Aritmetikai gyökerek megoldása. Mi az a négyzetgyökér? Példa az irracionalitás megszüntetésére
Formulák gyökerei. A négyzetgyökerek tulajdonságai.
Figyelem!
Ez a téma további
Anyagok egy speciális szakaszban 555.
Azok számára, akik erősen "nem nagyon ..."
És azok számára, akik "nagyon ...")
Az előző leckében rájöttünk, hogy mi a négyzetgyök. Itt az ideje, hogy kitaláljuk, melyik létezik a gyökerek képleteiMik a gyökerek tulajdonságaiÉs ez mindezzel megteheti.
Formulák gyökerek, gyökér tulajdonságok és cselekvési szabályok gyökerekkel - Ez lényegében ugyanaz a dolog. Formula négyzetgyök Meglepően egy kicsit. Mi határozottan tetszik! Inkább lehetséges, hogy elképzelhető bármilyen képlet, de a gyakorlati és magabiztos munkák csak három. Minden más e három szárból. Bár a gyökerek három képletében, sok telek, igen ...
Kezdjük a legegyszerűbbekkel. Itt is van:
Ha tetszik ez az oldal ...
By the way, van még egy pár érdekes webhelye.)
A példák megoldásához érhető el, és megtudhatja a szintjét. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Ismerje meg - érdeklődéssel!)
Megismerhetjük a funkciókat és a származékokat.
A lecke elején megismételjük a négyzetgyökök alapvető tulajdonságait, majd több összetett példát vizsgálunk a kifejezések egyszerűsítésére négyzetgyök.
Tantárgy:Funkció. A négyzetgyök tulajdonságai
Lecke:A bonyolultabb kifejezések átalakítása és egyszerűsítése gyökerekkel
1. Ismételje meg a négyzetgyökök tulajdonságait
Röviden ismételje meg az elméletet, és emlékeztesse a négyzetgyökerek alapvető tulajdonságait.
A négyzetgyökerek tulajdonságai:
1. Ezért;
3. 
;
4. 
.
2. Példák a gyökerek egyszerűsítésére
Forduljunk az ilyen tulajdonságok felhasználásának példáihoz.
1. példa A kifejezés egyszerűsítése 
.
Döntés. A 120-es szám egyszerűsítése érdekében egyszerű tényezőkre kell csökkenteni:
A négyzetmétert a megfelelő képlet szerint mutatták ki:
2. példa A kifejezés egyszerűsítése 
.
Döntés. Figyelembe vesszük, hogy ez a kifejezés értelme nincs értelme a változó minden lehetséges értékével, mivel négyszögletes gyökerek és frakciók vannak, amelyek a megengedett értékek területének "szűkítéséhez" vezetnek. OTZ: 
().
A zárójelben kifejezést adunk közös nevező és az utolsó frakció spinnerje, mint a négyzetek különbsége:
Nál nél.
Válasz. nál nél.
3. példa A kifejezés egyszerűsítése 
.
Döntés. Látható, hogy a második számmérő konzol kényelmetlen megjelenésű megjelenésű, és egyszerűsíteni kell, próbálja meg a csoportosítási módszerrel történő szorzókhoz.
A közös tényező kialakításának lehetősége érdekében a gyökereket a multiplikátorok bomlásával egyszerűsítettük. A kapott expressziót helyettesítjük az eredeti frakcióban:
A frakció elvágása után alkalmazza a négyzetek különbségét.
3. Példa az irracionalitás megszorítására
4. példa Gyakran az irracionalitás (gyökerek) a nevezőben: a); b).
Döntés. a) Annak érdekében, hogy megszabaduljon a denominátor irracionalitásának megszorításához, egy standard multiplication és egy számláló és a frakció denominátorát alkalmazzák (ugyanazon a kifejezés, de fordított jelzéssel). Ez történik, hogy kiegészítse a frakció nevezőjét a négyzetek közötti különbséghez, amely lehetővé teszi a gyökér gyökerét a denominátorban. Végezze el ezt a technikát a mi esetünkben:
b) Hasonló műveletek végrehajtása:
Válasz.; .
4. Példa a bizonyítékokra és a teljes négyzet kibocsátására egy komplex radikálisban
5. példa Az egyenlőség bizonyítása 
.
