≡× MENÜ

• Nos szivattyúk
• Szűrők a tisztításhoz
• Kútfúrás
• Fúrásos szivattyúk
• Wells

Az arcsin és az arccos. Inverz trigonometrikus függvények. Inverz trigonometrikus függvények alapviszonyai

Inverz trigonometriai feladatokat gyakran kínálnak érettségi vizsgákon és felvételi vizsgákon egyes egyetemeken. A téma részletes tanulmányozása csak választható órákon vagy választható tanfolyamokon érhető el. A javasolt tanfolyam célja, hogy teljes mértékben fejlessze minden tanuló képességeit, javítsa matematikai képzettségét.

A tanfolyam 10 órás:

1. Funkciók arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 óra).

2. Az inverz trigonometrikus függvények működése (4 óra).

3. Inverz trigonometriai műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Téma: Függvények y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cél: a probléma teljes lefedése.

1. y függvény = arcsin x.

a) Az y = sin x függvényhez a szegmensen van egy inverz (egyértékű) függvény, amelyet megegyeztünk, hogy az arcsine-t hívjuk és a következőképpen jelöljük: y = arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a fő függvény grafikonjával az I-III koordináta szögek felezőjéhez képest.

Az y = arcsin x függvény tulajdonságai.

1) A definíció tartománya: szegmens [-1; egy];

2) A változás területe: szegmens;

3) y = arcsin x függvény páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekszik;

5) A grafikon keresztezi az Ox, Oy tengelyeket az origónál.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin. Ezt a példát részletesen a következőképpen lehet megfogalmazni: keressen egy olyan érvet a, amely a -tól a tartományig fekszik, és amelynek szinusz -értéke egyenlő.

Megoldás. Számtalan érv létezik, amelyek szinusz egyenlő, például: stb. De minket csak az az érv érdekel, ami a szegmensen van. Ilyen érv lenne. Így, .

Példa 2. Keresse meg .Megoldás. Az érvelést ugyanúgy végezzük, mint az 1. példában .

b) szóbeli gyakorlatok. Találat: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. Válaszminta: mivel ... Van értelme a kifejezéseknek :; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendben: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Függvények y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x (hasonló).

2. lecke (2 óra) Téma: Inverz trigonometrikus függvények, azok grafikonjai.

Cél: ebben a leckében gyakorolni kell a trigonometrikus függvények értékeinek meghatározásában, az inverz trigonometrikus függvények D (y), E (y) és a szükséges transzformációk segítségével történő ábrázolásában.

Ebben a leckében végezzen olyan gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a tartomány, az értékek tartományának megtalálását a következő típusú függvényekben: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctan (tg x), y = arccos.

Függvénygráfokat kell készíteni: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | ...

Példa. Y ábra: arccos

Házi feladatába a következő gyakorlatokat veheti fel: függvénygrafikonok készítése: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | ...

Fordított függvény grafikonok

3. lecke (2 óra) Téma:

Műveletek inverz trigonometrikus függvényeken.

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez fontos a matematikai képzés iránti fokozott követelményeket igénylő szakokra jelentkezők számára) az inverz trigonometrikus függvények alapvető összefüggéseinek bevezetésével.

Anyag a leckéhez.

Néhány legegyszerűbb trigonometriai művelet az inverz trigonometrikus függvényeken: sin (arcsin x) = x, i xi? egy; cos (arсcos x) = x, i xi? egy; tg (arctan x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctan 5) = - ctg (arctan 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) =.

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) =; sin (arccos x) =.

Megjegyzés: a „+” jelet vesszük a gyök elé, mert a = arcsin x megfelel.

c) bűn (1,5 + arcsin) .Válasz :;

d) ctg (+ arctan 3). Válasz :;

e) tg (- arcctg 4) Válasz :.

f) cos (0,5 + arccos). Válasz:.

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5).

Legyen arctan 5 = a, majd sin 2 a = vagy bűn (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) .Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctan, b = arctan,

akkor tg (a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] igaz arcsin x + arccos x =.

