A diszkrét véletlen változó eloszlásának törvénye. Példák a problémák megoldására. A feladat megoszlása \u200b\u200bés módszerei véletlen változók Adja meg az asztali elosztás törvényének beállításának módját

A folyamatos véletlen érték valószínűségi eloszlásának sűrűsége Az F-│ eloszlású eloszlással történő folyamatos véletlen változó beállításának módja nem az egyetlen. A folyamatos véletlen változó egy másik F-Jululációval is meghatározható, amelyet az eloszlási sűrűség vagy a valószínűségi sűrűség (néha differenciálfunkciónak) neveznek.

A folyamatos véletlen változó valószínűségi eloszlásának sűrűsége az F (x) - az F-│ eloszlás f (x): f (x) \u003d f "(x) első származéka. Ennélfogva az elosztási funkció primitív az elosztási sűrűségért.

π / 2. Keresse meg az F (x) eloszlás sűrűségét. 0 at x π / 2. "Cím \u003d" (! Lang: Példa. Dana F-│ egy folyamatos véletlenszerű változó eloszlása \u200b\u200bx 0 x 0 f (x) \u003d sinx 0 π / 2. Keresse meg az elosztás sűrűségét F (x). 0 at x π / 2." class="link_thumb"> 18 !} Példa. A folyamatos X 0 véletlenszerű változó eloszlása \u200b\u200bx 0 f (x) \u003d sinx 0 π / 2-nél. Keresse meg az F (x) eloszlás sűrűségét. 0 az X π / 2-nél. π / 2. Keresse meg az F (x) eloszlás sűrűségét. 0 at x π / 2. "\u003e π / 2. Keresse meg az f (x) eloszlás sűrűségét. 0 x π / 2."\u003e Π / 2. Keresse meg az F (x) eloszlás sűrűségét. 0 at x π / 2. "Cím \u003d" (! Lang: Példa. Dana F-│ egy folyamatos véletlenszerű változó eloszlása \u200b\u200bx 0 x 0 f (x) \u003d sinx 0 π / 2. Keresse meg az elosztás sűrűségét F (x). 0 at x π / 2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Példa. A folyamatos X 0 véletlenszerű változó eloszlása \u200b\u200bx 0 f (x) \u003d sinx 0 π / 2-nél. Keresse meg az F (x) eloszlás sűrűségét. 0 az X π / 2-nél."> !}

Eloszlási sűrűsége tulajdonságok Megoszlás sűrűsége - nem negatív függvény: F (x) 0. A eloszlási sűrűsége ütemezés nevezzük az eloszlási görbe a mozdulatlanság integrál a eloszlási sűrűsége a tartományban -, hogy egyenlő 1 F (x) dx \u003d 1. -

Az F (x) eloszlási sűrűségfüggvény valószínűségi jelentése meghatározza az egyes X pontok valószínűségi eloszlássűrűségét. Kellően kicsi x. F (x + x) - f (x) f (x) x. Mivel Az F (x + x) - f (x) különbség meghatározza (lásd fent) annak valószínűségét, hogy az x az intervallumhoz tartozó értéket (x; x + x), akkor ez a valószínűség nyomon követhető, de megközelítőleg egyenlő a A valószínűségi sűrűség terméke az x intervallum hosszában x.

"Lehet, hogy feltételezem, hogy egy szép hősnő, menekülés lehet egy tekercselő és maró hegyi ösvényen. Kevésbé valószínű, de lehetséges, hogy a híd az abyss-en keresztül összeomlik, amikor ő áll rajta. Rendkívül valószínűtlen, hogy az utolsó pillanatban megragadta az epikus és lógni az Abyss, de még egy ilyen lehetőséggel is egyetértek. Nagyon nehéz, de még mindig azt hiszi, hogy a jóképű cowboy csapdába kerül, és megfordítja a szerencsétlenséget. De úgy, hogy ebben a pillanatban az üzemeltető a kamera azonnal készen áll, hogy kiesik az összes ilyen izgalmas események a film, - tehát, elbocsátás, nem hiszem! "

Niels Bohr a Cowboy Westries-ről

A valószínűségi elmélet egyik központi koncepciója a véletlen változó fogalma:

Véletlenszerű érték - Ez egy olyan érték, mint a teszt eredményét, úgy egy és csak egy lehetséges értéke, előzetesen ismeretlen függően véletlen okok miatt nem lehet figyelembe venni előre.

A latin ábécé betűk véletlenszerű változóit jelöljük X., Y., Z.

