A tétel szerves integráljának cseréje. Változó cseréje határozatlan integrált
Ebben a leckében megismerjük az egyik legfontosabb és leggyakoribb technikát, amelyet a bizonytalan integrálok megoldása során használunk - a változó cseréjével. A sikeres anyagfejlesztéshez a kezdeti tudás és az integrációs készségek szükségesek. Ha az integrált kalkulusban üres teljes vízforraló érzés van, akkor először meg kell ismernie az olyan anyagot, ahol megfizethető formában magyaráztam, ami integrált és szétszerelte részletesen az alapvető példákat a kezdők számára.
Technikailag a változó egy határozatlan integrált cseréjének módját kétféleképpen hajtják végre:
- a funkció megjelölése alatt a funkció összegzése;
- A változó helyettesítése.
Tény, hogy ugyanaz, de a megoldás kialakítása másképp néz ki.
Kezdjük egyszerűbb esetet.
A függvény összegzése a differenciáljelek jele alatt
A leckében Bizonytalan integrált. Példák megoldásokramegtanultuk, hogy közzétesszük a különbséget, emlékeztetem egy példát, hogy vezette:
Vagyis a differenciálosságot ismerteti - hivatalosan szinte ugyanolyan, mint a származék megtalálása.
1. példa.
Végezze el az ellenőrzést.
Az integrált asztalra nézünk, és hasonló képletet találunk: 
. De a probléma abban rejlik, hogy a szinusz alatt nem csak egy bükk "x", hanem összetett kifejezés. Mit kell tenni?
A funkciót a különbség jele alatt adjuk meg:
A különbség megnyitása, könnyű ellenőrizni, hogy: 
Igazából én. 
- Ez ugyanaz a rekord.
De mégis, az a kérdés maradt, és hogyan jött az ötlet, hogy az első lépésben meg kell írni a szerves ezt az utat: 
? Miért tehát másképp?
Képlet 
(és minden más táblázatos képlet) érvényes és alkalmazható nem csak egy változó, hanem bármilyen összetett kifejezésre, ha csak egy argumentum funkció(- példánkban) És a differenciáljel alatti kifejezés volt Ugyanaz
.
Ezért a megoldás mentális érvelését erre kell fordítani: "Meg kell oldanom az integrálat. Megnéztem az asztalra, és hasonló formulát találtam 
. De nem tudom használni a komplex argumentumot, és nem tudom használni a képletet. Azonban, ha sikerül kapok kapni és a differenciál jele alatt, akkor minden rendben lesz. Ha írok, akkor. De a multiplikátor-hármas kezdeti integráljában tehát, így az integrand nem változik, meg kell húznom. " Körülbelül ilyen mentális érvelés és rekord születnek:
Most használhatja a táblázatos formulát 
:
Kész
Az egyetlen különbség, nincsenek "X" betű, de összetett kifejezés.
Végezze el a csekket. Nyissa meg a derivatívák táblázatát, és megkülönböztesse a választ: 
A kezdeti integrand funkciót kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen megtalálható.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az ellenőrzés során egy komplex funkció differenciálódási szabályát alkalmaztuk. 
. Tény, hogy összefoglalja a funkciót a differenciál és a 
- Ezek két kölcsönösen fordított szabály.
2. példa.
Elemezzük az integrand funkciót. Itt van egy töredékünk, és a nevezőn egy lineáris függvény (az "xom" első fokon). Megnézzük az integrált asztalra, és megtaláljuk a leginkább így: 
.
A funkciót a különbség jele alatt adjuk meg: 
Azok, akik nehezen tudják azonnal kitalálni, hogy mennyit kell idegesíteni, gyorsan közzéteszi a differenciálást a tervezetben :. Igen, kiderül, ez azt jelenti, hogy semmi sem változott, szükségem van az integrálra.
Ezután használjuk a táblázatot 
:
Jelölje be: 
A kezdeti integrand funkciót kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen megtalálható.
3. példa.
Talál egy határozatlan integrál. Végezze el az ellenőrzést.
4. példa.
Talál egy határozatlan integrál. Végezze el az ellenőrzést.
Ez egy független megoldás példája. A válasz a lecke végén.
Az integrálok megoldásának bizonyos tapasztalatainkkal az ilyen példák egyszerűnek és klikájúnak tűnnek, mint a dió:
Ennek a bekezdésnek a végén szeretnék maradni a "töltés" eseten is, ha a lineáris függvényváltozó egyetlen együtthatóval rendelkezik, például:
Szigorúan a döntésnek így kell kinéznie:
Amint láthatod, összefoglalja a funkciót a differenciál jele alatt a "fájdalommentes" elbeszélés nélkül, narrák nélkül. Ezért a gyakorlatban ilyen hosszú döntés gyakran elhanyagolják és azonnal leírják ezt 
. De szükség esetén készüljenek el, magyarázd el a tanárnak, ahogy megoldottad! Mivel az asztalom integrálja valójában nem.
