Párhuzamos terület, ha ismert a magasság és az alap. Párhuzam a feladatokban. A paralelogramma jellemző tulajdonságainak meghatározása tétellel
Paralelogramma Olyan négyszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak.
Ezen az ábrán a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek egymással. A paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást, és ez felezi őket. A paralelogramma terület képletei lehetővé teszik, hogy megtalálja az értéket oldalak, magasságok és átlók szerint. Speciális esetekben a paralelogramma is bemutatható. Téglalapnak, négyzetnek és rombusznak tekintik őket.
Először is vegyünk egy példát a paralelogramma területének kiszámítására a magasságban és az oldalon, amelyre le van engedve.
Ez az eset klasszikusnak számít, és nem igényel további vizsgálatot. Jobb, ha figyelembe vesszük a képletet a két oldal területének és a köztük lévő szög kiszámításához. A számítás során ugyanezt a módszert alkalmazzuk. Ha az oldalak és a köztük lévő szög adottak, akkor a területet a következőképpen számítjuk ki: 
Tegyük fel, hogy adtunk egy paralelogrammát, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, és a köztük lévő szög α = 30°. Keressük meg a területet: 
A paralelogramma területe átlókon keresztül
A paralelogramma területének képlete az átlók szempontjából lehetővé teszi az érték gyors megtalálását.
A számításokhoz szükség van az átlók közötti szög értékére.
Tekintsünk egy példát a paralelogramma területének az átlókon keresztül történő kiszámítására. Adjunk meg egy paralelogrammát D = 7 cm, d = 5 cm átlókkal, amelyek szöge α = 30 °. Helyettesítsük be az adatokat a képletbe: 
Egy példa a paralelogramma területének egy átlón keresztül történő kiszámítására kiváló eredményt adott - 8,75.
Ismerve a paralelogramma területének képletét az átlón keresztül, sok érdekes problémát megoldhat. Vessünk egy pillantást ezek közül.
Feladat: Kapsz egy paralelogrammát, amelynek területe 92 négyzetméter. lásd az F pont a BC oldalának közepén található. Keressük meg az ADFB trapéz területét, amely a paralelogrammánkban lesz. Kezdésként rajzoljunk le mindent, amit a feltételeknek megfelelően kaptunk.
Kezdjük a megoldással: 
Feltételeink szerint ah = 92, és ennek megfelelően a trapézunk területe egyenlő lesz 
Mi az a paralelogramma? A paralelogramma olyan négyszög, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.
1. A paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki:
\ [\ LARGE S = a \ cdot h_ (a) \]
ahol:
a paralelogramma a - oldala,
h a - az erre az oldalra húzott magasság.
2. Ha a paralelogramma két szomszédos oldalának hossza és a köztük lévő szög ismert, akkor a paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki:
\ [\ LARGE S = a \ cdot b \ cdot sin (\ alfa) \]
3. Ha a paralelogramma átlói adottak és a köztük lévő szög ismert, akkor a paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki:
\ [\ LARGE S = \ frac (1) (2) \ cdot d_ (1) \ cdot d_ (2) \ cdot sin (\ alfa) \]
A paralelogramma tulajdonságai
Egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek: \ (AB = CD \), \ (BC = AD \)
Egy paralelogrammában a szemközti szögek: \ (\ szög A = \ szög C \), \ (\ szög B = \ szög D \)
A metszéspontban lévő paralelogramma átlói feleződnek \ (AO = OC \), \ (BO = OD \)
A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja.
Az egyik oldallal szomszédos paralelogramma szögeinek összege 180 o:
\ (\ szög A + \ szög B = 180 ^ (o) \), \ (\ szög B + \ szög C = 180 ^ (o) \)
\ (\ szög C + \ szög D = 180 ^ (o) \), \ (\ szög D + \ szög A = 180 ^ (o) \)
A paralelogramma átlói és oldalai a következő összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz:
\ (d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 = 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \)
A paralelogrammában a magasságok közötti szög egyenlő a hegyesszögével: \ (\ szög K B H = \ szög A \).
A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögfelezők egymásra merőlegesek.
Egy paralelogramma két szemközti szögének felezőpontja párhuzamos.
Párhuzamos jelek
A négyszög paralelogramma, ha:
\ (AB = CD \) és \ (AB || CD \)
\ (AB = CD \) és \ (BC = AD \)
\ (AO = OC \) és \ (BO = OD \)
\ (\ szög A = \ szög C \) és \ (\ szög B = \ szög D \)
A Javascript le van tiltva a böngészőjében.A számításokhoz engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!
