Képletek az összes ábra területeinek és térfogatainak megkeresésére. A figurák mennyisége
A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.
Az ókori egyiptomiak pedig a mi módszereinkhez hasonlóan módszereket használtak a különféle alakzatok területeinek kiszámítására.
A könyveimben "Kezdetek" a híres ókori görög matematikus, Eukleidész meglehetősen sok módszert írt le számos geometriai alakzat területének kiszámítására. Az első orosz nyelvű kéziratok, amelyek geometriai információkat tartalmaztak, a 16. században születtek. Leírják a különböző alakú figurák területeinek megtalálásának szabályait.
Ma a modern módszerek segítségével bármilyen figura területét nagy pontossággal meg lehet találni.
Tekintsük az egyik legegyszerűbb alakzatot - egy téglalapot - és a terület megtalálásának képletét.
Téglalap terület képlete
Tekintsünk egy ábrát (1. ábra), amely $8$-os négyzetekből áll, amelyek oldala $1$cm $.
Ennek az ábrának a területe (1. ábra) 8\cm^2$ lesz.
Egy $1\ cm$ oldalú (például $p$) négyzetre osztható alakzat területe $p\ cm^2$ lesz.
Más szavakkal, az ábra területe annyi $cm^2$ lesz, ahány $1\ cm$ oldalú négyzetek száma felosztható erre az ábrára.
Tekintsünk egy téglalapot (2. ábra), amely $3$-os csíkokból áll, amelyek mindegyike $5$-os négyzetekre van osztva, amelyek oldala $1\cm$. az egész téglalap $5\cdot 3=15$ ilyen négyzetekből áll, területe pedig $15\cm^2$.
1. kép
2. ábra.
Az ábrák területét általában a $S$ betű jelöli.
A téglalap területének meghatározásához szorozza meg a hosszát a szélességével.
Ha a hosszát $a$ betűvel, a szélességét pedig $b$ betűvel jelöljük, akkor a téglalap területének képlete így néz ki:
1. definíció
A figurákat ún egyenlő, ha egymásra helyezve az ábrák egybeesnek. Az egyenlő számok egyenlő területtel és egyenlő kerülettel rendelkeznek.
Az ábra területe a részei területének összegeként található.
1. példa
Például a $3$ ábrán az $ABCD$ téglalapot a $KLMN$ egyenes két részre osztja. Az egyik rész területe $12\ cm^2$, a másik pedig $9\ cm^2$. Ekkor az $ABCD$ téglalap területe $12\cm^2+9\cm^2=21\cm^2$ lesz. Keresse meg a téglalap területét a képlet segítségével:
Mint látható, a két módszerrel talált területek egyenlőek.
3. ábra
4. ábra
Az $AC$ szegmens a téglalapot két egyenlő háromszögre osztja: $ABC$ és $ADC$. Tehát az egyes háromszögek területe egyenlő a teljes téglalap területének felével.
2. definíció
Egy egyenlő oldalú téglalapot nevezünk négyzet.
Ha a négyzet oldalát $a$ betűvel jelöljük, akkor a négyzet területét a következő képlettel találjuk meg:
Innen származik az $a$ szám névnégyzete.
2. példa
Például, ha egy négyzet oldala 5 $ cm, akkor a területe:
Kötetek
A kereskedelem és az építőipar fejlődésével az ókori civilizációk idejében szükség volt a kötetek felkutatására. A matematikában a geometriának van egy része, amely a térbeli alakzatok tanulmányozásával foglalkozik, az úgynevezett sztereometria. Már a Kr.e. 4. században találtak említést a matematikának e különálló irányáról.
Az ókori matematikusok kidolgoztak egy módszert az egyszerű figurák - egy kocka és egy paralelepipedon - térfogatának kiszámítására. Minden akkori épület ilyen formájú volt. De a jövőben módokat találtak az összetettebb formájú alakok térfogatának kiszámítására.
Egy téglatest térfogata
Ha megtöltöd a formát nedves homokkal, majd megfordítod, háromdimenziós figurát kapsz, amelyre a térfogat jellemző. Ha több ilyen figurát készít ugyanazzal a formával, akkor ugyanolyan térfogatú figurákat kap. Ha feltölti a formát vízzel, akkor a víz térfogata és a homok alakja is egyenlő lesz.
5. ábra
Összehasonlíthatja két edény térfogatát úgy, hogy az egyiket megtölti vízzel, és beleönti a második edénybe. Ha a második edény teljesen megtelt, akkor az edények térfogata azonos. Ha ugyanakkor víz marad az elsőben, akkor az első edény térfogata nagyobb, mint a másodiké. Ha az első edényből vizet öntve nem lehet teljesen feltölteni a második edényt, akkor az első edény térfogata kisebb, mint a másodiké.
A térfogat mérése a következő mértékegységekkel történik:
$mm^3$ -- köbmilliméter,
$cm^3$ -- köbcentiméter,
$dm^3$ -- köbdeciméter,
$m^3$ -- köbméter,
$km^3$ -- köbkilométer.
Általános áttekintés. A sztereometria képletei!
Sziasztok kedves barátaim! Ebben a cikkben úgy döntöttem, hogy általános áttekintést adok a sztereometria problémáiról, ami lesz HASZNÁLAT a matematikában e) Meg kell mondani, hogy ennek a csoportnak a feladatai meglehetősen változatosak, de nem nehézek. Ezek geometriai mennyiségek keresésére szolgáló feladatok: hosszúságok, szögek, területek, térfogatok.
