A szomszédos lábbal. Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens – minden, amit tudnia kell a matematika vizsgán (2020). Pitagorasz-tétel egy derékszögű háromszög lábának megtalálására
Egységes államvizsga 4-re? Nem repessz a boldogságtól?
A kérdés, ahogy mondani szokták, érdekes... Lehet, 4-en átmehet! És ugyanakkor, hogy ne törjön fel ... A fő feltétel a rendszeres gyakorlás. Itt van a matematika vizsgára való alapfelkészülés. Az egységes államvizsga minden titkával és titkával, amelyekről nem fog olvasni a tankönyvekben ... Tanulmányozza ezt a részt, oldjon meg több feladatot különböző forrásokból - és minden sikerülni fog! Feltételezhető, hogy az alapszakasz "Eleged van a hármasból!" nem okoz nehézséget számodra. De ha hirtelen... Kövesse a linkeket, ne legyen lusta!
És kezdjük egy nagyszerű és szörnyű témával.
Trigonometria
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon egyenletesek...")
Ez a téma sok problémát vet fel a diákok számára. Az egyik legsúlyosabbnak tartják. Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens? Mi az a számkör?Érdemes feltenni ezeket az ártalmatlan kérdéseket, hiszen az ember elsápad, és megpróbálja félreterelni a beszélgetést... De hiába. Ezek egyszerű fogalmak. És ez a téma nem bonyolultabb, mint a többi. Csak a kezdetektől fogva világosan meg kell értenie a válaszokat ezekre a kérdésekre. Ez nagyon fontos. Ha megérti - szeretni fogja a trigonometriát. Így,
Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens?
Kezdjük a mély ókorral. Ne aggódj, 15 perc alatt végigjárjuk a trigonometria mind a 20 évszázadát, és önmagunk számára észrevétlenül megismételünk egy geometriát a 8. osztálytól.
Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget oldalakkal a, b, cés szög x... Itt van egy.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy a derékszöget bezáró oldalakat lábaknak nevezzük. a és b- lábak. Ketten vannak. A fennmaradó oldalt hipotenusznak nevezzük. Val vel- hipotenusz.
Háromszög és háromszög, gondolj bele! Mit kell vele csinálni? De az ókori emberek tudták, mit kell tenni! Ismételjük meg cselekedeteiket. Mérje meg az oldalát v... Az ábrán a cellák speciálisan vannak megrajzolva, ahogy az a vizsgálatoknál is történik. Oldal v egyenlő négy cellával. RENDBEN. Mérje meg az oldalát a. Három sejt.
Most osszuk el az oldal hosszát a oldalhossz szerint v... Vagy, ahogy mondják, fogadd el a hozzáállást a Nak nek v. a / b= 3/4.
Ellenkezőleg, lehet osztani v a a. 4/3-ot kapunk. Tud v felosztani Val vel.Átfogó Val vel nem számolható cellákkal, de egyenlő 5-tel a / c= 4/5. Röviden, eloszthatja az oldalak hosszát egymással, és kaphat néhány számot.
És akkor mi van? Mi értelme ennek az érdekes tevékenységnek? Még nincs. Őszintén szólva hülye foglalkozás.)
Most tegyük ezt. Nagyítsuk ki a háromszöget. Nyújtsa ki az oldalakat benne és vele, hanem úgy, hogy a háromszög téglalap alakú maradjon. Injekció x természetesen nem változik. Ennek megtekintéséhez vigye az egeret a kép fölé, vagy koppintson rá (ha táblagépe van). A felek a, b és c válik m, n, k, és természetesen az oldalak hossza változni fog.
De a kapcsolatuk nem!
Hozzáállás a / b Ez volt: a / b= 3/4, most m / n= 6/8 = 3/4. Más érintett felek kapcsolata is nem fog változni ... Egy derékszögű háromszögben tetszés szerint változtathatja az oldalak hosszát, növelheti, csökkentheti, az x szög megváltoztatása nélkül – az érintett felek kapcsolata nem változik ... Ellenőrizheti, de az ókori nép szavukat fogadhatja.
De ez már nagyon fontos! A derékszögű háromszög oldalainak aránya semmilyen módon nem függ az oldalak hosszától (azonos szög esetén). Ez annyira fontos, hogy a felek kapcsolata kiérdemelte sajátos elnevezéseit. A nevük, hogy úgy mondjam.) Találkozzunk.
Mi az x szög szinusza ? Ez az ellentétes láb és a hipotenusz aránya:
sinx = a / s
Mennyi az x szög koszinusza ? Ez a szomszédos láb és a hypotenus aránya:
Val velosx= a / c
Mekkora az x szög érintője ? Ez az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya:
tgx =a / b
Mekkora az x szög kotangense? ? Ez a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya:
ctgx = in / a
Minden nagyon egyszerű. Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens néhány szám. Mérettelen. Csak számok. Minden saroknak megvan a maga.
Miért ismételek mindent olyan unalmasan? Akkor mi az emlékezni kell... Nehéz megjegyezni. A memorizálás megkönnyíthető. Ismerősen hangzik a "Kezdjük távolról..." kifejezés? Kezdje tehát messziről.
Sinus szög az arány távoli a láb szögétől a hypotenusig. Koszinusz- a szomszéd és a hypotenus aránya.
Tangens szög az arány távoli a láb sarkától a legközelebbi. Kotangens- oda-vissza.
Ez már könnyebb, nem?
Nos, ha emlékszel arra, hogy csak a lábak ülnek az érintőben és a kotangensben, és a hipotenusz a szinuszban és a koszinuszban jelenik meg, akkor minden meglehetősen egyszerű lesz.
Ezt az egész dicsőséges családot - szinusznak, koszinusznak, érintőnek és kotangensnek is hívják trigonometrikus függvények.
És most egy megfontolandó kérdés.
Miért mondjuk szinusznak, koszinusznak, érintőnek és kotangensnek? sarok? A felek kapcsolatáról van szó, például... Mi köze ehhez injekció?
A második képet nézzük. Pontosan ugyanaz, mint az első.
Vigye az egeret a kép fölé. szöget változtattam x... Növelte től x-ről x-re. Minden kapcsolat megváltozott! Hozzáállás a / b 3/4 volt, és a megfelelő arány t / in 6/4 lett.
És minden más kapcsolat más lett!
Ezért az oldalak kapcsolata semmilyen módon nem függ a hosszuktól (egy szögben x), hanem élesen ettől a szögtől függ! És csak tőle. Ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens kifejezések erre utalnak sarok. A sarok itt a fő.
Határozottan meg kell érteni, hogy a szög elválaszthatatlanul összefügg a trigonometrikus függvényeivel. Minden szögnek megvan a maga szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Fontos. Úgy tartják, ha megadunk egy szöget, akkor annak szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét tudjuk ! És fordítva. Adott egy szinusz, vagy bármilyen más trigonometrikus függvény, ez azt jelenti, hogy ismerjük a szöget.