A véletlen érték megtörténik:

diszkrét

folyamatos

vegyes (diszkrét
folyamatos)

Példa: dobókocka. A legördülő szám egy olyan véletlenszerű érték, amely az egyik lehetséges értéket - 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 egyenlő valószínűséggel *.

Példa: Student növekedés - a tanuló növekedés bármilyen értéket felvehet egy numerikus rés 1 m és 2,5 m. A lehetséges értékek végtelen.

Diszkrét véletlen változó

A diszkrét véletlen változó beállításához nem elegendő az összes lehetséges érték felsorolása, meg kell adnia annak valószínűségét is.

Diszkrét véletlen változó A hívás megegyeznek a véletlenszerű variancia lehetséges értékei és a megjelenésük valószínűsége között.

Az elosztási törvények beállíthatók, analitikusan (képletként) vagy grafikusan (elosztó poligon formájában).

Véletlen összeget kell figyelembe venni X.amely értékeket vesz igénybe x 1, x 2, x 3. . x N. Bizonyos valószínűséggel p I. hol ÉN. \u003d 1 .. n. A valószínűségek összege p I. egyenlő 1.

A véletlen változók megfelelő értékeinek és valószínűsége

hívott a diszkrét véletlen változó eloszlása \u200b\u200bközelében Vagy csak egy számú forgalmazás. Ez a táblázat a diszkrét véletlen változó feladata legmegfelelőbb formája.

A táblázat grafikus nézete hívják poligon eloszlás. Az abszcissza tengelyen a diszkrét véletlen változó lehetséges értékeit elhalasztják, és az ordinát tengely szerint a valószínűségek megfelelőek.

A diszkrét véletlen változók numerikus jellemzői

Az elosztási törvény teljes mértékben jellemzi a diszkrét véletlen összeget. Azonban, ha lehetetlen meghatározni az elosztás törvényét, vagy ez nem szükséges, lehet korlátozni magunkat, hogy olyan értékeket találjunk, amely a véletlenszerű változó numerikus jellemzőinek nevezhető:

• Várható érték,
• Diszperzió,
• Átlagos négyzetes eltérés

Ezek az értékek meghatározzák a véletlen variancia értékeit, és az átlag körüli szétszóródás mértékét.

Matematikai elvárások M. A diszkrét véletlen változó a véletlenszerű változó átlagos értéke, amely megegyezik a véletlenszerű variancia összes lehetséges értékével kapcsolatos termékek mennyiségével.

A matematikai elvárások tulajdonságai:

A véletlenszerű változó számos gyakorlatilag fontos tulajdonságainak leírása érdekében nemcsak a matematikai elvárásokat kell tudni, hanem a jelentéseinek lehetséges értékeit is.

A véletlen változó diszperziója - A véletlen változó mérete, amely megegyezik a véletlenszerű változó négyzetes eltéréseinek matematikai elvárásaival, a matematikai elvárásoktól.

Figyelembe véve a matematikai elvárások tulajdonságait, könnyű megmutatni ezt

Természetesen úgy tűnik, hogy nem a véletlenszerű változó eltérése a matematikai elvárásaitól, hanem egyszerűen eltéréssel. Az eltérés matematikai várakozása azonban nulla. Ezt azzal magyarázza, hogy néhány lehetséges eltérések pozitívak, mások negatívak, és kölcsönös visszafizetésük eredményeképpen nulla. Lehetőség lenne elfogadni a szétszórási intézkedés matematikai elvárásait egy véletlen változó eltérési moduljának a matematikai elvárásaiból, de szabályként az abszolút értékekhez kapcsolódó intézkedések terjedelmes számításokhoz vezetnek.

Diszperziós tulajdonságok:

1. Az állandó diszperzió nulla.
2. Állandó multiplikátor lehet egy diszperziós jelzésre, eltávolítva egy négyzetbe.
3. Ha egy x. és y. Független véletlen változók, az ezen értékek mennyiségének diszperziója megegyezik a diszperziók összegével.

Közepes négyzetes eltérés véletlen változó (néha a kifejezés " a véletlen változó standard eltérése ") Az úgynevezett szám egyenlő

Az átlagos négyzetes eltérés tehát, valamint diszperzió, az elosztási szórási intézkedés, de mérhető, ellentétben a diszperzióval, ugyanabban az egységekben, amelyek a véletlen értékek mérésére szolgálnak.

Ismételje meg a teszteket. Bernoulli formula.

A valószínűsége, hogy egy érme véletlenszerű fogásával a címer az emeleten 1/2. Tehát ismerjük az esemény valószínűségét, megjósolhatjuk azt, hogy egy cellás dobás érme címer, hogy megjelenjen 50-szer? Nem feltétlenül 50. De minden bizonnyal.

