A funkció teljes Fourier periódusos folytatását jelenti. Fourier sorok. Példák a megoldásokra. Hogyan lehet bontani a funkciót a Fourier sorban
Fourier sorozat bármely ortogonális funkciórendszerhez
A szegmensen folyamatos funkciók sorrendje [ a.,b.], hívott ortogonális rendszer funkció a szegmensen[a.,b.] Ha a szekvencia összes funkciója párhuzamos ortogonális ezen a szegmensben, azaz ha
A rendszert ortogonális és normalizált (ortonormális) a szegmensen,
ha az állapot elégedett
Hadd most f.(x.) - Minden funkció folyamatosan a szegmensen [ a.,b.]. Közel Fourier Egy ilyen funkció f.(x.) a szegmensen [ a.,b.] ortogonális rendszerrel Sornak hívott:
az együtthatókat az egyenlőség határozza meg:
N \u003d 1,2, ...
Ha a szegmens ortogonális rendszere [ a.,b.] Orthonormal, akkor ebben az esetben
Hol n.=1,2,...
Hadd most f.(x.) - bármilyen funkció, folyamatos, vagy véges számú első sorrendű töréspont a szegmensen [ a.,b.]. Közel Fourier ilyen funkció f.(x.) a Tomsel szegmensen
az ortogonális rendszer szerint egy sorozatot hívnak:
Ha egy sorozat Fourier funkció f.(x.) A rendszeren (1) a funkcióhoz konvergál f.(x.) Mindegyik folytonosságát, amely a szegmenshez tartozik [ a.,b.]. Ebben az esetben azt mondják f.(x.) a szegmensen [ a.,b.] Bomlik egy sorban az ortogonális rendszer mentén (1).
Fourier összetett formája
A kifejezést a Fourier funkció sorozatának átfogó formájának nevezik f.(x.) Ha az egyenlőség határozza meg
,Hol
Az átmenet egy Fourier sorból egy komplex formában egy sorban érvényes formában, és fordított a képletek segítségével:
(n.=1,2, . . .)
Az ingadozó karakterláncok feladata
Tegyük fel, hogy a húr egyensúlyi állapotában hosszú l. Végeivel x \u003d.0 I. x.=l.. Tegyük fel, hogy a karakterlánc az egyensúlyi állapotból származik, és szabad oszcillációt végez. Figyelembe vesszük a függőleges síkban előforduló karakterlánc kis ingadozását.
A fenti feltételezésekkel megmutathatja, hogy a funkció u.(x, T.), A karakterlánc helyzetét minden idő pillanatában jellemzi t, Megfelel az egyenletnek
(1), ahol A pozitív szám.
A D és H A - Találjon egy funkciót u.(x, T.), amelynek grafikonja bármikor megadja a karakterlánc alakját T., azaz megtalálja az (1) egyenlet megoldását határértékkel:
és a kezdeti feltételek:
Először is meg fogunk keresni olyan egyenlet (1) megoldásokat, amelyek megfelelnek a határfeltételeknek (2). Ez könnyű látni u.(x.,t.) 0 az (1) egyenlet (1) megoldása, amely megfelel a határfeltételeknek (2). Olyan megoldásokat keresünk, amelyek nem egyenlőek, mint a munka formájában u.(x, T.)=X.(x.)T.(t.), (4), hol ,.
Vállalati szubsztitúció (4) az (1) egyenletben:
Amelyből a feladatunk az egyenletek megoldásainak megtalálása:
Ez a feltétel használata X.(0)=0, X.(l.) \u003d 0, bizonyítjuk, hogy negatív szám, törés minden esetben.
a) Hagyja X."\u003d 0 és ez közös döntés Ilyen hibák:
ott, ahol lehetetlen, mivel olyan megoldásokat tekintünk, amelyek nem azonosak nullával.
b) engedje. Ezután eldöntse az egyenletet
kapunk, és alárendelt, ezt találjuk
c) Ha akkor
Az egyenletek gyökerei vannak:
hol 
- az állandó. A kezdeti állapotból megtaláljuk:
hol, vagyis
(n.=1,2,...)
(n.=1,2,...).
Adja meg, írhat:
(N \u003d 1,2, ...).
És ezért
, (n.=1,2,...),
de mivel az A és B különbözik az n különböző értékekre
, (n.=1,2,...),
hol és önkényes állandók, hogy megpróbáljuk meghatározni oly módon, hogy a sorozat elégedett egyenlet (1), peremfeltételek (2) és a kezdeti feltételek (3).
Tehát alárendelt funkció u.(x, T.) kezdeti feltételek, azaz kiválasztjuk, és így a feltételek
Ezek az egyenlőségek a funkciók bomlása és a szegmensek egy sor négyesebb szinuszban. (Ez azt jelenti, hogy az együtthatókat a páratlan funkciókra számítják). Így a meghatározott határ- és kezdeti feltételekkel való ingadozásának döntése a
(n.=1,2,...)
Integrált Fourier
Elegendő feltételek a függvény ábrázolhatóságához a Fourier integrált.
Azért, hogy f.(x.) A Fourier integrált a folytonosság minden pontjában és a megfelelő réspontokban, elég:
1) abszolút integrálás
(azaz integrált konvergé)
2) bármely véges szegmensen [- L., L.] A funkció egy darabos zökkenőmentes lenne
3) Azon a ponton, megtörve a funkciója, Fourier integrál határozza meg a balkezes és jobb korlátokat ezeken a pontokon, és a folytonosság pontot a funkciót is f.(x.)
Az F (x) Fourier integrált funkciót az űrlap integrálja:
Hol 
,
.
Fourier integrált egyenletes és páratlan funkciókért
Legyen f.(x.) -Bell funkció, amely megfelel a Fourier-integrált ábrázolhatóság feltételeinek.
Figyelembe véve ezt, valamint az integrált integrált tulajdonát szimmetrikus relatív módon x.\u003d 0 intervallum az egyenletességtől, az egyenlőségtől (2):
(3)
Így az egyenletes funkció foundier integrálja f.(x.) Ilyen hibák:
,
hol a.(u.) Az egyenlőség által meghatározott (3).