Vannak speciális táblázatok, ahol az egyes szögekhez trigonometrikus függvények vannak leírva. A Bradis asztalok el vannak nevezve. Nagyon régen készültek. Azelőtt nem voltak számológépek vagy számítógépek...
Természetesen nem lehet minden szög trigonometrikus függvényét megjegyezni. Csak néhány szempontból köteles ismerni őket, erről később. De a varázslat" Ismerem a szöget - ez azt jelenti, hogy ismerem a trigonometrikus függvényeit "- mindig működik!
Így megismételtünk egy darab geometriát a 8. osztályból. Szükségünk van rá a vizsgához? Szükséges. Íme egy tipikus vizsga a vizsgáról. Amelyik megoldásához elég a 8. osztály. Adott egy kép:
Minden. Több adat nem áll rendelkezésre. Meg kell találni a BC láb hosszát.
A cellák nem sokat segítenek, a háromszög valahogy rosszul van elhelyezve.... Speciálisan menj... Az információból ott van a hipotenusz hossza. 8 sejt. Valamiért egy szög adott.
Itt azonnal emlékeznie kell a trigonometriára. Van egy szög, ami azt jelenti, hogy ismerjük az összes trigonometrikus függvényét. A négy funkció közül melyiket érdemes használni? Lássuk, mit tudunk? Ismerjük a befogót, a szöget, de meg kell találnunk szomszédos erre a saroklábakra! Egyértelmű, hogy a koszinuszát üzembe kell helyezni! Tehát elindítjuk. Csak írjuk, a koszinusz definíciója szerint (az arány szomszédos láb a hypotenusához):
cosC = BC / 8
C szöge 60 fok, koszinusza 1/2. Ezt tudnod kell, minden táblázat nélkül! Azaz:
1/2 = BC / 8
Elemi lineáris egyenlet. Ismeretlen - Nap... Ha elfelejtette az egyenletek megoldását, kövesse a linket, a többi dönt:
BC = 4
Amikor az ókori emberek rájöttek, hogy minden szögnek megvannak a saját trigonometrikus függvényei, ésszerű kérdésük támadt. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens nem kapcsolódnak valamilyen módon? Tehát a szög egyik függvényének ismeretében megtalálhatja a többit? A szög kiszámítása nélkül?
Olyan nyugtalanok voltak...)
Egy szög trigonometrikus függvényei közötti kapcsolat.
Természetesen az azonos szögű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens összefügg. A kifejezések közötti bármilyen kapcsolatot a matematikában képletek határozzák meg. A trigonometriában óriási mennyiségű képlet található. De itt megnézzük a legalapvetőbbeket. Ezeket a képleteket hívják: alapvető trigonometrikus azonosságok. Itt vannak:
Ezeket a képleteket ironikusan ismerni kell. Ezek nélkül a trigonometriában egyáltalán nem lehet mit kezdeni. Ezekből az alapvető identitásokból további három kiegészítő identitás következik:
Azonnal figyelmeztetem, hogy az utolsó három képlet gyorsan kiesik a memóriából. Valamiért.) Ezeket a képleteket természetesen az első háromból is levezethetjük. De Nehéz időszak... Te megérted.)
Az alábbihoz hasonló szabványos feladatokban van mód arra, hogy nélkülözzük ezeket a felejthető képleteket. ÉS drámaian csökkenti a hibák számát a feledékenységhez és a számításokhoz is. Ez a gyakorlat az 555. szakaszban található, "Az azonos szögű trigonometrikus függvények kapcsolata" című leckében.
Milyen feladatokban és hogyan használják az alapvető trigonometrikus azonosságokat? A legnépszerűbb feladat egy szög függvényének megtalálása, ha adott egy másik. A vizsgán ilyen feladat évről évre jelen van.) Például:
Határozzuk meg a sinx értékét, ha x hegyesszög és cosx = 0,8.
A feladat szinte elemi. Olyan képletet keresünk, ahol van szinusz és koszinusz. Ez a képlet:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Itt behelyettesítjük az ismert értéket, azaz a koszinusz helyett 0,8-at:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Nos, szokás szerint számolunk:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Gyakorlatilag ennyi. Kiszámoltuk a szinusz négyzetét, maradt a négyzetgyök kinyerése, és kész a válasz! A 0,36 gyöke 0,6.
A feladat szinte elemi. De a "majdnem" szó itt nem hiábavaló... Az tény, hogy a sinx = - 0,6 válasz is megfelelő... (-0,6) 2 is 0,36 lesz.
Két különböző választ kapunk. És kell egy. A második rossz. Hogyan legyen !? Igen, szokás szerint.) Olvassa el figyelmesen a feladatot! Valamiért ez áll ott:... ha x hegyesszög... A feladatokban pedig minden szónak van jelentése, igen... Ez a kifejezés – és további információ is van a megoldáshoz.
A hegyesszög 90°-nál kisebb szög. És az ilyen sarkokban minden trigonometrikus függvények - mind a szinusz, mind a koszinusz, mind a kotangens érintője - pozitív. Azok. itt egyszerűen elvetjük a nemleges választ. Jogunk van.
Valójában a nyolcadikosoknak nincs szükségük ilyen finomságokra. Csak derékszögű háromszögekkel dolgoznak, ahol a sarkok csak élesek lehetnek. És nem tudják, boldogok, hogy vannak negatív szögek és 1000 ° -os szögek ... És ezeknek a rémálom szögeknek megvannak a maguk trigonometrikus függvényei plusz és mínusz ...
De a középiskolások a jel figyelembe vétele nélkül - bármilyen módon. A sok tudás megsokszorozza a bánatot, igen...) A helyes megoldáshoz pedig szükségszerűen további információk is jelen vannak a feladatban (ha szükséges). Például megadható egy ilyen bejegyzéssel:
Vagy valami más. Az alábbi példákban látni fogja.) Az ilyen példák megoldásához tudnia kell melyik negyedbe esik az adott x szög, és ebben a negyedben milyen előjellel rendelkezik a kívánt trigonometrikus függvény.
A trigonometria ezen alapjait a trigonometrikus körről szóló leckékben tárgyaljuk, a szögek számításával ezen a körön, egy szög radián mértéke. Néha ismerni kell az érintők és kotangensek szinuszos koszinuszainak táblázatát is.
Tehát emeljük ki a legfontosabbat:
1. Jegyezze meg a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit. Nagyon hasznos.
2. Világosan megtanuljuk: a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens szorosan összefügg a szögekkel. Egyet tudunk – ez azt jelenti, hogy tudunk egy másikat.
3. Egyértelműen megtanuljuk: egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense alapvető trigonometrikus azonosságokkal kapcsolódnak egymáshoz. Egy függvényt ismerünk, ami azt jelenti, hogy (ha rendelkezünk a szükséges további információkkal) ki tudjuk számítani az összes többit.
És most szokás szerint megoldjuk. Először a 8. évfolyam körébe tartozó feladatok. De a középiskolások is...)