Jacob Bernoulli (1654-1705) szigorúan bizonyított - az esemény valószínűsége DE Pontosan jön k. Egyszer független végrehajtásakor n. A tesztek egyenlőek





hol p. - Az esemény valószínűsége DE, q. - az ellenkező esemény valószínűsége.

flash-library.narod.ru.

Módszer a diszkrét véletlen változók beállítására 736

További anyagok a témában:

Tegyük fel, hogy egy diszkrét véletlen összeg iránt érdeklődünk H.. Annak érdekében, hogy teljesen leírja, elegendő az összes lehetséges érték megadása. h. 1 , h. 2 , . x N. (itt n. - meghatározott egész szám) és valószínűség RX \u003d x I.>= r I.hol ÉN. = 1, 2, . n.Amellyel ezeket az értékeket elfogadják. Általában ezek az értékek táblázat formájában vannak rögzítve (3.1. Táblázat).

A táblázat az úgynevezett törvénye eloszlása \u200b\u200bdiszkrét véletlen változó (hasonlítsd össze a variációs számú diszkrét statisztikai jellemző, hogy a kapcsolat a statisztika és a valószínűség elmélete).

Mivel a feltételek összetételének minden végrehajtása véletlenszerű H. Ez csak egy értéket vehet igénybe több lehetséges értéktől, akkor ezek az értékek teljes csoportja hiányos események. Ezután a valószínűségi szabály 2-es következménye alapján kell végrehajtani a feltételeket. Ez normalizáló állapotnak nevezik.

Grafikailag a diszkrét véletlen változó elosztási törvény poligon törött vonalként jeleníthető meg (3.2. Ábra) (itt helyénvaló újra visszahívni a variációs sávokat).



Ábra. 3.2. Az elosztási törvény grafikus képe
diszkrét véletlen változó

Ha a diszkrét véletlen változó lehetséges értékei végtelenek, de számlálhatóak, akkor az elosztási törvény az űrlapot (3.2. Táblázat):

1. előadás 1_06: valószínűségi elmélet. Véletlen változók

A valószínűségi elmélet valódi használatával az elemi események helye soha nem vonzza meg. Ez a koncepció szükséges a valószínűségi rendszerek elméleti alátámasztásához. A leggyakrabban figyelembe vett véletlenszerű rendszerek, amelyekben az esemény néhány szám megjelenése. Az ilyen rendszerekhez a véletlen változó fogalma kerül bevezetésre. Előadásunkat erre a koncepcióra fordítják. A véletlen változókat, a feladatuk (az úgynevezett elosztási törvények) módszereit, a véletlen változók numerikus jellemzőit, valamint a leggyakoribb elosztási törvényeket.

A véletlenszerű változó az összes olyan elemi esemény megjelenése, amely több valódi (vagy egész) számban van

Az ilyen rendszer feltételezhető: Véletlenszerű kísérlet eredményeként az egyik elemi esemény kiválasztásra kerül, a függvényérték kiszámítása, és ez az érték figyelhető meg. Az említett feltérképezés meghatározza a véletlen variancia bizonyos értékeinek kialakulásának valószínűségét.

Például, hagyja, hogy az elemi események többsége a játékcsont kétszoros dobja, amely 36 elemi eredményt ad. Hagyja, hogy a funkció ξ meghatározza a csontokra esett értékek összegét. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen véletlenszerű érték 2-től 12-ig terjedhet. Ebben az esetben egy elemi esemény megfelel egy elemi eseménynek, és például a 9 érték négy: (3.6), (4,5), (5.4) és (6.3).

A nem elemi eseményeket általában megfigyelik és tanulmányozzák, amelyek teljesen ismeretlenek számunkra, nevezetesen véletlen változók. A valószínűségi viselkedésük beállításához be kell állítania annak valószínűségét, hogy a véletlen érték egy vagy másik értéket vesz igénybe. Az általunk figyelembe vett véletlen változó példája megtisztítható:

Próbáld ki magad, hogy készítsen egy táblázatot a játékcsont három dobogó szemüvegének mennyiségéről.

A valószínűségek meghatározása, amellyel a véletlen értéket veszi az értékeit, az elosztási törvénynek nevezik.

Véletlen változó elosztási funkció

Az elosztási törvények egyik legfontosabb módja az elosztási funkció megadása.

A ξ véletlenszerű változó eloszlásának funkcióját a funkciónak nevezik

Ábrázolta
a véletlenszerű változó elosztási funkciója példaként tekinthető.

