≡× MENÜ

• Szivattyúk kutakhoz
• Szűrők tisztításhoz
• Egész fúrás
• Fúrólyukszivattyúk
• Kutak

Mit jelent a derivatív. §egy. A származék meghatározása. A funkciók származékai y \u003d sin x és y \u003d cos x

Ne feledje, nagyon könnyű.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal megfontoljuk a fordított funkciót. Milyen funkció az indikatív funkció hátoldala? Logaritmus:

A mi esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmus (azaz egy logaritmus egy bázissal) "természetesnek" nevezhető, és ezért speciális megnevezést használunk: az írás helyett.

Mi egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus származéka is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Találja meg a származtatott funkciót.
2. Mi a származtatott funkció egyenlő?

Válaszok: Kiállító és természetes logaritmus - A funkciók a származék szempontjából egyedülállóan egyszerűek. A csere és a logaritmikus funkciók bármely más bázissal rendelkeznek egy másik származékkal, amelyet később elemezünk veled, a differenciálási szabályok átadása után.

Differenciálási szabályok

Szabályok Mi? Ismét az új kifejezés, újra?! ...

Különbségtétel - Ez a származék keresése.

Csak és mindent. És hogyan nevezhetné ezt a folyamatot egy szóban? Nem termelés ... A matematika differenciálódása a funkció leginkább növekszik. Ez a kifejezés a latin differenciától - a különbség történik. Itt.

Mindezen szabályok megjelenítésénél két funkciót használunk, például és. Szükségünk van a képletükre is:

Összesen 5 szabály van.

A konstans a származék jeléből készült.

Ha - valamilyen állandó szám (állandó), akkor.

Nyilvánvaló, hogy ez a szabály a különbségre működik :.

Bizonyítunk. Hagyja, vagy könnyebb.

Példák.

Keressen származtatott funkciókat:

1. azon a ponton;
2. azon a ponton;
3. azon a ponton;
4. pontban.

Megoldások:

1. (A származék ugyanaz minden ponton, mivel ez egy lineáris funkció, emlékszel?);

Származtatott munka

Itt minden hasonló: bevezetünk egy új funkciót, és megtaláljuk a növekményt:

Derivált:

Példák:

1. Megtalálja a funkciók származékait és;
2. Keresse meg a függvényszármazékot a ponton.

Megoldások:

Származékos indikatív funkció

Most a tudásod elég ahhoz, hogy megtudja, hogyan kell megtalálni a származékot bármely indikatív funkció, és nem csak kiállítók (nem elfelejtett, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

Már ismerjük a származékos funkciót, ezért próbáljuk meg a funkciónkat egy új bázisra hozni:

Ehhez egyszerű szabályt használunk :. Azután:

Nos, kiderült. Most próbálj meg találni egy származékot, és ne felejtsük el, hogy ez a funkció összetett.

Történt?

Itt ellenőrizze magát:

A képlet nagyon hasonlít a derivatív kiállításhoz: Mivel ez volt, maradt, csak egy szorzó megjelent, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keressen származtatott funkciókat:

Válaszok:

Ez csak olyan szám, amelyet nem lehet számológép nélkül számolni, vagyis nem egy egyszerűbb formában rögzíteni. Ezért ebben a formában és szabadságban válaszol.

Ne feledje, hogy itt van privát két funkció, ezért alkalmazza a megfelelő differenciálódási szabályt:

Ebben a példában két funkció terméke:

Származtatási logaritmikus funkció

Itt van hasonló: Már ismeri a származékot a természetes logaritmusból:

Ezért, hogy találjon egy tetszőleges logaritmustól egy másik okból:

Ezt a logaritmust az alapra kell hoznia. És hogyan kell megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk:

A nevezőben csak állandó (állandó szám, változó nélkül) kiderült. A származék nagyon egyszerű:

Az indikatív és logaritmikus funkciók származékai szinte nem találhatók a vizsga, de nem lesz felesleges ismerni őket.

Származékos komplex funkció.

Mi az "komplex funkció"? Nem, ez nem logaritmus, és nem Arcthencence. Ezek a funkciók összetettek lehetnek a megértéshez (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik, olvassa el a "Logaritmusok" témáját, és mindent átadja), de a matematika szempontjából a "komplex" szó nem jelenti azt, hogy "nehéz".

Képzeld el egy kis szállítószalagot: két ember ül, és van valamiféle cselekedete néhány tárgyat. Például az első csomagol egy csokoládét a burkolatban, és a második azt jelenti, hogy egy szalaggal. Olyan integrált tárgy kiderül: csokoládé, csomagolva és szalaggal bélelt. Egy csokoládét enni, a fordított rendben kell fordulnia.