1. Számítsa ki a tgА értéket, ha ctgА = 0,4.
2. β a derékszögű háromszög szöge. Határozzuk meg a tgβ értékét, ha sinβ = 12/13.
3. Határozzuk meg egy x hegyesszög szinuszát, ha tgx = 4/3.
4. Keresse meg egy kifejezés értékét:
6sin 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °
5. Keresse meg egy kifejezés értékét:
(1-cosx) (1 + cosx), ha sinx = 0,3
A válaszok (pontosvesszővel elválasztva, összevissza):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Megtörtént? Bírság! A nyolcadikosok már túljuthatnak az A.)
Nem sikerült minden? A 2. és 3. feladat valahogy nem túl jó...? Nincs mit! Van egy jó trükk az ilyen feladatokhoz. Minden megoldva, gyakorlatilag, képletek nélkül! Nos, és ezért nincs hiba. Ezt a technikát az 555. szakaszban: "Az azonos szögű trigonometrikus függvények kapcsolata" című leckében ismertetjük. Az összes többi feladat is ott van rendezve.
Ezek olyan feladatok voltak, mint az egységes államvizsga, de csonka változatban. Egységes államvizsga - fény). És most, szinte ugyanazok a feladatok, de teljes értékű teszt formában. Tudással terhelt középiskolásoknak.)
6. Határozza meg a tgβ értékét, ha sinβ = 12/13, és
7. Határozza meg a sinx-et, ha tgx = 4/3, és x a (- 540 °; - 450 °) intervallumhoz tartozik.
8. Határozzuk meg a sinβ · cosβ kifejezés értékét, ha ctgβ = 1.
Válaszok (rendetlenségben):
0,8; 0,5; -2,4.
Itt a 6. feladatban a szög valahogy nem túl egyértelmű... A 8. feladatban pedig egyáltalán nincs megadva! Ez szándékos). A további információkat nem csak a feladatból veszik, hanem a fejből is.) De ha úgy dönt - egy helyes feladat garantált!
És ha még nem döntött? Hm... Nos, az 555. szakasz segít itt. Ott ezeknek a feladatoknak a megoldásai részletesek, nehéz nem megérteni.
Ez a lecke a trigonometrikus függvények nagyon korlátozott fogalmát mutatja be. 8. osztályon belül. És az idősebbeknek még mindig vannak kérdéseik...
Például ha a szög x(lásd a második képet ezen az oldalon) - csinálj hülyét!? A háromszög teljesen összeomlik! És hogyan legyen? Nem lesz láb, nem lesz hypotenusa ... A sinus eltűnt ...
Ha az ókori emberek nem találnának kiutat ebből a helyzetből, akkor most nem lenne mobiltelefonunk, tévénk, villanyunk. Igen igen! Elméleti alap mindezek a dolgok trigonometrikus függvények nélkül - nulla pálca nélkül. De az ókori emberek nem okoztak csalódást. Hogyan jutottak ki - a következő leckében.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Azonnali érvényesítési tesztelés. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
A trigonometria tanulmányozását ezzel kezdjük derékszögű háromszög... Határozzuk meg egy hegyesszög szinuszát és koszinuszát, valamint érintőjét és kotangensét. Ezek a trigonometria alapjai.
Emlékezzen arra derékszög a szög egyenlő. Vagyis egy lelapított sarok fele.
Éles sarok- kisebb.
Tompaszög- nagyobb. Egy ilyen sarokra alkalmazva a "buta" nem sértés, hanem matematikai kifejezés :-)
Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget. Általában derékszöget jeleznek. Vegye figyelembe, hogy a sarokkal szemközti oldalt ugyanaz a betű jelöli, csak kicsi. Tehát a sarokkal ellentétes oldal van feltüntetve.
A szöget a megfelelő jelzi görög levél.
Átfogó derékszögű háromszög a derékszöggel ellentétes oldal.
Lábak- éles sarkokkal ellentétes oldalak.
A sarokkal szemben fekvő lábat ún szemben álló(a sarokhoz képest). Egy másik láb, amely a sarok egyik oldalán fekszik, az úgynevezett szomszédos.
Sinus a derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a hipotenusz aránya:
Koszinusz egy derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
Tangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya:
Egy másik (ekvivalens) definíció: a hegyesszög érintője egy szög szinuszának és koszinuszának aránya:
Kotangens derékszögű háromszögben a hegyesszög a szomszédos láb és a szemközti szár aránya (vagy ami megegyezik, a koszinusz és a szinusz aránya):
Jegyezze meg az alábbiakban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető összefüggéseit. Hasznosak lesznek a problémák megoldása során.
Bizonyítsunk be néhányat közülük.
1. Bármely háromszög szögeinek összege az. Eszközök, egy derékszögű háromszög két hegyesszögének összege az .
2. Egyrészt a szemközti láb és a hypotenus arányaként. Másrészt, mivel a szögben a lábak szomszédosak lesznek.
Ezt értjük. Más szavakkal, .
3. Vegyük a Pitagorasz-tételt:. Osszuk fel mindkét részt:
Kaptunk alapvető trigonometrikus azonosság:
Így egy szög szinuszának ismeretében megtalálhatjuk a koszinuszát, és fordítva.
4. Az alapvető trigonometrikus azonosság mindkét oldalát elosztva a következővel:
Ez azt jelenti, hogy ha megadjuk egy hegyesszög érintőjét, akkor azonnal megtaláljuk a koszinuszát.
Hasonlóképpen,
Rendben, megadtuk a definíciókat és a képleteket. És mire való a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens?
Tudjuk bármely háromszög szögeinek összege az.
Ismerjük a közti kapcsolatot a felek derékszögű háromszög. Ez a Pitagorasz-tétel:.
Kiderült, hogy a háromszög két szögének ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Egy derékszögű háromszög két oldalának ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Ez azt jelenti, hogy a sarkoknál - saját arány, az oldalaknak - saját. De mi van akkor, ha egy derékszögű háromszögben egy szög ismert (kivéve a jobboldalt) és az egyik oldal, de meg kell találni a többi oldalt?
Az emberek a múltban szembesültek ezzel, térképeket készítettek a környékről és a csillagos égboltról. Végül is nem mindig lehet közvetlenül megmérni a háromszög minden oldalát.
Szinusz, koszinusz és érintő – más néven szög trigonometrikus függvényei- adja meg a közötti kapcsolatot a felekés sarkok háromszög. A szög ismeretében speciális táblázatok segítségével minden trigonometrikus függvényét megtalálhatja. És a háromszög és az egyik oldal szögeinek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek ismeretében megtalálhatja a többit.
Rajzolunk egy táblázatot is a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékekről a "jó" szögekhez -tól -ig.
Jegyezze meg a két piros kötőjelet a táblázatban. A megfelelő szögeknél nem létezik érintő és kotangens.
Elemezzünk néhány trigonometriai feladatot a FIPI Job Bankból.
1. Egy háromszögben a szög,. Megtalálja.
A probléma négy másodperc alatt megoldódik.
Azóta nálunk:.
