≡× MENÜ

• Szivattyúk kutakhoz
• Szűrők tisztításhoz
• Egész fúrás
• Fúrólyukszivattyúk
• Kutak

A különböző változók funkciójának differenciáli kalkulusa. Az egyik és több változó függvényének differenciáli kalkulusa. Példa a gazdaságban való használatra

luhov YU.p. A magasabb matematika előadásainak összefoglalása.6

Előadás 22.

Tárgy: több változó funkciójának differenciálszámításas

Terv.

1. Összetett funkciók differenciálása. A differenciálmű formájának invariance.
2. Implicit funkciók, létezésük feltételei. Az implicit funkciók megkülönböztetése.
3. Magánszármazékok és magasabb rendelések különbsége, tulajdonságaik. *
4. Tangens sík és normál felület. A differenciálmű geometriai jelentése. Taylor formula több változó funkciójához.*
5. Származékos függvény irányban. Gradiens és tulajdonságai.

A komplex funkciók differenciálása

Hagyja, hogy a függvény argumentumokz \u003d f (x, y) u és v: x \u003d x (u, v), y \u003d y (u, v). Ezután F. funkció Van egy funkció isu és V. Tudja meg, hogyan kell megtalálni a magánszármazékokat az érvekreu és v, nem közvetlen helyettesítész \u003d f (x (u, v), y (u, v)). Ugyanakkor feltételezzük, hogy az összes vizsgált funkció magában foglalja magánszármazékokat minden érveikben.

Kérdezzük meg az érveketu növekmény δ u, Az érv megváltoztatása nélkülv. Azután

. (16. 1 )

Ha csak az argumentumot kérdeziv, kapunk:

. (16. 2 )

Az egyenlőség mindkét részét megosztjuk (16.1) Δ u és egyenlőség (16. 2) - Δ v és forduljon a határig, ha δu → 0 és Δ v → 0. Vigyázz, hogy a funkciók folytonossága miatt x és y. Ennélfogva,

(16. 3 )

Fontolja meg néhány bizonyos esetet.

Legyen x \u003d x (t), y \u003d y (t). Ezután f funkció (x, y) valójában egy változó funkciójat. , és használhat képleteket (43 ) és a magánszármazékok cseréjétx és y az u és a v szerint A rendes derivatívákont. (Természetesen a funkciók közötti különbségx (t) és y (t) ), Szerezzen kifejezést:

(16. 4 )

Tegyük fel, hogy mostt. Hangszórók A változóx, azaz, x és y Kapcsolódó kapcsolaty \u003d y (x). Ugyanakkor, mint az előző esetben, a funkcióf x. A (16.4) képlet használata mikort \u003d X. és tekintettel arra, hogy ezt kapjuk

. (16. 5 )

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben a képletben két származtatott funkció van.f argumentummal x : balra az úgynevezettteljes származékos, Ellentétben a saját, a jobb oldalon.

Példák.

1. Legyen z \u003d xy, ahol x \u003d u ² + V, Y \u003d UV ². Keresse meg és. Ehhez az egyes érveikhez három meghatározott funkciójú magánszármazékokat kell kiszámítani:

Ezután a (16.3) képletből származunk:

(A végeredményben egy kifejezést helyettesítünkx és y funkciók u és v).

1. Találjon teljes derivatív funkciótz \u003d sin (x + y ²), ahol y \u003d cos x.

A differenciálmű formájának invariance

Formulák (15,8) és (16.3 ), Fejezze ki a teljes differenciálmű funkciót

z \u003d f (x, y), ahol x \u003d x (u, v), y \u003d y (u, v), a változók differenciáljain keresztülu és V:

(16. 6 )

Következésképpen a differenciálsáv formája az érvekre mentésre kerülu és V. ugyanaz, mint az ilyen érvek funkcióix és U. , vagyis vaninvariáns (változatlan).

Implicit funkciók, létezésük feltételei

Meghatározás. Az y funkció x-től Az egyenlet által meghatározott

F (x, y) \u003d 0, (16.7)

hívott implicit funkció.

Természetesen nem a faj minden egyenlete (16.7) Meghatározza Egyedülálló (és tovább, folyamatos) függvénytőlh. . Például az ellipszis egyenlete

meghatározza az u kétjegyű függvénykéntx: -ért

Az egyértelmű és folyamatos implicit függvény létezésének feltételeit a következő tétel határozza meg:

1. tétel. (Bizonyíték nélkül). Legyen:

1. f funkció (x, y) Meghatározzák és folyamatos egy téglalapban a ponttal a ponton (x 0, y 0);
2. F (x 0, y 0) \u003d 0;
3. Állandó X F (x, y) monotónusban növekszik (vagy csökken) növekvőy

Azután

a) a pont néhány szomszédságában (x 0, y 0) egyenlet (16.7) meghatározza Egyértelmű függvénykéntx: y \u003d f (x);

b) x \u003d x 0 Ez a funkció értéket vesz igénybe.0: f (x 0) \u003d y 0;

c) Az F (x) függvény folyamatos.

Találja meg ezeket a feltételeket a származékos funkcióy \u003d f (x) x.

Tétel 2. Hagyja, hogy az Y függvény x-től definiált implicit egyenlet (16.7), ahol f (x, y) függvény kielégíti a tétel feltételeit 1. Legyen továbbá - Folyamatos funkciók néhány régióbanD. egy pontot tartalmaz(x, y), amelynek koordinátái megfelelnek az egyenletnek (16.7 ), és ezen a ponton
. Ezután az y függvény x Származékos

(16.8 )

Bizonyíték.

Válasszon valamilyen jelentésth. és megfelely Állítsa az x növekményt δ x-t, majd az y \u003d f (x) függvényt Kap egy növekményt δ.y Ugyanakkor f (x, y) \u003d 0, f (x + δ x, y + δ y) \u003d 0, ezért f (x + δ x, y + δ y) - f (x, y) \u003d 0. A bal oldalon ebben az egyenlőségben teljes mértékben növekszik a funkcióF (x, y), amely az űrlapon (15.5 ):

A Δ-ben kapott egyenlőség mindkét részének megosztásah. , Fejezze ki: .

Határokon
, Tekintettel arra, hogy és
Kapunk: . A tétel bizonyítható.

Példa. Keresse meg, ha. Meg fogjuk találni.

Majd a képletből (16.8) Kapunk :.

A magasabb rendelések származékai és differenciálásai

Részleges származékok funkciókz \u003d f (x, y) változó funkciók vannakx és U. . Ezért megtalálhatja magánszármazékaikat ezen változókon. Ezeket jelölik:

Így a második megrendelés négy magánszármazékát kaptuk. Mindegyikük újbóli közömbös lehetx és on és kap nyolc magánszármazékot a 3. sorrendben stb. A magasabb megrendelések származékait határozzuk meg:

Meghatározás. Magánszármazékn-rend Számos változó funkcióit az első származtatott származéknak nevezik (n - 1) - Rendelés.

A magánszármazékok fontos tulajdonságokkal rendelkeznek: a differenciálódási eredmény nem függ a differenciálódási eljárástól (például, például).

Ezt a nyilatkozatot bizonyítjuk.

3. tétel, ha a funkció z \u003d f (x, y) és a magánszármazékai
meghatározott és folyamatos a pontonM (x, y) és néhány környezetében, akkor ezen a ponton

(16.9 )

Bizonyíték.

