki a következő kifejezés igazságértékét: ( NS  y) ? (xz).


Bizonyos készségekkel a számítási folyamat felgyorsítható azáltal, hogy a képlet két részét összekötő fő műveletre összpontosít. Az adott példában (7. táblázat) elegendő észrevenni, hogy hamis implikáció valós előzménnyel és hamis következménnyel jár. Ebből könnyű meghatározni a lehetséges értékeket NSés nál nél diszjunkcióban (NS  y),és az értékeket is NSés zösszefüggésben (NS z). A komplex állítás igazságának kiszámításának ilyen rövidített módja a fő logikai művelet megállapításán alapul a vizsgált képletben.

A propozíciós logika törvényei

Az ilyen törvények egyformán igaz állítások, azaz. állítások, amelyek továbbra is igazak a bennük szereplő egyszerű állítások bármely értékére. Ezen állítás érvényessége az igazságtáblák segítségével újra ellenőrizhető. Elvileg minden egyformán igaz állítás a logika (vagy a propozíciós számítás) törvénye. Csak a főbbeket soroljuk fel.

Azonosító törvény : ha NS, azután NS, azok. NS? NS.

Egyszerűsítési törvény: ha NSés y, azután NS, azok. NSy? x. Ugyanez vonatkozik a másik kötőszavra is:

x  y ? y

Egyenértékűségi törvény: ha onnan NS kellene y,és onnan nál nél kellene NS, akkor az állítások ekvivalensek, azaz

x ? y.

A hipotetikus szillogizmus törvénye: ha onnan NS kellene y,és onnan nál nél kellene z, majd onnan NS kellene z, azaz

((x ? y)  (y ? z)) ? (x ? z)

A kettős tagadás törvénye: ha onnan NS kellene nem X, akkor az utóbbi tagadása az eredeti állításhoz vezet:

¬ (¬ x) ? x

O. de Morgan törvényei lehetővé teszik a konjunkciótól a diszjunkcióig, és fordítva, az disjunkciótól a konjunkcióig való elmozdulást. Kényelmes eszközként szolgálnak az állítások átalakításához:

DE) az állítások kötőszójának tagadása egyenértékű a kötőszavak tagadásainak disszjunkciójával:

¬ ( x  y) ? (¬ x  ¬ y)

B) a diszjunkció tagadása egyenértékű a diszjunkció tagolt tagjainak konjunkciójával:

¬ ( x  y) ? (¬ x  ¬ y)

Az "elnyelés" törvénye: az azonos állítások együttállása vagy diszjunkciója egyenértékű magával az állítással, azaz az ismétlődő tagot "lenyeli":

(x x) ? xés ( x  x) ? x.

Kommutatív törvények mert a kötőszók és diszjunkciók lehetővé teszik tagjaik permutációját:

(x  y) ? (x  y) és ( x  y) ? (y  x).

Társulási törvények az együttállás és a diszjunkció lehetővé teszi a kifejezések különböző kombinációit, azaz zárójeleket tegyen más módon:

x  (y  z) ? (x  y)  z vagy x  (y  z) ? (x  y)  z.

Törvényellentétek lehetővé teszi a közvetlen implikáció inverzsel való helyettesítését, amelynek eredményeként az első előzményét a második következményének tagadásával helyettesítik, következményét pedig az előzmény tagadásával helyettesítik. Egyszerűen fogalmazva, ellentétes helyzetben van egy implikáció az implikáció vagy ellenpontozás feltételeiről, de ezeket negatívumokkal vesszük figyelembe:

(x ? y) ? (¬ y ? ¬ x)

Az ellentmondás törvénye: két ellentmondó kijelentés, azaz kifejezés NSés a nem-x negációja nem lehet együtt igaz:

(x  ¬ x)

Mivel ez a törvény tiltja az ellentmondásokat az érvelésben, gyakran nevezik is a következetesség törvénye,és ez utóbbi helyesebb.

Az egészséges harmad törvénye: két ellentmondó állítás közül csak az egyik igaz. Ekkor a második hamis lesz, és nincs harmadik lehetőség.

x  ¬ x

Mindezek a törvények közvetlenül ellenőrizhetők az igazságtáblák segítségével, de ajánlatos emlékezni rájuk, hogy ne kelljen minden alkalommal az asztalok felépítéséhez fordulni. Lehetne más törvényeket idézni, amelyeket néha használnak az érvelésben, de ezek sokkal kisebb szerepet játszanak. Elvileg számtalan ilyen törvény létezhet. Mindegyiknek csak változókat és logikai konstansokat kell tartalmaznia, és igaznak kell lennie az érvelés bármely területén (univerzumában). Sőt, feltételezzük, hogy ez a régió nem üres. Az állítások logikájában az állandók logikai összekötők (konnektívek), amelyek segítségével összetett utasítások képződnek, az egyszerű állítások pedig változók.

A fent felsorolt ​​összes törvény a helyes érvelés alapjául szolgál, mert ezekre támaszkodva soha nem lehet hamis következtetést levonni a valódi premisszákból. Ezért minden következetes, következetes és helyes gondolkodás mindig a logika törvényeinek megfelelően történik, függetlenül attól, hogy tudunk róla, vagy sem. Ugyanakkor a felsorolt ​​törvények közül ki kell emelni a legalapvetőbbeket, amelyeket általában hívnak a logika törvényei. Ide tartoznak az identitás, az ellentmondás és a kizárt középső törvények, amelyeket a 6. fejezet tárgyal.

A tételes számítás összes törvénye, amint az igazságtáblák segítségével is látható, azonosak (általánosan érvényes képletek alapján). Bármilyen igazságértéket is csatolnak a bennük szereplő állításokhoz, végül a képlet mindig igaz. Éppen ezért ezeket a törvényeket kifejezetten vagy implicit módon alkalmazzák bármely érvelésben, mert az ő segítségükkel válik lehetővé a rendelkezésre álló információk átalakítása és egyszerűsítése, valamint bizonyos következtetésekre jutás. Magyarázzuk el ezt az ellentétes törvény példájával. Ha tudjuk, hogy a "háromszög NS egyenlő szárú ", akkor a következő állítás következik y, azt állítva, hogy "az alapjainál lévő szögek egyenlőek". De ha ezek a szögek nem egyenlők, akkor az ellentmondás törvénye alapján arra lehet következtetni, hogy "a háromszög nem egyenlő szárú", azaz. ( NS ? nál nél) ? (¬ y ? ¬ x). Így ezt a következtetést tisztán logikusan kapjuk meg, anélkül, hogy például ellentmondásos bizonyításhoz folyamodnánk.

Ebből egyenesen nyilvánvaló, hogy az állítások logikájának törvényei egyrészt megkönnyítik az érvelésünket, másrészt nagymértékben leegyszerűsítik, harmadrészt pontosabbá és érthetőbbé teszik őket, mert könnyebb kezelni a szimbólumokat és képleteket, mint kevésbé határozottakkal. és pontatlanok.szóbeli megfogalmazások.

Mivel a propozíciós számítás törvényei ugyanolyan általános érvényűek, mint a logika alaptörvényei, akkor elvileg nem különböznek tőlük. Ha továbbra is megkülönböztetjük őket a logika alaptörvényeitől, akkor ez inkább a hagyomány tisztelete, bár a különböző rendszerek jellemzése szempontjából az ilyen megkülönböztetés továbbra is megőrzi jelentőségét. Így megkülönböztetjük a konstruktív logikát a klasszikus logikától, ha nincs benne a kizárt harmadik törvénye.

3.5. Logikus követés

A logika fő feladata annak vizsgálata, hogy az adott állítások milyen következményekkel járnak, például milyen matematikai tételek következnek az elfogadott axiómák rendszeréből. Intuitív módon következtetéseket vonhatunk le anélkül, hogy logikus szimbolikához és technológiához folyamodnánk, sőt nyilvánvalóan nem is vagyunk tisztában azokkal a logikai szabályokkal, amelyeket implicit módon használunk. Nehezebb esetekben azonban az intuitív képességek nem elegendőek, különösen akkor, ha ellenőrizni kell az érvelést és elemezni a hibákat. A legegyszerűbb esetekben is el lehet hibázni, amint azt a következő példa mutatja.

"Ha nincs eső (¬D), akkor eljön a találkozóra (B)." Esni kezdett, ezért nem fog eljönni a találkozóra (¬В). Ezt a verbális megfogalmazást lefordítjuk a propozíciós számítás logikai nyelvére, majd megkapjuk a képletet:

((¬D? V)  D))? ¬B (1)

A következtetés helyességének ellenőrzéséhez állítsunk össze egy igazságtáblát (8. táblázat).