Hasonlóan vitatkozunk, furcsa funkciót kapunk f.(x.) :
(4)
És ezért a páratlan funkció Fourierének integrálja:
,
hol b.(u.) Az egyenlőség által meghatározott (4).
A Fourier-integrált átfogó formája
, (5)
.
A formában (5) kifejezés egy átfogó Fourier integrált forma a funkcióhoz f.(x.).
Ha a (5) képletben cserélje ki c.(u.) Az ő kifejezése, akkor kapunk:
ahol a képlet jobb oldalát hívják kettős integrált
Fupeier átfogó formában. Átmenet a Fourier integrált átfogó formában az integrált
valódi formában és fordítottan megvalósítva a képletek segítségével:
Formulák diszkrét transzformáció Fourier
Fordított Fourier transzformáció.
hol N.=1,2,... , k.=1,2,...
Diszkrét Fourier transzformációt hívnak N.- Dimenziós vektor
ahol.
2. fejezet.
Gyakorlati rész
Közel Fourier Az F (x) funkciókat az intervallum (-π; π) az űrlap trigonometrikus sorozata nevezik:hol
.
Az F (X) Fourier funkció közelében (-l; L) az űrlap trigonometrikus sorozata: 
hol
.
Célja. Online számológép Úgy tervezték, hogy a F (X) funkciót négyesebb sorban lehessen bontani.
Modulfunkciókhoz (pl. | X |), Használat koszinus bomlása.
A funkciók beírására vonatkozó szabályok:
A modulfunkciókhoz használja a koszinuszbomlást. Például | x | Szükséges egy funkció beírása modul nélkül, azaz x.Fourier sorozat piecewise folyamatos, monoton és korlátozott az intervallumon (- l.;l.) A funkciók konvergálnak a teljes numerikus tengellyel.
A Fourier Series S (X) összege:
- ez egy periodikus funkció 2 l.. Az u (x) funkciót periodikusnak nevezzük, T-periódussal (vagy T-periodikus), ha az összes r, u (x + t) \u003d u (x).
- az intervallumon (- l.;l.) Egybeesik a funkcióval f.(x.), kivéve a pontokat
- a szünetpontokon (elsőfajta, mert a funkció korlátozott) funkciók f.(x.) És az intervallum végein átlagokat vesz igénybe:
Azt mondják, hogy a funkciót a Fourier sorozatban helyezik el (- l.;l.):
.
Ha egy f.(x.) - Még a funkció, majd csak a funkciók is részt vesznek abban, hogy bomlástalanul, vagyis, b N.=0.
Ha egy f.(x.) - páratlan funkció, akkor csak páratlan funkciók vesznek részt a bomlást, azaz, n.=0
Közel Fourier
Funkciók f.(x.) az intervallumon (0; l.) a COSINE DOUGSES-en
Sornak hívott: 
hol 
.
Közel Fourier
Funkciók f.(x.) az intervallumon (0; l.) több ív szinincin
Sornak hívott: 
hol 
.
A Fourier sorozat összege a többszörös ívek koszinuszával egyenletes periódusos funkció 2 l.Egybeesik az S. f.(x.) az intervallumon (0; l.) A folytonossági pontokon.
A többszörös ívek szinosaiban lévő Fourier sorozat összege páratlan időszakos funkció 2 l.Egybeesik az S. f.(x.) az intervallumon (0; l.) A folytonossági pontokon.
A Fourier sorozat Ehhez a funkcióhoz ezen az intervallumban az egyediség tulajdonsága van, vagyis ha a bomlást bármely más módon kapják meg, mint a formulák alkalmazása, például az együtthatók kiválasztásával, akkor ezek az együtthatók egyeznek a kiszámított képletekkel a képletek.
1. példa 1. Feladat F.(x.)=1:
a) a Fourier teljes körében az intervallumon(-π ;π);
b) egy sorban többszörös ívek az intervallumon(0;π); Építsen egy grafikonot a kapott Fourier sorozatból
Döntés:
a) A Fourier sorozatban lévő bomlást az intervallumban (-π; π) tartalmazza: 
,
És minden együtthatók b N.\u003d 0, mert Ez a funkció még; Ilyen módon
Nyilvánvaló, hogy az egyenlőséget elvégzik, ha figyelembe veszi
de 0 =2, de 1 =de 2 =de 3 =…=0
Az egyediség tulajdonságai alapján ez a kívánt együtthatók. Így a kívánt bomlás: 
vagy csak 1 \u003d 1.
Ebben az esetben, ha egy sorozat azonos módon egybeesik a funkciójával, a Fourier sorozatának ütemezése egybeesik a teljes numerikus vonal működésének ütemezésével.
b) A többszörös ívek szinincin (0; π) bomlása a következő formában van:
Nem lehet kiválasztani az együtthatókat, hogy az egyenlőség azonos módon lehetetlen. Az együtthatók kiszámításának képletét használjuk:
Így, még n. (n.=2k.) Van b N.\u003d 0, furcsa ( n.=2k.-1) - 
Végül, 
.
Az ebből eredő Fourier sorozat grafikonját a tulajdonságok segítségével (lásd fent).
Először is, létrehozunk egy grafikonot ennek a funkciónak meghatározott intervallum. Ezután a szám összegének pontossága segítségével folytatjuk az ütemtervet szimmetrikusan a koordináták kezdetén: 
A teljes numerikus tengelyen időszakos módon folytatjuk: 
És végül, a réspontok kitöltése az érték átlagát (a jobb és a bal oldali határérték között): 
2. példa 2. szám. Elutasítsa a funkciót 
Az intervallum (0; 6) többszörös ívek szinincin.