A tisztaság érdekében a funkció grafikon alatti terület szürke színű. Világosan látható, hogy ez a funkció monoton disquisite és részlegesen állandó. Az értékeknek megfelelő pontok vannak, amelyek valószínűsége pozitív.

Ez az elosztási funkció magántulajdonban van az integrált. Ha folyamatos, és származékos, akkor ezt a származékot gyakran elosztási sűrűségnek nevezik. Ha az elosztási funkció, mint például példánkban, összpontosul, de a sűrűség szerepe lejátszhatja az ugrást.

Állítsa be az önkényes elosztási funkciót a problémás. Két megközelítést használnak az egyszerűsítéshez.

Először is gyakran korlátozhatjuk magunkat egy véletlenszerű változó nagyon egyszerű numerikus jellemzőire.

Másodszor, gyakran találkoznak a valószínűségi eloszlású disztribúciókkal, és gyakran néhány "modell" megfontolások érthetjük meg, hogy melyik osztályhoz tartozik ez az elosztáshoz. Ebben az esetben elegendő meghatározni az eloszlás paramétereit.

Ezek a megközelítések most úgy gondoljuk.

A véletlen változók jellemzői

Hagyja, hogy a ξ véletlenszerű értéke, amely véges számú értéket kap a. 1 , a. 2 , . a. k. Valószínűséggel
p. 1 , p. 2 , . p. k. . A véletlen változó matematikai várakozása az összegnek nevezik E.ξ = Σ ÉN. O 1: k. p. ÉN. a. ÉN. .

Hogy a matematikai elvárás határozza általánosabb esetben meg kell mondani külön: integrálok használnak, de akkor már azt tanította, hogy az integrál határozza integrált összegeket, valamint a véletlen változók megadhatja a diszkrét valószínűségi változók, a Matematikai elvárások, amelyek a kezdeti véletlenszerű változó véletlenszerű matematikai elvárásának integrált összegének szerepét fogják játszani.

Matematikai elvárás, amint ez a képlet látható, úgy értelmezhető, mint a súlypont p. ÉN. a pontokra összpontosított a. ÉN. . Természetesen a tulajdonságai jól ismerik a súlypont tulajdonságait:

4. a. , én, ha k. \u003d 1, akkor E.ξ = a.,
5. ha η \u003d c.ξ, hol c. - állandó, akkor E.η = c.E.ξ ,
6. bármilyen ξ és η esetében E.(ξ + η) = E.ξ + E.η .

A véletlen változó diszperzióját a matematikai várakozásból származó véletlen változók térségének matematikai elvárásainak nevezik.

Ez a definíció először csendes horrorot okoz. Valójában ez a képlet nagyon kényelmes verbális leírása. A matematikai elvárások szavai azt jelentik, hogy meg kell írnunk
D.ξ = E. (.)
a tér tisztázza
D.ξ = E. (.) 2
az eltérések már a zárójelben való kifejezést alkalmazzák
D.ξ = E. (. − .) 2
a matematikai elvárásainak véletlen változata befejezi a képlet írását
D.ξ = E. (ξ − E.ξ) 2.

A diszperzió úgy értelmezhető, hogy a tömegközépponthoz képest ugyanazon tömegcsoport tehetetlensége legyen. Tulajdonsága is ismerősek is:

7. ha egy véletlenszerű érték valószínűséggel 1 értéket vesz igénybe a. T. D.ξ = 0,
8. ha η \u003d c.ξ, hol c. - állandó, akkor D.η = c. 2 D.ξ .
9. Szeretnék egyenlőséget D.(ξ + η) = D.ξ + D.η, de csak az önálló véletlen változók esetében igaz.

Véletlen változók ξ és η hívják független, ha bármilyen a. és b. Független események

Könnyen biztosítható, hogy ha összefoglaljuk n. Független és ugyanolyan elosztott véletlen változók matematikai elvárásokkal a. és diszperzió b. , majd az összegükért, a matematikai elvárások és a diszperzió egyenlőek n A. és n B. , és az átlagos aritmetikai - illetve a. és b / N. .

Tehát, ha azt akarjuk, hogy becsüljük néhány szám, ami egy matematikai elvárás valamilyen véletlen változó, meg tudjuk rendezni egy véletlen teszt - megfigyelni ezt a véletlen értéket sokszor és kiszámítja a számtani átlagot. Az igazi jelentés körüli szóródása csökken a megfigyelések számának növekedésével: százszor mérni - tízszer csökken (mivel a diszperzió maga nem fontos, de a gyökere). Ez a tény a statisztikai modellezés fontos számítási módján alapul.