Noha a verbális érvelés következtetése első pillantásra helyesnek tűnik, logikailag nem következik a premisszákból, ami látható, ha összehasonlítjuk az (1) képlet premisszáinak igazságértékét a következtetés igazságértékével. Ha a következtetés logikailag a helyiségből következik, akkor a helyiségek egyidejű igazságával (¬D ? C) a táblázat első sorában. 8. és D következtetés ¬ A sor utolsó oszlopában szereplő B értéknek igaznak és hamisnak kell lennie. A logika alapelve azonban azt feltételezi, hogy a valódi premisszákból nem lehet hamis következtetést levonni. Ez azt mutatja, hogy a vizsgált következtetés nem következik a telephelyről. Hiszen nem kizárt annak lehetősége, hogy az eső ellenére egy ember eljöhet a találkozóra.

Innentől kezdve világossá válik, hogy az egyik állítás vagy egy képlet logikai következményét meg lehet állapítani a másiktól azáltal, hogy egy igazságtáblát készítünk a képletekbe foglalt összes egyszerű (elemi) állításról, amelyeket ún. atom(vagy csak atomok). Ezzel szemben a logikai kapcsolatok segítségével felépített komplex (összetett) állításokat molekulárisnak tekintjük. Ha bebizonyosodik, hogy a premisszák egyidejű igazolásával a következtetés is igaz lesz, akkor ez okot ad arra, hogy ezt a képletet vagy állítást logikailag egy másik vagy mások következtében, azaz a következtetés a helyiségekből következik. Egyébként, amint azt az előző példában láttuk, a következtetés logikailag nem következik a helyiségekből.

Most a logikai következmény általános definícióját adjuk meg a propozíciós számításban. Jelöljük a molekuláris állításokat a latin ábécé nagybetűivel DEés BAN BEN, atomos (elemi) állításokból áll NS1 , NS2 , x3 ,..., xn. Aztán azt mondják, hogy "B kellene tól től DE vagy van következmény DE", amikor az igazság táblázatai DEés BAN BEN képlet BAN BENértéke "true" mindazon sorokon, ahol DE igaz. Szimbolikusan a következőket például a "| =" jel jelöli DE| = BAN BEN.

Ha innen DE logikusan következik BAN BEN,és onnan BAN BEN kellene DE, azok. A | = B és B | = A, akkor ebben az esetben az állítások DEés BAN BEN logikusan fog egyenértékű.

Most térjünk át egy másik esetre, és határozzuk meg például, hogy a képlet megfelel-e NS nál nél a képletből ( NS ? nál nél)  (x  ¬ y ). Ehhez ismét elkészítünk egy táblázatot igazságukról (9. táblázat).

Ebben a táblázatban azonban az állítás egyetlen sora sem NS ? nál nélés NS  ¬ nál nél nem egyszerre igazak, ezért együttállásuk hamis lesz. De a hamis állításból fakadó következtetéseket igaznak tekintik. Ezért azt mondhatjuk, hogy a figyelembe vett képletből nemcsak az x любая y disszjunkció következik, hanem bármely más képlet is. Egy ilyen paradox eredményt nem nehéz megmagyarázni. Az a tény, hogy a ( NS ? nál nél)  (NS  ¬ nál nél) logikus ellentmondás, amint az látható, ha második részét implikációval fejezzük ki, azaz ( NS  ¬ nál nél) ? ¬( x ? y). Ebből közvetlenül látható, hogy a kötőszó második tagja az első tag tagadása: ( NS ? nál nél)  ¬( NS ? ¬ nál nél).

Az ilyen állításokat, amelyekben az egyikük állít valamit, a másik ugyanakkor tagadja, hívjuk ellentmondásos (ellentmondásos). Az ellentmondásmentesség ismert törvénye szerint az ilyen állítások megengedhetetlenek az érvelésben, mert bármely állítás logikailag ellentmondó állításból következik: igaz vagy hamis.

Gyakran ellentmondásos állításokat is hívnak következetlen mert az ellentmondás logikailag következik a következetlen állításokból.

A kijelentések következetlensége (következetlensége), amely néha az érvelésben fordul elő, oda vezet, hogy igaz és hamis következtetések egyaránt elfogadhatók benne. Ezt a körülményt széles körben alkalmazták az ókori szofisták, akik bármi áron - többek között a logikai törvények megsértésével - igyekeztek biztosítani a vita győzelmét. Nyilvánvalóan erre elfedték a kijelentéseiket, mert ellenkező esetben az ellenfelek és a hallgatók nyilvánvaló ellentmondásokban tárhatták ki őket. Az ellentmondásoktól és a hibáktól azonban senki sem mentes, de meg kell különböztetni a szándékos (tudatos) és a nem szándékos (tudattalan) hibákat. Ha az első, akiket gyakran hívnak szofizmusok, kell kitenni, akkor a másodikat hívják bénulás, korrigálni kell. Mindkét esetben a logika megbízható eszközként szolgál a hibák elemzéséhez és nyilvánosságra hozatalához, és különösen annak megállapításához, hogy a helyiségéből levont következtetés logikusan követhető-e.

Az első példában a téves következtetés verbális megfogalmazásának elégtelen pontosságával társult, a második példában az ellentmondást a képlet második részének szimbolikus jelölésének egy másik formája leplezte le. Nyilvánvaló, hogy ha az ellentmondást a következő formában írták: NS ? nál nél) és ¬ ( x ? nál nél), akkor azonnal világossá válna, hogy itt van egy ellentmondásunk, amelyből, mint ma már tudjuk, bármilyen következtetés következik: igaz, hamis és még abszurd is. Nem feltételezhető azonban, hogy az ellentmondások ilyen könnyen feltárulnak. Amint a Ch. Az ellentmondások számos feltételtől függnek, amelyek teljesítése szükséges ahhoz, hogy ellentmondásként jellemezhessük őket, különösen azért, hogy az állítások, amelyek egyikét tagadják a másiktól, egyszerre és a ugyanaz a tisztelet. Az idő múlásával ismereteink megváltoznak, ezért a jelenségeket jellemző állítások is megváltozhatnak, és megszűnhetnek egymásnak ellentmondani.

Könnyen belátható, hogy a fentiekben figyelembe vett összes ellentmondásos (ellentmondásos) állítás az ( DE  ¬ DE), ahol a kötőszó feltételei DEés ¬ DE a metanyelv kifejezői, azaz az a nyelv, amelyen az objektum (szubjektum) nyelvről beszélünk. A metanyelvet a változókkal kifejezett kifejezések ábrázolására használják NS 1, NS 2, NS 3,..., x n. A jövőben a metanyelv képleteit alkalmazzák, valahányszor egy tantárgynyelvről kell beszélnünk, nehogy elrontsuk az előadást és ne írjuk ki ennek a nyelvnek a képleteit.

Tehát minden önkényesen bonyolult állítás, amely egy állítás és annak tagadásának együttes formájában mutatható be, azaz hogyan DE  ¬ DE, pontosan ellentmondást képviselnek. Ezért a bennük szereplő állítások bármely kombinációja esetén az igazságértékük ("igaz" vagy "hamis") szerint hamis következtetésre vezetnek. Más szavakkal, az elemi utasításokból kialakított függvény-állítás mindig "hamis" jelentéssel bír. Mivel egy hamis állításból egyszerre lehet igaz és hamis is, amennyiben a logika alaptörvénye - a következetesség törvénye - megtiltja az ellentmondó állítások vagy képletek használatát az érvelésben. Ezt a tilalmat az érvelés következetességének követelménye fejezi ki, amelyet gyakran az érvelés összeegyeztethetőségének (koherenciájának) követelményének is neveznek.

Ha a ( DE  ¬ DE) mindig hamis állítás, akkor a következetesség követelményét kifejező negációja éppen ellenkezőleg, mindig igaz állítás, általánosan érvényes képlet, ill. tautológia, hogyan kezdték L. Wittgenstein után hívni az ilyen kijelentéseket. Nem szabad azonban összekeverni a nyelvi tautológiákat a logikusakkal. Ha a nyelvben a tautológia a szöveg ugyanazon mondatának vagy mondatának az ismétlését jelenti, akkor a logikában az megegyezik egy igaz állítással. Nem szabad összekeverni az azonos igaz állításokat az azonosság törvényével, amelyet a képlet fejez ki DE ? DE, bár ez utóbbi tautológiát is kifejez.

Ennélfogva világossá válik, hogy a tautológiák (ugyanolyan igaz állítások) felhasználhatók a logika összes törvényének vagy bármely általánosan érvényes képletének képviseletére. Valójában a következetesség törvénye, amely tiltja az ellentmondásokat az érvelésben, a ¬ ( A  ¬ A), amely tautológia, amely ellenőrizhető egy megfelelő igazságtábla elkészítésével (10. táblázat). Ugyanez mondható el a kizárt harmadik törvényéről is ( A  ¬ A) (11. táblázat).

Ha valami következik egy ellentmondásból, azaz "igaz" vagy "hamis", akkor a tautológia minden igaz vagy hamis állításból következik. Valóban, ha a táblázat minden sorában mindig igaz a következtetés, akkor az implikáció szabálya szerint mind igaz, mind hamis premisszákból beszerezhető. Sőt, valódi premisszákból soha nem lehet hamis következményt (ellentmondást) szerezni.