2. Háromszögben a szög,,. Megtalálja. , egyenlő a hypotenus fele.
Egy háromszög sarkokkal, és egyenlő szárú. Ebben a hypotenusa szor nagyobb, mint a láb.
Az ellenkező láb és a hipotenusz arányát ún sinus hegyesszög derékszögű háromszög.
\ sin \ alfa = \ frac (a) (c)
Egy derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza
A közeli láb és a hypotenus arányát ún hegyesszög koszinusza derékszögű háromszög.
\ cos \ alfa = \ frac (b) (c)
Derékszögű háromszög hegyes érintője
Az ellenkező láb és a szomszédos láb arányát ún hegyesszög érintője derékszögű háromszög.
tg \ alfa = \ frac (a) (b)
Derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense
A szomszédos láb és az ellenkező láb arányát ún hegyesszög kotangens derékszögű háromszög.
ctg \ alfa = \ frac (b) (a)
Tetszőleges szög szinusza
Az egységkör azon pontjának ordinátáját nevezzük meg, amelyhez az \ alfa szög tartozik tetszőleges szög szinusza forgatás \ alfa.
\ sin \ alfa = y
Tetszőleges szög koszinusza
Az egységkör azon pontjának abszcisszáját nevezzük, amelyhez az \ alfa szög tartozik tetszőleges szög koszinusza forgatás \ alfa.
\ cos \ alfa = x
Tetszőleges szögtangens
Egy tetszőleges \ alfa forgásszög szinuszának a koszinuszához viszonyított arányát nevezzük tetszőleges szög érintője forgatás \ alfa.
tg \ alfa = y_ (A)
tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)
Tetszőleges szög kotangense
Egy tetszőleges \ alfa forgásszög koszinuszának a szinuszához viszonyított arányát nevezzük tetszőleges szög kotangense forgatás \ alfa.
ctg \ alfa = x_ (A)
ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)
Példa tetszőleges szög megtalálására
Ha \ alfa egy AOM szög, ahol M az egységkör pontja, akkor
\ sin \ alfa = y_ (M), \ cos \ alfa = x_ (M), tg \ alfa = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alfa = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).
Például ha \ szög AOM = - \ frac (\ pi) (4), akkor: az M pont ordinátája egyenlő - \ frac (\ négyzet (2)) (2), az abszcissza az \ frac (\ négyzet (2)) (2)és ezért
\ sin \ bal (- \ frac (\ pi) (4) \ jobb) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);
\ cos \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);
tg;
ctg \ bal (- \ frac (\ pi) (4) \ jobb) = - 1.
A kotangensek érintőinek koszinuszainak értéktáblázata
A főbb közös szögek értékeit a táblázat tartalmazza:
| 0 ^ (\ kör) (0) | 30 ^ (\ kör) \ bal (\ frac (\ pi) (6) \ jobb) | 45 ^ (\ kör) \ bal (\ frac (\ pi) (4) \ jobb) | 60 ^ (\ kör) \ bal (\ frac (\ pi) (3) \ jobb) | 90 ^ (\ kör) \ bal (\ frac (\ pi) (2) \ jobb) | 180 ^ (\ kör) \ bal (\ pi \ jobb) | 270 ^ (\ kör) \ bal (\ frac (3 \ pi) (2) \ jobb | 360 ^ (\ kör) \ bal (2 \ pi \ jobb) | |
| \ sin \ alfa | 0 | \ frac12 | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac (\ sqrt 3) (2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \ cos \ alfa | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (2) | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \ alfa | 0 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 1 | \ sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \ alfa | — | \ sqrt3 | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 0 | — | 0 | — |
Egy derékszögű háromszög egyik lábának ismeretében megtalálhatja a második szárat és a hipotenuszt a trigonometrikus összefüggés - ismert szög szinusza és érintője - segítségével. Mivel a szemközti szárszög és a befogó szög aránya egyenlő ennek a szögnek a szinuszával, ezért a befogó megállapításához a lábat el kell osztani a szög szinuszával. a / c = sinα c = a / sinα
A második szár egy ismert szög érintőjéből, az ismert szár és az érintő arányaként kereshető. a / b = tanα b = a / tanα
Egy derékszögű háromszög ismeretlen szögének kiszámításához ki kell vonni az α szög értékét 90 fokból. β = 90 ° -α
A száron átmenő derékszögű háromszög kerülete és területe, valamint a vele ellentétes szög úgy fejezhető ki, hogy a képletekbe behelyettesítjük a második láb és a hipotenuzus korábban kapott kifejezéseit. P = a + b + c = a + a / tanα + a / sinα = a tanα sinα + a sinα + a tanα S = ab / 2 = a ^ 2 / ( 2 tanα)
A magasságot trigonometrikus relációkon keresztül is kiszámíthatja, de már az általa alkotott belső derékszögű a oldalú háromszögben. Ehhez szükség van az a oldalra, hogyan szorozzuk meg egy ilyen háromszög hipotenuszát a β szög szinuszával vagy az α koszinuszával, mivel a trigonometrikus azonosságok szerint ezek egyenértékűek. (79.2. ábra) h = a cosα
A hypotenus mediánja a hypotenus fele, vagy az ismert láb a, osztva két szinusz α. A lábak mediánjainak megtalálásához a képleteket az ismert oldal és szögek megfelelő alakjába hozzuk. (79.3. ábra) m_с = c / 2 = a / (2 sinα) m_b = √ (2a ^ 2 + 2c ^ 2-b ^ 2) / 2 = √ (2a ^ 2 + 2a ^ 2 + 2b ^ 2-b ^ 2) / 2 = √ (4a ^ 2 + b ^ 2) / 2 = √ (4a ^ 2 + a ^ 2 / tan ^ 2α) / 2 = (a√ (4 tan ^ 2 α + 1)) / (2 tanα) m_a = √ (2c ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (4b ^ 2 + a ^ 2) / 2 = √ (4b ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) / 2 = √ (3 a ^ 2 / tan ^ 2α + a ^ 2 / sin ^ 2α) / 2 = √ ((3a ^ 2 sin ^ 2α + a ^ 2 tan ^ 2α) / (tan ^ 2α sin ^ 2α)) / 2 = (a√ ( 3 sin ^ 2α + tan ^ 2α)) / (2 tanα sinα)
Mivel a derékszög felezőpontja egy háromszögben két oldal szorzata és kettő gyöke, osztva ezen oldalak összegével, az egyik szárat az ismert szár és az érintő arányával helyettesítve a következőt kapjuk kifejezés. Hasonlóképpen, a második és harmadik képletben az arány helyettesítésével kiszámíthatja az α és β szögek felezőit. (79.4. ábra) l_с = (aa / tanα √2) / (a + a / tanα) = (a ^ 2 √2) / (a tanα + a) = (a √2) / (tanα + 1) l_a = √ (bc (a + b + c) (b + ca)) / (b + c) = √ (bc ((b + c) ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) = √ (bc (b ^ 2 + 2bc + c ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) = √ (bc (b ^ 2 + 2bc + b ^ 2) ) / (b + c) = √ (bc (2b ^ 2 + 2bc)) / (b + c) = (b√ (2c (b + c))) / (b + c) = (a / tan α √ (2c (a / tanα + c))) / (a / tanα + c) = (a√ (2c (a / tanα + c))) / (a + c tanα) l_b = √ (ac (a + b + c) (a + cb)) / (a + c) = (a√ (2c (a + c))) / (a + c) = (a√ (2c (a + a / sinα))) / (a + a / sinα) = (a sinα √ (2c (a + a / sinα)) ) / (a sinα + a)
A középső vonal párhuzamosan fut a háromszög egyik oldalával, miközben egy másik hasonló derékszögű háromszöget alkot azonos szögekkel, amelyben minden oldal kétszer kisebb, mint az eredetié. Ez alapján a középvonalakat a következő képletekkel találhatjuk meg, csak a lábszár és a vele ellentétes szög ismeretében. (79.7. ábra) M_a = a / 2 M_b = b / 2 = a / (2 tanα) M_c = c / 2 = a / (2 sinα)
A beírt kör sugara egyenlő a lábak és a befogó közötti különbséggel, osztva kettővel, és a körülírt kör sugarának megtalálásához a befogót el kell osztani kettővel. Helyettesítjük a második lábat és a hipotenuszt az a láb szinuszhoz, illetve érintőjéhez viszonyított arányával. (79.5., 79.6. ábra) r = (a + bc) / 2 = (a + a / tanα -a / sinα) / 2 = (a tanα sinα + a sinα-a tanα) / (2 tanα sinα) R = c / 2 = a / 2sinα
Utasítás
1. módszer. A Pitagorasz-tétel felhasználása. A tétel azt mondja: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ebből következik, hogy egy derékszögű háromszög bármelyik oldala kiszámítható a másik két oldalának ismeretében (2. ábra).