Döntés: A kívánt bomlást az űrlapja:
A bal oldalon, és az egyenlőség jobb része csak tartalmaz funkciók bűn. Különböző érvekből ellenőrizze, hogy megfeleljenek-e az N (természetes!) Összes értékét az egyenlőség bal és jobb részeiben lévő szinuszok érvei:
Vagy, ahonnan n \u003d 18. Ez azt jelenti, hogy az ilyen kifejezés a jobb oldalon található, és az együtthatóval együtt kell egyeznie a bal oldalon lévő együtthatóval: b. 18 =1;
Vagy, ahonnan n \u003d 4. Azt jelenti b. 4 =-5.
Így az együtthatók kiválasztásával a kívánt bomlást kaptuk:
Amely már elfáradt. És úgy érzem, hogy a pillanat akkor jött, amikor itt az ideje, hogy az új konzerv élelmiszerelméletet a stratégiai tartalékokból kivonjuk. Lehetőség van arra, hogy a funkciót egymás után különböző módon lehessen lebontani? Például kifejezzen egy egyenes vonal vágását a szinuszok és a kozincsek révén? Hihetetlennek tűnik, de úgy tűnik, távol van egymástól.
"Reunion". Az elméletben és a gyakorlatban található festett fokokon kívül más megközelítések is vannak a funkció bomlására.
Ebben a leckében megismerkedünk a Trigonometric közelében a Fourier közelében, figyelembe véve a konvergenciát és összegeit, és természetesen számos példát fogunk elemezni a funkciók bomlására a Fourier sorozatban. Őszintén én őszintén akartam felhívni a cikket "Fourier Sors for Doodles" -re, de lucavizmus lenne, mert megoldani a problémákat, a matematikai elemzés más szakaszainak ismerete és néhány gyakorlati tapasztalat szükséges. Ezért a preambulum hasonlít az űrhajósok képzésére \u003d)
Először is, az oldal anyagainak tanulmányozását kiváló formában kell megközelíteni. Én túléltem, pihentettem és józan. Anélkül, hogy erős érzelmek nélkül a törött hörcsög mancsairól és az akváriumi halak életéről megszállott gondolatairól. A Fourier sorozat nem bonyolult a megértés szempontjából, azonban a gyakorlati feladatok egyszerűen megnövekedett koncentrációt igényelnek - ideális esetben teljesen levonni kell a külső ingerekből. A helyzet súlyosbítja azt a tényt, hogy a megoldás és a válasz ellenőrzésének legegyszerűbb módja. Így, ha az egészségi állapot az átlag alatti, akkor jobb, ha valami könnyebben csinálni. Igazság.
Másodszor, mielőtt az űrbe repülne, meg kell tanulnod a műszerfalat űrhajó. Kezdjük a funkciók értékeivel, amelyeket a gépen le kell zárni:
Természetes jelentőséggel:
egy). Valójában a sinusoid "öltés" az abszcissza tengelyen keresztül minden "pi":
. Az érvelés negatív értékei esetében az eredmény természetesen ugyanaz lesz :.
2). De nem tudtam mindenki. A "pi en" cosine a "Flashers" megfelelője:
A negatív üzleti érv nem változik: 
.
Talán elég.
És harmadszor, kedves Cosmonaut leválása, meg kell tudnod ... egyesít.
Különösen magabiztosan tegyen egy funkciót a differenciál jele alatt, integrálja az alkatrészeket és legyen freaks newton Labau képlet. Kezdjük a fontos feltételezett gyakorlatokat. Én kategorikusan nem javaslom átadásra, hogy ne legyen a súlytalanságban:
1. példa.
Bizonyos integrálok kiszámítása
ahol természetes értékeket kap.
Döntés: Az integrációt az "X" változó szerint végezzük, és ebben a szakaszban az "EN" diszkrét változót állandónak tekintik. Minden integrálban söpörje meg a funkciót a differenciál jele alatt:
A megoldás rövid változata, amelyhez jó lenne lőni, így néz ki:
Hozzászokni:
Négy maradt elem egyedül. Próbáld meg lelkiismeretesen kezelni a feladatot, és röviden rendezze az integrálokat. Minta megoldások a lecke végén.
Kiváló minőségű gyakorlatok után a szóközökre helyeztük
És készülj fel a kezdetre!
A függvény bomlása egy négyesebb sorban az intervallumon
Tekintsünk egy bizonyos funkciót meghatározott Legalábbis az intervallumban (a, talán nagyobb időközönként). Ha ez a funkció a szegmensre van integrálva, akkor a trigonometrikusra bomlik négyesebb sor:
hol - az úgynevezett fourier koefficiensek.
A hívott számmal bomlási időszakés szám - félidőes bomlás.
Nyilvánvaló, hogy az általános esetben a Fourier sorozat szinuszokból és koszinuszból áll: 
Valójában részletesen írjuk:
A sorozat nulla tagja szokásos formában.
A Fourier-együtthatókat a következő képletek szerint kell kiszámítani: 
Tökéletesen megértem, hogy az új kifejezések csökkentek a kezdőknek, hogy tanulmányozzák a témát: bomlási időszak, szemetheria, fourier koefficiensek et al. pánik nélkül, nem hasonlítható össze az izgalomhoz, mielőtt belépne a szabadtéri térbe. Mindent leírunk a közeljövőben, mielőtt elvégeznénk, amelyet logikus, hogy megnyomja gyakorlati kérdések:
Mit kell tenni a következő feladatokban?
Szállíthatja a funkciót a Fourier sorban. Ezenkívül gyakran szükség van a funkció grafikonjának ábrázolására, a sor összegére, a részösszegre és a kifinomult professzorfunkció fantáziáira történő ábrázolására - valami mást.
Hogyan lehet bontani a funkciót a Fourier sorban?
Lényegében meg kell találni fourier koefficiensek , azaz, töltse ki és számítsa ki a háromat bizonyos integrált.
Kérjük, írja át egy Fourier sorozat és három munkaköri képlet általános nézetét egy notebookba. Nagyon örülök, hogy a webhely látogatója a szememben a gyerekek álma, hogy űrhajós legyen \u003d)
2. példa.