Módszer egy változó helyreállítására egy határozatlan integrált
Az általános eset figyelembevételével - a változók cseréje határozatlan integrált.
5. példa.
Talál egy határozatlan integrál.
Például vettem az integrált, amit a lecke kezdetén vettem figyelembe. Ahogy már beszéltünk, megoldani az integrált, táblázatos képletet 
, És szeretném elérni.
A csere módszer ötlete az, hogy Összetett expresszió (vagy valamilyen funkció) cserél egy betűt.
Ebben az esetben azt sugallja:
A második legnépszerűbb levél a levél a levél.
Elvileg más betűk is használhatók, de továbbra is tartunk a hagyományokhoz.
Így: 
De ha cseréljük! Valószínűleg sokan kitalálta, hogy ha az átmenetet egy új változó végezzük, majd az új integrált, mindent meg kell kifejezni a levelet, és nincs helye másképp van.
Logikus következtetést követ, amire szüksége van forduljon egy bizonyos kifejezésre, amely csak attól függ.
Következő cselekvés. Miután felvettük a cserét, ebben a példában meg kell találnunk a különbséget. A differenciálásokkal azt hiszem, a barátság már létrejött.
Azóta
A különbség szétszerelése után a végeredmény a lehető legrövidebb időn belül írja le:
Most az arány szabályai szerint megadjuk a szükséges minket:
Végül is: 
Ily módon: 
És ez már a leginkább, hogy sem van táblázatos integrál 
(Az integrált táblázat természetesen mindkét változó esetében érvényes).
Összefoglalva, továbbra is ki kell cserélni. Emlékezz arra.
Kész.
A figyelembe vett példa véges kialakítása úgy néz ki, mint ez:
“
Cseréljük: 
“
Az ikon nem visel semmilyen matematikai jelentést, azt jelzi, hogy megszakítottuk a köztes magyarázatok megoldását.
A notebook példaként való alkalmazásakor a hátrameneti jelölést egy egyszerű ceruzával készítik.
Figyelem! A következő példákban a különbségek megkeresésére nem kerülnek részletesen.
És most itt az ideje, hogy emlékezzen az első megoldásra: 
Mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Ez valójában ugyanaz. De a munkahelyi tervezés szempontjából, a módszer összefoglalja a funkciót a differenciál jele alatt - sokkal rövidebb.
A kérdés merül fel. Ha az első út rövidebb, akkor miért használja a csere módszert? Az a tény, hogy számos integrált esetében nem könnyű "illeszkedni" a funkció a differenciál jele alatt.
6. példa.
Talál egy határozatlan integrál. 
Cseréljük: (egy másik csere nehezen jön ide) 
Amint láthatja, a csere eredményeként a kezdeti integrált sokkal egyszerűsített - ez egy közös energiafunkciógá vált. Ez a csere célja - az integrált egyszerűsítése.
A lusta fejlett emberek könnyen megoldani ezt az integrált módszert a differenciáljelek összegzésére: 
Egy másik dolog az, hogy egy ilyen döntés nyilvánvaló, hogy nem messze van minden diák számára. Ezenkívül ebben a példában egy eljárás használata a differenciálmű jele alatt álló funkció összegzésére jelentősen növeli a megoldás során zavaros kockázatot.
7. példa.
Talál egy határozatlan integrál. Végezze el az ellenőrzést.
8. példa.
Talál egy határozatlan integrál. 
Csere:
Továbbra is megtudja, mi fog fordulni 
Nos, kifejeztük, de mit tegyünk a "xom" -val a számlálóban?!
Időről időre az integrálok megoldása során a következő trükk találhatók: ugyanabból a csereből fogunk kifejezni! 
9. példa.
Talál egy határozatlan integrál.
Ez egy független megoldás példája. A válasz a lecke végén.
10. példa.
Talál egy határozatlan integrál.
Bizonyára néhányan észrevették, hogy a referenciatáblán nincs szabály a változó cseréjére. Tudatosan tette. A szabály hozzájárulna a magyarázat és a megértés zavartságához, mivel a fenti példákban nem jelenik meg kifejezetten.
Itt az ideje, hogy elmondja a változó csere módszer használatának fő hátterét: az integrandban valamilyen funkciónak és származékának kell lennie:(funkciók, talán nem a munkában)
Ebben a tekintetben, amikor integrálokat találsz, gyakran szükség van a derivatívák táblázatára.