Bizonyíték. A négyzetgyökér definícióját használjuk, amelyből következik, hogy a megfelelő kifejezés négyzetének egyenlőnek kell lennie az irányított kifejezéssel:
. A négyzet alakú zárójeleket feltárjuk:
Szükséges valódi egyenlőség.
Bizonyított.
6. példa A kifejezés egyszerűsítése.
Döntés. A megadott kifejezés szokásos, úgynevezett komplex radikális (gyökér a gyökér alatt). Ebben a példában meg kell távolítani a teljes négyzetet az etetési kifejezésből. Ehhez megjegyezzük, hogy a két összetevő közül kihívást jelent a kettős munka szerepének a különbség négyzetének képletében (különbség, mivel mínusz van). Ilyen munka formájában hoztuk létre: a teljes tér egyik szövődményének szerepét, valamint a második - 1 szerepét.
Ezt a kifejezést a gyökéren helyettesítjük.
Ismeretes, hogy a root jel egy négyzetgyökér. A gyökérjel azonban nem csak algebrai hatást jelent, hanem a famegmunkáló termelésben is alkalmazzák - a relatív méretek kiszámításánál.
Ha szeretné tudni, hogyan kell többszörözni a gyökereket "a" vagy a "anélkül, hogy" szorzók, akkor ez a cikk az Ön számára. Ban, megnézzük a gyökerek sokszorosításának módszereit:
- szorzók nélkül;
- szorzókkal;
- különböző mutatókkal.
A gyökerek sokszorosításának módja szorzók nélkül
A cselekvések algoritmusa:
Győződjön meg róla, hogy a gyökér ugyanolyan mutatókkal rendelkezik (fokozatok). Emlékezzünk vissza, hogy a diploma a gyökér jele fölé kerül. Ha nincs hivatkozás a diplomára, akkor azt jelenti, hogy a gyökér négyzet, azaz A 2-es fokozattal, és más, a 2. fokozatú gyökerek megszorozódhatnak.
Példa
1. példa: 18 × 2 \u003d?
2. példa: 10 × 5 \u003d?
Példa
1. példa: 18 × 2 \u003d 36
2. példa: 10 × 5 \u003d 50
3. példa: 3 3 × 9 3 \u003d 27 3
Egyszerűsítse az etetett kifejezéseket.Amikor többszörösen a gyökereket egymásra, tudjuk egyszerűsíteni a kapott takarmány expressziós, mielőtt a termék a száma (vagy kifejezések) egy teljes négyzet vagy kocka:
Példa
1. példa: 36 \u003d 6. 36 - Négyzetgyökér (6 × 6 \u003d 36).
2. példa: 50 \u003d (25 × 2) \u003d (5 × 5) × 2 \u003d 5 2. Az 50-es szám a 25. és 2. munkára fekszik. A 25-5-es gyökér, így 5-et veszünk a gyökérjeltől, és egyszerűsítjük a kifejezést.
3. példa: 27 3 \u003d 3. 27 köbös gyökere 3: 3 × 3 × 3 \u003d 27.
Módszer-szorzási módszer szorzókkal
A cselekvések algoritmusa:
Szorozzuk meg a szorzókat.A szorzó az a szám, amely a gyökér jele előtt van. A multiplikátor hiányában alapértelmezés szerint egységnek számít. Ezután meg kell szedni a szorzókat:
Példa
1. példa: 3 2 × 10 \u003d 3? 3 × 1 \u003d 3
2. példa: 4 3 × 3 6 \u003d 12? 4 × 3 \u003d 12
Szorozzuk a számokat a gyökér jele alatt. Miután áthelyezi a szorzókat, nyugodtan szaporítsam a számokat a root jel alatt:
Példa
1. példa: 3 2 × 10 \u003d 3 (2 × 10) \u003d 3 20
2. példa: 4 3 × 3 6 \u003d 12 (3 × 6) \u003d 12 18
Egyszerűsítse az etetési kifejezést. Ezután egyszerűsíteni kell a root jel alatt álló értékeket - meg kell tennie a megfelelő számokat a root jelhez. Ezt követően meg kell szüntetni azokat a számokat és szorzókat, amelyek szembe kell nézniük a root jelet:
Példa
1. példa: 3 20 \u003d 3 (4 × 5) \u003d 3 (2 × 2) × 5 \u003d (3 × 2) 5 \u003d 6 5
2. példa: 12 18 \u003d 12 (9 × 2) \u003d 12 (3 × 3) × 2 \u003d (12 × 3) 2 \u003d 36 2
A különböző mutatókkal rendelkező gyökerek sokszorosításának módja
A cselekvések algoritmusa:
Keresse meg a legkisebb összes több (NOC) mutatót. A legkisebb többszörös a legkisebb szám osztva mindkét mutatóval.