Hozzon létre egy hasonló matematikai szállítószalagot: Először megtaláljuk a szám koszináját, majd a kapott számot négyzetbe emeljük. Tehát adunk egy számot (csokoládét), találom a koszinót (Wrap), majd felállítani, amit tettem, egy téren (nyakkendő a szalaghoz). Mi történt? Funkció. Ez egy komplex funkció példája: Mikor találja meg a jelentéseket, az első műveletet közvetlenül a változóval végezzük, majd egy másik akciót, ami az első eredményeként történt.

Más szavakkal, a komplex funkció egy funkció, amelynek érve egy másik jellemző.: .

Példánkért.

Teljesen ugyanazokat a műveleteket és fordított sorrendben végezhetjük: először négyzetbe kerül, majd a kapott szám koszinót keresek :. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. A komplex funkciók fontos jellemzője: Az eljárás módosításakor a funkció megváltozik.

A második példa: (ugyanaz). .

Cselekvés, amit az utóbbiak hívunk "Külső" funkció, és az első végrehajtott akció - illetve "Belső" funkció (Ezek informális nevek, használom őket csak az anyag egyszerű nyelven történő magyarázatára).

Próbálja meg meghatározni, hogy milyen funkció van, és amely a belső:

Válaszok:A belső és külső funkciók szétválasztása nagyon hasonlít a változók cseréjéhez: például a funkcióban

1. Először elvégezzük, milyen lépéseket teszünk? Először fontolja meg a sinusot, de csak akkor állítsa fel a kockára. Tehát a belső funkció és a külső.
   És a kezdeti funkció az összetételük :.
2. Belső:; Külső :.
   Jelölje be :.
3. Belső:; Külső :.
   Jelölje be :.
4. Belső:; Külső :.
   Jelölje be :.
5. Belső:; Külső :.
   Jelölje be :.

a változók cseréjét és egy funkciót kapunk.

Nos, most kivonjuk a csokoládé csokoládét - Keressen egy származékot. Az eljárás mindig fordított: Először egy származtatást keresünk külső funkció, majd szorozza meg a belső funkciószármazék eredményét. Az eredeti példa tekintetében így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül megfogalmazzuk a hivatalos szabályt:

Az algoritmus a derivatív komplex funkció megtalálásához:

Úgy tűnik, minden egyszerű, igen?

Ellenőrizze a példákat:

Megoldások:

1) Belső :;

Külső:;

2) belső :;

(Csak ne gondolja, hogy most vágjon! A koszinus alatt semmi sem történik, emlékszel?)

3) belső :;

Külső:;

Ez azonnal világos, hogy itt egy három szintű komplex funkció: elvégre ez már a komplex funkció is, és még mindig eltávolítja a gyökér, azt, hogy van, akkor elvégzi a harmadik cselekvési (csokoládé, a borításban és egy szalag a portfólióba). De nincs ok arra, hogy féljenek: Mindazonáltal ugyanaz a "kicsomagolás" Ez a funkció ugyanabban a sorrendben lesz, mint a szokásos módon: a végétől.

Ez az, hogy először használja a gyökeret, majd a koszintust, és csak akkor adja meg a zárójelben. Majd ez a változók.

Ilyen esetekben kényelmes a számozott műveletek. Vagyis képzeljük el, hogy ismertünk. Milyen sorrendben fogunk lépéseket tenni a kifejezés értékének kiszámításához? Megvizsgáljuk a példát:

A későbbi akció megtörténik, annál inkább a "külső" lesz a megfelelő funkció. A cselekvések sorrendje - mint korábban:

Itt a fészkelés általában 4 szint. Határozzuk meg az eljárást.

1. Kényszerített kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Sinus. .

4. négyzet. .

5. Mindent összegyűjtünk egy csomóban:

DERIVÁLT. Röviden a fő dologról

Származtatott funkció - a funkció növekményének aránya az érvelés végtelenül kis mértékű növekedésével:

Alapszármazékok:

Differenciálási szabályok:

A konstans a származék jelére készült:

Származtatott összeg:

Termelési munka:

Privát származék:

Származtatott komplex funkció:

Algoritmus az összetett függvény származékának megkereséséhez:

1. Meghatározzuk a "belső" funkciót, megtaláljuk származékát.
2. Meghatározzuk a "külső" funkciót, megtaláljuk a származékát.
3. Szorozzuk meg az első és a második tétel eredményeit.

Teljesen lehetetlen megoldani a fizikai feladatokat vagy a matematika példáit a számításból származó származékos és módszerekkel kapcsolatos tudás nélkül. A származék a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy ezt az alapvető témát fordítjuk a jelenlegi cikkre. Mi a származék, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani a származtatott funkciót? Mindezek a kérdések kombinálhatók: hogyan lehet megérteni a származékot?

Geometriai és fizikai jelentésszármazék

Legyen funkciójuk f (x) meghatározott időközönként (A, B) . Az X és X0 pontok ebbe az intervallumhoz tartoznak. Az X megváltoztatásakor megváltoztatja a funkciót. Az érvelés megváltoztatása - az értékeinek különbsége x-X0. . Ez a különbség van írva delta X. és az érvelés növekménye. A funkció megváltoztatása vagy növelése a függvényértékek különbsége két ponton. A származék meghatározása:

A derivatív funkció a ponton a függvény funkciójának függvényének határértéke az érvelés növekedéséhez, amikor az utóbbi nulla.