2. módszer. Abból a tényből adódik, hogy a középpontból húzott medián 3 hasonló háromszöget alkot egymás között (3. ábra). Ezen az ábrán az ABC, BCD és ACD háromszögek hasonlóak.
6. példa: Mértékegységkörök használata koordináták keresésére
Először megkeressük az adott szögnek megfelelő referenciaszöget. Ezután vesszük a referenciaszög szinuszát és koszinuszát, és megadjuk az y- és x-kvadráns értékeinek megfelelő előjeleket. Ezután megkeressük az adott szög koszinuszát és szinuszát.
Szitaszög, szögháromszög és kockagyök
Az iránytűvel és vonalzóval rajzolható sokszögek közé tartozik.Megjegyzés: A szitaszöget nem lehet körzővel és vonalzóval ábrázolni. Ha egy kocka oldalhosszát megszorozzuk 2 kockagyökével, akkor egy dupla térfogatú kocka oldalhosszát kapjuk. Évariste Galois francia matematikus innovatív elméletének segítségével kimutatható, hogy mindhárom klasszikus probléma esetén a körrel és vonalzóval való konstrukció lehetetlen.
A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely 90 fokos szöggel ellentétes. A hosszának kiszámításához elegendő ismerni az egyik láb hosszát és a háromszög egyik hegyesszögének méretét.
Ne feledje: a három részből álló szög- és kockagyökér-kialakítás nem lehetséges iránytűvel és vonalzóval. 
Másrészt egy harmadfokú egyenlet megoldása Cardano képletével ábrázolható a szög és a kockagyök elosztásával. A következőkben körrel és vonalzóval beépítünk egy bizonyos szöget. Ennek a szögnek a háromszöge és a kockagyök meghatározása után azonban a négyzetes szita felépítése elvégezhető egy körző és egy vonalzó segítségével.
E számítás szerint építsünk rácsos fedélzetet
A konstrukciós probléma algebrai megfogalmazása egy egyenlethez vezet, amelynek szerkezeti elemzése további információkat nyújt a hármas szerkezet felépítéséhez. Itt a szög koszinuszhoz viszonyított egy-egy arányát használjuk: ha a szög értéke ismert, akkor a szög koszinuszának hossza egyedileg ábrázolható az egységkörön és fordítva.
Utasítás
Ismert láb és egy derékszögű háromszög hegyesszöge esetén a hipotenusz mérete megegyezik a láb és ennek a szögnek a koszinuszának / szinuszának arányával, ha ez a szög ellentétes / szomszédos vele:
h = C1 (vagy C2)/sinα;
h = C1 (vagy C2) / cosα.
Példa: Adjunk meg egy ABC derékszögű háromszöget AB hipotenusszal és C derékszöggel. Legyen B szög 60 fok, A szög 30 fok A BC láb hossza 8 cm. keresse meg az AB hipotenusz hosszát. Ehhez a fenti módszerek bármelyikét használhatja:
Ez az egy az egyhez hozzárendelés lehetővé teszi, hogy a szög meghatározásától a szög koszinuszának meghatározásáig lépjen. A továbbiakban a 3 φ a felosztandó szöget jelöli. Így φ az a szög, amelynek értékét adott 3 φ esetén meg kell határozni. Kezdve a trigonometriából ismert vegyületekkel.
Adott 3 φ szögben követi. Egy háromdimenziós egyenlet megoldhatóságának algebrai mérlegelése közvetlenül a megoldások megalkotásának lehetőségéhez, következésképpen egy adott szög konstruktív hármasszögének lehetőségéhez vagy lehetetlenségéhez vezet.
AB = BC / cos60 = 8 cm.
AB = BC / sin30 = 8 cm.
A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely a derékszöggel szemben helyezkedik el. Ez egy derékszögű háromszög legnagyobb oldala. Kiszámolhatja a Pitagorasz-tétel segítségével vagy trigonometrikus függvények képleteivel.
A kilépési szög nagysága nagyban befolyásolja a harmadik szög összekapcsolásának lehetőségét, hiszen ez abszolút tagként döntően meghatározza a megoldások típusát a háromdimenziós egyenletben. Ha a háromszögelési egyenletnek van legalább egy valós megoldása, amelyet racionális műveletekkel vagy rajzolással kaphatunk négyzetgyök adott kezdőszögnél ez a megoldás konstruktív.
Breidenbach kritériumként fogalmazta meg, hogy a három másodperces szög csak abban értelmezhető racionális megoldás egyenletek három részből. Ha ilyen megoldás nem áll rendelkezésre, akkor a háromrészes felépítés problémája összeegyeztethetetlen az iránytűvel és a vonalzóval. A klaszterelemzés egy általános technika kis csoportok összeállítására nagy adatkészletből. A diszkriminanciaanalízishez hasonlóan a klaszteranalízist is használják az esetek csoportokba sorolására. Másrészt a diszkriminatív elemzés megköveteli a csoporttagságok ismeretét azokban az esetekben, amikor az osztályozási szabályt levezetjük.