Példa
Meg kell találni a NOC mutatókat a következő kifejezéshez:
A mutatók 3 és 2. Ezen két szám esetében a legkisebb közös többszörös a 6. szám (ez maradék nélkül és 3, és 2) van osztva. A gyökerek sokszorosításához egy mutató szükséges.
Jegyezzen fel minden kifejezést egy új indikátorral:
Keresse meg a számokat, hogy megszorozzák az indikátorokat, hogy megkapják a NOC-t.
Az 53-as kifejezésben 3-ra kell szednie a 6-tól 2-ig. És a 2-es expresszióban - Ellenkezőleg, meg kell szednie 3-t, hogy 6-t kapjon.
Olyan számot építünk ki, amely a gyökérjel alatt áll, az előző lépésben található számmal egyenlő mértékben. Az 5. első expresszió esetében a 2. fokozatra és a második - 2-re kell felépíteni a 3. fokozatot:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Értékelje a kifejezést, és rögzítse az eredményt a gyökérjel alatt:
5 2 6 \u003d (5 × 5) 6 \u003d 25 6 2 3 6 \u003d (2 × 2 × 2) 6 \u003d 8 6
Multimatikai számok a gyökér alatt:
(8 × 25) 6
Az eredmény rögzítése:
(8 × 25) 6 \u003d 200 6
Ha lehetséges, egyszerűsíteni kell a kifejezést, de ebben az esetben nem egyszerűsített.
Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter gombot
Mi az a négyzetgyökér?
Figyelem!
Ez a téma további
Anyagok egy speciális szakaszban 555.
Azok számára, akik erősen "nem nagyon ..."
És azok számára, akik "nagyon ...")
Ez a koncepció nagyon egyszerű. Természetes, azt mondanám. Az egyes cselekedetek matematikája megpróbálja megtalálni az ellenzéket. Van hozzáadás - van egy kivonás. Van szorzás - van egy osztály. Van egy négyzet építése ... akkor is van is kivonat négyzet gyökér! Ez minden. Ez a cselekvés ( kivonat négyzetgyök) A matematikában ez az ikon jelzi:
Maga az ikon hívják gyönyörű szó "radikális".
Hogyan lehet kivonni a gyökeret? Jobb, ha fontolgat vmit példák.
Mennyi lesz a négyzetgyökből 9? És milyen számot ad a téren 9-ben? 3 A téren ad nekünk 9! Azok:
De mennyi lesz a négyzetgyök nulla? Nincs mit! Milyen számot ad a téren? Igen, nulla és ad! Így:
Elkapott mi az a négyzetgyökér? Akkor gondolj példák:
Válaszok (rendellenességben): 6; egy; négy; kilenc; öt.
Úgy döntött? Valóban, sokkal könnyebb?!
De ... mit csinál egy személy, amikor lát minden feladatot gyökerekkel?
Egy ember elkezd nőni ... nem hisz a gyökerek egyszerűségében és könnyedségében. Bár úgy tűnik, és tudja mi a négyzetgyök...
Mindent azért, mert egy személy figyelmen kívül hagyta a gyökerek tanulmányozása során több fontos lyukasztást. Ezután ezek a medence kegyetlenül bosszút áll az ellenőrzésen és a vizsgákon ...
Először büntetés. A gyökereket fel kell ismerni az arcon!
Mennyibe kerül a gyökér négyzet 49-től? Hét? Jobb! Hogyan tudta meg, hogy hét? Könnyen egy hét négyzetben, és 49-et kapott? Jobb! Vegye figyelembe, hogy kivonat gyökér 49-től egy fordított műveletet kellett végeznie - 7 négyzetmétert kell készíteni! És győződjön meg róla, hogy nem hagytunk ki. És hiányozhatnak ...
Ebben, és nehézség van kivonat gyökerei. Építsen egy négyzetet Bármilyen szám bármilyen problémát okozhat. Szorozzuk meg a számot az oszlophoz - és mindent megtesz. De érte gyökér kitermelés Nincs ilyen egyszerű és problémamentes technológia. Kell felvenni A válasz és ellenőrizze az építés végén.