Ellenkező esetben így írható:

Mi a lényeg a határérték megtalálásában? De mi:

A függvény deriváltját ponton megegyezik a szög tangense közötti OX tengelyére, és érinti a függvény grafikonját ezen a ponton.

Fizikai jelentésszármazék: Az időszármazék megegyezik az egyenes mozgás sebességével.

Valójában, mivel az iskolai idők mindenki tudja, hogy a sebesség egy privát út x \u003d f (t) és az idő t. . Átlagos sebesség egy időintervallum:

Hogy időben megtudja a mozgás sebességét t0. Ki kell számolnia a határértéket:

ELSŐ ELSŐ: Állandóvá válunk

A konstans kivételes a származék jeléből. Ráadásul meg kell tenni. A matematika példáinak megoldásakor rendszerezzen egy szabályt - ha egyszerűsítheti a kifejezést, győződjön meg róla, hogy egyszerűsíti .

Példa. Számítsa ki a származékot:

Második szabály: derivatív funkciók

A két funkció származéka megegyezik a funkciók származékai összegével. Ugyanez igaz a funkciók különbségének származékára.

Nem vezetjük a tétel igazolását, és jobb, ha gyakorlati példát vizsgálunk.

Keressen egy derivatív funkciót:

A harmadik szabály: a függvények származtatott munkái

A két differenciálható funkció munkájának származékát a képlet alapján kell kiszámítani:

Példa: Keressen egy derivatív funkciót:

Döntés:

Fontos megmondani a komplex funkciók származékai kiszámításáról. A komplex függvény származéka megegyezik a funkció származékának termékével egy független változó köztes érv származékos köztes argumentumával.

A fenti példában egy kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a közbenső érv az ötödik fokig 8x. Annak érdekében, hogy kiszámítsuk az ilyen kifejezés származékát, először a külső függvény származékát egy köztes érveléssel tekintjük, majd a származékot közvetlenül a következményes érvre szorozzuk egy független változóra.

Szabály Negyedik: Privát két funkció származéka

A magán két funkció származékának meghatározására szolgáló képlet:

Megpróbáltunk származékokat beszélni a teáskannákról a semmiből. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek tűnik, ezért figyelmeztettem: a példákban gyakran csapdák vannak, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Ezzel és egyéb témákkal kapcsolatban kapcsolatba léphet a hallgatói szolgáltatással. Per rövid időszak Segítünk megoldani a legösszetettebb ellenőrzést és foglalkozik a feladatokkal, még akkor is, ha soha nem vett részt a származékok kiszámításánál.

Megoldása során különböző geometriai problémák, mechanika, fizika és egyéb tudományágak, szükséges volt ugyanazt elemzési folyamat ezt a funkciót. y \u003d f (x) kap egy új funkciót származtatott funkció (vagy egyszerűen az f (x) függvény származéka) és jelöli a szimbólumot

A folyamat, amellyel ehhez a funkciótól f (x) Kapjon új funkciót f "(x), Hívás különbségtétel és a következő három lépésből áll: 1) Adjunk egy érvet x. növekedés  x. és határozza meg a funkció megfelelő növekedését  y \u003d f (x + x) -f (x); 2) fordítási kapcsolat

3) számolás x. állandó, A.  x. 0, találtak
Ki jelöli át f "(x), mintha hangsúlyoznánk, hogy a kapott funkció csak az értéktől függ x.amelyben a határértékre megyünk. Meghatározás: Származtatott y "\u003d f" (x) ez a funkció y \u003d f (x) ezzel az X. Úgy hívják, hogy a funkció függvényének kapcsolatának köszönhetően növelje az érvelés, feltéve, hogy az argumentum növekedése nulla, ha természetesen ez a határérték létezik, vagyis ez a határ. véges. Ilyen módon
vagy

Ne feledje, hogy ha valamilyen értelemben x.például a x \u003d A., hozzáállás
-ért  x.0 nem keresi a véghatárt, akkor ebben az esetben azt mondják, hogy a funkció f (x) -ért x \u003d A. (vagy a ponton x \u003d A.) nincs olyan derivatív vagy nem differenciálható a ponton x \u003d A..

2. A származék geometriai jelentése.

Tekintsük az y \u003d f (x) függvény grafikonját, differenciálta az x 0 pont közelében

f (x)

Tekintsünk egy tetszőleges közvetlen, áthaladva az a (x 0, f (x 0) függvény funkciójának pontján, és metszi a gráfot egy B ponton (x; f (x)). Az ilyen egyenes vonalat (AB) értékesítik. Δavs: ac \u003d Δx; SUN \u003d ΔU; TGβ \u003d Δy / Δx.