A mindig igaz állítások (tautológiák) és egyrészt a mindig hamis (ellentmondásos) állítások közötti köztes pozíciót a tényszerű állítások. Következtetéseik egyaránt lehetnek igazak és hamisak, attól függően, hogy mely tényeken alapulnak telephelyük. Míg a tautológiák igazsága vagy az ellentmondások valótlansága ezen állítások pusztán logikai elemzésével megállapítható, a ténymegállapítások igazságának jelentőségéhez a tényekre van szükség. Más szavakkal, a ténymegállapítások igazságának vagy valótlanságának megállapításához meg kell vizsgálni a valóság valódi összefüggéseit és kapcsolatait, amelyeket a megfelelő megállapítások tükröznek, amelyek a tényszerű következtetések premisszájaként szolgálnak. Ennek alapján a tényszerű állításokra gyakran hivatkoznak empirikus szemben a logika és a tiszta matematika elemző állításával. De ennek az ellentétnek relatív jellege van, mivel mind a tudományos, mind a mindennapi érvelésben analitikai logikai kijelentéseket használnak empirikus állításokkal együtt, mivel empirikus törvényekből vezetünk logikai következtetéseket.
A tudományban minden új információt empirikus (tényszerű) állítások segítségével fogalmaznak meg, és az abból levont következtetéseket a logikai következmények törvényeinek (szabályainak) felhasználásával kapják.

3.6. Bizonyítás és levonhatóság

Eddig az egyszerű állításokból álló összetett állítások igazságának vagy hamisságának meghatározásakor igazságtáblákra támaszkodtunk. De ez a módszer kényelmetlen és nehézkes, különösen, ha nagyszámú egyszerű állítással kell megküzdenie. Emlékezzünk vissza kettőre egyszerű állítások az igazságtáblázat négy sort tartalmaz, három-nyolc, és 12 állításhoz 4096 sorra lenne szükség. Éppen ezért a logikában a táblázatos módszerrel együtt gyakran olyan módszert alkalmaznak, amely mások állításainak következtetésén és bizonyításán alapul.

Lényegében ez a módszer nagyon hasonlít a tételek bizonyítási módszerére, amely az iskola geometriájából ismert. Az ottani bizonyítás a tételek axiómákból történő logikai levonására, valamint a korábban bebizonyított tételekre korlátozódott, amelyeket igaz geometriai állításként fogadtak el. Végül bármely bizonyítás a tételek axiómákból történő logikai levonására redukálódik, mivel a korábban bizonyított tételek logikailag is levezethetők az axiómákból. Így a különbség a bizonyítás és a logikai következtetés között az, hogy egy bizonyításban a premisszákat elfogadjuk igaz állításként, a logikai következtetésben pedig feltételezésként vagy hipotézisként. Ebből világossá válik az érvelés vagy gondolkodás igazsága és helyessége közötti különbség, amelyet a Ch. 1. Egy állítás igazsága feltételezi egyrészt a feltételezés igazságát, amelyből származik, másrészt a logikai következtetés helyességét. Minden feltételezésből levonható következtetés, beleértve a hamis feltételezéseket is.

Noha a logikai bizonyítási folyamat hasonló a matematika bizonyításához, a kettő között jelentős különbség van; abból áll, hogy a matematikában konkrét matematikai objektumokkal - számokkal, ábrákkal, függvényekkel stb., logikában - pedig állításokkal, azaz. logikai objektumokkal. Tárgyak megkülönböztetésére különböző szinteken, a matematikai állítások bemutatásához a tantárgy nyelvét, a tantárgy nyelvének elemzéséhez pedig a metanyelvet használják, amelyben a kutató megfogalmazza állításait. Egyszerűen fogalmazva, ahhoz, hogy egy tárgynyelv tárgyairól beszéljünk, szükség van egy metanyelvre, amely a második szint nyelveként működik. Ezt a körülményt a jövőben mindig szem előtt kell tartani.

Az állítás vagy képlet igazolásának összeállításához a propozíciós számításban:

1) meg kell jelölni azokat az axiómákat vagy bizonyíthatatlan képleteket, amelyekből az összes bizonyítható képlet vagy tétel származik;

2) pontosan megfogalmazza a tételek axiómákból történő levezetésének szabályait.

Elvileg minden tautológia (általánosan érvényes állítás) a propozíciós számítás axiómáinak tulajdonítható, amelyek többségét könnyű ellenőrizni az igazságtáblák segítségével. De általában csak kevés axióma felsorolására szorítkoznak, amelyekből a logika szabályai szerint más általánosan érvényes állításokat (tételeket) kívánnak levezetni. De bármelyik tétel axiómának tekinthető, és az új rendszerből tételként megszerezhetjük a régi axiómát. Az axiómák megválasztása általában a propozíciós számítás elkészítésének kényelmességén és célszerűségén alapul. Választhatjuk axiómaként a Sec. 3.4.

Az axiómák mellett következtetési szabályokra van szükség a tételek levezetéséhez. A propozíciós számításban általában két szabályt használnak: az elválasztási szabályt és a helyettesítési szabályt.

Elválasztási szabály (modus ponens - МР) a forma két állítását teszi lehetővé DEés DE ? BAN BEN, parcellákként vonja le a következtetést BAN BEN. Vázlatosan ez a szabály a következőképpen ábrázolható:

DE, DE ? BAN BEN

A vízszintes sáv itt választja el a következtetést a helyiségtől. A helyiségek az előzmények DEés maga az implikáció DE ? BAN BEN, a következtetés a következmény. Így ez a szabály lehetővé teszi számunkra, hogy a következtetést független tudásként elválasszuk a helyiségektől. Tehát a matematikában folyamatosan megfogalmazunk tételeket anélkül, hogy megjelölnénk azokat a premisszákat, amelyekből származtak. Ha a bizonyítást csak az elkülönítési szabály korlátozza, akkor ehhez meg kell győződni arról, hogy a helyiségek igazak-e, és a logikai következtetés helytálló-e. Mivel a matematikában a premisszák végső soron azok az axiómák, amelyeket bizonyítás nélkül igaznak fogadnak el, így maga a bizonyítás a logikai következtetés helyességének ellenőrzésére szorítkozik. Az empirikus tudományokban emellett meg kell erősíteni a premisszák igazságát, amelyek különféle feltételezésekként szolgálhatnak (empirikus törvények vagy általánosítások, hipotézisek, elvek, posztulátumok vagy akár egész elméletek).

Helyettesítési szabály lehetővé teszi bármely más állítás helyettesítését a propozíciós számításban szereplő változó helyett, de hogy igaz állítást kapjunk következtetésként, az eredeti képletnek igaznak kell lennie.

A tételszámítás nagyon egyszerű axiómarendszerét állította össze B. Russell és A.N. Whitehead, majd D. Gilbert javította. Négy axiómából áll:

1) x  NS ? NS.

2) NS ? NS  nál nél.

3) x  y ? y  x.

4) (NS ? nál nél) ? ((z  x) ? (z  nál nél)).

1. axióma azt állítja, hogy egy állítás akkor igaz, ha az állítás önmagával való disszjunkciója igaz.

2. axióma azt jelenti, hogy amikor az állítás igaz, akkor bármely - igaz vagy hamis - diszjunktív kifejezés hozzáadható hozzá, mivel a diszjunkció akkor lesz igaz, ha az egyik kifejezés igaz állítás.

3. axióma a diszjunkció kommutativitási törvénye.

4. axióma kimondja, hogy ha az implikáció igaz, akkor bármilyen disszjunktív kifejezés hozzáadható előzményéhez és következményéhez, mert ez nem befolyásolja a implikáció igazságát. Könnyen belátható, hogy az axiómákat kifejező összes képletben az implikáció helyettesíthető egy ekvivalens kifejezéssel: ( NS ? nál nél) ? (¬ NS  nál nél). Általában két logikai műveletet használnak az axiómák megfogalmazására, mivel ezek elegendőek az összetett állítások kifejezéséhez.

Ezen axiómák alapján a fenti következtetési szabályok segítségével lehetőség van az állítások logikájának más igaz állításaira is következtetni. Az axiomatikus megközelítéssel nem az állítások igazságának megállapításának értelmes módjai felé fordulunk, hanem az axiómákat igaznak feltételezve, az elválasztási és helyettesítési szabályok felhasználásával más igaz következtetéseket vonunk le. Ez a megközelítés pusztán formális lehet, ha az axiómákat kezdeti képleteknek tekintjük, a logikai következtetési szabályokat pedig egyes képletek másokká alakításának szabályaként. Így történik a formális következtetés és a bizonyítás a matematikában, de ez sok időt vesz igénybe és különös figyelmet igényel. A levezetett következtetési szabályok és a korábban bebizonyított tételek segítségével azonban a formális bizonyítási folyamat felgyorsítható, bár a matematikusok a gyakorlatban csak akkor fordulnak formális bizonyításokhoz, ha ellentmondásokkal vagy paradoxonokkal találkoznak, vagy amíg szükségessé válik a a bizonyíték.

