Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát. A háromszög alakú piramis térfogata. Képletek és példa a probléma megoldására. háromszög alap
Tétel.
A gúla térfogata megegyezik az alapterület magassági szorzatának egyharmadával.
Bizonyíték:
Először igazoljuk a tételt egy háromszög alakú piramisra, majd egy tetszőleges piramisra.1. Tekintsünk egy háromszög alakú piramistOAVSV térfogattal, alapterülettelSés magasság h... Rajzoljunk egy tengelyt oh (OM2- magasság), vegye figyelembe a szakasztA1 B1 C1tengelyére merőleges piramissíkÓés ezért párhuzamos az alap síkjával. Jelöljük azzalNS pont abszcissza M1 ennek a síknak az oh tengellyel való metszéspontja, és átS (x)- keresztmetszeti terület. Hadd fejezzük ki S (x)át S, hés NS... Vegye figyelembe, hogy az A háromszögek1 V1 VAL VEL1 és Az ABC hasonló. Valóban, A1 V1 II AB, tehát a háromszög OA 1 V 1 hasonló az OAB háromszöghöz. VAL VEL ezért A1 V1 : AB = OA 1: OA .
Téglalap alakú háromszögek OA 1 V 1 és OAV szintén hasonlóak (közös hegyesszögük van az O csúcstal). Ezért az OA 1: OA = O 1 M1 : ОМ = x: h. És így A 1 V 1 : A B = x: h.Hasonlóan bizonyítható, hogyB1 C1:Nap = NS: hés A1 C1:AC = NS: h.Tehát a háromszögA1 B1 C1és ABChasonlóak a hasonlósági együtthatóval NS: h.Ezért S (x): S = (x: h)², vagy S (x) = S x ² / h².
Alkalmazzuk most az alapképletet a testek térfogatának kiszámításáhoza= 0, b =h kapunk
Így az eredeti piramis térfogata 1/3Sh... A tétel bizonyítva van.
Következmény:
Egy csonka gúla V térfogata, melynek magassága h, alapterületei S és S1 képlettel számítják ki
h - a piramis magassága
Álljon meg. - a felső alap területe
S alsó - az alsó alap területe
A piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög. Minden lap háromszöget alkot, amelyek egy csúcsban konvergálnak. A piramisok háromszög alakúak, négyszögletesek stb. Annak meghatározásához, hogy melyik piramis van előtted, elegendő megszámolni a sarkok számát az alján. A "piramismagasság" meghatározása nagyon gyakori a geometriai problémákban iskolai tananyag... A cikkben megpróbáljuk megvizsgálni a megtalálásának különböző módjait.
A piramis részei
Minden piramis a következő elemekből áll:
- oldallapok, amelyeknek három sarka van, és a tetején összefolynak;
- apothem az a magasság, amely a tetejéről leszáll;
- a piramis teteje az oldaléleket összekötő, de nem az alap síkjában fekvő pont;
- az alap egy sokszög, amelynek nincs csúcsa;
- a gúla magassága egy szakasz, amely keresztezi a piramis tetejét és derékszöget zár be az alapjával.
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert a térfogata
A V = (S * h) / 3 képlettel (a V képletben a térfogat, S az alapterület, h a gúla magassága) azt kapjuk, hogy h = (3 * V) / S. Az anyag egységesítése érdekében azonnal oldjuk meg a problémát. A háromszög alapfelület 50 cm 2, térfogata 125 cm 3. A háromszög alakú piramis magassága ismeretlen, ezt meg kell találnunk. Itt minden egyszerű: adatokat szúrunk be a képletünkbe. A következőt kapjuk: h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismerjük az átló hosszát és az éleit
Emlékszünk rá, hogy a piramis magassága derékszöget zár be az alapjával. Ez pedig azt jelenti, hogy az átló magassága, éle és fele együtt alkotják.Sokan persze emlékeznek a Pitagorasz-tételre. Két mérés ismeretében nem lesz nehéz megtalálni a harmadik mennyiséget. Emlékezzünk vissza a jól ismert a² = b² + c² tételre, ahol a a hipotenusz, esetünkben pedig a piramis éle; b - az átló első ága vagy fele, c - rendre a második szár, vagy a gúla magassága. Ebből a képletből c² = a² - b².
Most a probléma: egy szabályos gúlában az átló 20 cm, míg a borda hossza 30 cm, meg kell találni a magasságot. Megoldjuk: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Tehát c = √ 500 = kb. 22,4.