Négyzet geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus karakterisztikája, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.
Területképletek egy háromszöghez
- A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának az erre az oldalra húzott magasságával a szorzat felével - A háromszög területének három oldalán és a körülírt kör sugarának képlete
- A képlet a háromszög területére és a beírt kör sugarára
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával. ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R a körülírt kör sugara,
Négyzetes képletek területe
- Képlet egy négyzet területének oldalhosszával
Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével. - Képlet egy négyzet területének az átló hosszával
Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.S = 1 2 2 ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.
A téglalap területének képlete
- Téglalap terület egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával
ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.
Párhuzamos terület képletek
- A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság tekintetében
Párhuzamos terület - A paralelogramma két oldalán lévő területének és a köztük lévő szög képlete
Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.a b sin α
ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.
Rombusz terület képletek
- A rombusz területének képlete oldalhossz és magasság szerint
Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával. - A rombusz területének képlete oldalhossz és szög szerint
Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával. - A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével. ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.
Területi képletek trapézhoz
- Heron képlete a trapézhoz
ahol S a trapéz területe,
- a trapéz alapjainak hossza,
- a trapéz oldalsó oldalainak hossza,
Párhuzamos terület
1. tétel
A paralelogramma területét úgy határozzuk meg, mint az oldala hosszának és a ráhúzott magasságnak a szorzatát.
ahol $ a $ a paralelogramma oldala, $ h $ az erre az oldalra húzott magasság.
Bizonyíték.
Adjunk egy $ ABCD $ paralelogrammát, ahol $ AD = BC = a $. Rajzoljuk meg a $ DF $ és $ AE $ magasságokat (1. ábra).
1. kép
Nyilvánvaló, hogy a $ FDAE $ alakzat egy téglalap.
\ [\ szög BAE = (90) ^ 0- \ szög A, \ \] \ [\ szög CDF = \ szög D- (90) ^ 0 = (180) ^ 0- \ szög A- (90) ^ 0 = (90) ^ 0- \ szög A = \ szög BAE \]
Ezért, mivel $ CD = AB, \ DF = AE = h $, a $ I $ szerint a BAE = \ háromszög CDF $ háromszög. Azután
Ezért a téglalap területére vonatkozó tétel alapján:
A tétel bizonyítva van.
2. tétel
A paralelogramma területét úgy határozzuk meg, mint a szomszédos oldalak hosszának és az oldalak közötti szög szinuszának szorzatát.
Matematikailag ez a következőképpen írható fel
ahol $ a, \ b $ a paralelogramma oldalai, $ \ alfa $ a köztük lévő szög.
Bizonyíték.
Adjunk egy $ ABCD $ paralelogrammát, ahol $ BC = a, \ CD = b, \ \ szög C = \ alfa $. Rajzoljuk le a $ DF = h $ magasságot (2. ábra).
2. ábra.
A szinusz definíciója alapján azt kapjuk
Ennélfogva
Ezért az 1 $ tétel alapján:
A tétel bizonyítva van.
Egy háromszög területe
3. tétel
Egy háromszög területét úgy határozzuk meg, mint az oldala hosszának a ráhúzott magassággal szorzatának fele.
Matematikailag ez a következőképpen írható fel
ahol $ a $ a háromszög oldala, $ h $ az erre az oldalra húzott magasság.
Bizonyíték.
3. ábra.
Ezért az 1 $ tétel alapján:
A tétel bizonyítva van.
4. tétel
Egy háromszög területét úgy határozzuk meg, mint a szomszédos oldalai hosszának a fele az oldalak közötti szög szinuszával.
Matematikailag ez a következőképpen írható fel
ahol $ a, \ b $ a háromszög oldalai, $ \ alfa $ a köztük lévő szög.
Bizonyíték.
Adjunk meg egy $ ABC $ háromszöget, ahol $ AB = a $. Rajzoljuk le a $ CH = h $ magasságot. Építsük fel a $ ABCD $ paralelogrammára (3. ábra).
Nyilvánvaló, hogy a háromszögek egyenlőségének $ I $ kritériuma szerint $ \ háromszög ACB = \ háromszög CDB $. Azután
Ezért az 1 $ tétel alapján:
A tétel bizonyítva van.