Ne feledje, hogy analógiával véletlen események Megkülönböztetheti a kölcsönösen független és páros független véletlen változókat. A diszperziók említett tulajdonságaihoz elegendő, hogy a véletlen változók párban legyenek. Más jellemzőket használnak, de ezek a legfontosabbak. Most megnézzük néhány fontos disztribúciót, és minden alkalommal, amikor rámutatunk a matematikai várakozásukra.

A disztribúciók típusai

Egyenletes eloszlás

A véletlenszerű érték egyenletesen oszlik el az intervallumban [ a.,b.], hol a. Ha az elosztási funkciója
F.(x.) egyenlő 0-nak, amikor x. , 1 at x. > b. és lineárisan változik 0-ról 1-re a. .

(a. + b.) / 2, és diszperzió - ( b. − a.) 2 /12 .

Az ábra az elosztási funkció ütemezését mutatja a. \u003d 0 I. b. = 1 .

Ez az eloszlás törvény nagyon fontos számunkra, mivel az összes szabványos számítógépes érzékelők véletlen változók (pszeudo-véletlen számok) szimulálja, hogy a valószínűségi változók, és a véletlen változók szükségünk már létre.

Indikatív terjesztés

Véletlenszerű érték egyformán elosztott vagy exponenciálisan, ha nem negatív és F.(x.) \u003d 1 - exp (-λ x.), ahol λ pozitív állandó.

Az ilyen véletlen változók matematikai várakozása λ - 1, és a diszperzió - λ - 2.

Az ábra a λ \u003d 3 eloszlás funkciójának grafikonját mutatja.

Ez a forgalmazási törvény gyakran megtalálható az alkalmazásokban, különösen a rádiósmérnöki és kommunikációban. Különösen gyakran feltételezzük, hogy a két előfizető beszélgetésének időpontja az indikatív jog tekintetében kerül elosztásra.

Normális eloszlás

Ez a legnépszerűbb standard valószínűségi eloszlás, és első pillantásra furcsának tűnhet, hogy egy ilyen összetett képlet leggyakoribb.

A véletlenszerű változó normálisan vagy Gauss, ha (jobb portré K. F. Gauss (1777-1855))



Ez a funkció a paraméterektől függ a. és σ. Az ilyen véletlen változók matematikai várakozása egyenlő a. és diszperzió - σ 2.



A grafikon megjeleníti a szabványos funkciót a. \u003d 0 és σ \u003d 1.

Ennek oka a gyakori megjelenése az e törvény mellékleteiben, hogy amikor hozzá valószínűségi változók eloszlása \u200b\u200baz összegük tekinthető véletlen változó közeledik normális.

Feladatainkban nem lesz megtalálható, de nem is beszélve, hogy nem leszezhetetlen lenne.

Bernoulli elosztása

Ez a legegyszerűbb diszkrét eloszlást névadója a svájci Matematika Yakov Bernoulli Senior (1654-1705), (még a fiatalabb, aki dolgozott Szentpéterváron).

A véletlenszerű változatot Bernoulli osztja el, ha csak két értéket vesz igénybe. Jellemzően ezek az értékek 1, amelynek valószínűsége egyenlő p. ,
és 0, amelynek valószínűsége egyenlő q. = 1 − p..

Az ilyen véletlen változók matematikai várakozása egyenlő p. és diszperzió - pq. .

Egy ilyen ütemterv, természetesen építeni magát.

A Bernoulli törvény nagyon kényelmes mindenféle modellszerkezettel, ez csak bonyolultabb, mint az ő privát eset - érmék dobása, ahol p. = 1/2 .

Binomiális eloszlás

Véletlenszerű érték ξ egyenlő az összeggel n. A független azonos Bernoullievsky véletlen változók binomiális eloszlással rendelkeznek. Neki

Az ilyen véletlen változók matematikai várakozása egyenlő np. és diszperzió - nPQ. .

Binomiális eloszlás növekvő számú feltételekkel n. Nagyon hasonlít a normál eloszláshoz.

Csak a normalizáláshoz szükséges véletlenszerű értéknek kell megfelelnie: a matematikai várakozás levonása és a diszperzióból származó gyökérre osztható, azaz ξ helyett ξ helyett
η = (ξ — np.)(nPQ.) − 1/2 .

Ha nőtt n. valószínűség p. csökken, és hogy a munka megmaradjon vagy stabilizálódjon np. Egy másik klasszikus eloszlást ismertet, amelyet most leírunk.

