Hogyan találjuk meg a piramisképlet kerületét. Egy háromszög alakú piramis területe. Mi a teendő, ha megtalálja a piramis alapterületét?
Meghatározás. Oldalsó él egy háromszög, amelynek egyik sarka a piramis tetején fekszik, és a szemközti oldala egybeesik az alap (sokszög) oldalával.
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, mint a sokszög sarkainak.
Meghatározás. Piramis magassága- ez egy merőleges, a piramis tetejétől az aljáig leeresztve.
Meghatározás. Apothem- ez a merőleges a piramis oldallapjára, a gúla tetejétől az alap oldaláig leengedve.
Meghatározás. Átlós szakasz A piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík metszete.
Meghatározás. Helyes piramis egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepére esik.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. A piramis térfogata az alapterületen és magasságon keresztül:
Piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor egy kör írható le a piramis alapja körül, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalél egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alap síkjához.
Az oldalsó bordák egyenlőek, ha az alap síkjával alakulnak ki egyenlő szögek vagy ha a piramis alapja körül kör írható le.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok ugyanabban a szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalborda egyenlő.
3. Minden oldalborda azonos szögben dől az alaphoz képest.
4. Az összes oldallap apotémája egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos a kétszögű (lapos) szöge.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A körülírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. A piramisba beírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcsban lévő síkszögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, az egyik szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis kapcsolata a gömbbel
Egy gömb akkor írható le a piramis körül, ha a gúla alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a gúla oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Egy gömb akkor írható a gúlába, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
Piramis és kúp kapcsolata
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
Kúpot akkor írhatunk bele a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek egymással.
A kúpot körülírtnak nevezzük a gúla körül, ha a csúcsuk egybeesik, a kúp alapját pedig a gúla alapja körül körülírtnak.
Kúp írható le a gúla körül, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Piramis kapcsolata hengerrel
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger írható le a piramis körül, ha egy kör írható le a piramis alapja körül.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcsnak három lapja és éle van háromszög alakú sarok.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún medián tetraéder(GM).
Bimedian az a szakasz, amely a nem érintkező, egymással szemben lévő élek felezőpontjait összeköti (KL).
A tetraéder összes bimediánja és mediánja egy pontban (S) találkozik. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig 3:1 arányban, felülről indulva.
Meghatározás. Hegyesszögű piramis- ez egy piramis, amelyben az apotém több mint a fele az alap oldalának.
Meghatározás. Tompa piramis- ez egy piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. Szabályos tetraéder- egy tetraéder, amelyben mind a négy lap egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. V szabályos tetraéder minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (a csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek csúcsában három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap alakú háromszög sarokés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely fazetta apotémája egyenlő annak az oldalnak a felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Equéder tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Egy ilyen tetraéder esetében a lapok egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. Csillagpiramis poliédernek nevezzük, amelynek alapja egy csillag.
Háromszög alakú piramis poliédernek nevezzük, amelynek alapjában szabályos háromszög található.
Egy ilyen piramisban az alap élei és az oldalsó oldalak élei egyenlőek egymással. Ennek megfelelően az oldallapok területe három azonos háromszög területének összegéből adódik. Egy szabályos piramis oldalfelületének területét a képlet segítségével találhatja meg. És a számítást többször is gyorsabbá teheti. Ehhez alkalmazni kell az oldalsó felület képletét háromszög alakú piramis:
ahol p az alap kerülete, amelyben minden oldal egyenlő b-vel, a az apotém, felülről erre az alapra süllyesztve. Tekintsünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.
Feladat: Adjuk meg a megfelelő piramist. A háromszög alapjában fekvő oldala b = 4 cm. A gúla apotémája a = 7 cm. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét!
Mivel a feladat feltételeinek megfelelően ismerjük az összes szükséges elem hosszát, meg fogjuk találni a kerületet. Ne feledje, hogy egy szabályos háromszögben minden oldal egyenlő, ezért a kerületet a következő képlettel kell kiszámítani:
Helyettesítse be az adatokat, és keresse meg az értéket:
Most a kerület ismeretében kiszámíthatjuk az oldalfelületet: 
A háromszög alakú piramis terület képletének alkalmazásához a teljes érték kiszámításához meg kell találnia a poliéder alapterületét. Ehhez a következő képletet használják: 
A háromszög alakú piramis alapterületének képlete eltérő lehet. Egy adott ábra paramétereinek bármilyen kiszámítása megengedett, de leggyakrabban nem szükséges. Vegyünk egy példát a háromszög alakú piramis alapterületének kiszámítására.
Feladat: Egy szabályos gúlában a háromszög alapjában fekvő oldala a = 6 cm. Számítsa ki az alap területét!