Küldje el a funkciót a Fourier sorozatban az intervallumon. Építsen ütemtervet, grafikonszámot egy szám és részleges összeg.
Döntés: A feladat első része az, hogy lebomlik a funkció a Fourier sorozatban.
Indulás kezdete, győződjön meg róla, hogy írja le azt:
Ebben a problémában a bomlás időtartama, félidőszak.
Terjessze a funkciót Fourier sorozatban az intervallumban: 
A megfelelő képletek használatával megtaláljuk fourier koefficiensek. Most már ki kell töltenie és kiszámolnia kell bizonyos integrált. A kényelem érdekében számozott tételek lesznek:
1) Az első integrált a legegyszerűbb azonban, és szükség van egy szemre Igen szemre: 
2) A második képletet használjuk:
Ez az integrált jól jel, és alkatrészeket vesz fel: 
Ha használják, használják a függvények felmérésének módja a differenciáljelek jele alatt.
Ebben a feladatban hasznos lehet azonnal használni integrációs integrációs formula specifikus integrált 
:
Egy pár technikai megjegyzés. Először is, a képlet alkalmazása után minden kifejezést nagy zárójelbe kell adniaMivel az állandó az eredeti integrált előtt helyezkedik el. Ne veszítse el! A zárójeleket további lépésen feltüntethetjük, legalábbis a legkevésbé tettem. Az első "darab" 
A szubsztitúcióban szélsőséges pontosságot mutatunk, amint azt látod, az állandó nem olyan esetekben van, és az integrációs határértékek a munkába kerülnek. Ezt a műveletet szögletes zárójelek kiemelik. Nos, a képlet második "darabjának" integrálja jól ismeri a képzési feladatot ;-)
És a legfontosabb dolog a figyelem maximális koncentrációja!
3) Harmadik Fourier-együtthatót keresünk:
Megkapta az előző integrált rokonát, amely is integrálja az alkatrészeket:
Ez az eset kissé bonyolult, kommentálja a további lépéseket lépésről lépésre: 
(1) A kifejeződés teljesen nagy zárójelben zárul. Nem akartam unalmasnak lenni, túl gyakran elveszíti az állandóságot.
(2) Ebben az esetben azonnal kiderítettem ezeket a nagy zárójeleket. Speciális figyelem Fizetjük az első "darabot": az állandó füstölők a pálya szélén, és nem vesz részt az integrációs határértékek (és) helyettesítésében a munkába. A felvétel klaszterületének köszönhetően ez a művelet ismét ajánlatos kiemelni a szögletes zárójelekkel. A második "darab" 
Minden könnyebb: itt a frakció a nagy zárójelek közzététele után jelent meg, és a konstans - az ismerős integrál integrációjának következtében ;-)
(3) A szögletes zárójelben átalakítást végezünk, és az integrációs határértékek megfelelő integrált - helyettesítése.
(4) A négyzet alakú zárójelből "Flasher" -t végezünk:, amely után feltárjuk a belső zárójeleket :.
(5) Csökkentse az 1 és -1 zárójelben, végleges egyszerűsítéseket végezünk.
Végül mindhárom négyesebb együtthatót találtak: 
Helyettesítse őket a képletben 
:
Ugyanakkor ne felejtsd el félbe osztani. A konstans utolsó lépése ("mínusz két"), az "EN" -től függetlenül az összegen túl.
Így a Fourier-es sorban bomlást kaptunk az intervallumban: 
Tanuljunk meg a Fourier sorozat konvergenciájának kérdését. Különösen megmagyarázom az elméletet tétel Dirichlet., szó szerint "az ujjaidon", így ha szigorú megfogalmazásra van szükség, kérjük, olvassa el a matematikai elemzés tankönyvét (például a 2. Tom Buchana; vagy a 3. térfogata Fihtendulz, de nehezebb benne).
A feladat második részében meg kell ábrázolni az ütemezést, a tartomány összegét és a részleges összegű grafikonot.
A funkció grafikonja a szokásos egyenesen a síkonamelyet egy fekete pontozott vonal végeztünk: 
A sor összegével foglalkozunk. Mint tudják, a funkcionális sorozat konvergál a funkciókhoz. A mi esetünkben egy épített Fourier sorozat 
bármilyen jelentése "x" A piros színű függvényre kerül sor. Ez a funkció elvisel rasp 1 Pontokon, de meghatározva őket (piros pontok a rajzban)
Ily módon: 
. Könnyen látható, hogy mi az észrevehetően eltér a forrásfunkciótól, ezért a rekordban 
A "TIDA" ikon be van állítva, nem az egyenlőség jele.
Az algoritmust tanulmányozzuk, amely szerint kényelmes a sor összegének felépítéséhez.
A központi intervallumban a Fourier sorozat maga a funkcióhoz közeledik (a központi piros vágás egybeesik a lineáris funkció fekete pontozott vonalával).
Most érleltük a vizsgált trigonometriás bomlás jellegét. Egy sorban Fourier 
csak időszakos funkciók (állandó, szinuszok és koszinusz), így a sor összege 
egy periodikus funkciót is jelent.
Mit jelent ez a példaunkban? És ez azt jelzi, hogy a sor összege 
– Természetesen időszakos És a piros intervallum vágás köteles ismételten megismételni a bal és a jobb oldalon.
Azt hiszem, most végre töröltem a "bomlási időszak" kifejezését. Egyszerűen beszélő, minden helyzeten újra és ismét megismétli.
A gyakorlatban általában elegendő, hogy három bomlási időszakot ábrázoljon, ahogy a rajzban történik. Nos, a szomszédos időszakok "hardvere" - megérteni, hogy az ütemterv folytatódik.
