≡× MENÜ

• Vízellátás
• Szivattyúk
• Víz tisztítás
• kutak
• Szűrők

Határozza meg a megoldások számát az antiderivatív gráfból! Antiderivatív és integrálok

Községi Autonóm Általános Oktatási Intézmény

Magnyitogorszk város "56. számú középiskola a matematika elmélyült tanulmányozásával"

Az óra módszertani fejlesztése

matematika

Antiderivatívek és egy határozott integrál a vizsgán. Az „Antiprimitív” témában a USE-feladatok áttekintése)

11. osztályos tanulók számára

(összefoglaló lecke)

Filimonova Tatyana Mikhailovna

Magnyitogorszk 2018

annotáció

Az óra 11. osztályos tanulóknak szól. Az óra témája: „Antiderivatív és határozott integrál a vizsgán.Az „Antiprimitív” témával kapcsolatos USE feladatok áttekintése. A témával kapcsolatos képzési szakasz az utolsó. A téma tanulmányozásának motivációját az IKT használata, a különféle típusú feladatok alkalmazása, a FIPI feladatok bevonása és a Reshu Egységes Államvizsga weboldal feladatai adják. Az órán kiemelt cél a megszerzett ismeretek alkalmazása, a képességek fejlesztése, a vizsgával kapcsolatos problémák megoldása.

Magyarázó jegyzet

A módszertani fejlesztés egy adott matematika óra kidolgozása IKT eszközök segítségével. A fejlesztés relevanciája abban rejlik, hogy a tanulók különböző módszerekkel oldják meg a figura területének megtalálásának problémáját.Egy probléma megoldásának különböző módjai, a láthatóság, a történeti információk és az interdiszciplináris kapcsolatok jelenléte hozzájárul a probléma megoldásához. a matematika iránti kognitív érdeklődés fejlesztése, a matematika mindennapi életben betöltött fontosságának tudatosítása.

A teszt során a hallgatók megismétlik az elméleti információkat az antideriváltról és az integrálról, ami segít rendszerezni az elméletet ebben a témában, és felkészülni a közelgő vizsgára.

Óra összefoglalója

Az óra típusa: összefoglaló lecke.

Célok:

Nevelési:

Oktatási, kognitív és információs kompetenciák kialakítása a témával kapcsolatos ismeretek általánosításával, rendszerezésével"Primitív.Integrál".

Nevelési:

Információs, általános kulturális kompetenciák formálása a kognitív tevékenység, a tantárgy iránti érdeklődés, a tanulók kreatív képességeinek fejlesztésével, látókörük szélesítésével, a matematikai beszéd fejlesztésével.

Nevelési:

A kommunikációs kompetencia és a személyes önfejlesztési kompetencia kialakítása a kommunikációs készségekre, az együttműködési képességre, az olyan személyes tulajdonságok fejlesztésére, mint a szervezettség, a fegyelem.

Felszerelés:PC, projektor, vetítővászon.

Az órák alatt

I. Szervezési momentum:

Helló srácok! Örömmel üdvözöllek a leckén.Córánk célja az ismeretek általánosítása, rendszerezése az „Antiprimitív. Integrál”, a közelgő vizsgára való felkészüléshez.

II . Házi feladat ellenőrzése:

Keresse meg egy alakzat vonallal határolt területéty= x2 , y=. A megoldás a dián van.

A táblán előre elkészítettek egy feladatot a labda térfogatának képletének levezetéséhez.

2 ember felváltva jön a táblához, és röviden elmagyarázza a megoldást

A többi ellenőrzi.

én II . Bemelegít.

Minden tanuló kap egy tesztet.

Gyűjtsd össze a kitöltött teszteket.

A feladatok elemzése frontálisan történik a képernyőn megjelenő feladatoknak megfelelően.

én V . Matematikai relé.

Most az úton! A „Tudás csúcsára” feljutás nem lesz könnyű, előfordulhatnak dugulások, összeomlások, sodródások. De vannak megállások is, ahol nem csak feladatok várnak rád. A továbblépéshez tudást kell felmutatnia.

A tanulók minden asztalnál kapnak egy lapokat az „Antiprimitív” témájú feladatokkal.