Bizonyíték:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

A független megoldás érdekében: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Házi megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctan 0,5 - arctan 3.

4. lecke (2 óra) Téma: Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: ebben a leckében bemutatni az arányok használatát a bonyolultabb kifejezések átalakításában.

Anyag a leckéhez.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctan 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos ()).

ÍROTT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctan 5 - arccos 0,8) = cos (arctan 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctan 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

A független munka segít azonosítani az anyag asszimilációs szintjét

1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos (- arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) bűn (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Házi feladatként a következőket ajánlhatja fel:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctan 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctan + tg (arcsin)); 4) bűn (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

5. lecke (2 óra) Téma: Inverz trigonometriai műveletek trigonometrikus függvényekkel.

Cél: a diákok elképzelésének kialakítása a trigonometrikus függvények fordított trigonometriai műveleteiről, összpontosítson a vizsgált elmélet értelmességének növelésére.

E téma tanulmányozása során feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Az óra anyaga:

Az új anyag elsajátítását az y = arcsin (sin x) függvény megvizsgálásával és annak ábrázolásával kezdheti meg.

3. Minden x I R y I -hez kapcsolódik, azaz<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin (-x) = - sin x; arcsin (sin (-x)) = - arcsin (sin x).

6. y grafikon = arcsin (sin x) on:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin (- x) = sinx, 0<= - x <= .

Így,

Az y = arcsin (sin x) konstruálása után szimmetrikusan folytatjuk a [-; 0], figyelembe véve ennek a funkciónak a furcsaságát. A periodicitást használva a teljes számtengelyre lépünk.

Ezután írjon le néhány arányt: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctan (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És hajtsa végre a következő gyakorlatokat: a) arccos (bűn 2) Válasz: 2 -; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctan (tg 2) .Válasz: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) .Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Válasz: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arktán (tg 2) = arktán (tg (2 -)). Válasz: 2 -; h) arcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctg x; e) arccos + arccos

Meghatározás és jelölés

Arcsine (y = arcsin x) az inverz szinuszfüggvény (x = bűn y -1 ≤ x ≤ 1és a -π értékkészlet / 2 ≤ y ≤ π / 2.
sin (arcsin x) = x ;
arcsin (sin x) = x .

Az Arcsine -t néha a következőképpen jelölik:
.

Arcsine függvénygrafikon

Függvénygráf y = arcsin x

Az ívelt görbét a szinuszábrából kapjuk az abszcissza és az ordinátatengelyek felcserélésével. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékek tartományát korlátozza az az intervallum, amely alatt a függvény monoton. Ezt a meghatározást az arcsine fő értékének nevezik.

Arccosine, arccos

Meghatározás és jelölés

Arccosine (y = arccos x) a koszinusz inverz függvénye (x = kényelmes). Hatálya van -1 ≤ x ≤ 1és sok jelentés 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .

Az arccozint néha a következőképpen jelölik:
.

Arccosine függvény grafikon

Függvénygráf y = arccos x

Az inverz koszinusz -diagramot a koszinusz -diagramból az abszcissza és az ordinátatengelyek felcserélésével kapjuk. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékek tartományát korlátozza az az intervallum, amely alatt a függvény monoton. Ezt a meghatározást az arccosin fő értékének nevezik.