Ebben a példában észrevehetjük, hogy az egységenkénti számláló mértéke kisebb, mint a denominátor mértéke. A derivatívák táblázatában olyan képletet találunk, amely csak egységenkénti fokozatot biztosít. És ez azt jelenti, hogy ha a nevezőt jelöli, akkor az esélye nagyszerű, hogy a számláló valami jóvá válik.
A változó cseréjével kiszámíthatja az egyszerű integrálokat, és egyes esetekben egyszerűsíti a bonyolultabb számítását.
A változó csere módja az, hogy az eredeti integrációs változóból származunk, hagyjuk, hogy X legyen, menjen egy másik változóra, amelyet T jelölnek. Ugyanakkor úgy véljük, hogy az X és T változók az X \u003d X arányhoz kapcsolódnak (t), vagy t \u003d t (x). Például x \u003d ln t., x \u003d sIN T., T \u003d. 2 x + 1stb. Feladatunk az, hogy az X és T közötti függést úgy válasszuk ki, hogy az eredeti integrált a táblázatosságra csökkenjen, vagy egyszerűbbé váljon.
Alapváltozó csere formula
Tekintsük az integrált jel alatt álló kifejezést. Ez az integrand funkció munkájából áll, amelyet f (x) és DX Differenciál :. Menjünk az új változóhoz, ha az X \u003d X arányt választjuk (t). Ezután kifejezzük az F függvényt (x) és DX Differenciál V változtatóval.
Az integrand funkció kifejezése f (x) Egy t változón keresztül csak a X \u003d X változó helyett helyettesíti a helyettesítőt (t).
A differenciál transzformáció az alábbiak szerint történik:
.
Vagyis a DX differenciálnak megegyezik az X termékével T-származékkal a DT differenciálon.
Azután
.
A gyakorlatban leggyakrabban az a helyzet, amelyben cserélünk, és egy új változót választunk a régi: t \u003d t függvényként (x). Ha kitaláltuk, hogy az integrand funkció képviselhető
,
ahol t ' (x) - ez az x származéka x, akkor
.
Tehát a változó cseréjére szolgáló alapvető képlet két típusban ábrázolható.
(1)
,
ahol X jelentése t.
(2)
,
ahol t az x-től.
Fontos jegyzet
Az integrált táblázatokban az integrációs változó leggyakrabban x. Azonban érdemes megfontolni, hogy az integrációs változó bármely betűvel jelölhető. Továbbá, mivel az integrációs változó bármilyen kifejezés lehet.
Például, vegye figyelembe a táblázatos integrálokat
.
Itt x helyettesíthető bármely más változóval vagy funkcióval a változóból. Íme példák a lehetséges lehetőségekre:
;
;
.
BAN BEN az utolsó példa Emlékeztetni kell arra, hogy az X integrációs változóra való áttéréskor a különbséget a következőképpen alakítják át:
.
Azután
.
Ebben a példában a helyettesítés integrációjának lényege lezárul. Vagyis meg kell kitalálnunk
.
Ezt követően az integrált az asztalra kerül.
.
Ezt az integrált kiszámíthatja, ha a változó helyettesíti a képletet (2)
. T \u003d x 2 + X.. Azután
;
;
.
Példák a változó csere integrálására
1)
Kiszámítja az integrált
.
Ezt észleljük (Sin x) '\u003d cos x. Azután
.
Itt alkalmaztunk helyettesítést t \u003d sIN X..
2)
Kiszámítja az integrált
.
Ezt észleljük. Azután
.
Itt befejeztük a t \u003d változó cseréjének integrációját arctg X..
3)
Integrált
.
Ezt észleljük. Azután
. Itt, amikor integrálódik, a változó t \u003d x 2 + 1
.
Lineáris szubsztitúciók
Talán a leggyakoribbak a lineáris szubsztitúciók. Változó típus cseréje
t \u003d ax + b,
ahol A és B állandó. Ilyen csere esetén a különbségek a kapcsolathoz kapcsolódnak
.
Példák a lineáris szubsztitúciók integrációjára
A) Kiszámítja az integrált
.
Döntés.
.
B) Integráljon
.
Döntés.
Az indikatív funkció tulajdonságait használjuk.
.
ln 2. - Ez állandó. Kiszámítja az integrált.
.
C) Kiszámítja az integrált
.
Döntés.
Adunk egy négyzet alakú polinomot a denomoter denomoterben a négyzetek összegéhez.
.
Kiszámítja az integrált.
.
D) Integráljon
.
Döntés.