1. Az antiderivált értékeF( x) funkciókatf( x)=11 x+5 0-nál egyenlő 6-tal. Keresse megF(-3).

2. Az antiderivált értékeF( x) funkciókatf( x)=8 kötözősalátaxa -π pontban egyenlő 13. Keresse megF( π /6).

3. Az antiderivatív függvény értékeF( x) funkciókatf( x)=6 a 0 pontban egyenlő -18-cal. megtaláljaF(ln3).

4. Az ábra az antiderivatív grafikonját mutatjay= F( x) funkciókatf( x) és nyolc pont az x tengelyen: , , …, . Ezek közül hány ponton teljesíti a funkciótf( x) pozitív?

5. Az ábra az antiderivatív y \u003d grafikonját mutatjaF( x) funkciókatf( x) és nyolc pont az x tengelyen: , , , …,. Ezek közül hány ponton teljesíti a funkciótf(x)negatív?

V . Állj.

„A boldog baleset csak a felkészült elmékre esik” (Louis Pasteur).

Felolvassák az integrálszámítás történetéből származó információkat. Megjelennek a diákok által az integrálszámítás történetéről készített újságok. Az újságokat Newtonnak és Leibniznek szentelik.

VI. A legnehezebb mászás.

A következő feladatot állítólag írásban kell elvégezni, így a tanulók füzetben dolgoznak.

Feladat. Hányféleképpen találhatja meg egy alak vonallal határolt területét (dia)

Kinek vannak javaslatai? (az ábra két görbe vonalú trapézből és egy téglalapból áll) (válasszon megoldási módot, dia)

A probléma megvitatása után egy rekord jelenik meg a dián

1 út: S=S1 +S2 +S

2 út: S=S1 +SABCD-SOCD

Két diák dönt a táblánál, majd a megoldás magyarázata következik, a többiek füzetekben dolgoznak, a megoldások közül választva.

Következtetés (diákok igen): két megoldást találtunk a probléma megoldására, ugyanazt az eredményt kapva. Beszéljétek meg, melyik módszer a könnyebb.

Mindenki nagyon fáradt, de minél közelebb a cél, egyre könnyebbek a feladatok.

VSH. Óra összefoglalója (diák)

„A gondolkodás a meglepetéssel kezdődik” – jegyezte meg Arisztotelész 2500 évvel ezelőtt. Honfitársunk, Szuhomlinszkij úgy vélte, hogy „a meglepetés érzése a megismerés vágyának erőteljes forrása; a meglepetéstől a tudásig – egy lépés. A matematika pedig csodálatos tantárgy a meglepetésre.

Az integrálokat a következőkre használják:

feladatok megoldása a fizika területéről;

gazdasági problémák megoldása (versenykörnyezetben a cég munkájának optimalizálásához, fogyasztási hitel jövedelmezőségének kiszámításához);

szocio-demográfiai problémák megoldása (a Föld népességének matematikai modellje stb.).

IX . Házi feladat. (csúszik)

A tanár által összeállított feladat a "Megoldom a vizsgát" oldalon.

x . Jelek elhelyezése.

Bibliográfia

Vilenkin N.Ya. satöbbi. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. V. Ch.2. (profilszint). - M.: Mnemosyne, 2009. - 264 p.

Aleksandrova L.A. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. Önálló munkavégzés. - M.: Mnemozina, 2009. - 100 p.

3. Shipova T.A. Az algebra és az elemzés kezdetei: Derivált. Határozott integrál. Tesztek. - M.: Iskola-Nyomda, 1996. - 64 p.

4. A metaschool.ru weboldal az órák fejlesztéséhez.

5. Weboldal Megoldom az Egységes Államvizsga, feladatkatalógus, primitív.

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját mutatja (amely három egyenes szakaszból álló szaggatott vonal). Az ábra felhasználásával számítsuk ki F(9)-F(5), ahol F(x) az f(x) egyik antideriváltja.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

A Newton-Leibniz képlet szerint az F(9)-F(5) különbség, ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja, egyenlő a görbe vonalú trapéz területével. az y=f(x) függvény grafikonjával y=0 , x=9 és x=5 egyenesek. A grafikon alapján meghatározzuk, hogy a megadott görbe vonalú trapéz egy trapéz, amelynek alapjai egyenlők 4 és 3, magassága pedig 3.