Különösen érdekes az 1. fajta réspontja. Ilyen pontokon a Fourier sor olyan izolált értékekre konvergál, amelyek Rasnohonko-t találnak a szünet "ugrás" közepén (piros pontok a rajzban). Hogyan tanulhatjuk meg ezeket a pontokat? Először keresse meg az ordinát "felső emelet": Ehhez kiszámítjuk a funkció értékét a központi bomlási időszak szélsőjobb pontján :. Az "alsó padló" ordinát kiszámításához a legegyszerűbb módja annak, hogy az azonos időszak bal szélső értékének legegyszerűbb legyen: 
. Az átlagérték ordinátuma a "Verkh és Niza" számtani mennyisége :. A kellemes az a tény, hogy a rajz építésénél azonnal látni fogja, helyesen vagy helytelenül kiszámítva a középső.
A sor részleges összegét és ugyanakkor megismételjük a "konvergencia" kifejezés jelentését. A leckétől kezdve a motívum ismert numerikus sor összege. Betegségünk részletesen:
A részleges összeget összeállításához szükség van nulla + két további tagot kell rögzíteni. Azaz,
A rajzon a funkció grafikonját zöld színt ábrázolja, és ahogy láthatja, szorosan "becsomagolja" a teljes összeget. Ha egy sorozat öt tagjának részleges összegét veszi figyelembe, akkor ennek a funkciónak a grafikonja még pontosabb lesz, hogy vörös vonalakat hozzon létre, ha száz tagja - akkor a "zöld csípő" valóban teljesen panaszkodik a piros szegmensekkel, stb. Így a Fourier sorozat az összegre konvergál.
Érdekes megjegyezni, hogy bármely részleges összeg folyamatos működésAzonban a sor teljes mennyisége még mindig megszakad.
A gyakorlatban nem olyan ritkán szükséges egy részösszeg grafikon létrehozásához. Hogyan kell csinálni? A mi esetünkben figyelembe kell venni a szegmens funkcióját, kiszámíthatja értékeit a szegmens végén és közbenső pontokon (minél több pont - annál pontosabb az ütemterv). Ezután meg kell jelölnie ezeket a pontokat a rajzban, és óvatosan ábrázolja az ütemtervet az időszakra, majd "dörzsölje" a szomszédos időközöknek. Hogyan másképp? Végtére is, a megközelítés egy periodikus funkció is ... ... valami grafikája emlékeztet engem még a szívritmusra az orvosi eszköz kijelzőin.
Nem túl kényelmes az építés elvégzéséhez, mivel szükség van a szupercsévélésre, a pontosságnak a mérlegelésének nem kevesebb, mint fél milliméter. Azonban az olvasók, akik nem freakok a rajzolással, meg fogom csinálni - a "igazi" feladatot, hogy rajzoljon egy rajzot, ez nem mindig lehetséges, valahol az esetek 50% -ában szükséges a Fourier sorozatban lévő funkció lebontása ez az.
A rajz befejezése után befejezzük a feladatot:
Válasz: 
Sok feladatban a funkció tolerál rés A bomlási időszakra:
3. példa.
Lapozzunk a Fourier sorozatba a szegmensen megadott függvénybe. Rajzoljon a funkció grafikonját és a sor teljes mennyiségét.
A javasolt funkció részre van állítva (és észre, csak a szegmensen) És elvisel rés Pontban. Lehetőség van a Fourier-együtthatók kiszámítására? Nincs mit. És a funkció bal és jobb részei integrálódnak az időközönként, így a három képlet mindegyikének integráljait két integrációs összegként kell képviselni. Lássuk például, hogy ez hogyan történik a nulla koefficiensnél:
A második integrált úgy tűnt, hogy egyenlő nulla, ami elvesztette működését, de ez nem mindig történik.
Hasonlóképpen két másik négyesebb együtthatót ismertetünk.
Hogyan ábrázoljuk a sor összegét? A bal oldali intervallumon, az egyenes vonal szegmense és az intervallumon - az egyenes vonal (bátran mérlegeli a tengelyszakaszot). Vagyis a bomlás intervallumában a sor összege egybeesik a funkcióval mindenhol, a három "rossz" ponton kívül. A függvény szünetpontjában a Fourier sor egy elszigetelt értékre kerül sor, amely pontosan a szünet középső "ugrás" -ján található. Könnyű látni és orálisan: baloldali határ: jobb oldali határérték: 
És nyilvánvaló, hogy a középpont ordinátuma 0,5.
Az összeg gyakoriságának köszönhetően a képet "szaporítják" a szomszédos időszakokra, különösen, hogy ugyanezt ábrázolják az időközönként és. Ugyanakkor a pontoknál a Fourier sor a medián értékekre kerül.
Valójában itt nincs semmi új.
Próbáld ki magad, hogy megbirkózzunk ezzel a feladattal. Példamutató minta kialakítása és rajz a lecke végén.
A függvény bomlása Fourier sorban tetszőleges időszakban
Egy tetszőleges lebontási időszak, ahol a „El” - bármilyen pozitív szám, képletek egy sor Fourier és Fourier-együtthatók alapján különböztethető meg egy kissé bonyolult érvelés a szinusz és koszinusz:
Ha a rés-formulák, amelyekből elkezdődött.
A probléma megoldásának algoritmusa és elvei teljesen megmaradnak, de a számítások technikai összetettsége nő:
4. példa.
Távolítsa el a funkciót egy Fourier sorozatban, és építsen egy összefoglalót. 
Döntés: valójában a 3. példa szerinti analóg rés Pontban. Ebben a problémában a bomlás időtartama, félidőszak. A funkció csak a félig intervallumon van meghatározva, de ez nem változtatja meg az esetet - fontos, hogy mindkét funkció integrálható legyen.
Terjessze a funkciót Fourier sorozatban:
Mivel a funkció megszakad a koordináták elején, akkor mindegyik Fourier együttható nyilvánvalóan két integrációs összege formájában íródik:
1) Az első integrált a lehető legtöbbet írja:
2) Óvatosan vegye be a Hold felszínét:
Második integrált vegye be az alkatrészeket:
Mit kell fizetni, miután megkérjük a csillagokat, hogy nyissa meg a megoldás folytatását?