Poisson elosztás

Ezt a terjesztést a francia matematikus Simeon Poisson (1781-1840) javasolja, a Szentpétervár Tudományos Akadémiának tiszteletbeli tagja.

Véletlen érték ξ Poisson eloszlással rendelkezik, ha

Az ilyen véletlen változók matematikai várakozása λ, és a diszperzió is λ.



A Poisson eloszlása \u200b\u200bjellemző a ritka események rendszerére - amelyben sok véletlenszerű változó van Bernoulli eloszlásával és nagyon alacsony valószínűséggel pozitív kimenetelű.

Például megjegyeztük, hogy a jobb borítékban lévő postafiókban leengedett betűk száma Poisson eloszlással rendelkezik.

Feladatok

A véletlenszerű érték 0,3, 2 valószínűséggel 0,3, 4 valószínűséggel 0,3, 4 valószínűséggel 0,5. Keresse meg matematikai elvárásait és diszperzióját.

Két véletlenszerű változó matematikai várakozással és diszperzióval rendelkezik. 1. Milyen korlátokban lehetnek az összegek eltérése. Építsen egy példát a legnagyobb és a legkisebb jelentése Diszperziós összeg.

Vizsgálati kérdések

Véletlen változók és terjesztési funkcióik.

Matematikai elvárás és diszperzió. Tulajdonságaik.

www.math.spbu.ru.

Oktatási blog - mindent a tanulmányért

Ismételje meg a kísérleteket

A valószínűségi elmélet gyakorlati alkalmazásával gyakran szükség van olyan feladatokkal, ahol ugyanazt a tapasztalatot vagy hasonló kísérleteket ismételten megismételjük. Minden egyes tapasztalat eredményeként egy adott esemény jelenhet meg, vagy, és nem érdekelnek minden egyes tapasztalat eredménye, de az események teljes száma és egy sor kísérlet eredménye. Ilyen feladatokban képesnek kell lennie arra, hogy meghatározza az adott események számát számos kísérlet eredményeként. Nagyon egyszerűen megoldódnak, amikor a kísérletek függetlenek.

Számos kísérletet hívnak, ha az egyes kísérletek egy vagy egy másik kimenetelének valószínűsége nem függ attól, hogy mely eredmények voltak más kísérletek.

A független kísérletek ugyanolyan vagy különböző körülmények között készülhetnek. Az első esetben az A esemény valószínűsége minden kísérletben ugyanaz a p i (a) \u003d const. A második esetben egy esemény valószínűsége és a kísérlet tapasztalata változik p i (a) \u003d var. Először is van egy privát tétel, a második pedig a kísérletek megismétlésének általános tétele.

A privát tétel megfogalmazása a kísérletek ismétléséről:
Ha N független kísérlet előállítása, amelyek mindegyikében egy esemény A nyilvánul meg a valószínűsége p, akkor annak valószínűsége, hogy esemény Egy fog megjelenni pontosan M-szer van kifejezve a következő képlettel:

ahol q \u003d 1 - p, c n m az összes kombináció számát, azaz Azok a módok száma, amelyekre N kísérletekből lehet kiválasztani az A. eseményt.

Formula Általános tétel:

ahol Z jelentése tetszőleges paraméter.

Mind általában, mind különösen:

Véletlen változók és a terjesztés törvényei
A véletlen változót az értéknek nevezik, amely a tapasztalatok eredményeképpen ezt megteheti, vagy ez az érték előre ismeretlen, melyik.

A véletlen változók kétféle típusúak:
folyamatos;
Megszakított (diszkrét).

Tekintsük fontolóra a nagy betűkkel jelölt véletlenszerű változókat, és lehetséges értékeik megfelelő kis betűkkel rendelkeznek.
Példa:
X- A HITES számok száma három felvételen:
x 1 \u003d 0;
x 2 \u003d 1;
x 3 \u003d 2;
x 4 \u003d 3.

Fontolja meg az X 1, X 2, ..., X n lehetséges értékeit. Ezen értékek mindegyike lehetséges, de nem megbízhatóan, és az X értéket néhány valószínűséggel elvégezheti mindegyiküket
X \u003d x 1;
X \u003d x 2;
X \u003d x 3;
X \u003d x 4.

Σp m, n \u003d 1, mivel az érthetetlen események teljes csoportot alkotnak. Ez a teljes valószínűség valahogy az egyes értékek között van elosztva. A véletlenszerű értéket teljes mértékben leírja egy valószínűségi szempontból, ha ezt az eloszlást meg kell adni, azaz. Pontosan jelzi, hogy az egyes események valószínűsége van. Ez megállapítja az úgynevezett a véletlen változó eloszlásának törvényét.