A gyökér alatt egy polinomot konvertálunk.
.
A változó csere módszerrel integráljuk.
.
Korábban van egy képletünk
.
Innen
.
Ezt a kifejezést helyettesítjük, megkapjuk a végső választ.
E) Kiszámítja az integrált
.
Döntés.
Alkalmazza a sinus és a cosine munkájának képletét.
;
.
Integráljuk és helyettesítjük a helyettesítéseket.
.
Referenciák:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, a magasabb matematika feladatainak gyűjtése, "LAN", 2003.
Sanguine és tulajdonságai
Az (A; B) f primitív függvényt úgy nevezik, hogy olyan F (x) függvénynek nevezzük, amelyet a megadott rés bármelyikéből elvégezünk.
Ha figyelembe veszi azt a tényt, hogy az állandó C származéka nulla, akkor az egyenlőség helyes 
. Így, az f (x) számos primitív f (x) + c, egy tetszőleges C konstans, és ezek az első alakú különböznek egymástól egy tetszőleges konstans érték.
Proph-alakú tulajdonságok.
Ha az F (x) függvény az x intervallum f (x) primitív funkciója, akkor az F (x) + C függvény, ahol C jelentése tetszőleges állandó, szintén primitív az F (X) esetében is.
Ha az F (x) függvény az x \u003d (a, b) intervallum f (x) függvényében primitív, akkor bármely más primitív f1 (x) f1 (x) \u003d f (x) + C, ahol c állandó funkció.
2 határozatlan integrált meghatározása.
Az összes F (X) elsődleges funkciót bizonytalanított integráltnak nevezik, és feltüntetik 
.
A kifejezést koncentrációjú kifejezésnek nevezik, és f (x) - az integrand funkció. Az integrand az F (x) differenciálfunkció.
Az ismeretlen funkciót az adott differenciálnak megfelelően bizonytalan integrációnak nevezik, mert az integráció eredménye nem egy f (x) függvény, hanem primitív f (x) + c.
határozatlan integrált (primitív tulajdonságok) tulajdonságai.
Az integrációs eredmény származéka megegyezik az integrand funkcióval.
A differenciálfunkció határozatlan integrálja megegyezik a funkció összegével és tetszőleges állandóval.
ahol K jelentése önkényes állandó. A koefficiens egy meghatározatlan integrált jele.
A funkciók összegének / különbségének határozatlan integrálja megegyezik a funkciók bizonytalan integrált összegével / különbségével.
Változó cseréje határozatlan integrált
A változó cseréje Egy határozatlan integrált, két faj helyettesítése:
a) ahol az új változó monoton, folyamatosan differenciálható funkciója. A változó felváltásának képlete ebben az esetben:
Ahol u egy új változó. Csere-képlet változó ilyen helyettesítéssel:
Integráció az alkatrészekben
Integrált képlet keresése 
Varázslatos integráció az alkatrészekben. Itt u \u003d u (x), υ \u003d υ (x) folyamatosan differenciálható funkciók x. Ezzel a képlet alkalmazásával az integrált csökkentésre kerül egy másik integrált megtalálásához. Alkalmazása megfelelő olyan esetekben, amikor az utolsó integrál könnyebb a kezdeti vagy hasonló.
Ugyanakkor egy ilyen funkciót a differenciálás során egyszerűsítik, és a du az integrand része, az integrált, amelyről ismert vagy megtalálható.
Formula Newton Labitsa
A specifikus integrált folytonossága a felső határ függvényében
Ha az Y \u003d F (x) függvény integrálódik a szegmensre, nyilvánvalóan az [A, X] tetszőleges szegmensként integrálódik. Funkció 
,
ahol az x î-t egy változó felső határértékűnek nevezik. Az X (X) függvény értéke az x ponton megegyezik az S (x) területével az Y \u003d F (x) görbe alatt az [A, X]. Ez az integrált geometriai jelentése a változó felső határértékkel.
Tétel. Ha az F (x) függvény folyamatos a szegmensen, az F (x) függvény is folyamatos az [A, B].
Legyen Δh olyan, hogy x + δ x î. Van
A középső tétel esetében olyan érték van a î [x, x + δ x] -al, amely î-vel, és az F (x) függvény korlátozott, áthaladva a δ x → 0 határértékre,
ODR 1-th rendelés
Mi a különbség a többi du típusú homogén differenciálegyenletek között? Ez a legegyszerűbb módja annak, hogy azonnal megmagyarázzunk egy konkrét példát.