Ez a komplex kreatív folyamat egy válasz kiválasztása - nagymértékben egyszerűsíthető, ha Ön emlékezik Népszerű számok négyzetei. Mint szorzótáblázat. Ha, mondjuk, meg kell szednie a 4-6-ot - nem hajtja össze a négy 6-szor? Azonnal úszik a válasz 24. Bár nem mindannyian úsznak, igen ...
Ingyenes és sikeres gyökerekkel való munka esetén elég tudni az 1-től 20-ig terjedő számok négyzeteit. Továbbá ott és vissza. Azok. Könnyen hívnia kell mindkettőt, mondjuk, 11 négyzet és gyökér négyzet 121-től. Egy ilyen emlékezés elérése érdekében kétféle módon van. Az első az, hogy megtanulják a négyzet asztalt. Ez segít megoldani a példákat. A második az, hogy több példát megoldani. Ez segít emlékezni a négyzet asztalra.
És nincs számológép! Csak ellenőrzésre. Ellenkező esetben a vizsga, akkor lelassul kegyetlenül ...
Így, mi a négyzetgyök És hogyan távolítsa el a gyökereket - Azt hiszem, érthető. Most megtudja, mit tudsz kivonni őket.
Büntetés második. Gyökér, nem ismerlek!
Milyen számokat kell eltávolítani a négyzetgyökereket? Igen, szinte mindenből. Könnyebb megérteni, mi ez lehetetlen Kivonja őket.
Próbáljuk kiszámítani ezt a gyökeret:
Ehhez fel kell vennie a számot, hogy a téren megadja az US -4-et. Kiválasztjuk.
Mi, nincs kiválasztva? 2 2 ad +4. (-2) 2 újra +4! Ez most van ... nincs olyan szám, amely egy négyzet felvétele esetén negatív számot ad nekünk! Bár ismerem ezeket a számokat. De nem fogom mondani). Írja be az intézetbe - megtudja.
Ugyanez a történet semmilyen negatív számmal lesz. Ezért a következtetés:
Olyan kifejezés, amelyben a negatív szám egy négyzetgyökér jele alatt áll - ennek nincs értelme! Ez tiltott művelet. Ugyanaz a tiltott, valamint a nulla megosztás. Emlékezz erre a tényre! Vagy más szóval:
A negatív számok négyzetes gyökerei nem lehet kibontani!
De minden másból is. Például meglehetősen kiszámítható
Első pillantásra nagyon nehéz. Külön frakciók, de építsenek egy négyzetet ... Ne aggódj. Amikor kitalálod a gyökerek tulajdonságait, az ilyen példák ugyanarra a négyzet asztalra csökkennek. Az élet könnyebb lesz!
Nos, oké Fraci. De még mindig olyan kifejezéseket találunk, mint:
Semmi baj. Minden a régi. A négyszögletes gyökere a szám, amikor a négyzet kétszer ad nekünk. Csak a szám teljesen egyenetlen ... Itt van:
Ami érdekes, ez a frakció nem ér véget valaha ... Az ilyen számokat irracionálisnak nevezik. Négyzetes gyökerekben ez a leggyakoribb dolog. Az úton, ezért hívják a gyökerekkel rendelkező kifejezéseket irracionális. Nyilvánvaló, hogy az ilyen végtelen frakció minden időtartama kényelmetlen. Ezért a végtelen frakciók helyett elhagyják:
Ha a példa megoldásakor valami szerencsétlen, mint például:
akkor és hagyja. Ez válaszol.
Kell egyértelműen megérteni, hogy az ikonok alatt
Természetesen, ha a gyökér kivonása simaMeg kell csinálnod. Például a hozzárendelésre válaszoljon
elég teljes válasz.
És természetesen meg kell ismernie a hozzávetőleges értékeket:
Ez a tudás nagy segít felmérni a helyzetet nehéz feladatokat.
Büntetés harmadik. A leginkább ravasz.
A gyökerekkel való munkavégzés fő zavartsága csak ezt a mutatót teszi. Ő az, aki bizonytalanságot ad a saját erõinek ... Tedd ki ezt a szúrást, ahogy kellene!
Kezdeni, ismételten eltávolítva a négyzet gyökerét négy. Mit kaptam neked ezzel a gyökérrel?) Semmi, most érdekes lesz!