Területe egyenlő \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Válasz

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábrán az y=F(x) függvény grafikonja látható, amely a (-5; 5) intervallumon meghatározott f(x) függvény egyik antideriváltja. Az ábra segítségével határozza meg az f(x)=0 egyenlet megoldásainak számát a [-3; 4].

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az antiderivált definíciója szerint az egyenlőség teljesül: F "(x) \u003d f (x). Ezért az f (x) \u003d 0 egyenlet F "(x) \u003d 0-ként írható fel. Mivel az ábra az y=F(x) függvény grafikonját mutatja, meg kell találnunk azokat az intervallumpontokat [-3; 4], amelyben az F(x) függvény deriváltja egyenlő nullával. Az ábráról látható, hogy ezek lesznek az F(x) gráf szélső pontjainak (maximum vagy minimum) abszcisszán. Pontosan 7 van belőlük a jelzett intervallumon (négy minimum pont és három maximális pont).

Válasz

Forrás: "Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját mutatja (amely három egyenes szakaszból álló szaggatott vonal). Az ábra segítségével számítsuk ki F(5)-F(0), ahol F(x) az f(x) egyik antideriváltja.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

A Newton-Leibniz képlet szerint az F(5)-F(0) különbség, ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja, egyenlő a görbe vonalú trapéz területével. az y=f(x) függvény grafikonjával y=0 , x=5 és x=0 egyenesek. A grafikon alapján meghatározzuk, hogy a megadott görbe vonalú trapéz egy trapéz, amelynek alapjai egyenlők 5 és 3, magassága pedig 3.

Területe egyenlő \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Válasz

Forrás: "Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábra az y=F(x) függvény grafikonját mutatja, amely egy f(x) függvény egyik antideriváltja, amely a (-5; 4) intervallumon van definiálva. Az ábra segítségével határozza meg az f (x) = 0 egyenlet megoldásainak számát a (-3; 3] szakaszon).

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az antiderivált definíciója szerint az egyenlőség teljesül: F "(x) \u003d f (x). Ezért az f (x) \u003d 0 egyenlet F "(x) \u003d 0-ként írható fel. Mivel az ábra az y=F(x) függvény grafikonját mutatja, meg kell találnunk azokat az intervallumpontokat [-3; 3], amelyben az F(x) függvény deriváltja egyenlő nullával.

Az ábráról látható, hogy ezek lesznek az F(x) gráf szélső pontjainak (maximum vagy minimum) abszcisszán. Pontosan 5 van belőlük a megadott intervallumon (két minimum pont és három maximális pont).

Válasz

Forrás: "Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábra valamilyen y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Az F(x)=-x^3+4,5x^2-7 függvény az f(x) függvény egyik antideriváltja.

Keresse meg az árnyékolt ábra területét.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az árnyékolt ábra egy görbe vonalú trapéz, amelyet felülről az y=f(x) függvény grafikonja, az y=0, x=1 és x=3 egyenesek határolnak. A Newton-Leibniz formula szerint S területe egyenlő az F(3)-F(1) különbséggel, ahol F(x) a feltételben megadott f(x) függvény antideriváltja. Ezért S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Válasz

Forrás: "Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: Egy függvény antideriváltja

Feltétel

Az ábra valamilyen y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Az F(x)=x^3+6x^2+13x-5 függvény az f(x) függvény egyik antideriváltja. Keresse meg az árnyékolt ábra területét.

A differenciálás egyik művelete a derivált (differenciál) megtalálása és alkalmazása a függvények tanulmányozására.

Ugyanilyen fontos az inverz probléma. Ha egy függvény viselkedése ismert a definíciójának minden pontjának közelében, akkor hogyan lehet visszaállítani a függvény egészét, pl. definíciójának teljes tartományában. Ez a probléma az úgynevezett integrálszámítás vizsgálatának tárgya.

Az integráció a differenciálás fordított művelete. Vagy az f(x) függvény visszaállítása az adott f`(x) deriváltból. A latin „integro” szó helyreállítást jelent.

1. példa.

Legyen (f(x))' = 3x 2 . Keresse meg f(x)

Megoldás:

A differenciálási szabály alapján könnyen kitalálható, hogy f (x) \u003d x 3, mert

(x 3) ' = 3x 2 Könnyen belátható azonban, hogy f (x) kétértelműen található. Mint f (x) felveheti az f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 stb.