Tekintsük a kifejezést és vezessenek be egy segédfunkciót. Azután

A tétel állapotából következik, hogy a szegmens megkülönböztetése [x, X + Δ X ] Tehát alkalmazhatja a Lagrange theoremet: hol

[x, x + δ x ]. De mivel a pont szomszédságábanM. Meghatározva, differenciálható a szegmensen [y, y + δ y ] Ezért lehetséges, hogy a Lagrange tétel a kapott különbségre alkalmazzák: hol

Módosítsa az eljárást a kifejezés kifejezésébenDE :

És bemutatunk egy másik segédfunkciót, majd ugyanazokat az átalakításokat töltsük fel, amennyire csak azt kapjuk. Ennélfogva,

Folytonosság és. Ezért a határértékre való áttérés, amikor ezt meg kellett bizonyítanunk.

Corollary. A megadott tulajdonság bármely sorrendbe és funkciókból származik bármely változóból.

A magasabb megrendelések differenciálásai

Meghatározás. Második rendkülönbség funkciók u \u003d f (x, y, z) hívott

Hasonlóképpen meghatározhatja a 3. és a magasabb megrendelések különbségét:

Meghatározás. Különbségk. Úgy hívják, hogy teljes differenciálódjon a megrendelés különbségétől (k - 1): D k u \u003d d (d k - 1 u).

A magasabb rendű differenciálások tulajdonságai

1. k. a differenciaregyi homogén teljes polinomiális fokk. A független változók differenciáljait illetően a magánszármazékok által szolgáltatott együtthatókk. -O -O megrendelés szorozva az egész egészben (ugyanaz, mint a szokásos felépítéshez):

1. Az első depressziója az első felett nem invariáns a változók kiválasztásához képest.

Tangens sík és normál felület. A differenciális geometriai jelentése

Hagyja, hogy a funkció z \u003d f (x, y) a pont szomszédságában különbözikM (x 0, y 0) . Ezután magánszármazékai és szöghatás-koefficiensek, amelyek érintő a felszíni metszésvonalakhozz \u003d f (x, y) síkokkal y \u003d y 0 és x \u003d x 0 amely magához kapcsolódik a felszínrez \u003d f (x, y). Az egyenesen áthaladó sík egyenletét meg fogjuk tenni. Az irányadó tangens vektorok (1, 0, 0;) és (0; 1;), így a normál és a síkhoz a vektoros művészetként ábrázolható:n. \u003d (-, -, 1). Következésképpen a síkegyenlet a következőképpen írható:

, (16.10 )

ahol z 0 \u003d.

Meghatározás. Az egyenlet által meghatározott sík (16.10 ) Tangens síknak nevezik grafikonraz \u003d f (x, y) A koordinátákkal(x 0, y 0, z 0).

Képletből (15,6 ) Két változó esetében következik, hogy a funkció növelésef. A környező pontonM. Ábrázolható:

Vagy

(16.11 )

Következésképpen a függvény funkciója és a tangens sík alkalmazásai közötti különbség végtelenül alacsonyabb, mint aρ, ρ → 0.

Ugyanakkor a differenciálmű funkcióf formája van:

mi megfelel a tangens síknak a funkció grafikonjához való alkalmazásának növelése. Ez a különbség geometriai jelentéséből áll.

Meghatározás. Nonzero vektor, merőleges tangens sík a pontonM (x 0, y 0) felület z \u003d f (x, y) Ezen a ponton normálisnak nevezik a felületre.

Mint normális, hogy a felszín alatt vizsgálták, kényelmes vehető igénybe -n \u003d (, -1).

z \u003d f (x, y)

M 0 (x 0, y 0, z 0)

M (x 0, y 0)

Példa.

Tegye a tangens sík egyenletét a felületrez \u003d xy az m (1, 1) pontnál. X 0 \u003d y 0 \u003d 1 z 0 \u003d egy; . Következésképpen a tangens síkot az egyenlet adja:z \u003d 1 + (X - 1) + (Y - 1) vagy X + Y - Z - 1 \u003d 0. Ebben az esetben a felület felszínén normál vektor formája van:n \u003d (1; 1; -1).

Megtaláljuk a funkció grafikonjának és a tangens sík alkalmazásának növekedését, amikor a pontról mozogM az N pontig (1.01; 1.01).

Δ z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,0201; Δ z cas \u003d (1.01 + 1.01 - 1) - (1 + 1 - 1) \u003d 0,02. Ennélfogva,

dz \u003d δ z cass \u003d 0,02. Ebben az esetben δ z - dz \u003d 0,0001.

Taylor formula több változó funkciójához

Mint tudod, a funkcióF (t) a származékainak rendje szerintn. A +1-et a Taylor formula szerint lebomlik a maradék taggal, Lagrange formájában (lásd a képleteket (21), (25 )). Ezt a képletet differenciálformában írjuk:

(16.1 2 )

hol

Ebben az űrlapon a Taylor formula több változó függvényében is elosztható.

Tekintsük két változó funkciójátf (x, y) egy pont szomszédsága (x 0, y 0 ) A szoftver folyamatos származékai (n. + 1) -th megrendelés befogadó. Kérdezzük az érveketx és U. Néhány lépések δ.x és δ Vegyünk egy új független változótt:

(0 ≤ t ≤ egy). Ezek a képletek egy egyenes vonalú összekötő pontokat határoznak meg (x 0, y 0) és (x 0 + δ x, y 0 + δ ). Ezután a növekmény helyett δf (x 0, y 0) Figyelembe veheti a segédfunkció növekedését

F (t) \u003d f (x 0 + t δ x, y 0 + t δ y), (16.1 3)

egyenlő δ f (0) \u003d f (1) - f (0). De f (t) egy változó funkciójat. Ezért a képlet alkalmazható rá (16.12). Kapunk:

Ne feledje, hogy lineáris A magasabb megrendelések változó különbségének cseréje az invariancia tulajdonát képezi, azaz

Ezeknek a kifejezéseknek a helyettesítése (16.12) kapunk taylor formula két változóhoz:

, (16.1 4 )

ahol 0.< θ <1.

Megjegyzés. A Taylor formula differenciálformájában több változó esetében elég egyszerűnek tűnik, azonban nagyon nehézkes a telepített formában. Például még két változó függvényében is, az első tagjai így néznek:

Az irányban. Gradiens

Hagyja a funkciótu. = f. (x., y., z.) néhány területen folyamatosD. És folyamatos magánszármazékkal rendelkezik ezen a területen. Válassza ki a vizsgált terület pontjátM.(x., y., z.) és költeni vektorbólS., Iránymutató, amelynek kosáraicosα., cosp, cosγ. A vektoronS. Δ távolságban.s. Kezdete, hogy találjon egy pontotM.1 (x +.Δ x, Y +Δ y,z.+ Δ z.), hol

Képzeld el a funkció teljes növekedésétf. mint:

Hol

Miután elosztott Δs. Kapunk:

.

Mivel az előző egyenlőség átírható az űrlapon:

(16.15 )

Meghatározás.A kapcsolati korlátot hívjáka funkcióból származiku. = f. (x., y., z.) a vektor irányábanS. és jelöljük.

Ugyanakkor (16.1 5 ) Kapunk:

(16.1 6 )

1. megjegyzés.. A magánszármazékok magánszármazéka az irányban. Például, amikor megkapjuk:

.

Jegyzet 2. A fenti volt a geometriai jelentése a magán-származékok a feladatokat a két változó szögletes együtthatók érintői a felület metszéspontjában vonalak, ami egy grafikon, síkokkalx \u003d x.0 ésy \u003d u0 . Hasonlóképpen figyelembe veheti a funkció származékát az iránybal. PontosanM (H.0 , U.0 ) A felület metszésvonalának szög együtthatója és a ponton áthaladó síkM. párhuzamosan a tengelyO.z. és közvetlenl..

Meghatározás. Vektor, amelynek koordinátáit egyes területek minden egyes pontján magánszármazékos funkcióku. = f. (x., y., z.) Ezen a ponton hívjákgradiens Funkcióku. = f. (x., y., z.).