A véletlen változó eloszlásának törvénye Minden olyan kapcsolatnak nevezik, amely meghatározza a véletlen változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket.

A szakaszos véletlen változó észlelése a következő formákban megadható:
táblázatos;
analitikai;
grafikus.

A legegyszerűbb forma az X szakaszos X-változó eloszlásának problémájának beállítása az asztal.

Véletlen változók. Diszkrét véletlen érték.
Várható érték

Második szakasz valószínűségi elméletek Dedikált véletlen értékek Ki láthatatlanul kísért minket szó szerint a témában minden cikkben. És a pillanat, hogy egyértelműen megfogalmazza, hogy mi az:

Véletlen Hívás nagyságamely a teszt eredményeként megteszi egy és csak egy Numerikus érték a véletlen tényezőktől függően és előre kiszámíthatatlan.

A véletlen változók általában jelöli keresztül * És értékük megfelelő kis betűk, például az üzemi indexeknél.

* Néha használt, valamint a görög betűk

Egy példát teljesítettek az első lecke a valószínűségi elméletrőlAhol ténylegesen a következő véletlen összegnek tartjuk:

- A játék kocka dobása után esedékes pontok száma.

A teszt eredményeként esik egyedül és csak az arc, amely pontosan nem előre jelzi (Ne fontolja meg a trükköket); Ugyanakkor a véletlen érték az alábbi értékek egyikét veheti igénybe:

- A fiúk száma 10 újszülött között.

Világos, hogy ez az összeg előre nem ismert, és a következő tucat gyermek született, lehet:

Vagy fiúk - egy és csak egy A felsorolt \u200b\u200bopciók közül.

És annak érdekében, hogy megtartsák az űrlapot, egy kis testnevet:

- Hosszú ugrás távolság (egyes egységekben).

Nem tudja megjósolni még a sport mesterét 🙂

Azonban a hipotézisei?

Hamarosan sok érvényes szám végtelenül, akkor véletlenszerű értéket is igénybe vehet végtelenül sokat Értékek valamilyen intervallumból. És ez az előző példákból származó alapvető különbségből áll.

Ilyen módon a véletlen változóknak ajánlatos 2 nagy csoportba osztani:

1) diszkrét (megszakítás) Véletlen érték - külön-külön, elszigetelt értékek. Az értékek száma biztos vagy végtelenül, de elszámoltatható.

... felhívta az érthetetlen feltételeket? Sürgősen ismételje meg algebra alapjai!

2) folyamatos véletlen érték - vesz minden Numerikus értékek bizonyos véges vagy végtelen szakadékból.

jegyzet : Az oktatási irodalomban, a DSV és az NSV rövidítéseiben

Először elemezzük a diszkrét véletlen értéket, majd - folyamatos.

Diszkrét véletlen változó

- ez megfelelőség ennek a nagyságának lehetséges értékei és valószínűsége között. Leggyakrabban a törvényt az asztal rögzíti:

Elég gyakran talált kifejezés sor eloszlásokDe bizonyos helyzetekben kétértelműnek hangzik, ezért ragaszkodom a "törvény".

És most magasan fontos pillanat : A véletlen érték óta előtt Vick az egyik jelentése Ezután a megfelelő események formája teljes csoport És az előfordulási valószínűségük összege megegyezik az egyikével:

vagy ha rögzíti, kiderül:

Például a kockákra eső pontok valószínűségének elosztása a következő:

Talán van azzal a benyomásával, hogy a diszkrét véletlen érték csak "jó" egész értékeket vehet igénybe. Hagyja, hogy az illúzió - lehetnek:

Egyes játéknak a következő nyerési terjesztési törvénye van:

... valószínűleg régóta álmodtál ilyen feladatokról 🙂 Megmagyarázom a titkot - én is. Különösen a befejezett munka után tábori elmélet.

Döntés: Mivel véletlen érték csak három érték közül választhat, akkor a megfelelő események űrlapja teljes csoportTehát a valószínűségeik összege megegyezik egymással:

A "Partizan" magyarázata:

- Így a győztes feltételek valószínűsége 0,4.

Ellenőrzés: Mi volt szükséges gondoskodni.

Válasz:

Nem ritka, ha az elosztási törvénynek önállónak kell lennie. Ehhez a használathoz klasszikus valószínűségi meghatározás, az események szorzásának megítélése / És más chipek terver:

A dobozban 50 lottójegy van, köztük 12 győztes, és közülük 2 1000 rubelt nyert, és a többi 100 rubel. Végezze el a véletlenszerű változó eloszlásának törvényét - a nyereményméret, ha egy jegyet véletlenszerűen a dobozból kivonnak.

Döntés: Amint észrevette, a véletlen változó értékei szokásosak növekedésük sorrendje. Ezért a legkisebb nyereményekkel kezdjük, és rubel.

TOTAL lemezek 50 - 12 \u003d 38, és klasszikus definíció :
- A valószínűség, hogy a megváltás megszerzett egy tanult jegy lesz egy kicsit.

Az eset hátralévő részében minden egyszerű. A győztes rubel valószínűsége:

És:

Ellenőrizze: - és ez különösen kellemes pillanatnyi ilyen feladatok!

Válasz: A második győzelmi terjesztési törvény:

A következő feladat az önmegoldások:

Az a valószínűsége, hogy a lövő meg fogja érni a célt, egyenlő. Végezze el a véletlen változó eloszlásának törvényét - a 2 felvétel utáni találatok száma.

... tudtam, hogy hiányzott neki 🙂 Emlékezz szorzás és addíciós tételek. Megoldás és válasz a lecke végén.

Az elosztási törvény teljesen véletlen összeget ír le, azonban hasznos a gyakorlatban (és néha hasznosabb), hogy csak néhányat tudjon numerikus jellemzők .

Egy diszkrét véletlen változó matematikai elvárása

Mi az eredmény valószínűségi jelentése? Ha sokszor dobja a kockát, akkor átlagos A leesett pontok közel állnak a 3.5-hez - és a több teszt, a közelebb. Valójában ezt a hatást részletesen mondtam a leckében statisztikai valószínűség.

Most emlékezzünk a hipotetikus játékunkra:

A kérdés merül fel: nyereségesen játszani ezt a játékot egyáltalán? ... Ki van benyomása? Tehát végül is az "offhdka", és nem mondhatod! De ez a kérdés könnyen válaszolható, a matematikai elvárások számítása valójában - mérlegelés Problémák, nyeremények:

Így a játék matematikai várakozása vesztes.

Ne higgye el a benyomások - teherautó!

Igen, itt nyerhetsz 10 és akár 20-30-szor egymás után, de hosszú távon várjuk az elkerülhetetlen romokat. És nem javasolnám, hogy játsszon ilyen játékokat 🙂 Nos, talán csak a szórakozás kedvéért.

A fentiekből következik, hogy a matematikai várakozás már nem véletlenszerű érték.

Kreatív feladat az önvizsgálathoz:

X úr európai rulettet játszik a következő rendszerben: folyamatosan 100 rubelt helyez a "pirosra". Készítsen törvényt egy véletlen változó elosztására - a nyereményeire. Számítsa ki a nyeremények matematikai várakozását, és kerekítsd meg a kopecks-hez. mennyi átlagos Elveszíti a játékosokat, akik több száz szállítottak?

referencia : Az európai rulett 18 piros, 18 fekete és 1 zöld szektort tartalmaz (nulla). A "piros" játékos esetén egy kétszeri arányt fizetnek, különben a kaszinó jövedelembe kerül

Számos más rulett játékrendszer létezik, amelyekhez a valószínűségi táblázatokat készítheti. De ez a helyzet, amikor nem kell forgalmazási és táblázati törvényeket, mert becslések szerint a játékos matematikai várakozása pontosan ugyanaz lesz. A rendszerből a rendszerre csak változik diszperzióA lecke második részében megtudjuk.

De először hasznos lesz az ujjak kinyújtása a számológép gombjaiban:

A véletlenszerű értéket a valószínűségi eloszlás törvénye adja meg:

Keresse meg, ha tudod. Végezze el az ellenőrzést.

Akkor menj tanulmányozni diszperziós diszkrét véletlen változó, és ha lehetséges,

Mi tartalmaz egy orvosi vizsgálat (megrendelésre 302n) lefolytatása során az orvosi vizsgálat szerint Cikkszám 302n, mindenki feltétlenül végezzük: a klinikai vizelet vizsgálatára; [...]

Az állami program, hogy segítse az önkéntes áttelepülés az Orosz Föderáció honfitársaik külföldön élő lépésről-lépésre memo résztvevői számára az állam [...]

Megértjük, mi kell a fogyatékkal élők minimális nyugdíjainak mérete 2 csoport, az állam sokféleképpen segítséget nyújt a lakosság társadalmi védelem nélküli szegmenseinek. Különálló gondozás [...]