Érdekes megjegyezni, hogy ha beprogramozza a tételek bizonyításának folyamatát, akkor biztos lehet abban, hogy a számítógép viszonylag egyszerű formai bizonyításokat gyorsabban és pontosabban hajt végre, mint egy személy, ahogyan a számokkal is végez műveleteket. Az embernek a számítógéppel szembeni előnye nemcsak az általa végrehajtott műveletek megértésében nyilvánul meg, hanem abban is, hogy a megfelelő műveleteket nagy blokkokban hajtja végre, miközben a gépnek minden lépést külön kell végrehajtania. Ugyanakkor a hatalmas reakciósebesség miatt a gépnek jelentős előnye van az emberrel szemben éppen a rutinműveletek és folyamatok végrehajtása során, amelyek magukban foglalják a számokkal végzett műveleteket, valamint az egyszerű logikai és matematikai bizonyításokat.

A következtetés és a bizonyítás folyamata sok közös vonást mutat a természetes nyelvű érveléssel, ahol egyes állításokat másoktól is levezetnek, de azonban nem jelzik kifejezetten az alkalmazott következtetés logikai szabályait, feltételezve, hogy ismertek. Ez a körülmény kényszerítette a logikusokat olyan számítások készítésére, amelyek hasonlítanak a természetes nyelv következtetéseire. Ezért hívják őket gyakran természetes következtetések. Ezek közül a leghíresebb és legelismertebb a természetes következtetés rendszere, amelyet G. Gentzen épített fel és amely 1934-ben jelent meg. Bár a következtetésen alapuló bizonyítékokat Euclid használta az "Elemeiben" (geometria), a logikában azonban elkezdődtek sokkal később elemezni kell. A nehézség itt az, hogy a természetes nyelv használatával folytatott érvelést nehéz átültetni a logika mesterséges nyelvévé.

3.7. A természetes nyelvi érvelés logikai elemzése

Az érvelés természetes nyelven zajlik, de amikor nehézségek és kétértelműségek merülnek fel, akkor logikus elemzésükre kell térnünk. Egy ilyen elemzés magában foglalja a fordítást a természetes nyelvből a logika nyelvébe, amelynek eredményeként a természetes nyelvű mondatok közötti összes kapcsolatot logikai összekötők (konnektívek) váltják fel, amelyek jelentését pontosan meghatározzák definíciók segítségével. Tehát, a logikai "és" logikai unió a konjunkcióval jelenik meg, az "vagy" unió - disszjunkcióval stb. De ugyanakkor néha eltérés mutatkozik a természetes nyelv mondatai és az azoknak megfelelő logikai állítások között. Már mondtuk, hogy a "vagy" kötőszónak megfelelő diszjunkció működésének logikai használata a természetes nyelvben gyakran ellenállásba ütközik, mert a logikában ezt az uniót csak tágabb, befogadó értelemben veszik figyelembe, míg a hétköznapi beszédben vagy akár a tudomány, gyakran használják exkluzív értelemben. Igaz, elvben a "vagy" kötőszó kizáró jelentése vagy - vagy "kifejezhető az inkluzív" vagy "és" más logikai műveletek segítségével.

Sokkal nagyobb nehézségek merülnek fel, amint láttuk, az implikációs művelet feltételes állítások kifejezésére történő használatával, amelyekről még mindig viták folynak. Az ilyen viszonylag egyszerű művelet, mint a kötőszó, néha nem adja át az "és" kötőszó természetes nyelvű használatának minden árnyalatát. Valóban, bár a kommutativitási törvény alapján a ( DE  BAN BEN) és ( BAN BEN  DE) egyenértékűek, azonban természetes nyelven nem mindig érzékelik őket ilyennek. Például a „Mása férjhez ment és gyermeket szült” és a „Mása gyermeket szült és megnősült” mondatot egyenlőtlennek tekintik az események időbeli sorrendjét tekintve. De ezt a különbséget nem lehet megfelelően kifejezni a propozíciós számítás nyelvén. Ennek a számításnak számos korlátja kiküszöbölhető a logikai elemzés erősebb eszközeinek felépítésével, különösen például a predikátumok logikájában. A formalizálás azonban soha nem tudja kimeríteni a folyamatosan fejlődő és fejlődő természetes nyelv minden gazdagságát és lehetőségét.

A következtetések megkötésének bizonyossága, pontossága és egyértelműsége alapvető szerepet játszik az érvelés folyamatában, amely a racionális-logikai meggyőzés legfontosabb eszközeként szolgál. Az érvelés írásbeli bemutatása mellett azonban nem mindig valósul meg a gondolatok megfelelő átadása szavakkal, ítéletekkel - mondatokban. Ideális lenne egy olyan eset, amikor minden ítélet egy mondatnak felelne meg, és fordítva, egy mondat egy ítéletet fejezne ki. De ez a valóságban soha nem fordul elő. Mindazonáltal egy ilyen ideál arra szolgál, hogy az adott sajátos körülmények között a lehető legközelebb kerülhessen hozzá. Ezért az érvelés logikai elemzésében már az első szakaszban egy természetes nyelv mondatait igyekeznek lefordítani az állítások nyelvére. Ebben a szakaszban kiküszöbölik mindazokat a mondatokat és egyéb nyelvi kifejezéseket, amelyek nem kapcsolódnak közvetlenül az érveléshez, de többnyire kifejező eszközei a beszéd erősítésének. Ugyanebben a szakaszban lehetővé válik egyrészt annak megállapítása, hogy mely mondatok szolgálnak az érvelés premisszájaként és következtetéseiként, másrészt hogyan viszonyulnak egymáshoz. Mivel az érvelés logikai elemzésének fő célja az érvelés helyességének és érvényességének megállapítása, szükségessé válik annak pontos logikai felépítésének azonosítása, amely teljes egészében csak az érvelés formalizálásával érhető el.

A logikai elemzés során helyre kell hozni az érvelés hiányzó premisszáit is, amelyek nyilvánvalóságuk és általános elfogadásuk miatt a természetes nyelvben gyakran elmaradnak. Ilyen rövidített premisszákkal vagy következtetésekkel kapcsolatos érvelést hívott Arisztotelész "Retorikájában" entimémák.

A hétköznapi beszédben a nyilvánvaló premisszákra és érvekre való hivatkozások rendkívül mesterségesnek és szükségtelennek tűnnének, mert lelassítják a kommunikáció és az információcsere folyamatát. De amit a hétköznapi beszédben felesleges pedantériának tartanak, az az érvelés logikai elemzésében nem így van. Ezért az olyan logikai következtetés céljából nem létező javaslatok kiküszöbölésével, amelyek sem a helyiségekben, sem a következtetésekben nem jelennek meg, vagy nem kapcsolódnak hozzájuk, az elemzés második feladata a hiányzó helyiségek helyreállítása, amelyek nyilvánvalónak tűnnek, de valójában fontosak lehetnek a helyiségek és a következtetés közötti logikai kapcsolat tisztázása érdekében. Néha a bizonyítékokra való hivatkozás szolgál a logikai hibák forrásaként még a matematikai érvelésben is, amint azt - amint már megjegyeztük - számos kísérlet bizonyítja a párhuzamok axiómájának bizonyítására Euklidész geometriájában.
A kritikus elemzés tehát nemcsak a hiányzó helyiségek helyreállítását segíti, hanem a meglévő helyiségek kivizsgálását is logikai helyességük, a logikai kör kiküszöbölése a bizonyításban, a logikai ellentmondások azonosítása stb. Szempontjából.
Az érvelés során meghatározó jelentőséget kap az egyes tézisek, állítások, vélemények vagy nézőpontok védelmében felhozott érvek vagy érvek kritikai elemzése. Egy érvet akkor tekintünk racionálisnak és meggyőzőnek, ha következtetései logikusan következnek a premisszaként működő érvekből. A cél akkor valósul meg, ha az érvelő személy meggyőzi a hallgatókat, az olvasókat vagy a nézőket, hogy egyezzenek meg a disszertáció védekezésében és megalapozásában előterjesztett érvekkel, valamint az azokból levont következtetés helyességével. A természetes nyelvben - különösen a beszélt nyelvben - nincs olyan világos és pontos érvelési struktúra, mint a logikában. Ezenkívül a következtetések hosszú láncolatában eltűnhetnek a látótérből azok az eredeti érvek vagy érvek, amelyek minden érvelés vagy bizonyíték alapjául szolgálnak. Hosszú írásbeli beszéd során is elég nehéz lépésről lépésre követni a következtetés teljes folyamatát. Ezért tanácsos az ilyen érveléseket és bizonyításokat különálló, több következtetési lépést tartalmazó blokkokra osztani. Ezután lehetővé válik az érvelés egészének világosabb és egyértelműbb bemutatása és megértése. A több következtetési lépésből álló blokkokkal végzett ilyen művelet a hétköznapi logikus gondolkodás jellemző jellemzője, amely megkülönbözteti minden olyan számítógép munkájától, amely a következtetés elemeivel minden műveletet végrehajt.