Először is, ne veszítse el az első integrált 
ahol azonnal végre a differenciáljelek összegzése. Másodszor, ne felejtsd el a betegeknél a nagyméretű konzolokat és ne keverje össze a jeleket A képlet használata esetén. Nagyméretű zárójelek, végül is kényelmesebb, hogy azonnal feltárja a következő lépésben.
A többi technológia, a nehézségek csak a megoldásokkal kapcsolatos tapasztalatok hiányát okozhatják.
Igen, nem csoda, hogy a francia matematika híres kollégái Fourier volt felháborodott - Hogyan terjeszti ezt a dararokat a funkciókat trigonometrikus sorokba?! \u003d) Egyébként, valószínűleg mindenki érdekes mindenkinek a kérdéses feladat gyakorlati jelentésében. Fourier maga dolgozott a termikus vezetőképesség matematikai modelljén, és ezt követően egy számot hívott a neve, hogy sok időszakos folyamatot tanulmányoztak, ami a környező világban látszólag láthatatlan. By the way, az úton, azt gondolom, hogy nem véletlenül hasonlította össze a második példa grafikonját a szív időszakos ritmusával. Az érdeklődők képesek megismerni magukat a gyakorlati fourier transzformáció Harmadik fél forrásaiban. ... bár jobb, nem szükséges - emlékszem, hogy az első szerelem \u003d)
3) Tekintettel az ismételten említett gyenge linkekre, foglalkozunk a harmadik koefficienssel:
Az alkatrészekbe integrálunk: 
Helyettesítse a talált négyesebb együtthatót a képletben 
, ne feledje el, hogy felosztja a nulla koefficiint fele:
Egy szám összegének ütemezése. Röviden ismételje meg az eljárást: az intervallumon egyenes vonalat építünk, és az intervallum egyenes. Az "X" nulla értékén a rés "ugrásának" közepén helyezkedtünk el, és a szomszédos időszakok ütemezését: 
Az időszakok "ízületei", az összeg egyenlő lesz a rés "ugrásának" közepével is.
Kész. Emlékeztetem arra, hogy a funkciót csak a félintervallumban, és nyilvánvalóan egybeesik a tartomány összegével az időközönként
Válasz:
Néha a speciális meghatározott funkció folyamatos a bomlási időszakban. A legegyszerűbb minta: 
. Döntés (Lásd a 2. Tom Buchana-t) Ugyanaz, mint a két korábbi példa: annak ellenére folytonossági funkció A ponton mindegyik Fourier együtthatót két integrált összege fejezi ki.
A bővítési intervallumon az 1. fajta növekvő pontjai és / vagy a "közös" pontok a menetrend lehet több (két, három és általában véges Mennyiség). Ha a funkció be van építve minden egyes részre, akkor a Fourier sorozatban is lebomlik. De a gyakorlati tapasztalatból egy ilyen történet, amit nem emlékszem valamire. Mindazonáltal nehezebb feladatok vannak, mint a csak megvizsgálták, és a cikk végén mindenki számára vannak hivatkozások a Fourier sorozatú emelkedett komplexitásra.
Időközben pihenünk, a székekbe támaszkodva és a végtelen csillagos szóközök szemlélve:
5. példa.
Küldje el a funkciót egy Fourier sorozatban az intervallumon, és építsen egy ütemtervet a sor összege.
Ebben a feladatban a funkció folyamatos A bomlás félintervallumában, amely leegyszerűsíti a megoldást. Minden nagyon hasonlít a 2. példára. Az űrhajóból nem bárhol - el kell döntenie \u003d) a terv példakénti mintáját a lecke végén, az ütemterv csatolva van.
Bomlás egy sor négyesebb olvasási és páratlan funkciókhoz
Az egyenletes és páratlan funkciókkal a probléma megoldásának folyamata észrevehetően egyszerűsödik. És ezért. Visszatérzünk a funkció bomlására a Fourier sorozatban a "két pi" időszakban 
és önkényes időszak "két el" 
.
Tegyük fel, hogy a funkciók fekete. A sorozat általános tagja, ahogy látja, tartalmaz koshinuses és páratlan szinuszokat. És ha egyenletes funkciót fektetünk, akkor miért kell furcsa szinuszok?! Állítsuk vissza a szükségtelen együtthatót :.
Ilyen módon egy egyszerű funkció egy négyesebb sorban, csak a COSINE:
Amennyiben integrálja a funkciókatszimmetrikus relatív nulla szerint az integráció szegmense megduplázható, a többi Fourier együtthatók egyszerűsödnek.
A rés: 
Önkényes rés esetén: 
A Matanaliz bármely tankönyvében gyakorlatilag olyan shittomatikus példákhoz, amelyek tartalmazzák az olvasási funkciók bomlását. 
. Ezenkívül többször találkoztak a személyes gyakorlatomban:
6. példa.
Dana funkció. Igényel:
1) a funkciót a Fourier sorozatban egy olyan időszakra bontja le, ahol - tetszőleges pozitív szám;
2) Record bomlás az intervallumon, építsen egy funkciót és grafikonot a sor teljes mennyiségének.
Döntés: Az első bekezdésben javasoljuk, hogy megoldja a problémát általában, és nagyon kényelmes! A megvalósítás megjelenik - csak helyettesítse az értékét.
1) Ebben a problémában a bomlás időtartama, félidőszak. Közben további intézkedés, Különösen az integráció során az "El" állandónak tekinthető
A funkció egyenletes, ezért csak a COSINE: 
.
A Fourier-koefficiensek képleteket keresnek 
. Figyeljen a feltétel nélküli előnyökre. Először is az integráció a bomlás pozitív szegmensével történik, ezért biztonságosan megszabadulunk a modultól 
, két darabból csak "x" -ről vizsgálva. Másodszor, az integráció észrevehetően egyszerűsíthető.
Kettő: 
Az alkatrészekbe integrálunk:
Ily módon:
Ugyanakkor az állandó, amely nem függ az "EN" -tól, kivesszük az összeget.