Megoldani a differenciálegyenletet
Mit kell először elemezni az első rendű eltérési egyenlet megoldásával? Először is meg kell vizsgálni, hogy lehetetlen-e azonnal megosztani a változókat az "iskola" műveletekkel? Általában az ilyen elemzés mentálisan vagy megosztani a változókat a tervezetben.
Ebben a példában a változók nem oszthatók meg (megpróbálhatod a zárójelek összetevőit, stb.). By the way, ebben a példában az a tény, hogy a változók nem oszthatók meg, nyilvánvaló, hogy egy multiplikátor jelenléte miatt nyilvánvaló
A kérdés merül fel - hogyan oldja meg ezt a diffurot?
Ellenőrizni kell, és nem homogén egyenlet? Az ellenőrzés egyszerű, és maga az ellenőrző algoritmus a következőképpen alakítható ki:
Az eredeti egyenletben:
X helyett az y helyett helyettesítjük a származtatott származékot: 
A lambda levél néhány absztrakt numerikus paraméter, ez nem a lambdahról szól, és nem az értékükben, de mi az, ami:
Ha az átalakulások eredményeképpen csökkenthető az összes "lambda" (vagyis az eredeti egyenlet beszerzése), akkor ez a differenciálegyenlet homogén.
Nyilvánvaló, hogy a lambda azonnal csökken egy mutatóban: 
Most a jobb oldalon tartjuk a lambdát zárójelben: 
Az egyenlet mindkét részét ezen a nagyon lambda-ra lehet csökkenteni: Ennek eredményeként minden lambdes eltűnt, mint egy álom, mint a reggeli köd, és megkaptuk az eredeti egyenletet.
Következtetés: Ez az egyenlet homogén
Lowe.-Általános SV-VA megoldások
ez egy lineáris relatív egy ismeretlen funkcióhoz képest. y. és származékai és. Az egyenlet együtthatók és jobb oldala folyamatos.
Ha az egyenlet jobb oldala, az egyenlet lineáris inhomogén. Ha az egyenletnek van az űrlapja
 | (9) |
És úgynevezett lineáris homogén.
Hagyja, hogy a (9) egyenletes megoldás mindegyike, vagyis nem tartalmaz tetszőleges konstansokat.
1. tétel. Ha a második sorrend lineáris homogén egyenletének privát megoldásai vannak, akkor ez az egyenlet megoldása is.
Mivel a (9) egyenlet (9), akkor ezt az egyenletet identitási, azaz
 és  | (10) |
A (9) egyenlet helyettesítése. Akkor van:
(10) alapján. Tehát az egyenlet kialakítása.
Tétel 2. Ha ez a második sorrend lineáris homogén egyenletének megoldása, és C.- A többi, ez az egyenlet megoldása is.
Bizonyíték. A (9) egyenlet helyettesítése. Kapunk: azaz az egyenlet kialakítása.
Corollary. Ha van egy megoldás a (9) egyenletre is, akkor ez a megoldás a tételek (1) és (2).
Meghatározás. Két oldatok és egyenletek (9) nevezzük lineárisan függő (a szegmens), ha az ilyen számokat lehet kiválasztani, és nem ugyanabban az időben nulla, hogy a lineáris kombinációja ezen megoldások azonosan egyenlő nullával a, azaz, ha a.
Ha lehetetlen választani ezeket a számokat, akkor megoldásokat, és lineárisan függetlennek nevezik (a szegmensen).
Nyilvánvaló, hogy a megoldások lineárisan függenek, és csak akkor, ha kapcsolatuk folyamatosan, azaz (vagy fordítva).
Valójában, ha az attól függően, ahol legalább egy állandó vagy eltérő a nullától. Hagyja például. Aztán kapok, azaz a kapcsolat folyamatosan.
Vissza, ha akkor 
. Itt az együttható, azaz eltér a nullától, amely definíció szerint azt jelenti, hogy lineárisan függenek.
Megjegyzés. A lineáris független megoldások és érvelés definíciójából felülmúlhatjuk, hogy ha inkább függetlenek, akkor a kapcsolatuk nem lehet állandó.
Például funkciók és mikor - lineárisan független, mivel 
, mint. De funkciók 5 x. és x.- Lanely függő, mint a hozzáállásuk.
Tétel. Ha és a lineáris homogén másodrendű egyenlet, lineáris kombinációjuk, ahol és -propable konstansok, az egyenlet általános megoldása.
Bizonyíték. Az 1. és 2. tétel (és ezek következményei) az egyenlet (9) megoldása állandó és állandó és.
Ha megoldások és függetlenebb, akkor általános megoldás, mivel ez a megoldás két tetszőleges állandót tartalmaz, amelyek nem csökkenthetők.