A kiszámításhoz csak egy szabályos háromszög oldalának hosszára van szükségünk, amely a piramis alján található. Helyettesítsük be az adatokat a képletbe: 
Elég gyakran meg kell találni egy poliéder teljes területét. Ehhez össze kell adnia az oldalfelület és az alap területét. 
Tekintsünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.
Feladat: Legyen adott egy szabályos háromszög alakú piramis. Az alap oldala b = 4 cm, az apotém a = 6 cm. Határozza meg a piramis teljes területét!
Először is megtaláljuk az oldalsó felület területét a már ismert képlet segítségével. Számítsuk ki a kerületet:
Az adatokat behelyettesítjük a képletbe: 
Most keressük meg az alap területét: 
Ismerve az alap- és oldalfelület területét, megtaláljuk a piramis teljes területét: 
A szabályos piramis területének kiszámításakor nem szabad elfelejteni, hogy egy szabályos háromszög van az alján, és ennek a poliédernek sok eleme egyenlő egymással.
A piramis, amelynek az alján fekszik szabályos hatszög, és az oldalakat szabályos háromszögek alkotják, ún hatszögletű.
Ennek a poliédernek számos tulajdonsága van:
- Az alap minden oldala és sarka egyenlő egymással;
- A piramis szénjének minden éle és diédere is egyenlő egymással;
- Az oldalakat alkotó háromszögek azonosak, azonos területtel, oldallal és magassággal rendelkeznek.
A helyes terület kiszámításához hatszögletű piramis a hatszögletű piramis oldalfelületének szabványos képletét alkalmazzák:
ahol P az alap kerülete, a a piramis apotémának hossza. A legtöbb esetben ezzel a képlettel kiszámíthatja az oldalsó területet, de néha más módszert is használhat. Mivel a piramis oldallapjait egyenlő háromszögek alkotják, megkeresheti egy háromszög területét, majd megszorozhatja az oldalak számával. Hatszögletű piramisban 6 van belőlük. De ez a módszer a számításnál is használható. Vegyünk egy példát egy hatszögletű gúla oldalfelületének kiszámítására.
Adjunk meg egy szabályos hatszögletű gúlát, amelyben az apotém a = 7 cm, az alap oldala b = 3 cm. Számítsa ki a poliéder oldalfelületének területét!
Először is keressük meg az alap kerületét. Mivel a piramis szabályos, az alján szabályos hatszög található. Ez azt jelenti, hogy minden oldala egyenlő, és a kerületet a következő képlettel kell kiszámítani:
Az adatokat behelyettesítjük a képletbe:
Most könnyen megtalálhatjuk az oldalfelületet, ha a talált értéket behelyettesítjük a fő képletbe: 
Szintén fontos pont az alapterület keresése. A hatszögletű piramis alapterületének képlete a szabályos hatszög tulajdonságaiból származik: 
Tekintsünk egy példát egy hatszögletű gúla alapterületének kiszámítására, az előző példa feltételeit alapul véve. Ezekből tudjuk, hogy az alap oldala b = 3 cm. Helyettesítsük be az adatokat a képletbe : 
A hatszögletű gúla területének képlete az alap és az oldalsó felület összege: 
Tekintsünk egy példát a hatszögletű piramis területének kiszámítására.
Legyen adott egy gúla, melynek alapjában egy b = 4 cm oldalú szabályos hatszög fekszik, egy adott poliéder apotémje a = 6 cm. Határozza meg a teljes területét!
Tudjuk, hogy a teljes terület az alap- és oldalseprési területekből tevődik össze. Ezért először meg fogjuk találni őket. Számítsuk ki a kerületet:
Most keressük meg az oldalsó felületet: 
Ezután kiszámítjuk annak az alapnak a területét, amelyben a szabályos hatszög található: 
Most hozzáadhatjuk a kapott eredményeket:
A matematika vizsgára való felkészülés során a tanulóknak rendszerezniük kell algebrai és geometriai ismereteiket. Szeretném egyesíteni az összes ismert információt, például, hogyan kell kiszámítani a piramis területét. Sőt, az alap- és oldalfelülettől kezdve a teljes felületig. Ha egyértelmű a helyzet az oldallapokkal, mivel ezek háromszögek, akkor az alap mindig más.
Mi a teendő, ha megtalálja a piramis alapterületét?
Teljesen bármilyen alakú lehet: tetszőleges háromszögtől n-szögűig. Ez az alap pedig a szögek számának különbségén kívül lehet helyes ábra vagy helytelen. Az iskolások érdeklődésére számot tartó USE feladatokban csak olyan feladatokkal találkozunk, amelyeknek a tövében a helyes ábrák vannak. Ezért csak róluk fogunk beszélni.
Szabályos háromszög
Vagyis egyenlő oldalú. Az, amelyben minden oldal egyenlő, és "a" betűvel van jelölve. Ebben az esetben a piramis alapterületét a következő képlettel számítjuk ki:
S = (a 2 * √3) / 4.