Paritás

Az arcsine függvény furcsa:
arcsin (- x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (sin (-arcsin x)) = - arcsin x

Az inverz koszinusz függvény nem páros vagy páratlan:
arccos (- x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Tulajdonságok - szélsőségek, növekedés, csökkenés

Az inverz szinusz és az inverz koszinusz függvények definíciójukon belül folyamatosak (lásd a folyamatosság bizonyítékát). Az arcsine és az arcsine fő tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

	y = arcsin x	y = arccos x
A definíció és a folytonosság tartománya	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Értékek tartománya
Növel, csökkent	monoton növekszik	monoton csökken
Magasok
A minimumok
Nullák, y = 0	x = 0	x = 1
Az y tengely metszéspontjai, x = 0	y = 0	y = π / 2

Arcsine és arccosine asztal

Ez a táblázat az arkuszinok és arccosinok értékeit mutatja, fokban és radiánban, az argumentum egyes értékeihez.

x	arcsin x		arccos x
	jégeső.	boldog.	jégeső.	boldog.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Képlet

Lásd még: Inverz trigonometrikus függvények képleteinek származtatása

Összeg és differencia képletek

vagy

és

és

vagy

és

és

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

Logaritmus kifejezések, komplex számok

Lásd még: Képletek származtatása

Kifejezések hiperbolikus függvényekben

Származékok

;
.
Lásd az inverz és inverz koszinuszszármazékok származéka >>>

Magasabb rendű származékok:
,
ahol a fok polinomja. Ezt a következő képletek határozzák meg:
;
;
.

Lásd az arcsin és az arccosin magasabb rendű származékainak származtatása >>>

Integrálok

Helyettesítés x = sin t... Részek szerint integráljuk, figyelembe véve, hogy -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Fejezzük ki az inverz koszinuszt a fordított szinusz szerint:
.

Sorozatbővítés

| X | számára< 1 a következő bomlás megy végbe:
;
.

Inverz függvények

Az arcsinussal és az arccozinnal ellentétes a szinusz és a koszinusz.

A következő képletek érvényesek a tartományban:
sin (arcsin x) = x
cos (arccos x) = x .

A következő képletek csak az arcsine és az arcsine értékek halmazára érvényesek:
arcsin (sin x) = x nál nél
arccos (cos x) = x nál nél .

Hivatkozások:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikai kézikönyv műszaki intézmények mérnökei és hallgatói számára, "Lan", 2009.

Lásd még:

Az inverz trigonometrikus függvények olyan matematikai függvények, amelyek inverz trigonometrikus függvények.

Y függvény = arcsin (x)

Az α szám ívűje a [-π / 2; π / 2] intervallumból származó α szám, amelynek szinuszja α.
Funkciódiagram
Az y = sin⁡ (x) függvény a [-π / 2; π / 2] szegmensen szigorúan növekvő és folyamatos; ennélfogva fordított funkciója van, szigorúan növekvő és folyamatos.
Az y = sin⁡ (x) függvény fordított függvényét, ahol х ∈ [-π / 2; π / 2], arcsinek nevezzük, és y = arcsin (x) jelöli, ahol х∈ [-1; 1].
Tehát az inverz függvény definíciója szerint az arcsin meghatározási tartománya a [-1; 1] szegmens, az értékkészlet pedig a [-π / 2; π / 2] szegmens.
Vegye figyelembe, hogy az y = arcsin (x) függvény grafikonja, ahol x ∈ [-1; 1]. Szimmetrikus az y = sin (⁡x) függvény grafikonjával, ahol x ∈ [-π / 2; π / 2], az első és a harmadik negyed koordinátaszöge felezőszerkezetéhez viszonyítva.

Funkciótartomány y = arcsin (x).

1. példa.

Arcsin (1/2) megtalálása?

Mivel az arcsin (x) függvény értéktartománya a [-π / 2; π / 2] intervallumhoz tartozik, csak a π / 6 értéke megfelelő. Következésképpen az arcsin (1/2) = π / 6.
Válasz: π / 6

2. példa.
Arcsin keresése (- (√3) / 2)?

Mivel az arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2] értéktartomány csak a -π / 3 érték alkalmas. Ezért az arcsin ( - (√3) / 2) = - π / 3.

Y függvény = arccos (x)

Az α szám fordított koszinusza az az intervallumból származó α szám, amelynek koszinusza egyenlő α -val.