Válasz: 
2) bomlást írunk az intervallumon, erre, az általános képletben helyettesítjük a félidőszak kívánt értékét:
Trigonometric Fourier trigonometrikus Számos fajnak hívják
a.0 /2 + a.1 cos. x. + b.1 bűn x. + a.2 cos2. x. + b.2 Sin2. x. + ... + a.n cos. nX. + b.n bűn nX. + ...
ahol a számok a.0 , a.1 , b.1 , a.2 , b.2 , ..., a.n, b.n, ... - Fourier koefficiensek.
A "Sigma" szimbólummal egy négyesebb sorozat tömörített felvétele:
Ahogy éppen telepítettünk, ellentétben a teljesítménysorozattal, több Fourierben a legegyszerűbb funkciók helyett 
Próbált trigonometrikus funkciókat
1/2, cos. x.bűn. x., Cos2. x., Sin2. x...., cos nX.bűn. nX., ... .
A Fourier-együtthatókat a következő képletek szerint kell kiszámítani:
,
,
.
A fenti funkciók számos Fourierben periodikus funkciók 2 π . A Trigonometric Series Fourier minden tagja időszakos funkció 2-es időszakban. π .
Ezért a Fourier sorozat bármely részleges összege 2 π . Ebből következik, hogy ha a Fourier sorozat a szegmensre konvergál [- π , π ], akkor a teljes numerikus vonalat és annak összegét konvergálja, amely az időszakos részösszegek sorrendjének határértéke egy periodikus függvény 2 π .
A Fourier sorozat konvergenciája és a sor összege
Hagyja a funkciót F.(x.) a teljes numerikus közvetlen és időszakos időszakban 2 π a funkció időszakos folytatása f.(x.) Ha a szegmensen [- π , π ] bekövetkezik F.(x.) = f.(x.)
Ha a szegmensen [- - π , π ] Fourier Sor konvergál a funkcióhoz f.(x.), akkor az egész numerikus közvetlen irányítására konvergálja az időszakos folytatását.
A válasz a kérdésre, hogy milyen feltételek mellett számos Fourier funkció f.(x.) Ezzel a funkcióval konvergál, adja meg a következő tételeket.
Tétel. Hagyja a funkciót f.(x.) és származéka f "(x.) - folyamatos a szegmensen [- π , π ] Vagy véges számú réspontja van az 1. nemzetségről. Majd a Fourier funkció sora f.(x.) konvergálja az egész numerikus közvetlen, és minden ponton x. a szegmenshez tartozó [- π , π ], ahol f.(x.) Folyamatos, a sor összege egyenlő f.(x.), és minden ponton x.0 GAP funkció A sor összege megegyezik a funkció átlagos aritmetikai határaival f.(x.) Jobb és bal:
,
hol 
és 
.
A szegmens végén [- π , π ] A sor összege megegyezik a függvény átlagos aritmetikai értékeivel a bomlási időszak szélsőséges bal oldali és szélsőséges jobb pontjainak:
.
Bármilyen ponton x. a szegmenshez tartozó [- π , π ], a Fourier sorozat összege egyenlő F.(x.) , Ha egy x. - folytonossági pont F.(x.), és egyenlő az átlagos aritmetikai határértékekkel F.(x.) Bal és jobb:
,
ha egy x. Rippoint F.(x.), hol F.(x.) - Időszakos folytatás f.(x.) .
1. példa. Időszakos funkció f.(x.) 2-es időszakra π Az alábbiak szerint definiált:
Könnyebb ez a funkció meg van írva f.(x.) = |x.| . Távolítsa el a funkciót egy Fourier sorozatban, hogy meghatározza a sorozat konvergenciáját és a sor összegét.
Döntés. Meghatározzuk a funkció négyesebb együtthatóit:
Most már van mindent, hogy megkapjunk egy Fourier sorozatot ennek a funkciónak:
Ez a sorozat minden ponton konvergál, és összege megegyezik ezzel a funkcióval.
Megoldja a feladatot a Fourier soraiban saját, majd nézze meg a döntést
Fourier sorozat olvasási és páratlan funkciókhoz
Hagyja a funkciót f.(x.) a szegmensen [- - π , π ] És tudatában van, vagyis, f.(- x.) = f.(x.) . Ezután az együtthatók b.n. egyenlő nulla. És az együtthatókért a.n. A következő képletek igazak:
,
.
Legyen most f.(x.) a szegmensen meghatározott [- π , π ], páratlan, vagyis f.(x.) = - F.(- x.) . Aztán Fourier együtthatók a.n. egyenlő nulla, és együtthatók b.n. Meghatározzuk a képletet
.
Amint látható a fent említett formulákból, ha a funkció f.(x.) Fiatalabb, akkor a Fourier sorozat csak a kosárokat tartalmazza, és ha furcsa, akkor csak a szinuszok.
3. példa.
Döntés. Ez egy furcsa funkció, így a Fourier-koefficiensek, és megtalálni, ki kell számolnia egy konkrét integrált:
.
Ez az egyenlőség mindenki számára érvényes. A pontoknál a második bekezdésben bemutatott tétel szerint a Fourier sorozat összege nem egyezik meg a funkció értékével, de egyenlő 
. A szegmensen kívül a sor összege a funkció periodikus folytatása, annak ütemtervét a szám összegének ábrázolásaként adták meg.
4. példa. Küldje el a Fourier funkciót.
Döntés. Ez egy önfunkció, így a Fourier-koefficiensek, és megtalálni, meg kell számolni bizonyos integrálokat:
Kapunk egy sor négyesebb ezt a funkciót:
.
Ez az egyenlőség érvényes minden, mivel a pontok összege a Fourier sorozat ebben az esetben egybeesik a funkció értékével, mivel 
.
Hagyja, hogy az igazi funkció megfeleljen a Dirichlet feltételeinek az intervallumon - L., L.. Írjuk le bomlását a Trigonometric Sor Fourierre:
Ha a (10.1.) Expressz, és a képzeletbeli érvelés indikatív funkcióján keresztül:
aztán kapunk egy számot
ahol erényben (10.2)
Az utolsó három képlet kombinálható:
A szám (10,3) együttható (10.4) az úgynevezett trigonometrikus Fourier trigonometrikus formája.