Hogyan találjuk meg a csonka piramis magasságát
Ez egy sokszög, amelynek az alapjával párhuzamos szakasza van. A csonka piramis magassága egy vonalszakasz, amely összeköti a két alapját. A magasság a megfelelő gúlánál található, ha ismerjük mindkét alap átlóinak hosszát, valamint a gúla élét. Legyen a nagyobb alap átlója d1, míg a kisebbé d2, az él hossza pedig l. A magasság meghatározásához leengedheti a magasságokat a diagram két felső, ellentétes pontjáról az alapjához. Látjuk, hogy két derékszögű háromszögünk van, hátra van a lábuk hosszának meghatározása. Ehhez vonjuk ki a kisebbet a nagyobb átlóból, és osszuk el 2-vel. Így találunk egy lábat: a = (d1-d2) / 2. Ezt követően a Pitagorasz-tétel szerint már csak a második szárat kell megtalálnunk, ami a piramis magassága.
Most nézzük az egészet a gyakorlatban. Feladat áll előttünk. A csonka gúla alján négyzet van, a nagyobb alap átlója 10 cm, míg a kisebbé 6 cm, éle 4 cm, a magasság megállapításához szükséges. Először is találunk egy lábat: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Az egyik láb 2 cm, az alsó rész 4 cm. Kiderült, hogy a második láb vagy magasság 16-4 = 12, azaz h = √12 = kb. 3,5 cm.
Piramis poliédernek nevezzük, amelynek alapja egy tetszőleges sokszög, és minden lap háromszög, amelynek közös csúcsa, ami a piramis csúcsa.
A piramis egy háromdimenziós alakzat. Ezért gyakran nem csak a területét, hanem a térfogatát is meg kell találni. A piramis térfogatának képlete nagyon egyszerű:
ahol S az alap területe és h a piramis magassága.
Magasság a piramist egyenesnek nevezzük, amely a tetejétől derékszögben le van engedve az alapra. Ennek megfelelően a piramis térfogatának meghatározásához meg kell határozni, hogy melyik sokszög található az alján, ki kell számítani a területét, meg kell találni a piramis magasságát és meg kell találni a térfogatát. Tekintsünk egy példát a piramis térfogatának kiszámítására.
Probléma: adott egy szabályos négyszög alakú piramis. 
Az alap oldalai a = 3 cm, minden oldaléle b = 4 cm Határozza meg a gúla térfogatát!
Először is ne feledje, hogy a térfogat kiszámításához szükség van a piramis magasságára. Megtalálhatjuk a Pitagorasz-tétellel. Ehhez szükségünk van az átló hosszára, vagy inkább annak felére. Aztán ismerve a két oldalt derékszögű háromszög, megtaláljuk a magasságot. Először keresse meg az átlót: 
Helyettesítsük be az értékeket a képletbe: 
A h magasságot d és b él segítségével találjuk meg: 
Most meg fogjuk találni
Tétel. A piramis térfogata egyenlő az alapja területének szorzatával a magasságának harmadával.
Először bizonyítjuk ezt a tételt egy háromszög alakú piramisra, majd egy sokszögre.
1) A SABC háromszöggúla (102. ábra) alapján megszerkesztünk egy olyan SABCDE prizmát, amelyben a magasság megegyezik a gúla magasságával, és az egyik oldaléle egybeesik az SB éllel. Bizonyítsuk be, hogy a piramis térfogata ennek a prizmának a térfogatának egyharmada. Válasszuk el ezt a piramist a prizmától. Aztán lesz négyszög alakú piramis SADEC (az áttekinthetőség kedvéért külön látható). Rajzolj bele egy vágási síkot az S csúcson és az alap DC átlóján keresztül. A kapott két háromszög alakú piramisnak közös S csúcsa van, és azonos alapjai DEC és DAC, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el; tehát a fent bizonyított piramislemma szerint ezek egyenlő méretűek. Hasonlítsuk össze az egyiket, az SDEC-et ezzel a piramissal. Az SDEC piramis alapjául a \ (\ Delta \) SDE; akkor a csúcsa a C pontban lesz és a magassága megegyezik az adott gúla magasságával. Mivel \ (\ Delta \) SDE = \ (\ Delta \) ABC, akkor ugyanezen lemma szerint az SDEC és SABC piramisok egyenlő méretűek.
Az ABCDES prizmát három egyenlő piramisra osztjuk: SABC, SDEC és SDAC. (Nyilván minden háromszögprizmát alá lehet vetni ilyen felosztásnak. Ez az egyik fontos tulajdonsága a háromszögprizmának.) Így három, egy adott méretű gúla térfogatának összege a piramis térfogata. a prizma; ennélfogva,
$$ V_ (SABC) = \ frac (1) (3) V_ (SDEABC) = \ frac (S_ (ABC) \ cdot H) (3) = S_ (ABC) \ frac (H) (3) $$
ahol H a piramis magassága.