Mert mindegyik származéka 3x2. (A konstans deriváltja 0). Mindezek a függvények egy állandó taggal különböznek egymástól. Ezért a feladat általános megoldása így írható fel: f(x)= x 3 +C, ahol C bármely állandó valós szám.

A talált f(x) függvények bármelyike ​​meghívásra kerül primitív az F`(x) = 3x2 függvényre

Meghatározás.

Az F(x) függvényt az f(x) függvény antiderivatívájának nevezzük egy adott J intervallumon, ha ebből az intervallumból az összes x-re F`(x) = f(x). Tehát az F (x) \u003d x 3 függvény antiderivatíva f (x) \u003d 3x 2 függvényre (- ∞ ; ∞). Mivel minden x ~ R esetén az egyenlőség igaz: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Amint azt már észrevettük, ennek a függvénynek végtelen számú antiderivált készlete van.

2. példa.

A függvény antiderivatív a (0; +∞) intervallumon belül mindenre, mert ebből az intervallumból minden h-ra érvényes az egyenlőség.

Az integráció feladata az összes antideriváltjának megtalálása egy adott függvényhez. A probléma megoldásában fontos szerepet játszik a következő állítás:

Egy függvény állandóságának jele. Ha F "(x) \u003d 0 valamilyen I intervallumon, akkor az F függvény állandó ezen az intervallumon.

Bizonyíték.

Rögzítsünk valamilyen x 0-t az I intervallumból. Ekkor egy ilyen intervallumból származó tetszőleges x számra a Lagrange-képlet alapján megadhatunk olyan c számot x és x 0 között, hogy

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Feltétel szerint F’ (c) = 0, mivel c ∈1, ezért

F(x) - F(x 0) = 0.

Tehát minden x-re az I intervallumból

azaz az F függvény állandó marad.

Minden f antiderivatív függvény felírható egyetlen képlettel, amelyet ún az antiderivatívok általános formája a funkcióhoz f. A következő tétel igaz ( a primitívek alapvető tulajdonsága):

Tétel. Az I intervallumon lévő f függvény bármely antideriváltja felírható így

F(x) + C, (1) ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja az I intervallumon, C pedig tetszőleges állandó.

Magyarázzuk meg ezt az állítást, amelyben az antiderivatív két tulajdonságát röviden megfogalmazzuk:

1. bármilyen számot teszünk is az (1) kifejezésbe C helyett, megkapjuk f antideriváltját az I intervallumon;
2. Bármelyik Ф antiderivatívát vesszük f-re az I intervallumon, választhatunk olyan C számot, hogy az I intervallumból minden x-re teljesüljön az egyenlőség

Bizonyíték.

1. Feltétel szerint az F függvény f antideriváltja az I intervallumban. Ezért F "(x) \u003d f (x) bármely x∈1 esetén, tehát (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), azaz F(x) + C az f függvény antideriváltja.
2. Legyen Ф (х) az f függvény egyik antideriváltja ugyanazon az I intervallumon, azaz Ф "(x) = f (х) minden x∈I esetén.

Ezután (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

Innen következik. a függvény állandóságának előjele miatt, hogy a Ф (х) - F (х) különbség olyan függvény, amely valamilyen C állandó értéket vesz fel az I intervallumon.

Így az I intervallumból származó összes x-re igaz a Ф(х) - F(x)=С egyenlőség, amit igazolni kellett. Az antiderivált fő tulajdonsága geometriai jelentést kaphat: Az f függvény bármely két antideriváltjának grafikonja az y tengely mentén történő párhuzamos transzlációval kapható meg egymástól

Kérdések absztraktokhoz

Az F(x) függvény az f(x) függvény antideriváltja. Keresse meg az F(1) értéket, ha f(x)=9x2 - 6x + 1 és F(-1) = 2.

Keresse meg egy függvény összes antideriváltját

Az (x) = cos2 * sin2x függvényhez keresse meg az F(x) antiderivált, ha F(0) = 0.

Egy függvényhez keressük meg azt az antideriváltat, amelynek gráfja átmegy a ponton

Funkció F(x ) hívott primitív funkcióhoz f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból az egyenlőség

F"(x ) = f(x ) .