3.8. Az ítéletek modalitásáról

A természetes nyelvben az ítéletek nemcsak igaznak vagy hamisnak, hanem más szempontból is jellemezhetők. Az ilyen jellemzők további információkat tartalmaznak, amelyek egyes esetekben kifejezik a beszélő hozzáállását a kifejezett gondolathoz, más esetekben - az ítéletekben foglalt ismeretek érvényességét, a harmadikban - betartandó előírást, normát vagy szabályt. Az ilyen kiegészítő jellemzők különböző nézőpontokat fejeznek ki az ítélkezéshez, attól függően, hogy az ember milyen célokat tűz ki maga elé. Az érvelés és a gyakorlati érvelés során nemcsak az ítéletek igazságértékelése érdekel minket, hanem ezen túl arra is törekszünk, hogy kiderítsük, mennyire meggyőzőek és ezért ésszerűek a vitában szereplő ellenző érvei, függetlenül attól, hogy azok logikailag vagy valójában igazak stb. Az etikában és a jogtudományban őket is érdeklik az emberek társadalmi viselkedési normái, megtudják, mit tiltanak és megengednek ezek a normák.

Az ítéletek értékelésének különféle módjai, a feladatoktól és az elfogadott nézőponttól függően, modális kategóriákban vannak kifejezve (lat. Modus - mérőszám, módszer, hangulat). Először Arisztotelész kezdte tanulmányozni őket, aki két legfontosabb modális kategóriát vezetett be: a "szükséges" és a "lehetséges", valamint az ezekből származó "nem szükséges" és "lehetetlen" fogalmakat. A középkori logikusok számos új modális kifejezést javasoltak, és kapcsolatokat létesítettek közöttük. A modern időkben létrejött az I. Kant által létrehozott hagyomány, amelynek megfelelően megosztani kezdték:

1) problémás ítéletek, olyan gondolat kifejezése, amely csak bizonyos feltételek mellett lehet igaz;

2) határozott, egy bizonyos tulajdonság jelenlétének vagy hiányának jellemzése egy objektumban. Gyakran hívják őket is ténybeli ítéletek;

3) apodiktikus, az ítélet igazságának érvényesítése konkrét tényektől vagy feltételektől függetlenül.

Minden tudománytörvény ilyen ítéletekhez tartozik. Ilyen besorolást régóta tartanak a hagyományos logikában, és még mindig megtalálható az irodalomban.

A modális állítások szisztematikus tanulmányozása az 1950-es években kezdődött, és mára a modern nem klasszikus logika gyorsan növekvő ágává vált. Ha a korábbi modális fogalmak természetes nyelven fogalmazódtak meg, és ennek következtében nem mindig érzékelték őket egyértelműen, akkor a modern modális logikában megértésük pontosságát és egyértelműségét ötletek és módszerek biztosítják matematikai logika... De ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a modális állítások funkcionális-igazság jellegű kijelentésekké redukálódnának. Még D. Hume is megjegyezte, hogy a tényítéletek nem fejezhetők ki a kötelezõ ítéletek segítségével és fordítva. Szóval, egy ilyen ítélet S van R, azok. ami egy ingatlan tárgyhoz való tartozását tükrözi, nem lehet kötelezettség, kötelezettség vagy elfogadhatóság nyilatkozataként bemutatni. Másrészt a modális állítások lehetővé teszik a szimbolikus vagy matematikai logika hatékony és pontos módszereinek alkalmazását azokra a helyzetekre, amelyeket ezek a fogalmak jellemeznek.

A modern modális logika keretében a következő modális fogalmakat vesszük figyelembe:

logikai modalitások, amelyeket a "logikailag szükséges", "logikailag lehetetlen" és "logikailag véletlen" kifejezések fejeznek ki. Logikailag szükségesek logikailag igaz ítéletek, amelyek logikai törvények vagy logikai következmények ezekből. A logikai törvényeknek ellentmondó ítéleteket logikailag hamisnak tekintjük. Ők is az osztályhoz tartoznak logikailag szükségesítéletek, mert jellemző tulajdonság az ilyen ítéletek igazságuk vagy hamisságuk függetlensége a tényleges állapotoktól. Például az ítélet ( NS  ¬ x) mindig igaz lesz, mert kifejezi a klasszikus logika kizárt harmadának törvényét. Hasonlóképpen az ítélet ( NS  ¬ NS) mindig hamis lesz, mivel ellentmondás törvénye, amelynek kapcsán elmondható, hogy az ilyen ítéleteket logikai okokból igaznak vagy hamisnak tekintik. Ezzel szemben valójában igaz olyan ítéletek, amelyekben a szubjektum és az állítmány közötti kapcsolat megfelel a tárgy és tulajdonának valós kapcsolatainak. Ha ilyen levelezés nem létezik, akkor az ítélet az lesz valójában hamis.

A logikai és a tényszerű igazság megkülönböztetése fontos szerepet játszik az érvelési folyamatban. Az érvek vagy érvek valójában igaz vagy hamis ítéletek, a következtetés logikai szabályai pedig a logika törvényein alapulnak, ezért logikailag igaz ítéletekre utalnak;

episztemikus, (elméleti és kognitív) modalitások, utalnak a tudás jellemzőire, és kifejezésükben kifejezve: "bizonyítható", "cáfolható", "eldönthetetlen", "elfogadható", "valószínűleg", "kétes", "meggyőző" stb. Értékelhetjük például egy vita vagy vita során, az ellenfél érvei meggyőzőek vagy kétségesek, vagy akár meghatározhatják valószínőségük mértékét. Az ilyen modális fogalmak az igazság vagy hamisság mellett további információkat nyújtanak az ítéletben foglalt ismeretek természetéről;

deontikus (normatív) modalitások jelezze az ítéletben előírt cselekvések típusát, és a következőképpen fejeződik ki: "megengedett", "nem megengedett", "kötelező", "közömbös" stb. Így ellentétben az esetleges állapotokat leíró ítéletekkel, ún. leíró, deontikai módokban bizonyos cselekvési vagy viselkedési módot írnak elő. Ezért az ilyen ítéleteket előírásoknak is nevezik. Az előírások jellege nagyon eltérő lehet, a tanácsoktól és ajánlásoktól kezdve, egészen a megrendelésig. A deontikus modalitások legszélesebb alkalmazási területe az erkölcs és a törvény. Az erkölcsi normákkal ellentétben a jogi normák a társadalomban általában kötelező magatartási szabályokat szabályozzák, amelyeket a vonatkozó kódexek és rendeletek fogalmaznak meg. A társadalmi, vagyoni, munkaügyi, családi, igazgatási és egyéb kapcsolatokat jogi normák szabályozzák. A jogi normák követelményeinek be nem tartása jogi szankciókat von maga után az állami rendvédelmi szervek részéről. Ezzel szemben az erkölcsi normák megsértését csak a társadalom részéről tanúsított bizalmatlanság kíséri. Ez magyarázza a jogi szabályozás pontos kodifikációját, amely mindig feltételezi a címzettet, akire a szabály vonatkozik, a cselekvés jellegét, a végzés formáját (tilalom, kötelezettség vagy engedély), valamint a végzés be nem tartásának törvényi szankcióját. Ennek megfelelően a jogi dokumentumok tiltó normái a „tiltott”, „nem megengedett”, „nem megengedett” stb. Deontikai módszerek segítségével kerülnek megfogalmazásra. A törvénykötő dokumentumokban olyan szavakat használnak, mint "kötelező", "kell", "szükséges" és hasonlók;

axiológiai (érték) modalitások jellemezze az ítéleteket egy adott értékrend szempontjából. Az ilyen értékeléseket leggyakrabban a "jó", "rossz" vagy "közömbös" szavakkal fejezik ki. Összehasonlításképpen a "jobb", a "rosszabb" vagy az "egyenlő" szavakat használják, és néha előnyben részesítik az összehasonlítást. Nyilvánvaló, hogy egyes axiológiai kifejezések mások kifejezéssel definiálhatók, például a "közömbös" valaminek tekinthető, ami nem jó és nem is rossz;

időbeli (időbeli) modalitások, amelyek az időfaktort jellemzik az érvelésben. Ezeket használják idõsorok közötti kapcsolatok létrehozására: múlt, jelen és jövõ, valamint korábban, egyszerre és késõbb.