Funkciódiagram

Az y = cos (⁡x) függvény egy szegmensen szigorúan csökken és folyamatos; ennélfogva fordított funkciója van, szigorúan csökkenő és folyamatos.
Az y = cos⁡x függvény fordított függvényét hívjuk, ahol x ∈ arccosinés y = arccos (x) jelöli, ahol х ∈ [-1; 1].
Tehát az inverz függvény definíciója szerint az arccozin meghatározási tartománya a [-1; 1] szegmens, az értékkészlet pedig a szegmens.
Megjegyezzük, hogy az y = arccos (x) függvény grafikonja, ahol x ∈ [-1; 1] szimmetrikus az y = cos (⁡x) függvény grafikonjával, ahol x ∈, a koordinátafelezőhöz képest az első és a harmadik negyed szöge.

Funkciótartomány y = arccos (x).

3. példa.

Arccos (1/2) keresése?

Mivel az értéktartomány arccos (x) х∈, csak a π / 3 érték alkalmas, ezért az arccos (1/2) = π / 3.
4. példa.
Arccok keresése (- (√2) / 2)?

Mivel az arccos (x) függvény értéktartománya az intervallumhoz tartozik, csak a 3π / 4 érték alkalmas, ezért az arccos (- (√2) / 2) = 3π / 4.

Válasz: 3π / 4

Y függvény = arctan (x)

Az α szám arctangensét a [-π / 2; π / 2] intervallumból származó α szám adja meg, amelynek érintője egyenlő α-val.

Funkciódiagram

Az érintőfüggvény folyamatos és szigorúan növekszik az intervallumon (-π / 2; π / 2); ennélfogva fordított függvénye van, amely folyamatos és szigorúan növekszik.
Az y = tg⁡ (x) függvény fordított függvénye, ahol х∈ (-π / 2; π / 2); arktangensnek nevezzük, és y = arctan (x) jelöli, ahol х∈R.
Tehát az inverz függvény definíciója szerint az arctangens meghatározási tartománya az intervallum (-∞; + ∞), az értékkészlet pedig az intervallum
(-π / 2; π / 2).
Vegye figyelembe, hogy az y = arctan (x) függvény grafikonja, ahol х∈R, szimmetrikus az y = tg⁡x függvény grafikonjával, ahol х ∈ (-π / 2; π / 2), a az első és a harmadik negyed koordinátaszögeinek felezője.

Funkciótartomány y = arctan (x).

5. példa?

Keresse meg az arctant ((√3) / 3).

Mivel az arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2) értéktartomány csak a π / 6 érték megfelelő, ezért az arctg ((√3) / 3) = π / 6.
6. példa.
Arctg (-1) megtalálása?

Mivel az arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2) értéktartomány csak a -π / 4 érték alkalmas, ezért az arctg (-1) = -π / 4.

Y függvény = arcctg (x)

Az α szám ív kotangense a (0; π) intervallumból származó α szám, amelynek kotangensének értéke α.

Funkciódiagram

A (0; π) intervallumon a kotangens függvény szigorúan csökken; ráadásul ennek az intervallumnak minden pontján folyamatos; ezért a (0; π) intervallumon ennek a függvénynek van egy fordított függvénye, amely szigorúan csökken és folyamatos.
Az y = ctg (x) függvény fordított függvényét, ahol х ∈ (0; π), ív kotangensnek nevezzük, és y = arcctg (x) jelöli, ahol х∈R.
Tehát az inverz függvény definíciója szerint az ív kotangens meghatározási tartománya R, az értékkészlet pedig az intervallum (0; π). Az y = arcctg (x) függvény grafikonja, ahol х∈R szimmetrikus az y = ctg (x) х∈ (0; π) függvény grafikonjával, az első és a harmadik negyed koordinátaszöge felezővonalához képest.

Funkciótartomány y = arcctg (x).

Példa # 7.
Arcctg ((√3) / 3) megkeresése?

Mivel az értéktartomány arcctg (x) х ∈ (0; π), csak a π / 3 érték alkalmas, ezért az arccos ((√3) / 3) = π / 3.