Például a függvény F(x) = x 2 f(x ) = 2x , mert

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Az antiderivatív fő tulajdonsága

Ha F(x) a függvény antideriváltja f(x) adott intervallumon, akkor a függvény f(x) végtelenül sok antideriváltja van, és ezek az antideriválták mind így írhatók F(x) + C, Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Például. Funkció F(x) = x 2 + 1 a függvény antideriváltja f(x ) = 2x , mert F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkció F(x) = x 2 - 1 a függvény antideriváltja f(x ) = 2x , mert F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkció F(x) = x 2 - 3 a függvény antideriváltja f(x) = 2x , mert F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bármilyen funkciót F(x) = x 2 + VAL VEL , Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó, és csak egy ilyen függvény a függvény antideriváltja f(x) = 2x . ◄

Az antiderivatívek kiszámításának szabályai

1. Ha F(x) - eredeti számára f(x) , A G(x) - eredeti számára g(x) , Azt F(x) + G(x) - eredeti számára f(x) + g(x) . Más szavakkal, az összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével .
2. Ha F(x) - eredeti számára f(x) , És k akkor állandó k · F(x) - eredeti számára k · f(x) . Más szavakkal, a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből .
3. Ha F(x) - eredeti számára f(x) , És k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt 1 / k F( k x + b ) - eredeti számára f(k x + b) .

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál funkcióból f(x) kifejezésnek nevezzük F(x) + C, vagyis az adott függvény összes antideriváltjának halmaza f(x) . A határozatlan integrált a következőképpen jelöljük:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- hívott integrand ;

f(x) dx- hívott integrand ;

x - hívott integrációs változó ;

F(x) a funkció egyik antideriváltja f(x) ;

VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Például, ∫ 2 x dx =x 2 + VAL VEL , ∫ kötözősalátax dx = bűn x + VAL VEL stb. ◄

Az "integrál" szó a latin szóból származik egész szám , ami azt jelenti, hogy "helyreállítva". Figyelembe véve a határozatlan integrálját 2 x, mintegy visszaállítjuk a funkciót x 2 , amelynek származéka az 2 x. Egy függvény deriváltjából való visszaállítását, vagy ami ugyanaz, egy adott integrandus felett határozatlan integrált találni, az ún. integráció ezt a funkciót. Az integráció a differenciálás inverz művelete, az integráció helyességének ellenőrzéséhez elegendő az eredményt differenciálni és megkapni az integrandust.

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Az integrandus állandó tényezője kivehető az integráljelből:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. A függvények összegének (különbségének) integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak összegével (különbségével):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ha k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt

∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .

Az antiderivatív és határozatlan integrálok táblázata

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ÉN.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
v.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
x.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
A XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmátrix)+C $$
A táblázatban megadott primitív és határozatlan integrálokat általában ún táblázatos primitívek És táblázat integrálok .

Határozott integrál

Engedj be a közé [a; b] folytonos függvényt adott y = f(x) , Akkor határozott integrál a-tól b-ig funkciókat f(x) a primitív növekményének nevezzük F(x) ez a funkció, vagyis

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Számok aÉs b rendre hívják Alsó És tetejére integrációs korlátok.

A határozott integrál kiszámításának alapszabályai

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ahol k - állandó;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ahol f(x) páros függvény;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ahol f(x) egy páratlan függvény.

Megjegyzés . Minden esetben feltételezzük, hogy az integrandusok olyan numerikus intervallumokon integrálhatók, amelyek határai az integráció határai.

A határozott integrál geometriai és fizikai jelentése

geometriai érzék határozott integrál	fizikai jelentése határozott integrál
Négyzet S görbe trapéz (az intervallum folytonos pozitív grafikonjával határolt ábra [a; b] funkciókat f(x) , tengely Ökör és közvetlen x=a , x=b ) képlettel számítjuk ki $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pálya s, amelyet az anyagi pont legyőzött, egyenes vonalban haladva a törvény szerint változó sebességgel v(t) , egy időintervallumra a ; b], akkor az ábra azon területe, amelyet ezen függvények és egyenesek grafikonjai határolnak x = a , x = b , képlettel számítjuk ki $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Például. Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y=x 2 És y= 2-x . Sematikusan ábrázoljuk ezeknek a függvényeknek a grafikonjait, és kiemeljük azt az ábrát, amelynek területét más színnel kell keresni. Az integráció határainak megtalálásához megoldjuk a következő egyenletet: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \jobb )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