Négyzet
A terület kiszámításának képlete a legegyszerűbb, itt az "a" ismét az oldal:
Önkényes szabályos n-gon
A sokszög oldalának ugyanaz a szimbóluma. A latin n betűt a szögek számára használjuk.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).
Mi a teendő az oldalsó és a teljes felület kiszámításakor?
Mivel az alap hazudik helyes ábra, akkor a piramis minden lapja egyenlő. Ráadásul mindegyik egyenlő szárú háromszög, mivel az oldalélek egyenlőek. Ezután a piramis oldalsó területének kiszámításához szükség van egy képletre, amely azonos monomok összegéből áll. A tagok számát az alap oldalainak száma határozza meg.
Négyzet egyenlő szárú háromszög olyan képlettel számítjuk ki, amelyben az alap szorzatának felét megszorozzuk a magassággal. Ezt a magasságot a piramisban apotémnek nevezik. Megjelölése "A". Az oldalsó felület általános képlete így néz ki:
S = ½ P * A, ahol P a gúla alapjának kerülete.
Vannak olyan helyzetek, amikor az alap oldalai nem ismertek, de az oldalélek (c) és a csúcsán lévő síkszög (α) adottak. Ezután a következő képletet kell használni a piramis oldalsó területének kiszámításához:
S = n / 2 * in 2 sin α .
1. számú probléma
Feltétel. Határozza meg a piramis teljes területét, ha az alján 4 cm oldallal fekszik, és az apotém értéke √3 cm.
Megoldás. Az alap kerületének kiszámításával kell kezdenie. Mivel ez egy szabályos háromszög, P = 3 * 4 = 12 cm. Mivel az apotém ismert, azonnal kiszámolhatjuk a teljes oldalfelület területét: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.
Az alapnál lévő háromszög esetében a következő területértéket kapjuk: (4 2 * √3) / 4 = 4√3 cm 2.
A teljes terület meghatározásához össze kell adni a két kapott értéket: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Válasz. 10√3 cm2.
2. számú probléma
Feltétel... Van egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alap oldalhossza 7 mm, az oldalsó borda 16 mm. Ismernie kell a felületét.
Megoldás. Mivel a poliéder négyszögletes és szabályos, az alján négyzet található. Miután megtanulta az alap- és oldalfelületek területét, kiszámítható a piramis területe. A négyzet képlete fent található. Az oldallapoknál pedig a háromszög minden oldala ismert. Ezért használhatja Heron képletét a területük kiszámításához.
Az első számítások egyszerűek, és ehhez a számhoz vezetnek: 49 mm 2. A második értékhez ki kell számítania a fél kerületet: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Most kiszámolhatja egy egyenlő szárú háromszög területét: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Csak négy ilyen háromszög van, ezért a végső szám kiszámításakor meg kell szoroznia 4-gyel.
Kiderült: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Válasz... A kívánt érték 267,576 mm2.
3. számú probléma
Feltétel... Ki kell számítani egy szabályos négyszög alakú piramis területét. A négyzet oldala ismert benne - 6 cm, magassága - 4 cm.
Megoldás. A képlet legegyszerűbb módja a kerület és az apotém szorzatával való felhasználás. Az első értéket könnyű megtalálni. A második egy kicsit bonyolultabb.
Emlékeznünk kell a Pitagorasz-tételre, és figyelembe kell vennünk, hogy azt a piramis magassága és az apotém, azaz a hipotenusz alkotja. A második láb egyenlő a négyzet oldalának felével, mivel a poliéder magassága a közepébe esik.
A keresett apotém (hipoténusz derékszögű háromszög) egyenlő √ (3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Most kiszámolhatja a szükséges értéket: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 (cm 2).
Válasz. 96 cm2.
4-es számú probléma
Feltétel. Meg van adva a megfelelő oldal, az alaplap oldalai 22 mm, az oldalbordák 61 mm. Mekkora ennek a poliédernek az oldalfelülete?
Megoldás. Az indoklás megegyezik a 2. feladatban leírtakkal. Csak ott kapott egy piramist, amelynek alapja négyzet, és most egy hatszög.
Az első lépés az alap területének kiszámítása a fenti képlet szerint: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm 2.
Most meg kell találnia az egyenlő szárú háromszög fél kerületét, amely az oldallap. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Minden ilyen háromszög területét ki kell számítani a Heron képletével, majd megszorozni hattal, és hozzá kell adni az alaphoz.
Számítások Heron képletével: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √435600 = 660 cm 2. Az oldalfelületet megadó számítások: 660 * 6 = 3960 cm 2. A teljes felület kiderítéséhez csak össze kell hajtani őket: 5217,47 ~ 5217 cm 2.
Válasz. Az alap 726√3 cm 2, az oldalfelület 3960 cm 2, a teljes terület 5217 cm 2.