8. példa.
Arcctg (- (√3) / 3) megkeresése?

Mivel az értéktartomány arcctg (x) х∈ (0; π), csak a 2π / 3 érték alkalmas, ezért az arccos (- (√3) / 3) = 2π / 3.

Szerkesztők: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Mivel a trigonometriai függvények periodikusak, inverz függvényeik nem egyértékűek. Tehát az y = egyenlet bűn x, adott, végtelen sok gyökere van. Valójában a szinusz periodicitása miatt, ha x ilyen gyök, akkor x + 2πn(ahol n egész szám) lesz az egyenlet gyöke is. Így, az inverz trigonometrikus függvények többértékűek... A velük való munka megkönnyítése érdekében bevezetik fő jelentésük fogalmát. Vegyük például a szinuszt: y = bűn x... Ha az x argumentumot intervallummal korlátozzuk, akkor rajta az y = függvényt bűn x monoton növekszik. Ezért van egy egyértékű inverz függvénye, amelyet arcsine-nek hívnak: x = arcsin y.

Eltérő rendelkezés hiányában az inverz trigonometrikus függvények a fő értékeiket jelentik, amelyeket a következő definíciók határoznak meg.

Arcsine ( y = arcsin x) az inverz szinuszfüggvény ( x = bűn y
Arccosine ( y = arccos x) a koszinusz fordított függvénye ( x = kényelmes), amely meghatározási tartományt és sok értéket tartalmaz.
Íves érintő ( y = arctg x) az érintő fordított függvénye ( x = tg y), amely meghatározási tartományt és sok értéket tartalmaz.
Arccotangent ( y = arcctg x) a kotangens fordított függvénye ( x = ctg y), amely meghatározási tartományt és sok értéket tartalmaz.

Inverz trigonometrikus függvénygráfok

Az inverz trigonometrikus függvények grafikonjait a trigonometriai függvények grafikonjaiból nyerjük, az y = x egyeneshez képest tükrözve. Lásd Szinusz, Kozinus, Érintő, Kótangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Alap képletek

Itt különös figyelmet kell fordítani azokra az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.

arcsin (sin x) = x nál nél
sin (arcsin x) = x
arccos (cos x) = x nál nél
cos (arccos x) = x

arctg (tg x) = x nál nél
tg (arctan x) = x
arcctg (ctg x) = x nál nél
ctg (arcctg x) = x

Inverz trigonometrikus függvényeket összekötő képletek

Lásd még: Inverz trigonometrikus függvények képleteinek származtatása

Összeg és differencia képletek

vagy

és

és

vagy

és

és

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

Hivatkozások:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikai kézikönyv műszaki intézmények mérnökei és hallgatói számára, "Lan", 2009.

Fordított koszinuszfüggvény

Az y = cos x függvény értéktartománya (lásd 2. ábra) egy szegmens. Egy szegmensen a függvény folyamatos és monoton csökken.

Rizs. 2

Ez azt jelenti, hogy az y = cos x függvénnyel fordított függvény definiálva van a szegmensen. Ezt az inverz függvényt fordított koszinusznak nevezzük, és y = arccos x jelöli.

Meghatározás

Az a szám arkozinja, ha | a | 1, az a szög, amelynek koszinusza a szegmenshez tartozik; azt arccos jelöli a.

Így az arccos a olyan szög, amely megfelel a következő két feltételnek: cos (arccos a) = a, | a | 1; 0? arccos a? p.

Például arccos, mivel cos és; arccos cosi óta.

Az y = arccos x függvény (3. ábra) egy szegmensen van definiálva, értékeinek tartománya egy szegmens. A szegmensen az y = arccos x függvény folytonos és monoton csökken p -ről 0 -ra (mivel y = cos x egy folytonos és monoton csökkenő függvény a szegmensen); a szegmens végén eléri szélső értékeit: arccos (-1) = p, arccos 1 = 0. Megjegyzendő, hogy arccos 0 =. Az y = arccos x függvény grafikonja (lásd a 3. ábrát) szimmetrikus az y = cos x függvény grafikonjával az y = x egyeneshez képest.