A forradalom testének térfogata

	Ha a testet a tengely körüli forgás eredményeként kapjuk Ökör görbe vonalú trapéz, amelyet az intervallumon a folytonos és nem negatív grafikon határol [a; b] funkciókat y = f(x) és közvetlen x = aÉs x = b , akkor úgy hívják forradalom teste . A forgástest térfogatát a képlet számítja ki $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ha a forgástestet egy függvénygráfokkal fent és alul határolt ábra elforgatásának eredményeként kapjuk y = f(x) És y = g(x) , illetve akkor $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Például. Számítsa ki egy sugarú kúp térfogatát! r és magasság h . Helyezzük a kúpot téglalap alakú koordinátarendszerbe úgy, hogy a tengelye egybeessen a tengellyel Ökör , és az alap közepe a koordináták origójában volt. Generátor forgása AB kúpot határoz meg. Az egyenlet óta AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
és a nálunk lévő kúp térfogatára $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

antiderivatív funkció f(x) közte (a;b) egy ilyen függvényt nevezünk F(x), ez az egyenlőség mindenre érvényes x az adott intervallumból.

Ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy az állandó deriváltja VAL VEL egyenlő nullával, akkor az egyenlőség teljesül. Tehát a funkció f(x) sok prototípusa van F(x)+C, tetszőleges állandóra VAL VEL, és ezek az antiderivatívek tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Egy függvény antideriváltjainak teljes halmaza f(x) ennek a függvénynek határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, A f(x) – integrand. Az integrandus a függvény differenciálja f(x).

Azt a műveletet, amikor egy ismeretlen függvényt az adott differenciáljával keresünk, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye egynél több függvény F(x), és primitíveinek halmaza F(x)+C.

A határozatlan integrál geometriai jelentése. A D(x) antiderivált grafikonját integrálgörbének nevezzük. Az x0y koordinátarendszerben egy adott függvény összes antideriváltjának grafikonja a C konstans értékétől függő görbecsaládot képvisel, és a 0y tengely mentén párhuzamos eltolással kapjuk meg egymást. A fenti példához a következőket találjuk:

J 2 x^x = x2 + C.

Az antideriváltak családját (x + C) geometriailag parabolák halmazaként értelmezzük.

Ha meg kell találnia egyet az antideriváltak családjából, akkor további feltételeket kell beállítani, amelyek lehetővé teszik a C állandó meghatározását. Általában erre a célra kezdeti feltételeket állítanak be: az x = x0 argumentum értékéhez a függvény rendelkezik a D(x0) = y0 érték.

Példa. Meg kell találni az y \u003d 2 x függvény antideriváltjainak értékét, amely x0 \u003d 1-nél 3 értéket vesz fel.

A kívánt antiderivált: D(x) = x2 + 2.

Megoldás. ^2x^x = x2 + C; 12+C=3; C = 2.

2. A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő magának ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. Az integrál előjelből kivehető egy állandó tényező:

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha , Azt

8. Ingatlan:

Ha , Azt

Valójában ez a tulajdonság a változó változás módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben lesz bővebben szó.

Vegyünk egy példát:

3. integrációs módszer,ún. közvetlen integráció. Amikor ezt az integrált táblázatosra redukáljuk, gyakran a differenciál következő transzformációit használják (a művelet a differenciálmű jele alá hozva»):

Egyáltalán, f'(u)du = d(f(u)). ezt (a képletet nagyon gyakran használják az integrálok számításakor.

Keresse meg az integrált

Megoldás. Használjuk az integrál tulajdonságait, és ezt az integrált több táblázatosra redukáljuk.

4. Integráció helyettesítési módszerrel.

A módszer lényege, hogy bevezetünk egy új változót, ennek a változónak a segítségével fejezzük ki az integrandust, és ennek eredményeként az integrál táblázatos (vagy egyszerűbb) alakjához jutunk.

Nagyon gyakran a helyettesítési módszer segít a trigonometrikus függvények és a gyökökkel való függvények integrálásakor.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Vezessünk be egy új változót. Expressz x keresztül z:

Elvégezzük a kapott kifejezések behelyettesítését az eredeti integrálba:

A rendelkezésünkre álló antiderivatívek táblázatából .

Már csak vissza kell térni az eredeti változóhoz x:

Válasz: