• Vízellátás
• Szivattyúk
• Víz tisztítás
• Wells
• Szűrők

Alapvető geometriai alakzatok négyzetei táblázat. Hogyan kell kiszámítani egy alakzat területét. Háromszög. Alapon és magasságon keresztül

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint azokat az egyszerű trükköket, amelyekről beszélni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához a profil második részében USE a matematikában, más képleteket is használnak a háromszög területére. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Mutassuk meg őket példákkal a FIPI állásbankból.

1. Hogyan lehet megtalálni a nem szabványos alakú területet? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű trükk az, hogy felosztjuk ezt az alakzatot azokra, amelyekről mindannyian ismerünk, és megkeressük a területét - ezen figurák területének összegeként.

Osszuk ezt a négyszöget egy vízszintes vonallal két háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága és . Ekkor a négyszög területe egyenlő két háromszög területének összegével:.

Válasz: .

2. Egyes esetekben egy ábra területe ábrázolható egyes területek közötti különbségként.

Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ebben a háromszögben mekkora alap és magasság! De azt mondhatjuk, hogy a területe egyenlő egy oldalú és három négyzet területeinek különbségével derékszögű háromszögek... Látod őket a képen? Kapunk:.

Válasz: .

3. A feladatban néha nem az egész ábra területét kell megkeresni, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - a kör egy részéről. Keresse meg egy olyan kör sugarú szektorának területét, amelynek ívének hossza: .

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. Az egész kör területe azóta egyenlő. Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza (hiszen), és ennek a szektornak az ívének a hossza , ezért az ív hossza egyszer kisebb, mint a teljes kör hossza. Az a szög, amelyben ez az ív megtámaszkodik, szintén egyszer kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe egyszer kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Területképletek egy háromszöghez

1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának az erre az oldalra húzott magasságával a szorzat felével
   
2. A háromszög területének három oldalán és a körülírt kör sugarának képlete
   
3. A képlet a háromszög területére és a beírt kör sugarára
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R a körülírt kör sugara,

Négyzetes képletek területe

1. Képlet egy négyzet területének oldalhosszával
   Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
2. Képlet egy négyzet területének az átló hosszával
   Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S =	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.

A téglalap területének képlete

Téglalap terület egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság tekintetében
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma két oldalán lévő területének és a köztük lévő szög képlete
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sin α

ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.

Rombusz terület képletek

1. A rombusz területének képlete oldalhossz és magasság szerint
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete oldalhossz és szög szerint
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Területi képletek trapézhoz

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalsó oldalainak hossza,
   

Területi képlet szükséges egy alakzat területének meghatározásához, amely egy valós értékű függvény, amely az euklideszi síkon az ábra egy bizonyos osztályán van definiálva, és 4 feltételnek eleget tesz:

1. Pozitivitás - A terület nem lehet kisebb nullánál;
2. Normalizálás - egy négyzet területe 1;
3. Egybevágóság – Egybevágó alakzatok rendelkeznek egyenlő terület;
4. Additivitás - a közös belső pontok nélküli 2 figura egyesülésének területe megegyezik ezen figurák területének összegével.

A Föld mérésének ismerete az ókorba nyúlik vissza, és fokozatosan a geometria tudományává fejlődött. Ezt a szót a görög nyelvről fordítják - "felmérés".

A Föld sík területének hosszának és szélességének mértéke a terület. A matematikában általában a latin S betűvel jelölik (az angol "square" szóból - "area", "square"), ill. görög levélσ (szigma). Az S egy síkon lévő ábra területét vagy egy test felületét jelöli, σ pedig a huzal keresztmetszete a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások is, például az anyagok szilárdsága terén, A a profil keresztmetszete.

Kapcsolatban áll

Számítási képletek

Az egyszerű alakzatok területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit... Az ókori matematikusok képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, négyszög, sokszög, kör.

Egy összetett síkfigura területének meghatározásához sok egyszerű figurára kell felosztani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután matematikai módszerekkel levezetik az ábra területének képletét. Hasonló módszert alkalmaznak nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb formával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk egy tetszőleges ABC háromszöget, amelynek oldalai AB = a, BC = b és AC = c (∆ ABC). Területének megtalálásához idézzük fel az iskolai matematika tantárgyból ismert szinusz- és koszinusztételeket. Minden számítást elengedve a következő képletekhez jutunk:

• S = √ a jól ismert Heron-képlet, ahol p = (a + b + c) / 2 a háromszög fél kerülete;
• S = a h / 2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
• S = a b (sin γ) / 2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
• S = a b / 2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
• S = b² (sin (2 β)) / 2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
• S = a² √¾, ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög, amelynek AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Egy tetszőleges 4-szög S területének meghatározásához az átlóval két háromszögre kell osztani, amelyeknek S1 és S2 területe általában nem egyenlő.

Ezután a képletek segítségével számolja ki és adja össze őket, azaz S = S1 + S2. Ha azonban egy 4-szög egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területe megtalálható a korábban ismert képletekkel:

• S = (a + c) h / 2 = e h ha a 4-szög trapéz (itt a és c bázisok, e középső vonal trapéz, h - a trapéz egyik alapjához süllyesztett magasság;
• S = a h = a b sin φ = d1 d2 (sin φ) / 2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldalak szöge, h az a oldalra csökkentett magasság, d1 és d2 átló);
• S = a b = d² / 2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
• S = a² sin φ = P² (sin φ) / 16 = d1 d2 / 2, ha ABCD egy rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik sarka, P a kerülete);
• S = a² = P² / 16 = d² / 2, ha ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok felosztják a legegyszerűbb egyenlő háromszögekre, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályosok osztályába tartozik, akkor használja a képletet:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h egy apotéma, azaz , a sokszög közepétől annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Egy kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal.... Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát egy olyan sokszög területének képletében, amelynek oldalai száma n a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör kerületévé változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P = 2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. Kapunk:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n → ∞ határértékét. Ehhez vegye figyelembe, hogy lim (cos (180 ° / n)) n → ∞ egyenlő cos 0 ° = 1-gyel (lim a határjel), és lim = lim, ha n → ∞ egyenlő 1-gyel / π (a fokmértéket radiánra fordítottuk, a π rad = 180 ° arányt használva, és az első figyelemre méltó határértéket lim (sin x) / x = 1 x → ∞-ként alkalmaztuk). A kapott értékeket S utolsó kifejezésébe behelyettesítve a jól ismert képlethez jutunk:

S = π² R² 1 (1 / π) = π R².

Egységek

Rendszer és nem rendszer egységeket használnak... A rendszeregységek az SI-re (International System) utalnak. Ez egy négyzetméter (négyzetméter, m²) és a belőle származó mértékegységek: mm², cm², km².

Például négyzetmilliméterben (mm²) mérik a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméterben (cm²) - a gerenda keresztmetszete a szerkezeti mechanikában, négyzetméterben (m²) - a lakásokban vagy házak négyzetkilométerben (km²) - földrajzi területek ...

Azonban néha nem rendszerszintű mértékegységeket is használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). Íme a következő kapcsolatok:

• 100 négyzetméter = 1 a = 100 m² = 0,01 hektár;
• 1 hektár = 100 a = 100 ár = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m2 = 40,47 a = 40,47 ár = 0,405 hektár.