Rizs. 3

Mutassuk meg, hogy az arccos (-x) = р-arccos x egyenlőség érvényes.

Valóban, definíció szerint 0? arc xos? R. Ha megszorozzuk (-1) az utolsó kettős egyenlőtlenség minden részét, akkor azt kapjuk - p? arc xos? 0. Ha az utolsó egyenlőtlenség minden részéhez hozzáadjuk a p -t, akkor azt találjuk, hogy 0? p-arccos x? R.

Így az arccos (-x) és p - arccos x szögek értékei ugyanahhoz a szegmenshez tartoznak. Mivel a koszinusz monoton csökken egy szegmensen, nem lehet két különböző szög, egyenlő koszinuszokkal. Keresse meg az arccos (-x) és p-arccos x szögek koszinuszát. Definíció szerint cos (arccos x) = - x, a redukciós képletek és definíció szerint a következőket kapjuk: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Tehát a szögek koszinuszai egyenlők, ami azt jelenti, hogy maguk a szögek is egyenlők.

Fordított szinuszfüggvény

Tekintsük az y = sin x függvényt (6. ábra), amely a [-p / 2; p / 2] szegmensen növekszik, folyamatos és értékeket vesz a [-1; egy]. Ennélfogva a szegmensen [- p / 2; р / 2], olyan függvény van definiálva, amely az y = sin x függvény inverze.

Rizs. 6

Ezt az inverz függvényt arcsine -nak hívják, és y = arcsin x jelöli. Bemutatjuk egy szám fordított szinuszának definícióját.

Az a szám ívelője, ha azt a szöget (vagy ívet) hívjuk meg, amelynek szinusza megegyezik az a számmal, és amely a szegmenshez tartozik [-p / 2; p / 2]; azt arcsin a jelöli.

Így az arcsin a olyan szög, amely megfelel a következő feltételeknek: sin (arcsin a) = a, | a | ?egy; -p / 2? arcsin, mi? p / 2. Például, mivel a bűn és [- p / 2; p / 2]; arcsin, mivel sin = és [- p / 2; p / 2].

Az y = arcsin х függvény (7. ábra) a [- 1; 1], értékeinek tartománya a [-p / 2; p / 2] szegmens. A szegmensen [- 1; 1] az y = arcsin x függvény folytonos és monoton növekszik -p / 2 -ről p / 2 -re (ez abból következik, hogy az y = sin x függvény a [-p / 2; p / 2] szakaszon folytonos és monoton növekszik). A legnagyobb értéket x = 1 esetén veszi: arcsin 1 = p / 2, a legkisebbet pedig x = -1 esetén: arcsin (-1) = -p / 2. X = 0 esetén a függvény nulla: arcsin 0 = 0.

Mutassuk meg, hogy az y = arcsin x függvény páratlan, azaz arcsin (-x) = - arcsin x bármely x -hez [ - 1; 1].

Valójában definíció szerint, ha | x | ? 1, van: - p / 2? arcsin x? ? p / 2. Így a szögek arcsin (-x) és - az arcsin x ugyanabba a szegmensbe tartozik [ - p / 2; p / 2].

Keresse meg ezek orrmelléküregeit szögek: sin (arcsin (-x)) = - x (definíció szerint); mivel az y = sin x függvény páratlan, akkor sin (-arcsin x) = - sin (arcsin x) = - x. Tehát az azonos intervallumba tartozó szögek szinuszai [-p / 2; р / 2], egyenlők, ami azt jelenti, hogy maguk a szögek is egyenlők, azaz arcsin (-x) = - arcsin x. Ezért az y = arcsin x függvény páratlan. Az y = arcsin x függvény grafikonja szimmetrikus az origóval kapcsolatban.