Kijelölés:grad.u. = .

Tulajdonságok gradiens

1. Származéka néhány vektor irányábanS.egy vektor előrejelzéseigrad.u. A vektoronS..

Bizonyíték. Egyetlen vektoros irányS. Megjelenésee.S. ={ cosα., cosp, cosγ) ezért a képlet jobb oldala (16.16 ) a vektorok skaláris termékegrad.u. ése.s., vagyis a meghatározott vetület.

1. Ez a pont a vektor irányában származikS. a legnagyobb értéke egyenlőgrad.u.| Ha ez az irány egybeesik a gradiens irányával. Bizonyíték. A vektorok közötti szöget jelöliS.ésgrad.u.φ. Aztán az ingatlanból 1 Ebből következik, hogy

| grad.u.|∙ cosφ, (16.1 7 )

Következésképpen a legnagyobb értéke φ \u003d 0 és egyenlő |grad.u.|.

1. Származék a vektor felé merőleges iránybangrad.u.nulla.

Bizonyíték. Ebben az esetben a (16.17.)

1. Ha egyz. = f. (x., y.) - Két változó funkciója, akkorgrad.f. \u003d a szintvonalra merőlegesf. (x., y.) = c., áthalad ezen a ponton.

ampedra Informatika és magasabb matematika Kapp

Az u függvény N változó változók U-t nevezik az N változók (argumentumok) x, y, z, ..., t, ha minden egyes X, Y, Z, ..., T értéket a tartományból a változások (meghatározási terület), megfelel egy bizonyos értéknek. A mezőmeghatározási területet minden olyan pontnak nevezik, amelyben bizonyos érvényes értékekkel rendelkezik. A z \u003d f (x, y) függvényében a definíciós terület egy bizonyos síkpontot jelent, és az u \u003d f (x, y, z) függvényében három változó - néhány szóközpontot tartalmaz.

A két változó funkciója két változó függvényében a törvény, amely szerint az X, Y (argumentumok) által a definíciós területről érkező változók minden egyes párja megfelel a z (funkció) függő változó értékének ). Ez a funkció az alábbiak szerint jelenik meg: z \u003d z (x, y) vagy z \u003d f (x, y) vagy más standard betű: u \u003d f (x, y), u \u003d u (x, y)

A privát származékok az elsőrendű a magán származékot Z \u003d f (x, y) egy független változó X nevezzük végleges kiszámított határértéket egy adott származék egy adott származék nevezzük végleges kiszámított határértéket állandó x A magánszármazékok meglehetősen közös szabályok és differenciálási szabályok és formulák.

A Z \u003d F (X, Y) teljes differenciálfunkcióját a három argumentum teljes differenciálmű funkciója számítja ki, amelyet az u \u003d f (x, y, z) a képlet számítanak ki

Magán származékok nagyobb megrendelések másodrendű magán a származékok a Z \u003d f (x, y) nevezzük privát származékok fekszik saját származékai az elsőrendű hasonlóan meghatározott, és az egyes származékok A harmadik és a magasabb rendű jelöljük.

A különbségek a legmagasabb sorrendben a másodrendű eltérés a Z \u003d f (x, y) az úgynevezett eltérés a repülés differenciálművek a legmagasabb rendű vannak képlettel számítottuk ki, a szimbolikus képlet bekövetkezik.

A komplex funkciók differenciálása Legyen z \u003d f (x, y) z \u003d f (x, y), ahol x \u003d φ (t), y \u003d ψ (t) és az f (x, y), φ (t ), ψ (t) differenciálható. Ezután a Z \u003d F [φ (t), ψ (t)) komplex funkció származékát a képlet alapján számítjuk ki

Az implicit függvények differenciálódása Az F (x, y, z) \u003d 0 egyenletben megadott z \u003d f (x, y) implicit függvényének származékai a képletek alapján számíthatók ki

Extreme Function Funkció Z \u003d F (X, Y) maximális (minimum) m 0 (x 0, y 0) esetén, ha a funkció értéke nagyobb (kevesebb) nagyobb (kevesebb), mint az érték bármely más M (x; y) néhány szomszédsági pont m 0. Ha a z \u003d f (x, y) differenciálható funkció eléri az M 0 (x 0, y 0) pont szélsőségét, akkor az első sorrendben lévő részleges származékai nulla, azaz (szükséges extremum feltételek).

Legyen m 0 (x 0; y 0) a z \u003d f (x, y) függvény helyhez kötött pontja. Megkülönböztető és diszkriminancia δ \u003d AC B 2, akkor: ha Δ\u003e 0, akkor a funkció szélsősége m 0, nevezetesen a maximum 0 (vagy c\u003e 0); Ha Δ.

Az f (x) primitív funkciófunkciót az x \u003d (a, b) intervallum f (x) funkciójára primitívnek nevezzük, ha az F (x) intervallum minden egyes pontján f (x), azaz Ebből a fogalommeghatározásból következik, hogy a differenciálódási feladat primitív fordulásának feltalálása: a megadott f (x) függvény szerint az F (x) függvényt, amelynek származékát f (x).

Az F (x) + C f (x) f (x) funkciós funkciók meghatározásának határozatlan integrálja az F (x) függvényből határozatlan integrált, és a szimbólum jelzi. Így definíció szerint C jelentése önkényes állandó; f (x) integrált funkció; f (x) DX Integrand; x integrációs változó; jel bizonytalan integrált.

A határozatlan integrált tulajdonságai 1. A határozatlan integrált különbözõtlenség az integrált expresszióval egyenlő, és határozatlan integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval: 2. A bizonyos funkciók különbségének határozatlan integrálja megegyezik a Ez a funkció és önkényes állandó:

3. Állandó szorzót lehet levenni az integrált jelből: 4. A véges folyamatos funkciók algebrai mennyiségének határozatlan integrálja megegyezik az algebrai integrálmennyiséggel a funkciók feltételeiből: 5. Ha, és ahol u \u003d φ (x) tetszőleges függvény, amely folyamatos származékos

Az integrációs módszer közvetlen integrációs módszerének integrálásának fő módszerei, amelyekben az integrand funkció (vagy kifejezések) azonos átalakítása és a határozatlan integrál tulajdonságainak felhasználása egy vagy több táblázatos integrálra kerül, hívják Közvetlen integráció.

Ha ezt az integrálat gyakran használják, a következő differenciálhatásokat gyakran használják (a művelet "összefoglaló a differenciáljel alatt"):

Változó cseréje határozatlan integrált (környezeti integráció) A helyettesítés integrációjának módja új integrációs változó bevezetése. Ugyanakkor a megadott integrált új integrált, amely táblázat vagy csökkent. Számítsuk ki az integrált. Az x \u003d φ (t) helyettesítést, ahol φ (t) egy folyamatos származékos funkció. Majd a dx \u003d φ "(t) dt, és a szubsztitúció integrációjának integrációjának integrációjának integrációs képletének ingatlanján alapul

Az integrációs képlet részeibe való integráció a képlet részeiben lehetővé teszi az integrált kiszámítását az integrált kiszámításához, amely jelentősen könnyebb lehet, mint az eredeti.

A racionális frakció racionális frakcióinak integrációját a P (x) / q (x) forma frakciójának nevezik, ahol p (x) és q (x) polinomok. A racionális frakciót helyesnek nevezik, ha a P (x) polinom mértéke alacsonyabb, mint a Q (x) polinom mértéke; Ellenkező esetben a frakciót helytelennek hívják. A legegyszerűbb (elemi) frakciókat hívják jobb frakciók A következő űrlap: ahol A, IN, P, Q és tényleges számok.