Ugyanakkor, ha lineárisan függő döntések, akkor már nem volt általános megoldás. Ebben az esetben, ahol α -állandó. Ahol az állandó. A másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása nem lehet, mivel csak egy állandóan függ.
Tehát az egyenlet általános megoldása (9):
19. Lineáris független funkciós rendszer csatlakoztatása. A VRonsky meghatározója. Elegendő feltétele a lineáris függetlenségnek. Az alapvető funkciók rendszer fogalma. Példák. Szükséges és elegendő feltétel a VRonsky nulla determinánsának megkülönböztetéséhez a szegmensen [A, B]
A lineáris független funkciók fogalma 
Funkciók 
lineárisan függenek attól, hogy az egyikük mások lineáris kombinációja. Más szavakkal, funkciók lineárisan függenek attól, hogy vannak olyan számok, amelyek közül legalább egy nem nulla, úgy, hogy
Ha az identitást (4) csak akkor végezzük, ha mindenki, akkor a funkciókat lineárisan függetlennek nevezik.
Rendszer lineárisan független a megoldások intervallumában
a homogén differenciálegyenlet a megrendelés (3) a folyamatos együtthatókkal az egyenletes megoldások alapvető rendszerének nevezik.
A lineáris homogén különböző rendezési egyenlet (3) megoldása folyamatos együtthatókkal meg kell találni az alapvető megoldási rendszert.
Az 1. tétel szerint a megoldások önkényes lineáris kombinációja, azaz azaz
, (5)
hol - önkényes számok, viszont az egyenlet (3) megoldása. De kiderül, hogy vissza minden olyan megoldás a differenciálegyenlet (3) intervallumban van némi lineáris kombinációja a megadott (független) a privát megoldásokat (lásd alább tétel 4) alkotó alapvető megoldásokat rendszert.
Így a homogén differenciálegyenlet (3) általános oldata (5), ahol - tetszőleges állandók, egy magán megoldások (3), amely egy homogén egyenletes megoldási megoldást képez.
Vegye figyelembe, hogy az inhomogén egyenlet általános oldata (1) a magánoldat és általános megoldás Egységes egyenlet
. (6)
Valóban,
.
Másrészt, ha van egy tetszőleges egyenlet (1), akkor
és ezért van egy homogén egyenlet megoldása; De akkor vannak olyan számok, amelyek
,
azaz e-egyenlőséget (6) végezünk ezekhez a számokhoz.
A VRonsky meghatározója.
Tétel 2. Ha funkciók lineárisan függ és származékos származékai -o, majd a meghatározó
. (7)
én
A meghatározó (7) a VRonsky vagy Vronoskan determinánsnak nevezik, és a szimbólum jelzi 
.
Bizonyíték. Mivel funkciók Lineárisan függ, akkor nincsenek mindegyik egyenlő nulla azok száma, amelyekben az identitás (4) végrehajtásra kerül. Megkülönböztetve egyszer, megkapjuk az egyenletek rendszerét
Ez a homogén rendszer az állapot alatt van egy nem triviális megoldás (azaz legalább egy). Ez utóbbi lehetséges, ha a rendszer meghatározója, amely a VRonsky meghatározója, azonos nulla. A tétel bizonyítható.
Megjegyzés. A 2. tétel azt jelenti, hogy ha legalább egy ponton, akkor a funkciók lineárisan függetlenek.
2. példa A funkciók lineárisan függetlenek, mint
.
3. példa Lineárisan független, ha különböző számok vannak (érvényesek vagy összetettek).
Valóban.
,
mivel az utolsó meghatározó a vandermond meghatározója, amely nem egyenlő nulla.
4. példa Funkciók 
lineárisan független.
Mint én.
ezeknek a funkcióknak a lineáris függetlensége a második példából következik.
3. tétel A megoldások érdekében 
A lineáris differenciál egyenletes egyenlet a folyamatos együtthatókkal lineárisan független volt, mindenki számára szükséges és elég.
Bizonyíték. 1) Ha be van kapcsolva, akkor funkciók Hasonlóan függetlenül, függetlenül attól, hogy azok az egyenlet megoldásai, vagy sem (lásd a megjegyzést).
2) Legyen lineárisan független funkciók, és az egyenlet megoldásai.
Bizonyítjuk, hogy mindenütt. Tegyük fel az ellenkezőjét, hogy van egy pont, amelyben van. Válassza ki azokat a számokat, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nulla, így rendszeroldatok
(8)
Ez meg lehet tenni, mert a rendszer determináns (8). Ezután a Theorem 1 funkció alapján 
Ez egy megoldás lesz a nulla kezdeti feltételekkel ((8))
De a triviális megoldás ugyanolyan feltételekkel rendelkezik. A létezés és az egyediség tételének köszönhetően a kezdeti feltételeknek megfelelő döntés csak akkor lehet, ezért a funkciók lineárisan függenek attól, ami nem feltételezhető. A tétel bizonyítható.