Mindezek a modális fogalmak lehetővé teszik az ítéletek különféle kontextusjellemzőinek pontosabb és teljesebb kifejezését, attól függően, hogy ettől eltérő megközelítéstől, a megismerésben és a gyakorlati cselekvésben játszanak szerepet. A modern, nem klasszikus logika szimbólumainak és formális módszereinek alkalmazásával a homályos és határozatlan modális természetes nyelvi kifejezések megszerzik a szükséges egyértelműséget, egyediséget és pontosságot.

3.9. A hagyományos logika közvetlen következtetései

A propozíciós számítás alapján ma már nemcsak a közvetlen deduktív következtetések mechanizmusát lehet jobban megérteni, hanem egyszerűsíteni azok kezelését is. Az ilyen következtetések csak egy előfeltevésből állnak, és ezért nagyon könnyű következtetést levonni belőle.

Első lépésként vegye figyelembe az ítéletek közötti kapcsolatot, amely csúcsként ábrázolható logikus négyzet (8. ábra). Jelöljük a betűvel DEáltalában igenlő ítéletek (a görög affirmo szó állítandó kezdőbetűje), az általános negatív ítéleteket betűvel jelölik E(az első magánhangzó a szóban (nego - tagadni), a betű O jelölje a részleges negatív ítéleteket (a szó (nego) második betűje és a betű én- részben igenlő ítéletek (az affirmo szó második magánhangzója). Egy ilyen négyzet használatával különféle logikai összefüggéseket hozhat létre a felsorolt ​​ítéletek között, és levezethet bizonyos ítéleteket az általánosakból. Ennek megfelelően alárendeltségi viszony jön létre az általános és a konkrét ítéletek között, amelyet a négyzet függőleges oldala ábrázol. Általában az igenlő és általában negatív ítéleteket összekapcsolja az ellentmondás (ellentmondás) kapcsolata, amelyet a négyzet felső vízszintes oldala ábrázol. Ezen általános ítéletek mindegyike megszerezhető a másik logikai tagadásával. A részben negatív és részben igenlő ítéleteket összekapcsolja a szubkontraritás reláció, amelyet a négyzet alsó vízszintes oldala képvisel. A logikai négyzet átlói egy általánosan igenlő ítéletet egy részleges negatívummal és egy általános negatívat társítanak egy részleges negatív ítélettel.

Térjünk rá a hagyományos logika közvetlen deduktív következtetéseinek vizsgálatára.

átalakítás azonnali következtetés, amelyben a következtetést az üzenet minőségének megváltoztatásával kapjuk. Ha az előfeltevés egy igenlő ítélet, akkor az átalakulás eredményeként negatív ítéletté válik. A negatív ítélet éppen ellenkezőleg, igenlővé válik. Például az "Az összes fém elektromos áram vezetője" ítélet negatívvá válik: "Egyetlen fém sem vezetőképes". Példánkban egy általánosan igenlő ítélet általában negatívvá válik, amelyet a diagram ábrázolhat:

Minden DE van BAN BEN. _________

Egyik sem DE ne egyél BAN BEN.

Ugyanígy a részben igenlő ítélet a rendszer szerint részben negatívvá válik:
Néhány BAN BEN van S.

Néhány BAN BEN nem eszik nem - S.

Hasonlóképpen történik az általában negatív ítéletek átalakítása általában igenlővé és részben negatívvá - részleges negatívvá, amint az a következő sémákból kitűnik:

Egyik sem DE ne edd meg BAN BEN. ____

Minden DE Nincs- BAN BEN.

Néhány BAN BEN ne edd meg VAL VEL.

Néhány BAN BEN Nincs- VAL VEL.

Mint könnyen belátható, a következtetések ezekben az esetekben a kettős tagadás törvényén, valamint az "összes" és "néhány" kvantorok kapcsolatán alapulnak, amelyeket a következő fejezet tárgyal. Itt megjegyezzük, hogy a kettős tagadás változatlanul hagyja az ítélet minőségét. Az ítélet nyelvi kifejezésében az egyik tagadás az állítmány tagadásává válik, ezért az igenlő ítélet negatívvá történő átalakításának helyességének ellenőrzéséhez elegendő szimbolikus formában ábrázolni őket.

Fellebbezés a közvetlen következtetés egy olyan típusa, amelyben a következtetést úgy kapják, hogy az előfeltevést a szubjektum és az alany az állítmány helyén átrendezik. Ebben az esetben az általános esetben pontosítják az ítéletek számát. Így a "Minden nyúl emlős" felvetés a "Néhány emlős nyúl" állítássá válik, mivel az emlősök osztálya sokkal nagyobb, mint a nyulak alosztálya. Ezt a következtetést az állítások tartalmának ismerete alapján kapjuk meg. De elvonatkoztathat ettől a tartalomtól, megjegyezve, hogy az ilyen következtetésekben szereplő predikátum eloszlik, és ezért csak a téma terjedelmének részét képezi:

Minden S vanR. _______

Néhány R van S.

Egy másik típusú kezelés, amelyet néha "tiszta" -nak is neveznek, akkor fordul elő, amikor az alany és az állítmány térfogata egybeesik. A fogalmak meghatározásakor találkozunk ilyen esetekkel. Tehát a „négyzet egyenlő oldalú téglalap” ítéletben az alany és az állítmány térfogata megegyezik, mivel a meghatározott és meghatározó fogalmak térfogatának arányosnak kell lennie (lásd 2. fejezet).

Az állítmány ellenzése – ez a fajta közvetlen következtetés, amelyben a következtetés alanya az állítmánynak ellentmondó fogalom. Például az "A síkon lévő összes párhuzamos vonal nem metszik egymást" ítélet ellentétes a "Minden nem párhuzamos vonal metszi" ítélettel. Ez a fajta következtetés, mint már tudjuk, a feltételes állítások ellenpontozásaként ábrázolható:

(S? P)? (¬P? ¬S).

Amint a fentiekből látható, a hagyományos logika egyes közvetlen következtetéseinek típusai, például az ellenpontozás, az átalakulás könnyen lefordíthatók a propozíciós számítás szimbolikus nyelvére. De már az inverzió működése, amikor elemezni kell a szubjektum és az állítmány közötti kapcsolat szerkezetét, és be kell vezetni az általánosság és a létezés kvantorait, nem teszi lehetővé a propozíciós számítás egyszerű nyelvére történő fordítást, amelyben a propozíciókat egészét, és csak igazságuk és hamisságuk szempontjából elemzik. Ebből a szempontból szükségessé válik az ítéletek logikai felépítésének tanulmányozása, mind az attribútív, mind a relációs, amelyek jellemzik a tárgyak közötti kapcsolatokat. Ugyanakkor az ítéletek kvantitatív jellemzéséhez be kell vezetni az általánosság és a létezés számszerűsítőit.

Mindazonáltal az ítéletek belső struktúrától mentes és egészében igaznak és hamisnak értékelt állítások formájában történő bemutatása alapvető szerepet játszik magában a logika felépítésében. Először is, az érvelés vagy következtetés legegyszerűbb típusai csak számításokká redukálhatók, csak az állítások igazságértékének értékelése alapján. Másodszor, ez a megközelítés módszertani szempontból nagyon hasznos, mert ennek alapján analógia útján lehetséges egy összetettebb predikátumszámítás felépítése, amely figyelembe veszi az ítéletek belső logikai felépítését. Harmadszor, ezzel a megközelítéssel a propozíciós számítás egyrészt a predikátum kalkulus felépítésének kiinduló alapjaként, másrészt a predikátum kalkulus speciális eseteként tekinthető. Végül, negyedszer, az új predikátumszámítás nemcsak a klasszikus logikát, az ítéletek szubjektum-predikátum struktúráját öleli fel, hanem a később kialakuló kapcsolati logikát.
Ellenőrizd le magadat

1. Az alábbi mondatok közül melyik fejezi ki ítéletét?

1) Ki szolgál ma.

2) Ivanov az ügyeletes tiszt.

3) Gondolkodjon először, majd válaszoljon.

4) Lehetséges-e helyesen válaszolni anélkül, hogy felkészülnénk a leckére?

5) Az embert nem beszédek, hanem tettek ismerik fel.

2. Határozza meg a következő ítéletek minőségét és mennyiségét.

1) Az ember nem harcos a terepen.

2) A bálna nem hal.

3) A Rhombus egyenlő oldalú paralelogramma.

4) Három lány az ablak alatt forgott késő este.

5) A legtöbb hallgató időben elvégzi a teszteket.

6) Több napig beteg volt.

3. Az alábbi kifejezések közül melyik lesz utasításfüggvény:

1) NS -ügyvéd.

2) NS + 5 = 12.

3) NS >3.

5) NS - Misha testvére; George Misha testvére.

6) Pont BAN BEN a pontok között fekszik DEés VAL VEL.

7) Pont NS a ponttól balra található DE.

8) Valaki belépett a házba; NS ok nál nél.

9) A gázszivárgás a robbanás oka.