2) A SABCDE sokszögű gúla alapjának valamelyik E csúcsán keresztül (103. ábra) rajzoljuk meg az EB és EC átlókat.
Ezután vágási síkokat rajzolunk a DK-i élen és ezeken az átlókon keresztül. Ekkor a sokszögű piramis több háromszög alakúra válik szét, amelyek magassága megegyezik ezzel a piramissal. A háromszög alakú piramisok alapjainak átmenő területét jelöli b 1 , b 2 , b 3 és magasság H-n keresztül a következőket kapjuk:
kötet SABCDE = 1/3 b 1 H + 1/3 b 2 H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (ABCDE terület) H / 3.
Következmény. Ha V, B és H olyan számokat jelent, amelyek bármely gúla térfogatát, alapterületét és magasságát fejezik ki megfelelő egységekben, akkor
Tétel. Hangerő csonka piramis egyenlő három olyan gúla térfogatának összegével, amelyek magassága megegyezik a csonka gúla magasságával, és az alapok összegével: az egyik ennek a piramisnak az alsó, a másik a felső alapja és az alapterülete a harmadik piramis egyenlő az átlaggal geometriai területek felső és alsó alapok.
Legyen a csonka gúla (104. ábra) alapjainak területei B és b, H magasság és V térfogat (a csonka gúla lehet háromszög vagy sokszög – mindegy).
Ezt bizonyítani kell
V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1/3 H √B b= 1/3 H (B + b+ √B b ),
ahol √B b a geometriai átlag B és között b.
A kisebb alapon történő bizonyításhoz egy kis piramist helyezünk el, amely az adott csonka piramist egészíti ki. Ekkor a V csonka gúla térfogatát tekinthetjük két térfogat - a teljes és a felső további piramis - különbségének.
A kiegészítő piramis magasságának megjelölése a betűvel NS, meg fogjuk találni
V = 1/3 B (H+ NS) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [BH + (B - b)NS].
A magasság megtalálásához NS tételét használjuk, amely szerint felírhatjuk az egyenletet:
$$ \ frac (B) (b) = \ frak ((H + x) ^ 3) (x ^ 2) $$
Az egyenlet egyszerűsítése érdekében mindkét oldalról kivonjuk az aritmetikáját Négyzetgyök:
$$ \ frak (\ négyzet (B)) (\ négyzet (b)) = \ frak (H + x) (x) $$
Ebből az egyenletből (amely arányként tekinthető) a következőket kapjuk:
$$ x \ négyzet (B) = H \ négyzet (b) + x \ négyzet (b) $$
$$ (\ négyzet (B) - \ négyzet (b)) x = H \ négyzet (b) $$
és ezért
$$ x = \ frac (H \ négyzet (b)) (\ négyzet (B) - \ négyzet (b)) $$
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az V kötetre levezetett képletbe, azt kapjuk, hogy:
$$ V = \ frac (1) (3) \ bal $$
Mivel B- b= (√B + √ b) (√B - √ b), majd a tört √B - √ különbséggel való csökkentésével b kapunk:
$$ V = \ frac (1) (3) BH + (\ négyzet (B) + \ négyzet (b)) H \ négyzet (b) = \\ = \ frac (1) (3) (BH + H \ sqrt (Bb) + Hb) = \\ = \ frac (1) (3) H (B + b + \ sqrt (Bb)) $$
vagyis megkapjuk azt a formulát, amelyet bizonyítani kellett.
Más anyagokA térben lévő geometriai alakzatok fő jellemzője a térfogata. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, mi az a piramis, amelynek alapja háromszög, és megmutatjuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög alakú piramis térfogatát - szabályos teljes és csonka.
Mi ez - egy háromszög alakú piramis?
Mindenki hallott már a régiekről egyiptomi piramisok azonban szabályos téglalap alakúak, nem háromszög alakúak. Elmagyarázzuk, hogyan készítsünk háromszög alakú piramist.
Vegyünk egy tetszőleges háromszöget, és kössük össze annak összes csúcsát egy ponttal, amely a háromszög síkján kívül helyezkedik el. A megformált alakot háromszög alakú piramisnak nevezzük. Az alábbi ábrán látható.