Mutassuk meg, hogy az arcsin (sin x) = x bármely x [-p / 2; p / 2].

Valóban, definíció szerint -p / 2? arcsin (sin x)? p / 2, és -p / 2 feltétel szerint? x? p / 2. Ezért az x és az arcsin (sin x) szögek az y = sin x függvény azonos monotonitási intervallumához tartoznak. Ha az ilyen szögek szinuszai egyenlők, akkor maguk a szögek is egyenlők. Keressük meg e szögek szinuszát: az x szög esetén sin x, az arcsin (sin x) szögnél sin (arcsin (sin x)) = sin x. Azt kaptuk, hogy a szögek szinuszai egyenlőek, ezért a szögek egyenlők, azaz arcsin (sin x) = x. ...

Rizs. 7

Rizs. 8

Az arcsin függvény grafikonját (sin | x |) az y = arcsin (sin x) gráfból (a 8. ábrán szaggatott vonallal látható) a modulushoz tartozó szokásos transzformációkkal kapjuk. A kívánt y = arcsin (sin | x- / 4 |) gráfot úgy kapjuk meg, hogy a / 4-et jobbra toljuk az abszcissza tengelye mentén (a 8. ábrán látható folytonos vonal mutatja)

Fordított érintő függvény

Az y = tg x függvény az intervallumon minden számértéket felvesz: E (tg x) =. Ezen az intervallumon folyamatos és monoton növekszik. Ezért az intervallumon egy olyan függvény van definiálva, amely inverz az y = tg x függvénnyel. Ezt az inverz függvényt arktangensnek nevezzük, és y = arctan x jelöli.

Az a szám arctangense az a szög az intervallumtól, amelynek érintője egyenlő a -val. Így az arctan a olyan szög, amely megfelel a következő feltételeknek: tg (arctan a) = a és 0? arctg a? R.

Tehát bármely x szám mindig megfelel az y = arctan x függvény egyetlen értékének (9. ábra).

Nyilvánvaló, hogy D (arctan x) =, E (arctan x) =.

Az y = arctan x függvény növekszik, mert az y = tan x függvény növekszik az intervallumban. Könnyű bizonyítani, hogy arctg (-x) = - arctgx, azaz hogy az arctangens páratlan függvény.

Rizs. 9

Az y = arctan x függvény grafikonja szimmetrikus az y = tg x függvény grafikonjával az y = x egyeneshez képest, az y = arctan x grafikonja átmegy az origón (mert az arctan 0 = 0), és szimmetrikus az eredettel kapcsolatban (mint egy páratlan függvény grafikonja).

Bizonyítható, hogy arctan (tg x) = x, ha x.

A kotangens fordított funkciója

Az y = ctg x függvény az intervallumon minden numerikus értéket átvesz az intervallumból. Értéktartománya egybeesik az összes valós szám halmazával. Az intervallumban az y = ctg x függvény folyamatos és monoton növekszik. Ezért ezen az intervallumon egy olyan függvény van definiálva, amely inverz az y = ctg x függvénnyel. A kotangens fordított függvényét ív kotangensnek nevezzük, és y = arcctg x jelöli.

Az a szám ív kotangense az intervallumhoz tartozó szög, amelynek együtthatója egyenlő a -val.

Így az arcctg a olyan szög, amely megfelel a következő feltételeknek: ctg (arcctg a) = a és 0? arcctg a? R.

Az inverz függvény meghatározásából és az arctangens meghatározásából az következik, hogy D (arcctg x) =, E (arcctg x) =. Az ív kotangens csökkenő függvény, mivel az y = ctg x függvény az intervallumban csökken.

Az y = arcctg x függvény grafikonja nem metszi az Ox tengelyt, mivel y> 0 R. x = 0 esetén y = arcctg 0 =.

Az y = arcctg x függvény grafikonja a 11. ábrán látható.

Rizs. 11

Ne feledje, hogy az x minden valós értéke esetén az azonosság igaz: arcctg (-x) = p-arcctg x.