1. példa. Küldje el a funkciót, ahol összetett szám egy sor négyesebb az intervallumon.
Döntés . Keresse meg a Fourier-koefficienseket:
Azóta
A kívánt bomlás lesz
hol veszik figyelembe ezt
Egy sorban (10.5) egyenlő parsevális egyenlőségre vonatkozik
megtalálhatja a másik numerikus sor összegét. Tényleg a mi esetünkben
Ezután (10,6) következik
Gyakorlat 1. Bizonyítsuk be, hogy
jegyzet. Tegye be (10.5) h. \u003d 0 I. h. = .
2. gyakorlat 2. Bizonyítsuk be, hogy mikor
Integrált Fourier
A Fourier integrális konvergenciája
Hagyja, hogy a funkciót a teljes numerikus tengelyen kell meghatározni. Figyelembe véve, hogy tetszőleges véges időközönként - L., L. A megadott függvény kielégíti a dirchle feltételeit, bemutatja azt a Trigonometric közelében Fourier közel egy átfogó formában:
Frekvencia k.Harmonika; .
Kifejezések beillesztése (11.1) (11.2), kapunk
Nagyságrendben. A (11.3) képlet jobb oldala hasonló az intervallum változó funkciójának integrált összegéhez. Ezért várható, hogy az átmenet után (11,3) a határértékre, egy sor helyett, megkapjuk az integrált
A (11.4) általános képletet Fourier-integrált képletnek nevezik, és jobb része a Fourier integrális.
A képletkel rendelkező érvek (11.4) nem szigorúak, és csak egy vezető jellegűek. Azon feltételek, amelyek mellett az integrált Fourier integrális képlet meghatározza a tételeket, amelyeket bizonyíték nélkül elfogadunk.
Tétel. Legyen a funkció, először is teljesen integrálódott az intervallum, azaz Az integrált konvergenciák, és másrészt megfelelnek a dirchle feltételeinek minden véges intervallumban (- L., L.). Ezután a Fourier integrált konvergál (a legfontosabb jelentőségű) mindenütt K, azaz Az egyenlőség (11.4) egyáltalán történik h. A szakadékból. Itt még mindig feltételezzük, hogy a szünetponton a funkció értéke egyenlő a féloldalas egyoldalas határértékekkel.
Fourier transzformáció
A Fourier-integrált képlet (11,4) a következőképpen konvertálódik. Tedd
Ha a funkció folyamatosan és teljesen integrálódik az egész tengelyen keresztül, akkor a funkció folyamatos az intervallumon. Igazán azért, mert
És mivel a jobb konvergál, akkor az integrált a bal oldalon konvergál. Következésképpen az integrált (12.1) teljesen konvergál. Az egyenlőség (12.2) egyidejűleg történik, így az integrált (12.1) egyenletesen viszonylag viszonylag. Innen következik, hogy a funkció folyamatosan (ugyanúgy, mint a folyamatos funkciókból álló sorozat egységes konvergenciájából, annak összegének folytonossága).
(11.4) kapunk
A (12,1) általános képletű komplex függvényt a Fourier transzformációnak vagy a Fourier-módon végezzük. A (12,3) általános képletben mind a Fourier fordított transzformációt, mind a funkció üzemmódot határozza meg. Az adott függvény esetében az egyenlőség (12,3) az integrált egyenletnek tekinthető a funkcióhoz viszonyítva, amelynek oldata a (12.1) általános képletű oldat. És éppen ellenkezőleg, az integrált egyenlet (12.1) megoldása egy adott képlethez képest (12,3).
A (12,3) képletben a kifejezés viszonylag beszélgetés, komplex harmonika csomagja van, az intervallumon folyamatosan elosztott frekvenciákkal és teljes összetett amplitúdóval. A funkciót spektrális sűrűségnek nevezik. Képletben rögzített (12.2)
ez lehet értelmezni, hogy a bomlás a funkció az összeg harmonikus csomagokat a frekvenciákat, amelyek egy szilárd spektrum oszlik el a.
Parseval egyenlőség. Legyen mind a Fourier kép valódi funkciókról, és ennek megfelelően. Azután
azok. A skaláris munkák és a funkciók normái a Fourier-transzformáció invariánsok. Ezt a nyilatkozatot bizonyítjuk. A skaláris termék meghatározásával. A kifejezés funkciójának felváltása (12.3) a Fourier képen keresztül kapunk
Hatályban (12.1)
Ezért azaz A (12,4) képlet bizonyítható. (12,5) képletet kapunk (12,4).
Cosine és Sinus Transform Fourier. Ha az igazi funkció még akkor is, akkor a Fourier-kép, amely itt jelöljük, szintén igazi szintű funkció. Igazán,
Az utolsó integrált, az integrand furcsaságának köszönhetően nulla. Ilyen módon
Olyan funkciókat használ (7.1).
(12,6) következik, hogy a funkció valóságos és még attól függ, hogy a (12,6) csak a koszinán keresztül van.
Formula (12,3) Fourier fordított transzformáció ebben az esetben ad
Mivel mindkettő - a változó még egy és páratlan funkciója
A képletek (12,6) és (12,7) meghatározzák a Cosine-transzformáció Fourier-et.
Hasonlóképpen, ha az igazi funkció páratlan, akkor a Fourier transzformációja, ahol - az igazi páratlan funkció. Azzal, hogy
EGYÉB (12,8), (12.9) Állítsa be a Fourier Sinus konverziót.
Ne feledje, hogy a (12.6) és (12,8) képlet tartalmazza a funkció értékeit. Ezért a koszinusz és a sinus-transzformáció Fourier is alkalmazható a félig végtelen résen meghatározott függvényre is. Ebben az esetben az integrált a képletekben (12,7) és (12,9) konvergál egy adott funkcióhoz, és ezzel páratlan és páratlan folytonosságokkal.