Ha az intervallumban vannak olyan funkciók, ahol megoldást keresünk, akkor az egyenletnek nincs olyan megoldása, amely megfelel az eredeti feltételeknek, majd lehetséges, hogy tovább.
5. példa A funkciók egyszerű ellenőrzése
lineárisan független és számukra.
Ez annak köszönhető, hogy a funkció 
az egyenlet általános megoldása
,
hol 
A ponton. Ehhez az egyenlet a létezés tétele és az egyediségének nincs helye (a pont szomszédságában). Nem csak egy függvény, hanem a függvény egy olyan differenciálegyenlet megoldása, amely megfelel a feltételeknek és a.
Az általános megoldás szerkezete.
énndeks.direct Minden bejelentés megoldása az egyenletek online! Számológép GYIK - Az egyenletek megoldása egy kattintással! Letöltés ingyen! LovioTvet.ru, aki Jézus hogyan lehet megtudni, hogy ki Jézus Krisztus valóban? Godlovesrussia.com
Tétel 4. Ha - lineárisan független a lineáris homogén differenciálegyenlet-egyenlet-egyenletes megoldásokon, folyamatos együtthatókkal 
, akkor funkció
, (9)
amennyiben - az önkényes állandók az egyenlet általános megoldása, vagyis az összeg (9) bármely esetben megoldást talál erre az egyenletre, és vissza, az egyenlet bármely megoldása a megfelelő összegek (9) értékek.
Bizonyíték. Már tudjuk, hogy az összeg (9) az egyenlet megoldása. Hagyja, vissza, tetszőleges megoldás erre az egyenletre. Tedd
A kapott számokért 
A viszonylag ismeretlen számok egyenleteinek lineáris rendszerét készítjük:, csak találjunk meg néhányat - igazi konstansokat. Az egyenlet általános megoldása (8) ezt megteszünk. Az egyenlet (8) jellemző egyenletét összeállítjuk :. A kezdeti feltételek használatával meghatározzuk
Fontolja meg a lineáris differenciálegyenletet n. Rendelés
y. (n.) + n. -1 (x.)y. (n.- 1) + ... + a. 1 (x.)y." + a. 0 (x.)y. = f.(x.).
folyamatos együtthatókkal n. -1 (x.), n. -2 (x.), ..., a. 1 (x.), a. 0 (x.) és folyamatos jog f.(x.).
Szuperpozíció elv A következők alapján a lineáris differenciálegyenletek megoldásainak tulajdonságai.
1. Ha y. 1 (x.) I. y. 2 (x.) - A lineáris homogén differenciálegyenlet két megoldása
y. (n.) + n. -1 (x.)y. (n.- 1) + ... + a. 1 (x.)y." + a. 0 (x.)y. = 0
ezután bármelyik lineáris kombinációjuk y.(x.) = C. 1 y. 1 (x.) + C. 2 y. 2 (x.) Ez a homogén egyenlet megoldása.
2. Ha y. 1 (x.) I. y. 2 (x.) - egy lineáris inhomogén egyenlet két megoldása L.(y.) = f.(x.) Ezután a különbségük y.(x.) = y. 1 (x.) − y. 2 (x.) homogén egyenlet megoldása L.(y.) = 0 .
3. A nem egységes lineáris egyenlet bármely megoldása L.(y.) = f.(x.) Van egy összeg bármely rögzített (magán) előállítása inhomogén egyenlet és néhány oldat homogén egyenlet.
4. Ha y. 1 (x.) I. y. 2 (x.) - lineáris inhomogén egyenletek megoldásai L.(y.) = f. 1 (x.) I. L.(y.) = f. 2 (x.), majd az összegüket y.(x.) =y. 1 (x.) + y. 2 (x.) egy inhomogén egyenlet megoldása L.(y.) = f. 1 (x.) + f. 2 (x.).
Általában ez az utolsó kijelentés szuperpozíció elv.
Állandó módosítási módszer
Tekintsük az inhomogén egyenlet -o-rendet
amennyiben az együtthatók és a jobb oldali rész a megadott folyamatos funkciók az intervallumon.
Tegyük fel, hogy ismerjük a megoldások alapvető rendszerét A megfelelő homogén egyenlet
Amint azt az 1.15.