Milyen számot ad 4 négyzetméterre? Nos, két, kettő - hallottam elégedetlen válaszokat ...
Jobb. Kettő. De végül is. mínusz kettő 4 ... és időközben válaszol
jobbra, és válaszoljon
bruttó hiba. Mint ez.
Szóval mi az üzlet?
Valójában, (-2) 2 \u003d 4. és a négy négyzet gyökere meghatározása alatt mínusz kettő Meglehetősen alkalmas ... Ez egy négyzetgyöke négy.
De! A matematika tanévében négyzetgyökérnek tekintendő csak nem negatív számok! Azaz nulla és minden pozitív. Még a különleges kifejezés is megtalálható: A számból de - ez nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő de. Negatív eredmények, amikor az aritmetikai tér gyökér eltávolítása egyszerűen eldobható. Az iskolában minden négyzetgyökér - számtan. Bár ezt nem említik.
Nos, világos. Még jobb - ne zavarja a negatív eredményeket ... Ez nem zavartság.
A zavartság a négyzetes egyenletek megoldásakor kezdődik. Például szükség van egy ilyen egyenlet megoldására.
Egyenlet egyszerű, írja be a választ (amint azt tanított):
Egy ilyen válasz (teljesen helyes, az úton) csak egy rövidített bejegyzés kettő Válaszok:
Állj Állj! Enyhén azt írtam, hogy a négyzetgyök a szám mindig Nem negatív! És itt van az egyik válasz - negatív! Rendellenesség. Ez az első (de nem az utolsó) probléma, ami bizalmatlanságot okoz a gyökerekről ... Megoldom ezt a problémát. Írjuk a válaszokat (pusztán megértésre!) Tehát:
A válasz lényegének lényegei nem változnak. Csak zárójelekkel elválasztottam jelek tól től gyökér. Most egyértelműen látható, hogy maga a gyökér (zárójelben) - a szám még mindig nem negatív! És a jelek az egyenlet megoldásának eredménye. Végtére is, bármely egyenlet megoldásakor rögzítjük minden A Xersi, amely a kezdeti egyenlet helyettesítése helyes eredményt ad. Az egyenletünkben öt (pozitív!) Gyökere illeszkedik egy pluszral, és mínuszsal.
Mint ez. Ha te csak távolítsa el a négyzetgyöket bármitől mindig Kap egy nem negatív eredmény. Például:
Azért, mert - aritmetikai tér gyökér.
De ha megoldja a négyzetes egyenletet, mint:
hogy mindig Kiderül kettő Válasz (plusz és mínusz):
Mert ez az egyenlet megoldása.
remélem mi a négyzetgyök Az Ön pontjaival. Most továbbra is tudni kell, mit tehetsz a gyökerekkel, mi a tulajdonuk. És mi a poláris és víz alatti mag ... Sajnáljuk, kövek!)
Mindez a következő órákban van.
Ha tetszik ez az oldal ...
By the way, van még egy pár érdekes webhelye.)
A példák megoldásához érhető el, és megtudhatja a szintjét. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Ismerje meg - érdeklődéssel!)
Megismerhetjük a funkciókat és a származékokat.
Üdvözlet, macskák! Legutóbb részletesen szétszereltük, hogy milyen gyökerek (ha nem emlékszel, azt javaslom olvasás). A lecke fő teljesítménye: A gyökereknek csak egy univerzális definíciója van, amit tudnia kell. A többi a B BEKHYség és az időpocsékolás.
Ma tovább megyünk. Megtanuljuk, hogy megszorozzuk a gyökereket, tanulmányozzuk a sokszorosítással kapcsolatos problémákat (ha ezek a problémák megoldódnak, akkor a vizsgán, akkor végzetesek lehetnek) és hogyan kell gyakorolniuk. Olyan showle pattogatott kukorica, kényelmesebben gondoskodunk - és elkezdjük. :)
Még nem voltál még lebontani?
A lecke meglehetősen nagy volt, ezért két részre osztottam:
- Először elemezzük a szorzási szabályokat. A sapka úgy tűnik, hogy tipp: akkor van, ha két gyökér van, van egy "szaporodott" jel - és valamit akarunk tenni.
- Ezután elemezzük az inverz helyzetet: van egy nagy gyökér, és türelmetlen volt, hogy két gyökerű munka formájában jelenítse meg. Néhány gyümölcs ez történik - külön kérdés. Csak az algoritmust fogjuk felismerni.