A legegyszerűbb IV-típus első integrálja az egyenlőség jobb részében az X2 + PX + Q \u003d T-szubsztitúció segítségével könnyen elhelyezve, a második pedig ezt konvertálja: hinni x + p / 2 \u003d t, dx \u003d DT A QP 2/4 \u003d A 2-et kapjuk és jelöljük.

A racionális frakciók integrálása a legegyszerűbb frakcióra való bomlással, mielőtt a P (x) / q (x) racionális frakció integrálása előtt a következő algebrai transzformációkat és számításokat kell elvégezni: 1) Ha helytelen racionális frakciót adnak meg, akkor lehetséges hogy kiemelje azt, azaz az M (x) polinom, és a P 1 (X) / Q (X) a megfelelő racionális frakció; 2) A lineáris és kvadratikus multiplikátorok denomátját bontsa le: ahol P2 / 4 Q

3) A helyes racionális frakció az, hogy lebomlik a legegyszerűbb frakciókat: 4), hogy kiszámítsa a bizonytalan együtthatót egy 1, és 2, ..., Ам, ..., 1, 2, ..., ВМ, .. ., 1, 2, ..., cm, ... mit kell hozni az utolsó egyenlőséget közös nevező, Egyenlővé az együtthatók azonos fok x a bal és jobb részei a személyazonosságát kapunk, és megoldja a lineáris egyenletrendszer a kívánt együtthatók.

A legegyszerűbb irracionális funkciók integrálása 1. Az űrlap integrálása, ahol R racionális funkció; M 1, n 1, m 2, n 2, ... egész számok. Az AH + B \u003d TS-szubsztitúció segítségével, ahol S a legkisebb általános több N1, N 2, ..., a megadott integrált a racionális funkcióból származó integráltvá alakul. 2. Az ilyen integrálok integrálja az ilyen integrálok négyzet négyzet négyzetének kiválasztásával a 15 vagy 16 táblázat integrálja

3. A fajok integrálása az integrált megtalálásához válassza ki a számmérő alatt álló négyzet alakú származtatott származékot, és terjessze az integrált az integrálok mennyiségét:

4. Az űrlap integrálása x α \u003d 1 / t helyettesítésével Ez az integrált a figyelembe vett 2. kategória 5. kategóriájára vonatkozik. A forma integrálja, ahol a PN (X) az N TH diploma polinomja. Ennek a fajnak az integrálja az identitás segítségével, ahol QN 1 (X) egy polinom (N 1) th-fok bizonytalan együtthatókkal, λ számmal. A meghatározott személyazonosság megkülönböztetését és az eredményt egy közös denominátorhoz vezetjük, két polinom egyenlőségét kapjuk, amelyekből meghatározható az qn 1 (x) polinom (x) és a λ számának együtthatója.

6. A differenciálbordákból származó integrálok, ahol m, n, p racionális számok. Amint azt a pl chebyshev is bizonyította, a differenciálbónákból származó integrálokat csak három esetben expresszálják az elemi funkciókon keresztül: 1) p egész szám, akkor ez az integrált a racionális funkció integráltára csökken, az X \u003d TS szubsztitúció alkalmazásával, ahol S az legkisebb összesen több fajta frakció m és n. 2) (M + 1) / N - egész szám, amely esetben ezt az integrált racionalizálja az A + BXN \u003d TS helyettesítésével; 3) (M + 1) / N + P egy egész szám, amely esetben az AX N + B \u003d TS helyettesítése ugyanarra a célra vezet, ahol S a frakció denominátora.

Integráció trigonometrikus funkciók A fajok integrálja, ahol R racionális funkció. Az integrált jel alatt racionális funkció a sinus és a cosine. Ebben az esetben az univerzális trigonometrikus szubsztitúció TG (x / 2) \u003d t alkalmazható, ami csökkenti ezt az integrálást az új argumentum racionális funkciójából (1. táblázat). A következő táblázatban más helyettesítések vannak:

Az F (x) függvény bizonyos integráltát az integrált összegek határértékének nevezik, feltéve, hogy a legnagyobb részleges szegmens hossza ΔHI-t törekszik nulla. Az A és B számokat az integráció alsó és felső határának nevezik. Cauchy tétel. Ha az F (x) függvény folyamatos a szegmensen, akkor egy specifikus integrált létezik

Src \u003d "https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt \u003d "(! Lang: ha f (x)\u003e 0 a szegmensen, akkor egy specifikus integrált geometriailag képviseli a területet Görbületi"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Az egyes integrálok kiszámítására vonatkozó szabályok 1. Newton Formula Leibnica: ahol f (x) primitív f (x), azaz f (x) '\u003d f (x). 2. Integráció részben: ahol u \u003d u (x), v \u003d v (x) - folyamatosan differenciálható funkciók a szegmensen.

3. A változó cseréje, ahol az x \u003d φ (t) függvény, folyamatos, valamint a φ '(t) származékával együtt a α≤t≤p, a \u003d φ (a), b \u003d φ (β), f [φ (t)] - A funkció folyamatosan [α; β] 4. Ha f (x) egy páratlan funkció, azaz f (x) \u003d f (x), akkor ha f (x) egy vizsgálati funkció, azaz f (x) \u003d f (x).

Az inkompatibilis integrált integrált integrálokat nevezik: 1) integrált végtelen határértékekkel; 2) A korlátlan funkciókból származó integrálok. Az F (x) függvényből származó láthatatlan integrál az A-tól + végtelenségig tartó tartományban az egyenlőség határozza meg, ha ez a határérték létezik és véges, az elviselhetetlen integrálat konvergensnek nevezik; Ha a határérték nem létezik vagy egyenlő az Infinity-szel, eltérő, ha az F (x) függvény végtelen rés van a szegmens pontján és folyamatos, ha a≤x

A nem megfelelő integrálok konvergenciájának tanulmányozása során az összehasonlítás egyik jelét használják. 1. Ha az F (x) és φ (x) függvények mindegyike az x≥hez, és integrálható a szegmensre, ahol a≥ és ha 0≤f (x) ≤φ (x) az összes x≥, majd a konvergencia Az integrált az integrált konvergenciáját követi, a 2. 1, ha X → + ∞ funkción f (x) ≤ 0 végtelenül kis sorrendű P\u003e 0, összehasonlítva az 1 / x-vel, majd az integrált konvergenciát p\u003e 1 ha p≤ 1. 2. 2 Ha az F (x) ≥ 0 függvény definiálódik és folyamatos a ≤ x résben

Az Y \u003d F (x), egyenes X \u003d A és X \u003d B korlátozott görbét, egyenes X \u003d A és X \u003d B és az OH tengely szegmenséű görbületi trapezion területének egy lapos alakjának kiszámítása a Az Y \u003d F 1 (X) és Y \u003d F 2 (X) és az Y \u003d F 2 (X) és az X \u003d A és X \u003d B közvetlen görbét ábrázoljuk, ha a görbét x \u003d x (t), y parametrikus egyenletekkel állítjuk be \u003d y (t), majd a görbe által határolt görbületi trapezion területe, egyenes X \u003d A, X \u003d B és a tengely OH tengelyének szegmense kiszámítása a T1 és a T2 képlete alapján kerül kiszámításra A \u003d x (t 1), b \u003d x (t 2) egyenlet a görbületi szektor területén, a poláris koordinátákban meghatározott korlátozott görbe az ρ \u003d ρ (θ) és két poláris sugarú θ \u003d α θ \u003d β (α

Egy lapos görbe ívének kiszámítása, ha a szegmensen Y \u003d F (x) görbe sima (azaz a "\u003d f '(x) származéka folyamatos), majd a megfelelő ív hossza A görbe az x \u003d x (t), y \u003d y (t) [x (t) és y (t) ikrefa ikontermék paraméteres feladata alatt helyezkedik el, folyamatosan differenciálható funkciókat] a A t 1-t t 2-tól T 2-ig terjedő t-paraméter monoton változását akkor számítjuk ki, ha a sima görbe a poláris koordinátákban van beállítva ρ \u003d ρ (θ), α≤θ≤β-vel, majd a Az ív egyenlő.