4. Fordítsa le a következő mondatokat szimbolikus nyelvre, jelölve az egyes egyszerű tételeket betűvel, az egyes összetett javaslatokat pedig képlettel. Határozza meg, hogy a kapott képletek közül melyik fejezi ki a kötőszót és melyik a diszjunkciót.

1) "Meddig járhatok a világon most szekéren, aztán lóháton, aztán kocsin, aztán hintóban, aztán szekéren, aztán gyalog" (A.S. Puskin).

2) "Miután egy hattyú, egy rák és egy csuka árut szállítani kezdett" (A. I. Krilov)

3) Az ember tudása és mestersége ki van festve.

4) "Itt van, vörös fésű kakas" - mondta a szamár -, jaj, inkább menj velünk, Bremenbe megyünk, - a halálnál rosszabbat nem találsz; jó hangod van, és ha csatlakozunk veled a zenéhez, akkor a dolgok jól fognak menni " (A Grimm testvérek).

5. Miért könnyebb megcáfolni az együttállást, mint az elkülönülést? Indokolja válaszát, és adjon példákat.

6. Fordítsa le a feltételes mondatokat szimbolikus nyelvre.

1) "Ha többet tanultál volna tőle, ha többet tanultál volna tőle" (I.A. Krilov).

2) "Nyúl, ha megvered, gyufát gyújthat" (A. Csehov).

3) Gruzdev nevezte magát a testbe jutásnak.

4) Az átmérő félbe vágja a kört.

5) Ha a háromszög egyenlő, akkor az alapján lévő szögek egyenlőek.

7. Az igazságtáblák segítségével határozhatja meg a következő képletek igazságértékét:

1) (Huh? B)? BAN BEN;

3) (ABB) vB; A v (¬5? B).

8. A következő képletek egyenértékűek:

1) (x? Y) és (¬y? ¬x); ¬ (x v y) és (¬x? ¬y);

2) (x? Y) és (y? X; ¬x és (¬ (¬x)).

9. Az igazságtáblák segítségével ellenőrizze, hogy a következő képletek tautológiák:

1) (A v B)? DE;

2) (Huh? B)? (¬A v B);

3) (Huh? B)? (B? A); A v A; A v B.

10. Az (A? B) kötőszó? (Huh? ¬B) ellentmondás?

11. Miben különböznek a tényszerű állítások a tautológiáktól és az ellentmondásoktól? Határozza meg, hogy a képletek közül melyek a tautológiák, az ellentmondások és a tényszerű (empirikus) ítéletek?

1) Mi? DE; (A v B);

3) (Huh? B)? (B? A);

4) (A B) (B a);

12. Hogyan állapítható meg, hogy a képlet követi-e a propozíciós számítást? BAN BEN a képletből A1 Példákat mutatni.

13. A következő képletekkel ellenőrizze a kimenet helyességét:

DE? A-ban? A-ban? BAN BEN

B A ¬A

14. Ha lehetséges, fordítsa meg a következő ítéleteket

1) Minden macska emlős.

2) Minden téglalap négyszög.

3) Minden négyzet egyenlő oldalú téglalap.

4) Néhány hallgató nem tanul logikát.

5) Néhány diák sportoló.

15. Mi a különbség az ilyen ítéletek meghozása között?

1) Minden háromszög geometriai alakzat.

2) Minden egyenlő oldalú háromszög konform.

16.C használja a logikai négyzetet a következő egyszerű javaslatok közötti kapcsolat megállapításához:

1) Minden hallgató logikát tanul.

2) Néhány hallgató nem tanul logikát.

3) Minden ember önző.

4) Egyetlen ember sem önző.

5) Nem minden ember ír helyesen.

6) Nem minden ember ismeri a logikát.

7) Néhányan ismerik a logikát.

17. Mi a különbség az ítélet logikai felépítése és a mondat nyelvtani felépítése között? Mondjon példát egy gyakori kijelentő mondatra, és emelje ki benne a tárgyat, az állítmányt és a kötőszót.

18. Határozza meg a modalitás típusát a következő ítéletek alapján:

1) Lehetséges, hogy intelligens élet van az univerzumban.

2) A nyári havazás valószínűsége nagyon alacsony.

3) A háromszög szögeinek összege 180 °.

4) Ma napos nap van.

5) El kell mennie az előadásra.

6) Kötelesek vagyunk teszteket teljesíteni.

7) Megbízhatóan ismert, hogy nem volt ott.

8) Soha ne szegje meg a közlekedési szabályokat.

19. Mi a különbség az implikáció logikai feltételes kapcsolata között?

20 . Határozza meg, hogy a következő feltételes mondatok milyen szemantikai kapcsolatot fejeznek ki:

1) Ha az áram a vezetéken keresztül áramlik, az felmelegszik.

2) Ha az átmérő merőleges az akkordra, akkor felezi.

3) Ha a szám osztható 2-vel, akkor nem prím.

4) Ha nem ismeri a logikát, akkor nehéz lesz észrevennie hibát az érvelésben.

21. Mi a különbség logikai szempontból az ok-okozati viszony (cselekvés) között; okai és következményei? Példákat mutatni.

22. Mit kell tenni a természetes nyelvű mondatok lefordításáért a logika nyelvére? Megfelelő ez a fordítás?

23. Hogyan lehet konstruálni egy axiomatikus elméletet a propozíciós számításhoz?

24. Milyen előnyei vannak a következtetés és a bizonyítás folyamatának táblázatos módon a komplex állítások igazságértékének meghatározása?

Emberi, amely minden tudás szerves része. Különösen, ha a folyamat magában foglalja a gondolkodást, a következtetések levonását és a bizonyítékok felépítését. A logika szerint az ítéletet az "állítás" szó is meghatározza.

Az ítélet mint fogalom

Ha csak egy koncepció és ötlet van összekapcsolódásuk vagy kapcsolatuk lehetősége nélkül, meg tudnának-e ismerni valamit az emberek? A válasz egyértelmű: nem. A megismerés csak akkor lehetséges, ha összefügg az igazsággal vagy a hamissággal. Az igazság és a hamisság kérdése pedig csak akkor merül fel, ha valamilyen összefüggés van a fogalmak között. A köztük lévő unió csak a valamire vonatkozó ítélet pillanatában jön létre. Például a "macska" szó kiejtésével, amely nem hordoz sem igazságot, sem hamisságot, csak egy fogalmat értünk. A „macskának négy lába van” megítélés már olyan állítás, amely vagy igaz, vagy sem, és igenlő vagy negatív megítéléssel bír. Például: "Minden fa zöld"; "Néhány madár nem repül"; "Egy delfin sem hal"; "Néhány növény nem ehető."

Az ítélet megalkotása egy érvényesnek tekintett keretet hoz létre. Ez lehetővé teszi, hogy elmélkedjen az igazságra. Az ítélet lehetővé teszi a jelenségek és tárgyak, illetve a tulajdonságok és a jelek közötti kapcsolat tükrözését. Például: "A víz fagyás közben tágul" - a kifejezés kifejezi az anyag térfogatának és a hőmérsékletnek a kapcsolatát. Ez lehetővé teszi, hogy kapcsolatot teremtsen a különböző fogalmak között. Az ítéletek tartalmazzák az események, tárgyak, jelenségek közötti kapcsolat megerősítését vagy tagadását. Például, amikor azt mondják: "Egy autó halad a ház mentén" - két tárgy (autó és ház) közötti bizonyos térbeli viszonyt jelentenek.

Az ítéletek olyan mentális forma, amely önmagában megerősíti vagy tagadja a tárgyak (fogalmak) létezését, valamint a tárgyak vagy fogalmak, tárgyak és jellemzőik közötti kapcsolatokat.

Az ítélet nyelvi formája

Ahogy a fogalmak nem léteznek szavakon vagy kifejezéseken kívül, az állítások a mondatokon kívül is lehetetlenek. Azonban nem minden javaslat ítélet. Bármely nyelvi formában tett állítás narratív formában fejeződik ki, amely valamiről üzenetet hordoz. Azok a mondatok, amelyeknek nincs tagadásuk vagy megerősítésük (kérdő és motiváló), vagyis amelyek nem jellemezhetők igaznak vagy hamisnak, nem ítéletek. A jövőbeli lehetséges eseményeket leíró állításokat szintén lehetetlen felmérni, mint amelyek hazugságot vagy igazságot hordoznak.

És mégis vannak olyan mondatok, amelyek formában kérdésnek vagy felkiáltásnak tűnnek. De abban az értelemben, hogy megerősítik vagy tagadják. Retorikának hívják őket. Például: "Mi az orosz nem szereti a gyors vezetést?" egy retorikai kérdő mondat, amely egy konkrét véleményen alapul. Az ebben az ügyben hozott ítélet azt az állítást tartalmazza, hogy minden orosz szereti a gyors vezetést. Ugyanez vonatkozik felkiáltó mondatok: "Júniusban próbáljon havat találni!" Ebben az esetben a tervezett cselekvés lehetetlenségének gondolata megerősítést nyer. Ez a konstrukció is kijelentés. A mondatokhoz hasonlóan az ítéletek lehetnek egyszerűek vagy összetettek.