Utasítás
A lábakat egy derékszögű háromszög derékszöggel szomszédos oldalainak nevezzük. Az ábrán a lábak AB és BC jelöléssel vannak ellátva. Legyen megadva mindkét láb hossza. Jelöljük őket | AB |-nek és |BC |. Az AC | hipotenúza hosszának meghatározásához a Pitagorasz-tételt használjuk. E tétel szerint a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével, azaz. ábránk jelölésében | AB | ^ 2 + | BC | ^ 2 = | AC | ^ 2. A képletből azt kapjuk, hogy az AC hipotenusz hosszát | AC | = √ (| AB | ^ 2 + | BC | ^ 2).
A klaszterelemzés primitívebb, mert nem tesz feltételezéseket a csoportok számáról vagy a csoporttagságról. Osztályozás A klaszterelemzés módot ad a lehetséges kapcsolatok felfedezésére, és szisztematikus struktúra létrehozására számos változó és megfigyelés alapján. A hierarchikus klaszteranalízis a fő statisztikai módszer az esetek viszonylag homogén klasztereinek a mért jellemzők alapján történő megtalálására. Minden eset külön fürtként kezdődik.
A klasztereket ezután egymás után egyesítik, és a klaszterek száma minden lépéssel csökken, amíg csak egy fürt marad. A fürtözési módszer az objektumok közötti különbségeket használja fürtök létrehozásához. A hierarchikus klaszteranalízis a legalkalmasabb kis mintákhoz.
Nézzünk egy példát. Legyen a lábak hossza | AB | = 13, | BC | = 21. A Pitagorasz-tétellel azt kapjuk, hogy | AC | ^ 2 = 13 ^ 2 + 21 ^ 2 = 169 + 441 = 610. A befogó hosszának meghatározásához ki kell vonni a befogó négyzetgyökét a lábak négyzeteinek összege, azaz 610 közül: | AC | = √610. Az egész számok négyzettáblázatából kiderül, hogy a 610-es szám nem egy egész szám teljes négyzete. Ahhoz, hogy a hipotenusz hosszának végső értékét megkapjuk, próbáljuk meg kivenni a gyökjelből a teljes négyzetet. Ehhez szorozza a 610-es számot. 610 = 2 * 5 * 61. A prímszámok táblázata szerint azt látjuk, hogy 61 prímszám. Ezért a √610 szám további csökkentése lehetetlen. Megkapjuk a végső választ | AC | = √610.
Ha a hipotenusz négyzete egyenlő lenne, például 675, akkor √675 = √ (3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ha lehetséges ilyen csökkentés, hajtsa végre a fordított ellenőrzést – négyzet alakú az eredményt, és hasonlítsa össze az eredeti értékkel.
A hierarchikus klaszteranalízis csak egy módja annak, hogy megfigyeljük a homogén változócsoportok kialakulását. Nincs konkrét módszer a fürtök számának beállítására az elemzéshez. Talán meg kell nézni a dendrogramot, valamint a klaszterek jellemzőit, majd fokozatosan módosítani kell a számot, hogy jó klaszterezési megoldást kapjunk.
Ha a változókat különböző skálákon mérik, háromféleképpen szabványosíthatja a változókat. Ennek eredményeként az összes változó nagyjából egyenlő arányban hozzájárul a távolság méréséhez, még akkor is, ha esetleg elveszik az információ a változók varianciájáról.
Tudassa velünk az egyik lábat és a mellette lévő sarkot. A határozottság kedvéért legyen láb | AB | és α szög. Ekkor használhatjuk a trigonometrikus függvény koszinusz képletét - a szög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával. Azok. jelölésünkben cos α = |AB | AC |. Ebből megkapjuk a hipotenúza hosszát | AC | = |AB | / cos α.
Ha ismerjük a lábat | BC | és α szöget, akkor a képletet használjuk a szög szinuszának kiszámításához - a szög szinusza megegyezik a szemközti láb és a hipotenúzus arányával: sin α = |BC | AC |. Azt kapjuk, hogy a hipotenusz hosszát | AC | = |Kr.e. | / cos α.
Euklideszi távolság: Az euklideszi távolság a leggyakoribb mérési módszer. Négyzetes euklideszi távolság: Az euklideszi távolság négyzete az egymástól távolabb lévő tárgyakra összpontosítja a figyelmet. Távolság a várostömbtől: Mind a várostömb, mind az euklideszi távolság a Minkowski-metrika speciális esetei. Míg az euklideszi távolság a két pont közötti legrövidebb út hosszának felel meg, addig a várostömbök mentén lévő távolság az egyes dimenziók mentén lévő távolságok összege. Pearson-korrelációs távolság Különbség 1 és két megfigyelés koszinusz tényezője között A koszinusz tényező a két vektor közötti szög koszinusza. Jacard-távolság Az 1 és a Jacard-együttható különbsége két megfigyelés esetén Bináris adatok esetén a Jacard-együttható az átfedés és a két megfigyelés összegének aránya. Legközelebbi szomszéd Ez a módszer feltételezi, hogy két klaszter közötti távolság megfelel a legközelebbi szomszéd jellemzői közötti távolságnak. Legjobb szomszéd Ebben a módszerben a két klaszter közötti távolság a különböző klaszterekben lévő két objektum közötti maximális távolságnak felel meg. Csoportátlag: Ezzel a módszerrel a két klaszter közötti távolság megfelel a különböző klaszterekben lévő összes objektumpár közötti átlagos távolságnak. Ez a módszer általában ajánlott, mert nagyobb mennyiségű információt tartalmaz. Medián Ez a módszer megegyezik a centroid módszerrel, kivéve, hogy súlyozatlan. Ezután minden esetben kiszámítjuk a klaszter átlagától mért kvadratikus euklideszi távolságot. Az összevonandó klaszter az, amelyik legalább növeli az összeget. Vagyis ez a módszer minimálisra csökkenti a klasztereken belüli távolságok négyzetösszegének növekedését. Ez a módszer kisebb klasztereket hoz létre.
- Ez a geometriai távolság a többdimenziós térben.
- Csak folytonos változókhoz alkalmas.
- Koszinusz távolság Két értékvektor közötti szög koszinusza.
- Ez a módszer festett fürtök rajzolásakor javasolt.
- Ha a megrajzolt klaszterek egyedi csomókat alkotnak, a módszer megfelelő.
- A klaszter súlypontja a többdimenziós tér felezőpontja.
- Nem szabad használni, ha a fürtméretek nagyon eltérőek.
- Az összes változóhoz tartozó Ward-átlagok minden klaszterhez kiszámításra kerülnek.
- Ezeket a távolságokat minden esetben összeadjuk.
Az érthetőség kedvéért vegyünk egy példát. Legyen a láb hossza | AB | = 15. És az α szög = 60 °. Kapunk | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Fontolja meg, hogyan ellenőrizheti az eredményt a Pitagorasz-tétel segítségével. Ehhez ki kell számítanunk a második láb hosszát | BC |. A tan α = | BC | tangensének képletével / | AC |, megkapjuk | BC | = |AB | * barn α = 15 * cser 60 ° = 15 * √3. Ezután alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Az ellenőrzés befejeződött.