A testtér mennyiségének kiszámítása 1. A testtér mennyiségének kiszámítása híres négyzetek keresztmetszetek. Ha a sík test keresztmetszete, amely merőleges a tengelyre OH-ra, akkor az x, azaz az s \u003d s (x) (a \u003cx≤b), a testrész térfogatában kifejezhető, Az X \u003d A és X \u003d B perpendikuláris tengely között lezárult, a 2. képlet szerint helyezkedik el, a 2. képlet szerint. A forgási test térfogatának kiszámítása. Ha az Y \u003d F (x) görbe által határolt görbületi trapézium és az egyenes Y \u003d 0, X \u003d A, X \u003d B, a tengely körül forog, akkor a forgó test térfogatát a képlet kiszámítja, ha az ábra határolva van Az U1 \u003d F 1 (X) és Y2 \u003d F 2 (X) és egyenes X \u003d A, X \u003d B görbékkel a tengely körül forog, majd a forgási téma térfogata egyenlő.

A forgási terület területének kiszámítása Ha az ARC egy sima görbe, az y \u003d f (x) (a≤x≤b) a tengely körül forog, akkor a forgás felületét a képlet kiszámítja, ha A görbét x \u003d x (t), y \u003d y (t) (t 1≤t≤t 2) parametrikus egyenletekkel állítjuk be.

A differenciálegyenlet alapfogalmát a független változók, a funkciójuk és a derivatívák (vagy a differenciálsák) egyenletnek nevezik. Ha egy független változó egy, akkor az egyenletet szokásosnak nevezik, ha két vagy több független változó van, az egyenletet a magánszármazékok differenciálegyenletének nevezik.

Az első sorrend egyenlete az F (x, y, y) \u003d 0 vagy y \u003d f (x, y), amely csatlakozik a független változót, a kívánt y (x) és származék y (x) az első rendű differenciálegyenletnek hívták. Az első sorrend egyenletének megoldását bármilyen Y \u003d (X) függvénynek nevezzük, amely az Y \u003d (X) származékával együtt az egyenletbe szubsztituálva van, az x-re viszonyítva az identitáshoz kapcsolódik.

Az első sorrend differenciáliegyenletének általános oldatának általános oldatának általános oldatát úgy nevezik, hogy ilyen függvény Y \u003d (X, C), amely a C paraméter bármely értékével ez a megoldás differenciálegyenlet. Az F (x, y, c) \u003d 0 egyenlet, amely meghatározza az általános oldatot implicit függvényként, a differenciálegyenlet közös integrálja.

Az egyenlet megengedett a származékhoz viszonyítva, ha az 1. sorrend egyenlete a származékhoz viszonyítva van megoldva, az általános oldatát geometriailag ábrázolhatja, amely az integrált görbék családja, azaz az állandó értékeknek megfelelő sorok csoportja C.

A Cauchy probléma megfogalmazása az a feladat, hogy megtalálja a differenciálegyenletet, amely megfelel a kezdeti állapotnak az első rendelési egyenlethez tartozó Cauchy feladatnak. Geometrikusan ez azt jelenti, hogy a differenciálegyenlet integrált görbéjét találja, amely ezen a ponton áthalad.

Az elválasztó változókkal való egyenletet a differenciálegyenletet elválasztott változóknak nevezik. Az 1. sorrend eltérő egyenletét az elválasztó változókkal való egyenletnek nevezik, ha van az űrlap: Az egyenlet megoldása, a funkciók mindkét része megosztott, majd integrálva van.

Egységes egyenletek Az első megrendelés differenciálegyenletet homogénnek hívják, ha az Y típusú y \u003d vagy a fajok, ahol és homogén funkciók egy sorrendben.

Lineáris egyenletek az 1. sorrendben Az első rendű differenciálegyenlet lineárisnak nevezhető, ha az első fokozatban és az első fokozatban van, azaz úgy néz ki. Az ilyen egyenletet az Y \u003d UV helyettesítésével oldják meg, ahol az U és V Auxiliary ismeretlen funkciók, amelyek megtalálják, helyettesítik a segédfunkciókat az egyenlethez és az egyik funkcióhoz bizonyos feltételeket.

Bernoulli-egyenletet a Bernoulli-egyenletnek az 1. sorrendű egyenletnek nevezik, amelynek látványa van, és a lineáris egyenlet helyettesíthető

A megrendelés 2. 2. egyenletének differenciálegyenlete a második megrendelési egyenlet formájának vagy általános megoldása olyan funkció, amely bármely paraméterérték esetében az egyenlet megoldása.

Cauchy probléma a 2. egyenlethez, ha a megrendelés 2. egyenletét a második származékhoz viszonyítva oldja meg, akkor egy ilyen egyenlethez van egy feladat: talál megoldást az egyenletre, amely megfelel az eredeti feltételeknek: és ezt a problémát hívják A Cauchy feladat a Goroga differenciálási egyensúlyához.

A 2. sorrend egyenletének létezésének és egyediségének megteremtése, ha az egyenletfüggvényben és annak privát származékai az argumentumok szerint, és egy bizonyos területen, akkor egy pontot tartalmazó területen, akkor is van egy ilyen egyenlet egyetlen megoldása, amely megfelel a feltételeknek és.

A megrendelés 2. egyenlete, amely lehetővé teszi a megrendelés csökkentését A legegyszerűbb 2. sorrend egyenlet megoldja a kétszoros integrációt. A nem tartalmazó egyenletet egyértelműen szubsztitúcióval oldjuk meg, az egyenlet, amely nem tartalmaz X-t cserélhető.

Lineáris homogén egyenletek a második soros lineáris homogén differenciál egyenletével, amelyet az egyenletnek neveznek, ha az egyenlet összes együtthatók állandóak, az egyenletet állandó együtthatókkal rendelkező egyenletnek nevezik.

A lineáris homogén megegyezések megoldásainak tulajdonságai 1. Ha (x) az egyenlet megoldása, akkor mindkettő (x), ahol az állandó, szintén megoldás erre az egyenletre.

A lineáris homogén egyenlet megoldásainak tulajdonságai 2. Ha az egyenlet megoldásai, akkor az összegük is megoldást jelent az egyenletre. Corollary. Ha az egyenlet megoldások, a funkció is megoldja ezt az egyenletet.

Lineárisan függő és lineárisan független funkciók két funkció, és némi időközönként lineárisan függenek, ha ilyen számokat lehet kiválasztani, és nem egyenlő nulla, egyidejűleg, hogy ezeknek a funkcióknak a lineáris kombinációja ezen a szakadékban azonos módon nulla

Ha ilyen számokat nem lehet kiválasztani, akkor a funkciókat lineárisan függetlennek nevezik a megadott résen. Funkciók lineárisan függőek lesznek, ha és csak akkor, ha az arány folyamatosan, vagyis az,

A lineáris homogén második rendezési egyenlet általános oldatának szerkezetének tétele, ha az alacsony 2 rendű lineárisan független privát megoldások, akkor lineáris kombinációjuk, ahol és önkényes állandó, Általános határozat Ez az egyenlet.

Lineáris homogén egyenlet a 2. sorrendben állandó együtthatókkal Az egyenletet egy lineáris egyenlet jellemző egyenletének nevezik. Ezt az alacsony szintről a végzés fokozatosságával szerzi meg.

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Állami intézmény

Magasabb szakmai oktatás

Belorusz-orosz egyetem

Tanszék "Magasabb matematika"

Az egyik és több változó funkcióinak differenciáli kalkulusa.

Módszeres utasítások és feladatok próba munka №2

a Joine diákok számára

minden specialitás

a Módszertani Tanács Bizottsága

Belorusz-orosz egyetem

A "legmagasabb matematika" tanszék által jóváhagyott "_____" ______________________________________________________________________________________________

protokoll száma

Fordítók: Chervikova T. I., Romskaya O. I., Pleshkov S.f.

Az egyik és több változó funkcióinak differenciáli kalkulusa. A 2. számú vizsgálat módszeres utasításai és feladata a csatlakozott hallgatókhoz. A papír módszeres ajánlásokat, vezérlési feladatokat, problémák megoldásának mintáit mutatja be az "Egy és több változó funkcióinak különböző funkciói" fejezetének megfelelően. A feladatokat az összes specialitás hallgatóinak a levelezés tanulásával tervezték.

Képzési kiadás

Az egyik és több változó funkcióinak differenciáljávozása

Műszaki szerkesztő A.A. Podochevko

Számítógépes elrendezés n.p. Polevanki

Vélemények L.A. Novik.

Felelős az L.V. felszabadításáért Pohár

A nyomtatásban aláírt. Formátum 60 × 84 1/16. Offset paper. Print Screen. SL. Pechs. l. . Ud. l. . Keringés ex. Rendelési szám. _________

Kiadó és nyomtatási teljesítmény:

A szakképzés nyilvános létrehozása

"Fehérorosz-orosz egyetem"

Licenc lv №243 (2003.03.11), licenc lp №165 keltezett január 08/2003

212005, Mogilev, béke Ave., 43

© guvpo "belorusz-orosz

egyetem, 2004

Bevezetés

Ezek az iránymutatások tartalmazzák az anyagot az "Egy és több változó függvényének differenciáli kalkulus" szakaszának tanulmányozására.

A vizsgálati munka végzése külön notebook, a borítón, amely a hallgató legyen temporable, hogy írjon egy számot, a nevét, a fegyelem, adja meg a csoport, név, monogram és száma a vizsgált könyv.

Az opció száma megfelel a tesztkönyv utolsó számjegyének. Ha a tesztkönyv utolsó számjegye 0, a változat száma 10.

A feladatok megoldását a vizsgálatban megadott sorrendben kell elvégezni. Ugyanakkor az egyes feladatok állapota teljesen átíródik, mielőtt megoldódna. A notebookok szükségszerűen elhagyják a mezőket.

Az egyes feladatok megoldását részletesen ki kell adni, hogy a szükséges magyarázatokat az alkalmazott formulákra hivatkozva biztosítsák, a számításokat szigorúan végrehajtják. Az egyes feladatok megoldása az, hogy a szükséges állapotot hozza. A vizsgálati munka végén jelezze a tesztmunka végrehajtásakor használt irodalmat.

Ban benválaszok önvizsgálatra

Származtatási funkció: meghatározás, kijelölés, geometriai és mechanikai jelentés. A tangenciális és normál egyenletes görbe.

A differenciálható funkció folytonossága.

Az egyik változó funkciójának differenciálási szabályait.

Komplex és fordított funkció származékai.

Alapvető elemi funkciók származékai. Táblázatszármazékok.

A parametrikus és implicit módon meghatározott funkciók differenciálása. Logaritmikus differenciálás.

Differenciálfunkció: definíció, kijelölés, kommunikáció származékos, tulajdonságokkal, formában, geometriai jelentés, alkalmazás a függvényértékek közelítő számításaiban.

A magasabb rendelések differenciái és differenciálásai.

Theorems Farm, Rolly, Lagrange, Cauchy.

Bernoulli Lopital szabály, a korlátok kiszámításához.

Az egyik változó függvényének monotonisége és szélsősége.

Az egyik változó funkciójának grafikonjának átalakítása és inflása.

Aszimptotes grafikonok.

Az egyik változó funkciójának teljes kutatása és építése.

A legnagyobb I. a legkisebb jelentések Funkciók a szegmensen.

Több változó funkciójának fogalma.

Az FNP határértéke és folytonossága.

Magánszármazékok FNP.

Differenciális és teljes differenciálási FDP.

A komplex és implicit módon megadott FNPS differenciálása.

Magánszármazékok és az FDP magasabb rendjeinek teljes differenciálásai.

Szélsőséges (helyi, feltételes, globális) FDP.

A származék az irányban és a gradiensben.

Tangens sík és normál felület.

Egy tipikus lehetőség megoldása

1. feladat.Keressen származékokat a funkciókból:

	b) ;	ban ben) ;
d)		e)

Döntés.A) -B) feladatok megoldásakor alkalmazni kell a következő szabályok Különbségtétel:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) Ha, azaz
- komplex funkció, akkor
.

A derivatív és differenciálódási szabályok meghatározása alapján összeállítottak az alapvető elemi funkciók származékai táblázatát.

1 ,	8 ,
2 ,	9 ,
3 ,	10 ,
4 ,	11 ,
5 ,	12 ,
6 ,	13 .
7 ,

A differenciálási szabályok és a származékos táblázat használata esetén ezeknek a funkciókból származó származékokat találunk:

Válasz:

Válasz:

Válasz:

Ez a funkció lépésenként indikatív. Alkalmazza a logaritmikus differenciálódási módszert. Progrigimizálja a funkciót:

.

Alkalmazható logaritmus tulajdonság:
. Azután
.

Megkülönbözteti az egyenlőség mindkét részét :

;

;

;

.

A funkciót a formájában határozzák meg
. Megkülönbözteti az egyenlet mindkét részét, számolva Funkció:

Expressz az egyenletből :

.

A funkció parametro beállítása
Az ilyen funkció származéka a képlet:
.

Válasz:

2. feladat. Keresse meg a negyedik megrendelés differenciálódást a funkcióból
.

Döntés.Differenciális
Az első rendű differenciálnak hívják.

Differenciális
a második rendkülönbségnek hívják.

Az N-TH-rend különbségét a következő képlet határozza meg:
ahol n \u003d 1,2, ...

Találja egymást.

3. feladat. A funkciógrafika melyik pontja
a közvetlen párhuzamos hozzáadásával
? Rajzoljon.

Döntés.A grafika és az egy egyenes párhuzamos állapotú állapot, ezért ezeknek a közvetlennek a szöghatalmainak egyenlőek egymással.

Szöges együttható közvetlen
.

A sarokkövetkezési tangens egy bizonyos ponton görbe A származék geometriai jelentéséből találjuk meg:

, ahol  a funkció grafikájának hajlamos szöge
Pontban.

.

A kívánt közvetlen felhalmozódás szöghatásainak megtalálása

.

Eldöntve, hogy meg fogjuk találni a két érintőképességének abszorbulációját:
és
.

A KRIVA egyenletből meghatározzuk az érintés ordinátpontjait:
és
.

Rajzoljon.

Válasz: (-1; -6) és
.

Megjegyzés : Tangens egyenlet a görbe felé
Van az űrlap:

a pont normál egyenlete a ponton:

.

4. feladat. Végezze el a funkció teljes tanulmányát, és építsen az ütemtervét:

.