Az ítélet felépítése

Az egyszerű állításnak nincs megkülönböztethető határozott része. Alkatrészei még egyszerűbb szerkezeti elemek, amelyeket fogalmaknak nevezünk. A szemantikai egység szempontjából az egyszerű ítélet független láncszem, amelynek igazságértéke van.

Az objektumot és annak attribútumát összekötő utasítás tartalmazza az első és a második fogalmat. Az ilyen típusú ajánlatok a következők:

• - Az ítélet tárgyát tükröző szó az alany, amelyet S jelöl.
• - Predikátum - egy objektum attribútumát tükrözi, azt R betű jelöli.
• - Csomag - egy szó, amelyet mindkét fogalom összekapcsolására terveztek ("van", "van", "nem", nem "). Oroszul ehhez kötőjelet használhat.

  „Ezek az állatok ragadozók” egyszerű felvetés.

  

  Az ítéletek típusai

  Az egyszerű állításokat az alábbiak szerint osztályozzuk:

  • minőség;
  • mennyiség (a téma térfogata szerint);
  • az állítmány tartalma;
  • modalitások.

  Minőségi ítéletek

  Az egyik fő, fontos logikai jellemző a minőség. A lényeg ebben az esetben abban nyilvánul meg, hogy képes feltárni a fogalmak közötti bizonyos kapcsolatok hiányát vagy jelenlétét.

  Az ilyen csomag minőségétől függően az ítélet két formáját különböztetik meg:

  • - Igen. Feltárja valamilyen kapcsolat jelenlétét az alany és az állítmány között. Az ilyen állítás általános képlete: "S jelentése P". Példa: "A nap csillag."
  • - Negatív. Ennek megfelelően tükrözi a fogalmak (S és P) közötti kapcsolat hiányát. A negatív megítélési képlet: "S nem P". Például: "A madarak nem emlősök."

  

  Ez a felosztás nagyon önkényes, mivel minden látens formában szereplő állítás tagadást tartalmaz. És fordítva. Például az "ez a tenger" kifejezés azt jelenti, hogy a téma nem folyó, nem tó stb. És ha „ez nem a tenger”, akkor ennek megfelelően valami más, esetleg egy óceán vagy egy öböl. Ezért lehet egy állítást egy másik formájában kifejezni, a kettős tagadás pedig egy állításnak felel meg.

  Az igenlő ítéletek fajtái

  Ha a "nem" részecske nincs a köteg előtt, de az állítmány szerves része, akkor az ilyen állításokat igenlőnek nevezzük: "A döntés téves volt". Kétféle típus létezik:

  • - pozitív tulajdonság, ha "S jelentése P": "Házi kutya".
  • - negatív karakter, ha „S nem-P”: „Elavult leves”.

  A negatív ítéletek fajtái

  Hasonlóképpen, a negatív állítások között megkülönböztetik:

  • - pozitív predikátummal az "S nem P" képlet: "Olya nem evett almát";
  • - negatív predikátummal az "S nem nem-P" képlet: "Az Olya nem mehet, de nem megy."

  A negatív ítéletek fontossága abban rejlik, hogy részt vesznek az igazság elérésében. Ezek tükrözik valami objektív hiányát valamiből. Nem csoda, hogy azt mondják, hogy a negatív eredmény is eredmény. Annak megállapítása, hogy mi a tárgy nem, és milyen tulajdonságokkal nem rendelkezik, szintén fontos a gondolkodás folyamatában.

  

  Ítéletek mennyiség szerint

  A tantárgy logikai térfogatának ismeretén alapuló másik jellemző a mennyiség. A következő típusok léteznek:

  • Egyetlen, amely információkat tartalmaz egy témáról. Képlet: "S jelentése (nem) P".
  • -Magán azok, akiknek megítélése van egy adott osztály tárgyainak egy részéről. Ennek a résznek a bizonyosságától függően megkülönböztetik őket: határozottak ("Csak néhány S P (nem) P") és határozatlan ("Némely S S (nem) P").
  • -Általában állítást vagy tagadást tartalmaznak a vizsgált osztály egyes tantárgyairól ("All S P" vagy "S közül egyik sem P").

  

  Közös ítéletek

  Sok állításnak mind kvalitatív, mind kvantitatív jellemzői vannak. Számukra egységes osztályozást alkalmaznak. Ez négyféle ítéletet ad:

  • - Általában igenlő: "Minden S P".
  • - Általános negatívum: "Nem S jelentése P".
  • - Különösen igenlő: "Néhány S jelentése P".
  • - Részleges negatív: "Néhány S nem P".

  Az állítmány tartalma alapján különféle ítéletek

  Az állítmány szemantikai terhelésétől függően az utasításokat megkülönböztetjük:

  • - tulajdonságok vagy attribútum;
  • - kapcsolatok, vagy relációs;
  • - létezés, vagy egzisztenciális.

  Azokat az egyszerű ítéleteket, amelyek közvetlen összefüggést tárnak fel a gondolat tárgyai között, tartalmuktól függetlenül, attribútívnak vagy kategorikusnak nevezzük. Például: "Senkinek nincs joga elvenni a másik életét." Az attribútív utasítás logikai sémája: "S P (vagy nem) P" (alany, köteg, állítmány, ill.

  A relatív ítéletek olyan állítások, amelyekben egy állítmány kifejezi a kapcsolat (kapcsolat) jelenlétét vagy hiányát két vagy több objektum között, különböző kategóriákban (idő, hely, oksági függőség). Például: "Petya Vasya előtt érkezett."

  Ha egy állítmány az objektumok vagy maga a gondolattárgy közötti kapcsolat hiányát vagy jelenlétét jelzi, akkor ezt az állítást egzisztenciálisnak nevezzük. Itt az állítmányt a következő szavakkal fejezik ki: "van / nem", "volt / nem volt", "létezik / nem létezik" és így tovább. Példa: "Nincs füst tűz nélkül."

  

  Az ítéletek modalitása

  Az állítás az általános tartalom mellett további szemantikai terhelést is hordozhat. A „lehetséges”, „elhanyagolható”, „fontos” és mások szavak, valamint a hozzájuk tartozó „nem engedélyezett”, „lehetetlen” és mások szavak segítségével kifejeződik az ítélkezés módozata.

  A modalitásnak ilyen típusai vannak:

  • -Aletikus (igaz) modalitás. Kifejezi a gondolati tárgyak közötti kapcsolatot. Modális szavak: "esetleg", "véletlenül", "szükséges", valamint szinonimáik.
  • -Deontikai (normatív) modalitás. A viselkedési normákra utal. Szavak: „tiltott”, „kötelező”, „megengedett”, „megengedett” és így tovább.
  • -Az episztemikus (kognitív) modalitás jellemzi a megbízhatóság mértékét („bevált”, „cáfolt”, „kétes” és analógjaik).
  • -Axiológiai (érték) modalitás. Tükrözi az ember hozzáállását bármilyen értékhez. Modális szavak: "rossz", "közömbös", "nem fontos", "jó".

  A megnyilatkozás tartalmához való hozzáállás kifejezését a modalitás érvényesítésén keresztül, általában érzelmi állapothoz kötve, értékítéletként határozzuk meg. Például: "Sajnálom, esik az eső." Ebben az esetben tükröződik a beszélő szubjektív hozzáállása az esőhöz.

  

  A komplex állítás szerkezete

  A komplex ítéletek egyszerűekből állnak, amelyeket logikai uniók kötnek össze. Az ilyen kötegeket összekapcsolásként használják, amelyek egyesíthetik a mondatokat egymással. A logikai kötés mellett, amelynek az orosz nyelvben uniói formája van, kvantorokat is használnak. Kétféle formájuk van:

  • -Az általánosság számszerűsítője a „mind”, „mindenki”, „nincs”, „mindenki” stb. A mondatok ebben az esetben a következők: "Minden objektumnak van egy bizonyos tulajdonsága."
  • -A létezés számszerűsítője a "néhány", "sok", "egy kicsit", "legtöbb" és így tovább. Képlet összetett mondat ebben az esetben: "Vannak bizonyos tulajdonságokkal rendelkező objektumok."

  Példa egy összetett ítéletre: "Kora reggel kakas zúgott, felébresztett, így nem aludtam eleget."

  

  Ítélőképesség

  A megszólalások építésének képessége az életkor előrehaladtával, fokozatosan jelentkezik. Körülbelül hároméves korára a gyermek már képes kiejteni egyszerű mondatokat, amelyek valamit állítanak. A logikai összefüggések, a nyelvtani kötőszavak megértése szükséges és elégséges feltétele az adott alkalom helyes megítélésének. A fejlődés során az ember megtanulja az információk általánosítását. Ez lehetővé teszi számára, hogy egyszerű ítéletek alapján bonyolultakat építsen fel.