Mint au || Ox, majd alo \u003d bac \u003d β (megfelelő párhuzamosan). De alo az AV dőlésszögének szöge a tengely pozitív irányába. Tehát a TGβ \u003d K egy szög együttható közvetlen av.

Most csökkentjük Δh, azaz Δх → 0. Ebben az esetben az ütemterv szerint az A pontot megközelíti, és a szekvenciális AV-t elforgatják. Az AV → Δх → 0 szakaszának határállapota egyenes lesz (A), úgynevezett tangens az Y \u003d F (x) funkció grafikájához az A. pontban.

Ha a tgβ \u003d Δy / Δx egyenlőségben Δх → 0 határértékre lép, akkor kapunk
ortg \u003d f "(x 0), mivel
-szögű dőlésszög a tengely pozitív irányához
, Definíció szerint a származék. De TG \u003d K - A tangens szöges együtthatója, ez azt jelenti, hogy k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Tehát a származék geometriai jelentése a következő:

Származékos funkció az x ponton 0 egyenlő az abszcissza x-vel töltött funkció grafikájának grafikájához tartozó szöges együtthatóval 0 .

3. A származék fizikai jelentése.

Tekintsük a pont mozgását egyenes vonalban. Hagyja, hogy a pont koordináta az X (t) bármikor meg kell adni. Ismeretes (a fizika során), hogy az átlagos sebesség idővel megegyezik az ezen időtartam alatt utazott távolság arányával, azaz.

Vc \u003d Δx / Δt. Az utolsó egyenlőség korlátozásához fordulunk a Δt → 0-on.

lim videomagnó (t) \u003d  (t 0) - pillanatnyi sebesség T időpontban t 0, Δt → 0.

és lim \u003d Δx / Δt \u003d x "(t 0) (a származék meghatározásával).

Így,  (t) \u003d x "(t).

A származék fizikai jelentése a következő: származtatott funkcióy. = f.(x.) Pontonx. 0 - Ez a funkció változásának sebességef. (x) a pontonx. 0

A származékot fizikában használják, hogy a koordináták ismert funkciója mentén időről időre felgyorsuljon, gyorsuljon egy jól ismert sebességfüggvényen.

 (t) \u003d x "(t) - sebesség,

a (f) \u003d  "(t) - gyorsulás, vagy

Ha az anyagmozgás joga a kerületben ismert, akkor megtalálhatja a szögsebességet és a szögletes gyorsulást rotációs mozgással:

φ \u003d φ (t) - Módosítsa az idő szögét

ω \u003d φ "(t) - szögsebesség,

ε \u003d φ "(t) szögletes gyorsulás, vagy ε \u003d φ" (t).

Ha az inhomogén rúd tömegének eloszlásának törvénye ismert, akkor az inhomogén rúd lineáris sűrűsége megtalálható:

m \u003d m (x) - súly,

x , l - rúdhossz,

p \u003d m "(x) - lineáris sűrűség.

A származék segítségével a rugalmasság és a harmonikus oszcillációk elméletének feladatait megoldják. Tehát a torok törvénye szerint

F \u003d -kx, x a koordináta változó, a rugó rugalmasságának együtthatója. Az ω 2 \u003d k / m elhelyezése, a rugós pendulum differenciál egyenletét kapjuk x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

ahol ω \u003d √k / √m oszcillációs frekvencia (L / C), K a rugó (H / m) merevsége.

A "+ ω 2 y \u003d 0 formájának egyenletét a harmonikus oszcilláció (mechanikai, elektromos, elektromágneses) egyenletének nevezik. Az ilyen egyenletek megoldása a funkció

y \u003d asin (ωt + φ 0) vagy y \u003d acos (ωt + φ 0), ahol

A - az oszcilláció amplitúdója, ω - ciklikus frekvencia,

Φ 0 - kezdeti fázis.

Amikor egy személy az első független lépést tett a matematikai elemzés tanulmányozásában, és kényelmetlen kérdéseket tesz fel, nem könnyű megszabadulni a " különböző kalkulus Kabestán található. Ezért itt az ideje, hogy meghatározzák a meghatározás és a megjelenés rejtélyét differenciálódás asztali táblázatok és szabályok. A kezdet a cikkbe kerül a származékos értelembenHatározottan javaslom tanulmányozni, mert megnéztük a származék fogalmát, és elkezdtünk kattintani kihívásokat a témában. Ugyanez a lecke egy kifejezett gyakorlati összpontosítást visel, ráadásul,

az alábbiakban figyelembe vett példák elvileg elsajátíthatók és tisztán formálisan lehetnek (Például, ha nincs idő / vágy, hogy a származék lényegébe kerüljön). Ugyanakkor rendkívül kívánatos (azonban nem szükséges újra), hogy a "rendes" módszerrel - legalább két alaposztály szintjén megtalálható legyen:Hogyan találhatsz egy származékot? és komplex funkció származéka.

De anélkül, hogy bármi, ami most van, anélkül van a funkciók korlátai. Meg kell értened, hogy mi a határ, és legalább az átlagos szinten megoldhatja őket. És minden, mert a származék

a ponton lévő funkciókat a következő képlet határozza meg:

Emlékeztetem a megnevezéseket és a feltételeket: hívott az érvelés növelése;

- a funkció növelése;

- Ezek egységes szimbólumok (a "delta" nem lehet "szakadást" az "IKSA" vagy "JÁTÉKOK").

Nyilvánvaló, hogy ez egy "dinamikus" változó - állandó és a határérték kiszámításának eredménye - Szám (Néha - plusz "vagy" mínusz "végtelen).

Mint pontként figyelembe veheti az összes értéket definíciós területekfunkciók, amelyekben van egy származék.

Megjegyzés: A foglalás ", amelyben van származék" - Általában alapvető fontosságú! Tehát például a pont, bár belép a funkció meghatározásának függvényében, de származékos

Nincs. Ezért a képlet

Nem alkalmazható a ponton,

És a foglalás nélküli megfogalmazás helytelen lesz. Hasonló tények érvényesek más funkciókra a grafika "sziklák", különösen az Arcsinus és az Arcsinus számára.

Így a csere után megkapjuk a második működési képletet:

Figyeljen arra, hogy vigyázzon arra, hogy a vízforraló összezavarodjon: Ebben az "X" határozatban, független változó, a statisztika szerepét végzi, és a "dinamika" újra növekszik. A határérték kiszámításának eredménye

származékos funkció.

A fentiek alapján két tipikus feladat feltételeit megfogalmazzuk:

- Megtalálni pontbana származék definíciójának felhasználásával.

- Megtalálni derivatív funkcióa származék definíciójának felhasználásával. Ez a verzió az észrevételeim szerint észrevehetően gyakrabban fordul elő, és a fókuszba kerül.

A feladatok fő különbsége az, hogy az első esetben meg kell találni a számot (Opció, végtelenség), és a második -

funkció. Ezenkívül a származék egyáltalán nem létezik.

Hogyan ?

Kapcsolatot készítsen és kiszámolja a határértéket.

Honnan jötta derivatívák és a differenciálódási szabályok ? Az egyetlen korlátnak köszönhetően

Mágia, de be

valóság - kézi ügyesség és csalás. A leckében Mi a származék?elkezdtem mérlegelni a konkrét példákat, ahol a definíció segítségével lineáris és kvadratikus funkciót eredményezett. A kognitív edzés céljából továbbra is zavarja táblázatszármazékok, Honing algoritmus és technikai technikák megoldások:

Tény, hogy be kell bizonyítania privát eset Az energiafunkció származéka, amely általában a táblázatban jelenik meg :.

A megoldást technikailag kétféleképpen díszítették. Kezdjük az első, már ismerős megközelítéssel: a létra egy deszkával kezdődik, és egy derivatív funkcióval - a ponton származó származékkal.

Tekintsünk néhány (specifikus) pontot definíciós területekfunkciók, amelyekben van egy származék. Állítsa be a növekményt ezen a ponton (Természetesen nem túlo / o), és a funkció megfelelő növekedése volt:

Számítsa ki a határértéket:

A bizonytalanság 0: 0 a BC első században megvitatott szabványos felvétele megszűnik. Domborúság

numerátor és denominátor konjugált kifejezéshez :

Az ilyen határértékek megoldásának technikáját részletesen figyelembe veszik a bevezető leckében. a funkciók korlátai alapján.

Mivel bármilyen intervallumot választhat

Hogy cserélje ki:

Ismét örülsz a logaritmusokat:

Keressen egy származtatott funkciót a származék meghatározásával

Megoldás: Tekintsünk egy másik megközelítést az ugyanazon feladat előmozdításához. Pontosan ugyanaz, de a tervezés szempontjából sokkal racionálisabb. Az ötlet az, hogy megszabaduljon a döntés elején

szalag index és a levél helyett a levél használata.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot definíciós területekfunkciók (intervallum), és kérje meg a növekményt. De itt, az úton, mint a legtöbb esetben, bármilyen fenntartások nélkül is megteheti, mivel a logaritmikus funkció differenciálható a definíciós terület bármely pontján.

Ezután a funkció megfelelő növekedése:

Keressen egy származékot:

A regisztráció egyszerűségét zavartság támasztja alá, amely lehet

Érkezik kezdőkre (és nem csak). Végtére is megszoktuk, hogy az "x" betű a határon változik! De minden más: - egy antik szobor, és - élénk látogató, éljenzés a múzeum folyosón. Ez az, hogy "x" ", mintha konstans lenne".

A bizonytalanság megszüntetése lépésről lépésre lép:

(1) A logaritmus tulajdonságot használjuk.

(2) Zárójelben, erősítse meg a számát a nevezőre.

(3) A nevezőben mesterségesen uralta és osztja az "x" -t

használja ki a csodálatos határértéket Ugyanakkor végtelenül alacsony nagysághangszórók.

Válasz: A származék meghatározásával:

Vagy rövidített:

Javaslom egymástól függetlenül két pár táblázatos képletet:

Találja meg a származékot definíció szerint

Ebben az esetben az összeállított növekedés azonnal kényelmes ahhoz, hogy vezethessen közös nevező. A feladat példamutató minta kialakítása a lecke végén (első módszer).

Találja meg a származékot definíció szerint

Aztán mindent meg kell csökkenteni a csodálatos határértékre. A megoldást a második módon adják ki.

Hasonlóképpen, számos más jelenik meg. asztali folyamatok. Teljes lista Az iskolai tankönyvben található, vagy például a Fihtendulz 1. tome. Nem látok különleges pontot, hogy újraírjam a könyveket és bizonyítékot a differenciálási szabályokról - ezek is generálnak

képlet.

Menjen a ténylegesen megfigyelt feladatokhoz: 5. példa

Keressen egy derivatív funkciót A származék meghatározása

Megoldás: Használja az első regisztrációs stílusát. Tekintsünk egy bizonyos pontot, és állítsák be az érvelés növekedését. Ezután a funkció megfelelő növekedése:

Talán néhány olvasó még nem értette teljes mértékben azt az elvet, amelyre a növekményt növelni kell. Vegyünk egy pontot (szám), és keresse meg a funkció értékét: , azaz a funkció

Az "IKSA" helyett helyettesíteni kell. Most

Funkció növekménye Ez azonnal egyszerűsíteni kell. Minek? Könnyű és lerövidíti a további határérték megoldását.

Formulákat használunk, feltárjuk a zárójeleket és csökkentjük mindent, ami csökkenthető:

Törökországot terveznek, sült minden problémával:

Végül is:

Mivel bármilyen érvényes számot választhat, cseréljük és megkapjuk .

Válasz: A-PRIORY.

Annak érdekében, hogy ellenőrizze, találjon származékot a szabályok segítségével

differenciálás és táblázat:

Mindig hasznos és kedves ismerni a helyes választ előre, ezért jobb, ha a tervezetben a tervezett "gyors" módot a döntés kezdetén előkészítheti.

Keressen egy derivatív funkciót a származék meghatározásához

Ez egy független megoldás példája. Az eredmény a felszínen fekszik:

Visszatérzünk a 2. számhoz: 7. példa

Azonnal megtudjuk, mi történhet. Által a komplex funkció differenciálódási szabályai:

Megoldás: Tekintsen egy tetszőleges pontot, állítsa be az érv növekményét és növelje

Keressen egy származékot:

(1) Trigonometrikus képlet segítségével

(2) A szinusz alatt feltárjuk a zárójeleket, a koszinusz alatt ilyen alkatrészeket adunk.

(3) Sinus vágja le az alkatrészeket a koszinus alatt, a számláló a denominátorba.

(4) A sinus furcsaságának köszönhetően elviseljük a "mínusz". Koszinusz alatt

jelöljük, hogy a kifejezés.

(5) A denominátorban mesterséges szorzást végezzünk első csodálatos limit. Így a bizonytalanság megszűnik, ennek eredménye.

Válasz: Definíció szerint, ahogy látja, a vizsgált probléma legfontosabb nehézsége

a korlátozás összetettsége maga + a csomagolás kis eredetisége. A gyakorlatban mind a végrehajtás másik módja találkozik, így a lehetséges megközelítések mind a megközelítések is. Ezek egyenlőek, de mégis, szubjektív benyomásaimban a teáskotima célosabb, hogy betartsa az első verziót "x nulla" -vel.

A definíció használatával talál egy derivatív funkciót

Ez egy független megoldás feladata. A mintát ugyanabban a szellemben díszítik, hogy az előző példa.

A probléma ritka változatait elemezzük:

Keresse meg a derivatív funkciót a ponton a származék definíciójával.

Először is, mi történjen száraz maradékban? Szám kiszámítja a választ a szabványos módon:

Megoldás: A láthatóság szempontjából ez a feladat sokkal könnyebb, mint a képlet helyett

betonértéknek tekintik.

Állítsuk be a növekményt, és elérjük a funkció megfelelő növekedését:

Számítsa ki a származékot a ponton:

Használunk egy nagyon ritka tangens különbségi képletet és ismét minimalizálja az első döntést

csodálatos limit:

Válasz: A származék meghatározásával a ponton.

A feladat nem olyan nehéz megoldani és "általában" - ez elég ahhoz, hogy cserélje ki vagy egyszerűen a regisztrációs folyamat függvényében. Ebben az esetben egyértelmű, hogy nem lesz szám, hanem derivatív funkció.

10. példa A definíció alkalmazásával találja meg a származtatást Pontosan

Ez egy független megoldás példája.

A végső bónusz feladat elsősorban a matematikai elemzés mélyreható tanulmányai számára készült diákok számára készült, de nem akadályozza meg mindenki másnak:

A függvény megkülönböztethető Pontban?

Megoldás: Nyilvánvaló, hogy a meghatározott munkaszerződés folyamatosan folyamatban van, de ott lesz az ott?

A megoldás algoritmus, és nem csak funkciók, például:

1) Ebben a pontban talál egy bal oldali származékot :.

2) Ezen a ponton talál egy jobb oldali származékot :.

3) Ha az egyoldalas származékok végesek és egybeesnek:

, akkor a funkció differenciálható a ponton és

geometrikusan van egy teljes érintő (lásd a lecke elméleti részét A származék meghatározása és jelentése).

Ha két különböző értéket kapunk: (amelyek közül az egyik végtelen lehet), A funkció nem differenciálódik a ponton.

Ha mindkét egyoldalas származékok egyenlőek a végtelenséggel

(Még ha különböző jelek), akkor a funkció nem

eltérés a ponton, de van egy végtelen származék és a teljes függőleges érintő ütemezésre (lásd 5. példa leckétEgyenlet normális) .

MEGJEGYZÉS: Így lesz egy differenciálműpont a ponton? És "van-e származék a ponton?" van különbség!

Minden nagyon egyszerű!

1) Ha az argumentum növekedésének bal oldali származéka negatív:, és a pont bal oldalán van egy parabola, így a funkció növekménye:

És a megfelelő baloldali határ numerikusan megegyezik a vizsgált pont bal oldali származékával:

2) A pont jobb oldalán az ütemterv közvetlen és az érvelés növekedése pozitív :. Így a funkció növelése:

A jobb oldali határérték és a jobb oldali származék a ponton:

3) Egyoldalas származékok véges és különböző:

Válasz: A funkció nem differenciálható a ponton.

Még könnyebb bizonyítani a modul nem differenciálódásának könyvét A ponton, amit már mondtam elméleti lecke A származékról.

Néhány darabon meghatározott funkciók differenciálhatóak és a grafikon "ízületi" pontjaira, például a főzésre

a ponton közös derivatív és teljes érintő (abszcissza tengely) van. Görbe, igen differenciálható! Azok, akik kívánnak meggyőzni erről a saját, csak egy megoldott példa alapján.

Ezen a szórakoztató hibrid és befejezze a történetet \u003d) Megoldások és válaszok:

3. példa: Megoldás: Tekintsünk a mezőmeghatározás területhez tartozó pontot. Kérdezzük meg B.

ez a pont növekszik, és pótolja a funkció megfelelő növekedését:

Keressen egy származékot a ponton:

Mivel kiválaszthatja a funkciómeghatározási terület bármely pontját, akkor

Válasz: A származék meghatározásával

4. példa: Megoldás: Tekintsünk egy tetszőleges pontot, és beállítsa a növekményt. Ezután a funkció megfelelő növekedése:

Keressen egy származékot:

Csodálatos határértéket használunk

Válasz: definíció szerint

6. példa: Megoldás: Tekintsünk egy bizonyos pontot, és állítsuk be az argumentum növekményét. Ezután a funkció megfelelő növekedése:

Válasz: A-Priory

10. példa: Megoldás: Állítsa be a pontot a ponton. Ezután a funkció növelése:

Számítsa ki a származékot a ponton:

Szorozzuk a számát és a denominatort a konjugátum expresszióján:

Válasz: A származék meghatározásával a ponton

Tegyük fel, hogy a funkció a környezetének pontjában van meghatározva. Adjuk meg az argumentumot a pont meghatározó területének pontjára. A funkció növekményt kap.

Meghatározás. Derivatív funkció a ponton A funkció függvényének kapcsolata ezen a ponton az érvelés növekményéhez kapcsolódik, ha (ha ez a határérték létezik és véges), azaz.

Jelöli: ,,,.

Származtatott funkció a pontos végén (balra) hívott

(Ha ez a határérték létezik és véges).

Jelen: - Jelenleg származik

- A pontra vonatkozó származékok.

Nyilvánvaló, hogy a következő tétel érvényes.

Tétel. A függvénynek van egy derivatíva, és csak akkor, ha a jobb és bal oldali származékok ezen a ponton egyenlőek egymással. Ráadásul

A következő tétel meghatározza a származékos funkció létezését a ponton és a funkció folytonosságának ezen a ponton.

Tétel (szükséges feltétel a származékos funkció létezéséhez). Ha a funkció a pontnál származtatott, akkor ennek a pontnak a funkciója folyamatos.

BIZONYÍTÉK

Legyen létezik. Azután

,

hol van a végtelenül kicsi.

Megjegyzés

származtatott funkció És jelöli

differenciálási funkció .