Az inhomogén egyenlet (1) megoldása lehet
A helyettesítés integrálása (a változó cseréje). Számítsuk ki az integrált, amely nem táblázatos. A szubsztitúciós módszer lényege az, hogy az X változó integráltában cserélje ki a t változót az X \u003d C (t) általános képletű, ahonnan DX \u003d C "(T) DT.
Tétel. Hagyja, hogy az X \u003d C (t) függvényt határozzák meg és differenciáljunk egy bizonyos T-ben, és hagyjuk, hogy X legyen a funkció több értéke, amelyen az F (x) függvény definiálódik. Ezután ha az x beállított X függvényen f (x) primitív, akkor a képlet érvényes a SET T.
Az (1) képletet úgynevezett képletnek nevezzük, hogy változó egy határozatlan integrált.
Integráció az alkatrészekben. Az alkatrészek integrációs módszere a két funkció munkájának differenciálának képletéből következik. Legyen u (x) és v (x) az X változó két különböző funkciója. Azután:
d (UV) \u003d UDV + VDU. - (3)
Az egyenlőség mindkét részének integrálása (3), kapunk:
De azóta:
A (4) arányt az integrációs képletnek nevezzük részben. Ezzel a képlettel, az integrált. Javasoljuk, hogy alkalmazza azt, ha a (4) képlet jobb oldalán a (4) jobb oldali integrálja egyszerűbb kiszámításához, hanem az eredeti.
A (4) képletben nincs tetszőleges C konstans C, mivel egy tetszőleges állandó integrált integrált, amely tetszőleges konstans van ennek a képletnek a jobb oldalán.
Íme néhány általános típusú integrál, amelyet az integrációs módszerrel számítanak az alkatrészekben.
I. Az űrlap integrálja, (p N (x) - N, K-fokos polinomiális, néhány szám). Az integrálok megkereséséhez elegendő u \u003d pn (x), és alkalmazza a (4) általános képletet.
II. Az űrlap integrálja (PN (X) egy n relatív polinom fokozatú. Gyakran megtalálhatók, figyelembe véve egy olyan funkciót, amely a pn (x) tényező.
A változó cseréjét egy határozatlan integrálban, ha az integrálok olyan helyen találhatók, amelyekben az egyik funkció egy másik funkció származéka. Legyen integrálja a $ \\ int f (x) DX $ -t, cseréljük a $ x \u003d \\ phi (t) $ helyett. Ne feledje, hogy a $ \\ phi (t) $ funkció megkülönböztethető, így megtalálhatja a $ dx \u003d \\ phi "(t) dt $ -t.
Most helyettesítjük a $ megkezelést (vmatrix) x \u003d \\ phi (t) \\\\ dx \u003d \\ phi "(t) dt \\ end (vmatrix) $ -t az integrálra, és megkapjuk azt
$$ \\ int f (x) dx \u003d \\ int f (\\ phi (t)) \\ CDOT \\ PHI "(T) DT $$
Ez formula csere változó határozatlan integrált.
A változó cseréjének módjának algoritmusa
Így, ha a típus integrálja a feladatban: $$ \\ int f (\\ phi (x)) \\ cdot \\ phi "(x) DX $$ ajánlatos helyettesíteni a változót egy új: $$ T \u003d phi (x) $ $ $ $ dt \u003d \\ phi "(t) dt $$
Ezt követően az integrált a legfontosabb integrációs módszerek formájában jelenik meg: $$ \\ int f (\\ phi (x)) \\ cdot \\ phi "(x) dx \u003d \\ int f (t) dt $$
Nem kell elfelejteni, hogy visszaadja a helyettesített változót $ x $ -ra.
Példák megoldásokra
| 1. példa. |
|
Keressen egy határozatlan integráltat a változó cseréjével: $$ \\ int e ^ (3x) dx $$ |
| Döntés |
|
A változó cseréjét az integrált $ t \u003d 3x, dt \u003d 3dx $: $$ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ int e ^ t \\ frac (dt) (3) \u003d \\ frac (1) (3) \\ int e ^ t d dt \u003d $$ Az integrált kiállítók még mindig ugyanazok az integrációs táblázatnál, legalább a $ x $ írt $ t $ helyett: $$ \u003d \\ frac (1) (3) e ^ t + c \u003d \\ frac (1) (3) e ^ (3x) + C $$ Ha lehetetlen megoldani a feladatát, akkor küldje el nekünk. Részletes döntést hozunk. Megismerheti magát a számítás és az információk megtanulásával. Ez segíteni fogja a tanár idején! |
| Válasz |
| $$ \\ int e ^ (3x) dx \u003d \\ frac (1) (3) e ^ (3x) + C $$ |