A szinuszfüggvényt a szinusz fogalmából határozzuk meg, szem előtt tartva, hogy a szöget mindig radiánban kell kifejezni. A szinuszfüggvénynek több jellemzője is megfigyelhető.
- Az Ön domainje mindent tartalmaz, ami valódi.
- Ebben az esetben a függvényt periodikusnak, 2π periódusúnak mondjuk.
A koszinuszfüggvény több jellemzőjét is megfigyelhetjük. Így van időszakos időszak 2π. ... A korlátozás nem szünteti meg a képlet általánosságát, mert a második, harmadik és negyedik kvadráns szögeit mindig csökkenthetjük az elsőre. A feladat. - Számítsa ki a 15º-os szinust számológép nélkül.
A hipotenúza kiszámítása után ellenőrizze, hogy a kapott érték kielégíti-e a Pitagorasz-tételt.
Források:
- Prímszámok táblázata 1-től 10000-ig
Lábak hívjuk egy derékszögű háromszög két rövid oldalát, amelyek azt a csúcsot alkotják, amelynek értéke 90 °. Az ilyen háromszög harmadik oldalát hipotenusznak nevezzük. A háromszög ezen oldalai és szögei bizonyos arányokkal összefüggenek egymással, amelyek lehetővé teszik a láb hosszának kiszámítását, ha több egyéb paraméter is ismert.
Két szög összegének koszinusza
Két szög különbségének koszinusza
A képlet megszerzéséhez ugyanúgy járhatunk el, mint az előző részben, de látni fogunk még egy nagyon egyszerű, a Pitagorasz-tételen alapuló demonstrációt. A jel egyszerűsítése és megváltoztatása megvan. Két szög érintőösszege és különbsége.A feladat. Mai cikkünkben egy nagyon specifikus részhalmazt tekintünk meg: a trigonometrikus függvényeket. Ahhoz, hogy élvezzük mindazt, amit a matematika kínál, importálnunk kell. A következő cikkben további importstílusokat fogunk látni, mindegyiknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. De ezzel az egyszerű utasítással máris hozzáférhet a matematikai modul teljes névteréhez, amely tele van több tucat funkcióval, köztük olyanokkal, amelyekkel ma foglalkozunk.
Utasítás
Ha ismeri a derékszögű háromszög másik két oldalának (B és C) hosszát, akkor használja a Pitagorasz-tételt az (A) láb hosszának kiszámításához. Ez a tétel kimondja, hogy a négyzetes lábhosszak összege megegyezik a befogó négyzetével. Ebből az következik, hogy az egyes szárak hossza megegyezik a befogó és a második láb hosszának négyzetei közötti különbség négyzetgyökével: A = √ (C²-B²).
Alapvetően ki kell számítanunk a szög szinuszát, koszinuszát és tangensét, valamint a szögét inverz függvények... Ezen kívül szeretnénk radiánban és fokban is dolgozni, hogy a megfelelő konverziós függvényeket is tudjuk használni.
Ne feledje, hogy ezek a függvények azt várják, hogy az argumentumot radiánban, nem pedig fokban adják meg. Ebből a célból érdekelni fogja, hogy rendelkezik a következő állandóval. Tehát ezt a kifejezést használhatjuk numerikus érték helyett.
A koszekánsnak, szekánsnak és kotangensnek nincs közvetlen függvénye, mivel ez nem szükséges, mivel ezek egyszerűen inverzei a szinusznak, a koszinusznak és az érintőnek. Mint korábban, a visszaadott szög is radiánban van megadva. Egy másik hasznos matematikai függvény lehetővé teszi, hogy megtudjuk egy derékszögű háromszög befogójának értékét a lábai alapján, ami lehetővé teszi, hogy kiszámítsuk a négyzetösszeg négyzetgyökét.
Használja a "szinusz" direkt trigonometrikus függvény definícióját hegyesszögre, ha ismeri a számított szárral szemben fekvő szög (α) értékét és a hipotenusz hosszát (C). Ez a definíció kimondja, hogy ennek az ismert szögnek a szinusza egyenlő a kívánt láb hosszának és a hipotenuzus hosszának arányával. Ez azt jelenti, hogy a kívánt láb hossza megegyezik a befogó hosszának és az ismert szög szinuszának szorzatával: A = C ∗ sin (α). Ugyanazon ismert értékekhez használhatja a koszekáns függvény definícióját, és úgy számíthatja ki a szükséges hosszt, hogy a hipotenúza hosszát elosztja az ismert szög A = C / cosec (α) koszekánsával.
Használja a direkt trigonometrikus koszinuszfüggvény definícióját, ha a hipotenusz hosszán (C) kívül a kívánt szárral szomszédos hegyesszög (β) értéke is ismert. Ennek a szögnek a koszinuszát a kívánt láb és a befogó hosszának arányaként határozzuk meg, és ebből arra következtethetünk, hogy a láb hossza megegyezik a hipotenusz hosszának az ismert koszinuszával szorzatával. szög: A = C ∗ cos (β). Használhatja a szekáns függvény definícióját, és úgy számíthatja ki a kívánt értéket, hogy a hipotenuzus hosszát elosztja az ismert A = C / sec (β) szög szekánsával.
Vezesse le a kívánt képletet egy hasonló definícióból az érintő trigonometrikus függvényének deriválására, ha a kívánt szárral (A) szemben fekvő hegyesszög (α) mellett a második szár hossza (B) ismert. A kívánt szárral szemközti szög érintője ennek a lábnak a hosszának és a második láb hosszának az aránya. Ez azt jelenti, hogy a szükséges érték egyenlő lesz az ismert láb hosszának szorzatával az ismert szög érintőjével: A = B ∗ tg (α). Ugyanezen ismert mennyiségekből egy másik képlet is származtatható, ha a kotangens függvény definícióját használjuk. Ebben az esetben a láb hosszának kiszámításához meg kell találni az ismert láb hosszának és az ismert szög kotangensének arányát: A = B / ctg (α).
Kapcsolódó videók
A "katét" szó a görögből jött az orosz nyelvbe. Pontos fordításban függővonalat, vagyis a föld felszínére merőlegeset jelent. A matematikában a lábakat olyan oldalaknak nevezik, amelyek egy derékszögű háromszög derékszögét alkotják. Az ezzel a sarokkal ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. A "láb" kifejezést az építészetben és a hegesztéstechnikában is használják.
Rajzolj egy ACB derékszögű háromszöget. Jelölje a lábát a és b, a hipotenuszt pedig c. A derékszögű háromszög minden oldala és sarka bizonyos kapcsolatokon keresztül kapcsolódik egymáshoz. Az egyik hegyesszöggel szemközti lábnak a hipotenuszhoz viszonyított arányát az adott szög szinuszának nevezzük. Adott háromszögben sinCAB = a / c. A koszinusz a szomszédos láb hipotenuszához viszonyított arány, azaz cosCAB = b / c. Az inverz relációkat szekánsnak és koszekánsnak nevezzük.