Tekinthető: kocka, téglalap alakú paralelepipedon, prizma, gúla, összetett poliéder, henger, kúp, golyó. Szomorú, hogy a végzősök egy része magán a vizsgán sem vállal ilyen feladatokat, pedig ezek több mint 50%-át elemileg, szinte szóban oldják meg.
A többi kevés erőfeszítést, tudást és speciális technikákat igényel. A jövőbeni cikkekben ezeket a feladatokat megfontoljuk, ne hagyja ki, iratkozzon fel a blogfrissítésre.
A megoldáshoz tudnia kell felület és térfogat képletek paralelepipedon, piramis, prizma, henger, kúp és gömb. Nincsenek összetett feladatok, mindegyiket 2-3 lépésben oldják meg, fontos „látni”, milyen képletet kell alkalmazni.
Az összes szükséges képletet az alábbiakban mutatjuk be:
Golyó vagy gömb. A gömb alakú vagy gömb alakú felület (néha egyszerűen gömb) a tér azon pontjainak helye, amelyek egyenlő távolságra vannak egy ponttól - a labda középpontjától.
Ball hangerő egyenlő a gúla térfogatával, amelynek alapja megegyezik a golyó felületével, magassága pedig a labda sugara
Egy gömb térfogata másfélszer kisebb, mint a körülötte körülírt henger térfogata.
Kerek kúpot úgy kaphatunk, hogy egy derékszögű háromszöget forgatunk az egyik lába körül, ezért a kerek kúpot forgáskúpnak is nevezik. Lásd még: Egy körkúp felülete
Kerek kúp térfogata egyenlő az S alapterület és a H magasság szorzatának egyharmadával:
(H - kocka élének magassága)
A paralelepipedon olyan prizma, amelynek alapja egy paralelogramma. A paralelepipedonnak hat lapja van, és mindegyik paralelogramma. Egy paralelepipedont, amelynek négy oldalsó lapja téglalap alakú, jobboldali paralelepipedonnak nevezzük. A jobb oldali dobozt, amelyben mind a hat lap téglalap, négyszögletes doboznak nevezzük.
Egy téglatest térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával:
(S a piramis alapterülete, h a gúla magassága)
A piramis egy poliéder, amelynek egyik lapja - a piramis alapja - egy tetszőleges sokszög, a többi - oldallapok pedig közös csúcsú háromszögek, amelyeket a piramis tetejének neveznek.
A piramis alapjával párhuzamos szakasz a piramist két részre osztja. A piramis alapja és e szakasza közötti része egy csonka gúla.
Egy csonka piramis térfogata egyenlő a magasság szorzatának egyharmadával h (OS) a felső alap területeinek összegével S1 (abcde), a csonka gúla alsó alapja S2 (ABCD)és a közöttük arányos átlag.
| 1. | V= |
n - egy szabályos sokszög oldalainak száma - egy szabályos piramis alapjai
a - szabályos sokszög oldala - szabályos piramis alapjai
h - a szabályos piramis magassága
A szabályos háromszög alakú gúla egy poliéder, amelynek egyik lapja - a piramis alapja - szabályos háromszög, a többi - oldallapok - egyenlő háromszögek, amelyeknek közös csúcsa van. A magasság felülről az alap közepére csökken.
Szabályos háromszög alakú piramis térfogata egyenlő egy egyenlő oldalú háromszög területének szorzatának egyharmadával, amely az alap S (ABC) a magasságba h (OS)
a - szabályos háromszög oldala - szabályos háromszög alakú gúla alapjai
h - egy szabályos háromszög alakú piramis magassága
A tetraéder térfogatának képletének levezetése
A tetraéder térfogatát a piramis térfogatának klasszikus képletével számítják ki. Be kell cserélni a tetraéder magasságát és egy szabályos (egyenlő oldalú) háromszög területét.
Egy tetraéder térfogata- egyenlő azzal a törttel, amelynek számlálójában a nevezőben lévő kettő négyzetgyöke tizenkettő, megszorozva a tetraéder élének hosszának kockájával
(h a rombusz oldalának hossza)
Körméret p körülbelül három egész és egy hetede egy kör átmérőjének. A kör kerületének és átmérőjének pontos arányát a görög betű jelöli π
Ennek eredményeként a kör kerületét vagy a kör kerületét a képlet számítja ki
| π rn |
(r az ív sugara, n az ív középponti szöge fokban.)
A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.
A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű trükköket, amelyekről beszélni fogunk.
Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!
Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a matematika profilvizsga második részében a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához más képleteket is használnak a háromszög területére. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.
De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.
1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika – bontsuk fel ezt az ábrát azokra, amelyekről mindannyian ismerünk, és keressük meg a területét – ezen figurák területeinek összegeként.
Osszuk ezt a négyszöget vízszintes vonallal két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága 
És . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .
Válasz: .
2. Bizonyos esetekben az ábra területe bármely terület különbségeként ábrázolható.
Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ebben a háromszögben mekkora alap és magasság! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalú négyzet és három derékszögű háromszög területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .
Válasz: .
3. Előfordul, hogy egy feladatban nem az egész ábra területét kell megkeresni, hanem annak egy részét. Általában a szektor területéről beszélünk - a kör egy részének. Keresse meg a sugarú kör szektorának területét, amelynek ívhossza egyenlő .
Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. Az egész kör területe egyenlő , mivel . Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza (mivel ), és ennek a szektornak az ívének a hossza , ezért az ív hossza többszöröse a teljes kör hosszának. Az a szög, amelyen ez az ív nyugszik, szintén többszörösen kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.