Döntés. A funkció teljes tanulmányozásához és az ütemterv építéséért a következő hozzávetőleges rendszert alkalmazzák:

keresse meg a mezőmeghatározási területet;

fedezze fel a folytonossági funkciót és határozza meg a mentesítési pontok jellegét;

fedezze fel a paritás és a furcsaság, a frekvencia funkciót;

keresse meg a funkció grafikájának metszéspontját a koordináták tengelyével;

fedezze fel a monotoni és extremum funkciót;

keresse meg a dudor és a konkretitás, az inflexiós pont közötti intervallumokat;

keresse meg aszimptotes grafikai funkciókat;

a grafikon tisztázása néha célszerű további pontokat találni;

a kapott adatok szerint a funkció grafikonjának kialakítása.

Alkalmazza a fenti sémát, hogy tanulmányozza ezt a funkciót.

A funkció sem egyenletes, sem furcsa. A funkció nem időszakos.

Pont
- A metszéspont a tengelyhez Ó.

Az ou tengelyével:
.

Pont (0, -1) - a grafikon metszéspontja az ou tengelyével.

Keressen egy származékot.

-ért
és nem létezik
.

Kritikus pontok:
és
.

Fedezze fel a derivatív funkció jelét időközönként.

A funkció az időközönként csökken
; növekszik - az intervallumon
.

Megtaláljuk a második származékot.

-ért
és nem létezik.

A második fajta kritikus pontok: és
.

A konvex funkciója az intervallumon
, A funkció az időközönként konkáv
.

Beáramláspont
.

Bizonyítjuk, hogy a függvény viselkedése a pont közelében.

Ferde aszimptotokat találunk

Azután
- vízszintes aszimptota

További pontokat találunk:

A kapott adatok szerint egy függvénytípust építünk.

5. feladat. A Bernoulli-Lopital szabály a tétel formájában fogalmazódik meg.

Temető: Ha két funkció van
és
:

.

Keresse meg a korlátokat Bernoulli Lopital szabály alkalmazásával:

de)
; b)
; ban ben)
.

Döntés.de) ;

ban ben)
.

Alkalmazza az identitást
. Azután

6. feladat.Dana funkció
. Megtalálni , ,
.

Döntés.Termékszármazékokat találunk.

Teljes differenciálmű
A képlet alapján számítva:

.

Válasz:
,
,
.

7. feladat. Megkülönböztetése:

Döntés. de)A komplex függvény származéka a képlet:

;
;

Válasz:

b) ha a funkciót implicit módon az egyenlet határozza meg
, Magánszármazékai a képleteken vannak:

,
.

,
,
.

;
.

Válasz:
,
.

8. feladat. Helyi, feltételes vagy globális szélsőséges funkciók megtalálása:

Döntés. de) Meg fogjuk találni a funkció kritikus pontjait, megoldani az egyenletek rendszerét:

- kritikus pont.

Elegendő extrém körülményeket alkalmazzon.

Meg fogjuk találni a második magánszármazékokat:

;
;
.

Meghatározó (diszkriminancia):

Mivel
, majd az M 0 (4; -2) pontnál a funkció maximális.

Válasz: z max \u003d 13.

b)
, feltéve, hogy
.

A Lagrange funkciójának összeállítása, a képlet alkalmazása

- ez a funkció,

Kommunikációs egyenlet. csökkenthető. Azután. Bal oldali és jobb oldali határok. Tételek ... Dokumentum

... DifferenciálisSZÁMÍTÁSFunkciókEgyVáltozó 6 § 1. FUNKCIÓEgyVáltozó, Alapvető fogalmak 6 1. Definíció funkciókegyváltozó 6. További feladatok funkciók 3. Tárgy és fordított funkciók 7. Elemi funkciók 8. § 2. Limit Funkciók ...

Matematika 3. rész Differenciálási funkciók különböző változók különböző egyensúlyi egyenletek

Tutorial

Matematika. 4. rész. Differenciálisszámításfunkciókszámosváltozók. Differenciális egyenletek. Sorok: képzés ... Matanaliz "," Differenciálisszámításfunkciókegyváltozó " és "integrál számításfunkciókegyváltozó ". Célok és ...

Bevezetés a matematikai elemzésbe

1. Állítsa be a feladatokat. Quantizon. Műveletek a készleteken (társulás, metszéspont, különbség), tulajdonságaik. A szám modulja, tulajdonságai. Cartesovo termékkészlet. A készletek arca. Számlák és számíthatatlan készletek.

2 .. Funkciók, feladatuk módszerei, besorolás.

3. A pont szomszédsága. Szekvencia határ. Bolzano-Cauchi és Weierstrass tételei (bizonyíték nélkül). Meghatározza a heine funkció határát.

4. Egyirányú határértékek. Szükséges és megfelelő feltételek a határ fennállásához. A határ geometriai jelentése.

5. A Cauchy folyamatos érvének működésének meghatározása, amikor és.

6. Végtelenül kicsi és végtelenül nagy funkciók, a köztük lévő kapcsolat. Végtelenül kis funkciók tulajdonságai.

7. A függvény ábrázolására vonatkozó tételek, mint a határérték és a végtelenül kis funkciók.

A tételek a határértékekről szólnak (Tulajdonságok).

8. Középfunkciós tétel. Az első csodálatos határ.

9. A második csodálatos limit, annak indoklása, a pénzügyi számítástechnika alkalmazásában.

10. A végtelenül kis funkciók összehasonlítása.

11. A függvény folytonossága a ponton és a szegmensen. Folyamatos funkciókra vonatkozó intézkedések. A fő elemi funkciók folytonossága.

12. A folyamatos funkciók tulajdonságai.

13. Fényes funkciókpontok.

Az egyik változó funkcióinak differenciálszámítása

14. Származtatási funkció, geometriai és mechanikai jelentése.

15. A funkció folyamatosságának és a funkció közötti különbség. Közvetlenül talál egy származékot.

16. A funkciók megkülönböztetésének szabályai.

17. A képletek kimenete a trigonometrikus és inverz trigonometrikus funkciók differenciálódásához.

18. A logaritmikus és indikatív funkciók differenciálódási formuláinak kimenete.

19. A hatalom és a jelentős teljesítményű funkciók differenciálódási formuláinak következtetése. Táblázatszármazékok. Magasabb megrendelések származékai.

20. A funkció rugalmassága, geometriai és gazdasági jelentése, tulajdonságai. Példák.

21. Egy változó differenciálmű funkciója. Meghatározás, létezés feltételei, geometriai jelentés, tulajdonságok.

22. Egy változó differenciálmű funkciójának alkalmazása hozzávetőleges számításokhoz. Magasabb rendelések differenciálása.

23. Roll tétel, geometriai jelentése, felhasználása példái.

24. Lagrange tétel a funkció végső növekedésén, geometriai jelentése.

25. Cauchy tétel a differenciálható funkciókról.

26. Lopital szabály, a határértékek megtalálása során a bizonytalanságok közzétételére való felhasználása.

27. Taylor formula. Maradék tag Lagrange és Peano formájában.

28. Maclorena formula, maradék tagja. Az elemi funkciók bomlása.

29. Maclorena formula, annak használata, hogy megtalálja a korlátokat és kiszámolja a funkciók értékeit.

30. Monoton funkciók. Szükséges és elegendő jelei a funkció monotónia.

31. Helyi extrém funkció. Szükséges jel a Extredum funkció.

32. Az extremum funkció első és második megfelelő jelei.

33. A dudor megfelelő jellemzője, a funkció grafikájának alsó része.

34. Szükséges és elegendő jelei az inflexiós pont fennállásáról.

35. A függvény grafikájának aszimptotái. Általános kutatási rendszer Funkció és építési grafika.

Különböző változók funkcióinak differenciáljelzése

36. Többféle változó funkció, meghatározása, szintvonal és szintfelület.

37. A Cauchy számos változó működésének határértékének meghatározása. A határértékek tulajdonságai.

38. Végtelenül kis funkciók. A több változó funkciójának folytonosságának meghatározása. Pontok és vonalak a szünet. A folyamatos funkciók tulajdonságai.