Mint látható, a vizsgált ábrát négy háromszög alkotja, amelyek általában különböznek egymástól. Minden háromszög egy piramis oldala vagy lapja. Ezt a piramist gyakran tetraédernek, azaz négyoldalú térfogati alaknak nevezik.
A piramisnak az oldalakon kívül vannak élei (6 db van) és csúcsai is (4 db).
háromszög alap
Egy tetszőleges háromszög és egy térbeli pont felhasználásával kapott ábra általában szabálytalan ferde gúla lesz. Most képzeljük el, hogy az eredeti háromszögnek ugyanazok az oldalai, és a tér pontja pontosan a geometriai középpontja felett helyezkedik el, h távolságra a háromszög síkjától. A kezdeti adatok felhasználásával épített piramis helyes lesz.
Nyilvánvaló, hogy egy szabályos háromszög alakú piramis éleinek, oldalainak és csúcsainak száma megegyezik egy tetszőleges háromszögből épített gúlaéval.
de helyes ábra van néhány megkülönböztető tulajdonságok:
- a magassága felülről húzva pontosan metszi az alapot a geometriai középpontban (a mediánok metszéspontjában);
- egy ilyen piramis oldalfelületét három egyforma háromszög alkotja, amelyek egyenlő szárúak vagy egyenlő oldalúak.
A szabályos háromszög alakú piramis nem csupán pusztán elméleti geometriai objektum. Egyes természeti struktúráknak megvan a maga formája, például egy gyémánt kristályrácsa, ahol egy szénatom négy azonos atomhoz kapcsolódik kovalens kötésekkel, vagy egy metánmolekula, ahol a piramis csúcsait hidrogénatomok alkotják.
háromszög alakú piramis
Abszolút bármely olyan piramis térfogatát meghatározhatja, amelynek alapjában tetszőleges n-szög van a következő kifejezéssel:
Itt az S o szimbólum az alap területét jelöli, h pedig a megjelölt alaphoz húzott alak magassága a piramis tetejétől.
Mivel egy tetszőleges háromszög területe egyenlő az a oldala hosszának a felével, amelyet az erre az oldalra ejtett h a apotem, a háromszög alakú piramis térfogatának képlete a következő formában írható fel:
V = 1/6 × a × h a × h
Mert általános típus a magasság meghatározása nem egyszerű feladat. Ennek megoldására a legegyszerűbb egy pont (csúcs) és egy sík (háromszög alap) távolságának képletét használni, amelyet általános egyenlettel ábrázolunk.
A megfelelőnek sajátos megjelenése van. Az alap (egyenlő oldalú háromszög) területe egyenlő:
Ha behelyettesítjük a V általános kifejezésébe, a következőt kapjuk:
V = √3 / 12 × a 2 × h
Különleges eset az a helyzet, amikor a tetraéder minden oldala azonos egyenlő oldalú háromszögnek bizonyul. Ebben az esetben a térfogata csak az éle paraméterének ismerete alapján határozható meg a. A megfelelő kifejezés:
Csonka piramis
Ha a csúcsot tartalmazó felső részt egy szabályos háromszög alakú piramisnál levágjuk, akkor csonka alakot kapunk. Az eredetitől eltérően két egyenlő oldalú háromszög alapból és három egyenlő szárú trapézből fog állni.
Az alábbi képen látható, hogyan néz ki egy szabályos csonka háromszög alakú, papírból készült piramis.
A csonka háromszög alakú piramis térfogatának meghatározásához ismerni kell három lineáris jellemzőjét: az alapok mindegyik oldalát és az ábra magasságát, amely megegyezik a felső és az alsó alap közötti távolsággal. A térfogat megfelelő képlete a következőképpen van felírva:
V = √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Itt h az ábra magassága, A és a a nagy (alsó) és a kis (felső) egyenlő oldalú háromszög oldalainak hossza.
A probléma megoldása
Hogy a cikkben közölt információkat érthetőbbé tegyük az olvasó számára, szemléltető példával mutatjuk be, hogyan kell használni néhány írott képletet.
Legyen a háromszög alakú gúla térfogata 15 cm 3. Az ábra köztudottan helyes. Az oldalsó borda a b apotémjét kell megtalálni, ha tudjuk, hogy a gúla magassága 4 cm.
Mivel az ábra térfogata és magassága ismert, a megfelelő képlet segítségével kiszámíthatja az alapja oldalának hosszát. Nekünk van:
V = √3 / 12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √ (h 2 + a 2/12) = √ (16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm
A figura apotémjének számított hossza nagyobbnak bizonyult, mint a magassága, ami minden típusú piramisra igaz.