Egy adott szög szekánsát úgy kapjuk meg, hogy a hipotenuzust elosztjuk a szomszédos szárral, azaz secCAB = c / b. Kiderül, hogy a koszinusz inverze, vagyis a secCAB = 1 / cosSAB képlettel fejezhető ki.
A koszekáns egyenlő a hipotenusznak az ellenkező lábbal való osztásának hányadosával, és ez a szinusz reciproka. A cosecCAB = 1 / sinCAB képlettel számítható ki
Mindkét lábat érintő és kotangens köti össze. Ebben az esetben az érintő az a oldal és a b oldal aránya, vagyis a szomszédos szárral ellentétes láb. Ez az arány a tgCAB = a / b képlettel fejezhető ki. Ennek megfelelően az inverz összefüggés a kotangens lesz: ctgCAB = b / a.
A hypotenus és a két láb mérete közötti arányt az ókori görög matematikus, Pythagoras határozta meg. Az emberek ma is használják a róla elnevezett tételt. Azt mondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, azaz c2 = a2 + b2. Ennek megfelelően mindegyik láb egyenlő lesz az alsó és a másik láb négyzetei közötti különbség négyzetgyökével. Ez a képlet a következőképpen írható fel: b = √ (c2-a2).
A láb hossza az általad ismert kapcsolatokon keresztül is kifejezhető. A szinuszok és koszinuszok tételei szerint a láb egyenlő a hipotenusz és ezen függvények egyikének szorzatával. Kifejezheti érintővel vagy kotangenssel is. Az a láb megtalálható például az a = b * tan CAB képlettel. Ugyanígy, a megadott érintőtől vagy kotangenstől függően a második szakaszt is meghatározzuk.
A "láb" kifejezést az építészetben is használják. Jón tőkére vonatkozik, és a háta közepén áthaladó függővonalat jelöl. Vagyis ebben az esetben ez a kifejezés egy adott egyenesre merőlegest jelöl.
A hegesztés technológiájában létezik a "filéhegesztési lábak" fogalma. Mint más esetekben, ez a legrövidebb távolság. Itt jön az egyik hegesztendő alkatrész közötti résről a másik alkatrész felületén található varrat határához.
Kapcsolódó videók
Források:
- mi a láb és a hypotenusa
Kapcsolódó videók
jegyzet
Egy derékszögű háromszög oldalainak kiszámításakor a jellemzőinek ismerete a következőket játszhatja:
1) Ha a derékszög szára 30 fokos szöggel szemben helyezkedik el, akkor egyenlő a befogó felével;
2) A hypotenus mindig hosszabb, mint bármelyik láb;
3) Ha egy kör egy derékszögű háromszög köré van körülírva, akkor a középpontja a befogó közepén kell, hogy legyen.
Ahol a derékszögű háromszög megoldására feladatokat vettek figyelembe, megígértem, hogy felvázolok egy technikát a szinusz és koszinusz definícióinak memorizálására. Használatával mindig gyorsan emlékezni fog, hogy melyik láb tartozik a hypotenushoz (szomszédos vagy ellentétes). Úgy döntöttem, hogy nem teszem fel a hátsó égőre, lent a szükséges anyag, olvasd el 😉
Az a helyzet, hogy többször is megfigyeltem, hogy a 10-11. osztályos tanulók nehezen emlékeznek ezekre a meghatározásokra. Tökéletesen emlékeznek arra, hogy a láb a hypotenushoz tartozik, de melyikük - elfelejtik és zavaros. A hiba ára, amint azt a vizsgán is tudja, vesztett pont.
Azoknak az információknak, amelyeket közvetlenül a matematikának fogok bemutatni, semmi köze ehhez. Összefügg a figuratív gondolkodással, a verbális-logikai kommunikáció módszereivel. Így van, én magam is, egyszer s mindenkorra, emlékszem definíciós adatok. Ha elfelejti őket, akkor a bemutatott technikák segítségével mindig könnyen megjegyezhető.
Hadd emlékeztesselek a szinusz és a koszinusz definícióira egy derékszögű háromszögben:
Koszinusz egy derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
Sinus a derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a hipotenusz aránya:
Szóval, milyen asszociációid vannak a koszinusz szóval?
Valószínűleg mindenkinek megvan a sajátja 😉 Emlékezz a csomóra:
Így azonnal egy kifejezés lesz az emlékezetében -
«… a BEÁLLÍTÓ láb és a hypotenus aránya».
A koszinusz meghatározásával kapcsolatos probléma megoldódott.
Ha meg kell emlékeznie a szinusz definíciójára egy derékszögű háromszögben, akkor a koszinusz definíciójára emlékezve könnyen megállapíthatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti láb és a szemközti szár aránya. a hipotenusz. Hiszen csak két láb van, ha a szomszédos szárat "elfoglalja" a koszinusz, akkor csak az ellentétes szinusz marad.
Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel? A zűrzavar ugyanaz. A tanulók tudják, hogy ez a lábak kapcsolata, de a probléma az, hogy emlékezzünk arra, hogy melyikhez tartozik – vagy a szomszédosnak az ellenkezőjéhez, vagy fordítva.
Definíciók:
Tangens egy derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a szomszédos láb aránya:
Kotangens egy derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és a szemközti láb aránya:
Hogyan emlékezzünk? Két módja van. Az egyik verbális-logikai kapcsolatot is használ, a másik pedig matematikai kapcsolatot.
MATEMATIKAI MÓDSZER
Van egy ilyen meghatározás - egy hegyesszög érintője egy szög szinuszának és koszinuszának aránya:
* A képlet memorizálása után mindig meghatározhatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya.
Hasonlóképpen. Egy hegyesszög kotangense egy szög koszinuszának és szinuszának aránya:
Így! A jelzett képletek memorizálása után mindig megállapíthatja, hogy:
A derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya
A derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos láb és a szemközti szár aránya.
SZÓLOGIKAI MÓDSZER
Az érintőről. Emlékezz a csomóra:
Vagyis ha emlékeznie kell az érintő definíciójára, ezzel a logikai kapcsolattal könnyen emlékezhet arra, hogy
"... az ellenkező láb viszonya a szomszédoshoz"
Ha a kotangensről van szó, akkor az érintő definíciójára emlékezve könnyen hangoztathatja a kotangens meghatározását -
"... a szomszédos láb viszonya az ellenkezőjéhez"
Van egy érdekes technika a tangens és a kotangens memorizálására az oldalon " Matek tandem " , Nézd meg.
UNIVERZÁLIS MÓDSZER
Csak memorizálni lehet. De amint a gyakorlat azt mutatja, a verbális és logikai kapcsolatoknak köszönhetően az ember hosszú ideig emlékszik az információkra, és nem csak matematikai.
Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.
Üdvözlettel, Alexander Krutitskikh
P.S: Hálás lennék, ha mesélne nekünk az oldalról a közösségi oldalakon.