Trapéz terület
5. tétel
A trapéz területét úgy definiáljuk, mint az alapjai hosszának és magasságának szorzatának fele.
Matematikailag ez a következőképpen írható fel
Bizonyíték.
Adjunk egy $ ABCK $ trapézt, ahol $ AK = a, \ BC = b $. Berajzoljuk a $ BM = h $ és $ KP = h $ magasságokat, valamint a $ BK $ átlót (4. ábra).
4. ábra.
Tétel szerint 3 dollárt kapunk
A tétel bizonyítva van.
Példa feladat
1. példa
Határozza meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, ha az oldalhossza $ a. $
Megoldás.
Mivel a háromszög egyenlő oldalú, minden szöge egyenlő $ (60) ^ 0 $.
Akkor a tétel szerint $ 4 $, megvan
Válasz:$ \ frac (a ^ 2 \ sqrt (3)) (4) $.
Vegye figyelembe, hogy ennek a feladatnak az eredménye felhasználható bármely, adott oldalú egyenlő oldalú háromszög területének meghatározására.
E témakörben felmerülő problémák megoldása során amellett alapvető tulajdonságok paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:
- A paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
- A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
- A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból kilépő felezők párhuzamosak egymással vagy egy egyenesen fekszenek
- Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
- A paralelogramma területe az átlók szorzatának fele a köztük lévő szög szinuszával
Tekintsük azokat a feladatokat, amelyek megoldásában ezeket a tulajdonságokat felhasználjuk.
1. cél.
Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DМ = 3!
Megoldás.
1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.
2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. ABCD kerület = 20 cm.
Válasz. 20 cm.
2. cél.
Az ABCD konvex négyszögbe átlókat húzunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy az adott négyszög paralelogramma.
Megoldás.
1. Legyen BE - az ABD háromszög magassága, CF - az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltétele szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.
2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyenes ugyanazon az oldalán található. BE = CF. Következésképpen az egyenes ВС || HIRDETÉS. (*)
3. Legyen АL az АСD háromszög magassága, BK - a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltétele szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.
4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyenes ugyanazon az oldalán található. AL = BK. Következésképpen az AB || CD (**)
5. A feltételekből (*), (**) következik - ABCD paralelogramma.
Válasz. Igazolt. ABCD - paralelogramma.
3. célkitűzés.
Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontokat jelölünk úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,
Megoldás.
1. A DOM háromszögben<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Derékszögű háromszögben DHC Azután<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 De CD = AB. Ekkor AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Válasz: AB: НD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. feladat. A paralelogramma egyik 4√6 hosszú átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót. Megoldás.
1. AO = 2√6. 2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. Válasz: 12.
5. feladat. Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma átlói közötti szög kisebb, mint a paralelogramma kisebb szöge. Határozza meg az átlók hosszának összegét! Megoldás.
Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel. 1. Számoljunk két különbözőt S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ, S ABCD = 1/2 AС ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф. Az 5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф egyenlőséget kapjuk, ill. 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. A paralelogramma oldalainak és átlóinak arányát felhasználva felírjuk az egyenlőséget (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Állítsuk össze a rendszert: (d 1 2 + d 2 2 = 296, A rendszer második egyenletét megszorozzuk 2-vel, és hozzáadjuk az elsőhöz. Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24. Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24. Válasz: 24.
6. feladat. A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45°. Keresse meg a paralelogramma területét. Megoldás.
1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést. AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög összefüggését. Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. A d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk. 3. Van egy rendszerünk A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 d 2 √2 = 80 ill. d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10. Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, előre látva, hogy ebben a feladatban a terület kiszámításához átlók szorzatára van szükség. Válasz: 10. 7. feladat. A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét! Megoldás.
1.S ABCD = AB · AD · sin ROSSZ. Csináljunk behelyettesítést a képletben. Azt kapjuk, hogy 96 = 8 15 sin ROSSZ. Ezért sin ВAD = 4/5. 2. Find cos BAD. sin 2 ROSSZ + cos 2 ROSSZ = 1. (4/5) 2 + cos 2 ROSSZ = 1.cos 2 ROSSZ = 9/25. A problémafelvetés szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A BD átlója kisebb lesz, ha a BAD szög éles. Akkor cos BAD = 3/5. 3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel alapján megtaláljuk a BD átló négyzetét. BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos ROSSZ. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. Válasz: 145.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát? oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
(
(Mivel derékszögű háromszögben a 30°-os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a befogó felével).
területének módjait.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