Geometriai és fizikai jelentés

1) Fizikai érzéki származék. Ha a funkciót és azt fizikai mennyiségekkel vitatták, a változó változási sebességének származékát a ponttal megváltoztathatja. Például, ha a távolság az idő alatt áthalad az idő alatt, akkor a származékos sebesség az idő időpontjában. Ha a vezeték keresztmetszetén átfolyó villamosenergia mennyisége az idő múlásával áramlik, a villamos energia mennyiségének változásainak sebessége az idő múlásával, azaz. Az áram ereje az idő alatt.

2) Geometriai jelentésszármazék.

Legyen - néhány görbe - egy pont a görbe.

Minden közvetlen, legalább két pontot kereszteznek eladás .

Tangens a görbe felé A szekvenciális határállapotnak nevezik, ha a pont a görbe mentén halad.

A definícióból nyilvánvaló, hogy ha van egy érintő a görbe a ponton, ez az egyetlen

Tekintsük a görbét (azaz a funkció grafikonját). Tegyük fel, hogy a pont nem tanúsított érintő. Annak egyenlete: (a közvetlen áthaladás egyenletes áthaladásának szöge együtthatóval).

A szög együttható meghatározásával

hol van a tengely dőlésszöge.

Legyen a tengely tengelyének dőlésszöge, ahol. Mint egy tangens, akkor

Ennélfogva,

Így kaptuk ezt - A sarokkövetelmény tangens az ütemezéshez a ponton (A derivatív funkció geometriai jelentése a ponton). Ezért a tangens egyenletét a görbe az egyikben tisztítják az űrlapon

Megjegyzés . Közvetlenül, amely a pontközpontra merőleges ponton áthalad, hívják a görbét a ponton, hívják normál a görbe a ponton . Mivel a szögösszetevők merőleges egyenes vonalak kapcsolódnak az arány, az egyenlet normális a görbe, a sharpbud

, Ha egy .

Ha, akkor Tangens Kroduyov Sharpbewy-hoz

és normális.

A tangens és a normál egyenletek

Tangens egyenlet

Hagyja, hogy a függvény meghatározza az egyenletet y.=f.(x.), meg kell írnia az egyenletet tangenspontosan x.0. A származék meghatározásától:

y./(x.) \u003d Limδ. x.→0Δ y.Δ x.

Δ y.=f.(x.+Δ x.)−f.(x.).

Az egyenlet tangensa funkció grafikonjához: y.=kX.+b. (k.,b.=const.). A származék geometriai jelentésétől: f./(x.0)=tg.α= k. Mivel x.0 I. f.(x.0) ∈ egyenesen, akkor az egyenlet tangensformában rögzített: y.−f.(x.0)=f./(x.0)(x.−x.0), vagy

y.=f./(x.0)· x.+f.(x.0)−f./(x.0)· x.0.

Egyenlet normális

Normál- Ez merőleges tangens(Lásd az ábrát). Ennek alapján:

tg.β= tg.(2π-α) \u003d cTG.α \u003d 1. tg.α \u003d 1. f./(x.0)

Mivel A dőlésszög a β1 szög, mi:

tg.β1 \u003d. tg.(π−β)=− tg.β \u003d -1. f./(x.).

Pont ( x.0,f.(x.0)) ∈ Normál, az egyenlet az űrlapot veszi:

y.−f.(x.0)=−1f./(x.0)(x.−x.0).

BIZONYÍTÉK

Legyen létezik. Azután

,

hol van a végtelenül kicsi.

De ez azt jelenti, hogy folyamatos a ponton (lásd a folytonosság geometriai definícióját). ∎.

Megjegyzés . A függvény folytonossága a ponton nem elegendő feltétele annak, hogy a jelen funkció származékának létezését a ponton. Például a funkció frekvenciája, de nem rendelkezik származékkal a ponton. Igazán,

És ezért nincs.

Nyilvánvaló, hogy a levelezés egy bizonyos készleten meghatározott függvény. Ez az úgynevezett származtatott funkció És jelöli

A származékos funkció funkciójának megtalálásának működését hívják differenciálási funkció .

Az összeg és a különbség származéka

Hagyja, hogy az F (x) és G (X) függvényeket adjuk, amelyekből ismertek vagyunk. Például elvégezheti a fent tárgyalt elemi funkciókat. Ezután megtalálhatja az összeg származékát és a funkciók különbségét:

(F + g) '\u003d f' + g '

(F - G) '\u003d F' - G '

Tehát a két funkció összegének (különbsége) származéka megegyezik a származékos származékok összegével (különbség). Az alkatrészek nagyobb lehetnek. Például (F + G + H) '\u003d F' + G '+ H'.

Szigorúan szólva az algebraban nincs "kivonás" fogalma. Van egy "negatív elem" koncepció. Ezért az F - G különbség átírhatja az F + (-1) · g mennyiségnek, majd csak egy képlet marad - az összeg származéka.