39. Több változó magánjellegű lépések és magánszármazékai. A magánszármazékok megtalálásának szabálya. A magánszármazékok geometriai jelentése.

40. A szükséges feltételek Több változó funkciójának differenciálhatósága. Példák a differenciálható és folyamatos funkciók kapcsolatára.

41. A különböző változók funkciójának megfelelő eltérési feltételei.

42. Több változó teljes differenciálási funkciója, annak meghatározása.

43. A számos változó teljes differenciáljának használata hozzávetőleges számításokhoz.

44. Magánszármazékok és dip-rendkülönbségek.

45. A különböző változók összetett funkciójának részleges származékai.

46. \u200b\u200bAz implicit módon meghatározott változók részleges származékai.

47. Az irányban több változó származtatott funkciója.

48. Több változó gradiens funkciói, tulajdonságai.

49. Taylor formula több változó funkciójához.

50. A két változó helyi extrém funkciójának szükséges és megfelelő jellemzői.

51. Számos változó feltételes extraum funkciója. Lagrange multiplikátorok módszere.

52. A feltételes szélsőség megfelelő jele. Több változó abszolút extraum funkciója.

53. A legkisebb négyzetek módszere.

Különböző változók funkciójának differenciáli kalkulusa

Alapvető definíció és koncepció.

1. A két változó funkciójának képe, a definíció mezője és a funkció megváltoztatása.

2. Részleges származékok, geometriai jelentése.

3. A magasabb megrendelések származékai.

4. Két változó differenciál működése, hozzávetőleges számítások a differenciálművel.

5. Tanner sík és normál felület.

Változó zhttps: //pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif "width \u003d" 13 "magasság \u003d" 13 "\u003e g Törvény szerint (szabály) f. : (x., y.) → z. (Z. = f.(x., y.) ) A kölcsönösen egyértelmű megfelelés megállapításra kerül.

Sok G. hívott funkciómeghatározási terület z. = f.(x., y.) És jelöli

Sok Z. hívott funkcióváltási terület z. = f.(x., y.) És jelöli E (z.).

A két változó funkciója kijelölhető:

de)kifejezetten z = f.(x., y.); z. = φ (x., y.); Z. = z.(x., y.);

b.) implicit formában F.(x., y., z.(x., y.))=0.

Ha egy ( x0, U0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif "width \u003d" 76 magasság \u003d 24 "magasság \u003d" 24 "\u003e; E (z.) ≥ 0.

Menetrend funkciók A változók szelleme a tér felülete .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif "Width \u003d" 83 "Magasság \u003d" 29 "\u003e ábrázolják a síkot hou.

a funkciók meghatározásának számos pontja.

1) A független változók funkciójának és pároknak való megfelelés szabálya (szabály) z. = f.(x., y.) - logaritmikus, így (x - y)\u003e 0,azaz x\u003e y. Tartomány - Sok pontsík hou.egyenesen fekszik y \u003d x., nem beleértve a közvetlen pontokat, így azt egy pontozott vonal ábrázolja.

Változás terület A funkcionális függőség törvénye szerint z. .

2) A törvény (szabály) megfelelés z. = f.(x., y.) ,

így (Y - X2) ≥ 0,azaz ≥ x2. Tartomány –

sok pontsík hou.fekvő

parabola ≥ x2beleértve a pontokat

parabola (határterület). Változás terület által

törvényi funkcionális függőség z. ≥ 0.

A két változó funkciói és geometriai jelentése magánszármazékainak meghatározása.

Részleges származékok funkciók z \u003d. f.(x, y) a kapcsolatok nyereségeinek határai z. = z.(x, y) az iránymutatások megfelelő argumentumának növekedéséhez oh vagy ou -ért Δ x → 0. és Δ u → 0.illetőleg:

Privát származék x:

a kiszámításkor X \u003d CONST.

Mértanilag

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif "Width \u003d" 108 "Magasság \u003d" 24 "\u003e Hol α - A tengely irányába tartozó tangens szöge a tengely irányába;

Hol β - Az ou tengely irányával a felületre a felületre.

Differenciálási szabályok és táblázatszármazékok egy változó funkciói Teljesen becsületes Két és több változó függvényében.

Két változó függvényében z. = f.(x, y) van két

az első rendű magánszármazékok : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif "szélesség \u003d" 89 "Magasság \u003d" 44 SRC \u003d "\u003e, amelyek szintén két változó funkciói, és differenciálhatók váltakozással h.és y Keressen négyet másodrendű magánszármazékok :

Vegye figyelembe, hogy vegyes származékok a magasabb megrendelések egyenlőek (SCHWARTZ THEOREM): Különböző származékok vannak

második sorrend - Három :,.

Harmadik származékok két változó függvényében ( z. = f.(x, y)) - nyolc: de közülük különbözőek - négy, mivel a vegyes származékok bármilyen sorrendben eltérőek:

Keresse meg az első származékokat:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif "Width \u003d" 139 "Magasság \u003d" 27 "\u003e Megtaláljuk a második vegyes származékokat:

látjuk, hogy ez, ellenőrizte Schwarz tételét, és megmutatta.

Differenciál és geometriai jelentése. Hozzávetőleges számítások a differenciálművel. Tangens sík és normál felület.

Teljes differenciálmű z \u003d. f.(x, y) a funkció növekményének lineáris része (a tangens síkhoz a felületre a pontig (x0; u0)):

Ezt a képletet a függvény közelítő számítására használják a ponton.

például, ki kell számolnia a funkció értékét, ahol

= 1.02 = 1 + 0.02 , de u0. = 2.97 = 3 - 0.03 : Vegyük h.= 1 és a y \u003d 3.;

per Δ h. és Δ w. választania kell Δ x \u003d 0,02 és Δ y \u003d - 0,03hogy a számítási hiba lesz a legkisebb (ebben a példában Δ w.válasszon értéket Δ y \u003d 0,97és a y \u003d 2,a pont képviselete u0 \u003d 2.97 =2 + 0,97).

2. példa. Számítsa ki az értéket https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif "width \u003d" 79 "magasság \u003d" 33 "\u003e, és vegye figyelembe, hogy a pontszám kiszámításához szükséges x0 \u003d 0,98; U0 \u003d 1.05.

Kihasználjuk a különbséggel történő kiszámításának lehetőségét. Képzeld el a pontot x0 \u003d 0,98 \u003d 1 - 0,02; U0 \u003d 1,05 \u003d 1 + 0,05És jelöli x \u003d 1; y \u003d 1; Δх \u003d - 0,02; ΔU \u003d 0,05.

Kiszámítja a magánszármazékokat \u003d; . Azután.

És kiszámítja

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif "width \u003d" 376 "magasság \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Számolja ki ezt az értéket a számológépen, kapunk https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif "width \u003d" 192 magasság \u003d 48 "magasság \u003d" 48 "\u003e 0,0003 .

A különbség definíciójából még mindig kiemelheti. geometriai jelentés.

Ha egy A (x, y) https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif "width \u003d" 13 "magasság \u003d" 13 "\u003e síkZ.(x., y.) = z.(A.) + a.(x.- xa.) + b.(y.- ya.), és a funkció grafikonjának felülete a pont szomszédságában lévő síkhoz illeszkedik A (x, y)Ezután egy ilyen síknak hívják tangenciális felületi sík Ezen a ponton.
Vagy a tangens sík egyenlete a (X-HA) +b.(U-UA) + (- 1) (z.- za.)=0 és normál vektor neki, aki úgy gondolja normál vektor a felületre pontosan A (x, y).