Azok, akik nem várják, hogy azonnal menjenek a második részre - irgalmas kérem. A többiek rendben vannak.
Alapvető szorzási szabály
Kezdjük a legegyszerűbb klasszikus négyzetgyökkel. A legtöbbet, amelyeket $ \\ sqrt (a) $ és $ \\ sqrt (B) $ jelölnek. Számukra mindenképpen nyilvánvaló:
Szorzási szabály. Ahhoz, hogy egy négyzetgyöket egy másikra szorítsuk, csak meg kell szüntetned az etető kifejezéseket, és írja az eredményt egy közös radikális alatt:
\\ [\\ Sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]
Nincsenek további korlátozások a jobb vagy bal oldalon álló számokra nem helyezkednek el: ha a gyökerek léteznek, akkor a munka is létezik.
Példák. Fontolja meg egyszerre négy példát számokkal:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ SQRT (25) \\ CDOT \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ \\ sqrt (32) \\ CDOT \\ SQRT (2) \u003d \\ sQRT (32 \\ CDOT 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ \\ sqrt (54) \\ CDOT \\ sQRT (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ CDOT \\ SQRT (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ CDOT \\ frac (17) (27) (27) )) \u003d \\ Sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). Vége (igazítása) \\]
Amint láthatja, ennek a szabálynak a fő jelentése az irracionális kifejezések egyszerűsítése. És ha az első példában önmagukban eltávolítottuk a 25. és 4 gyökereit új szabályok nélkül, akkor az ón kezdődik: $ \\ sqrt (32) $ és $ \\ sqrt (2) $ nem tekinthető önmagában, de a termékük pontos négyzet, így a gyökere megegyezik a racionális számmal.
Külön, szeretném megjelölni az utolsó sort. Ott mindkét levehető kifejezés töredék. A munkának köszönhetően sok multiplikátor csökken, és a teljes kifejezés megfelelő számra vált.
Természetesen minden nem mindig olyan szép lesz. Néha a gyökerek alatt teljes szar - ez nem világos, hogy mit kell tennie vele, és hogyan lehet átalakítani a szorzás után. Egy kicsit később, amikor elkezdi tanulmányozni az irracionális egyenleteket és az egyenlőtlenségeket, mindenféle változó és funkció lesz. És nagyon gyakran fordítók a feladatok csak számítanak, hogy megtalálja a rövidített feltételeket vagy szorzót, majd a feladat ismételten leegyszerűsödött.
Ezenkívül teljesen opcionális, ha két gyökeret szaporít. Három, négy - igen, még tíz! A szabály nem változik ebből. Nézd meg:
\\ [kezdő (igazítás) \\ SQRT (2) \\ CDOT \\ SQRT (3) \\ CDOT \\ SQRT (6) \u003d \\ sQRT (2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 6) \u003d \\ sQRT (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ CDOT \\ sQRT (2) \\ CDOT \\ SQRT (0,001) \u003d \\ sQRT (5 \\ CDOT 2 \\ CDOT 0,001) \u003d \\\\ \\ \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). Vége (igazítása) \\]
És ismét egy kis megjegyzés a második példában. Amint látja, a harmadik szorzóban a gyökér alatt van, decimális frakció - a számítások folyamatában szokásos módon cseréljük ki, miután minden könnyen csökkent. Tehát: Nagyon ajánlom, hogy megszabaduljanak a tizedes frakcióktól bármilyen irracionális kifejezésekben (azaz legalább egy radikális ikont tartalmazó). A jövőben megment egy csomó időt és idegeket.
De lírai visszavonulás volt. Most tekintsen egy általánosabb esetet - ha a gyökérzési arány tetszőleges számú $ n $, és nem csak a "klasszikus" kétszer.
Tetszőleges mutató esete
Tehát a négyzetes gyökerek kitaláltak. Mi a teendő a kockával? Vagy általában, véletlenszerűen gyökerei $ n $? Igen, ugyanaz. A szabály ugyanaz marad:
Annak érdekében, hogy megszorozzuk a $ N $ két gyökérfokot, elegendő az etetési kifejezések megszorításához, majd az eredményt egy csoport alatt rögzítjük.
Általában semmi sem bonyolult. Ez az, hogy a számítástechnika mennyisége lehet. Néhány példát elemezzünk:
Példák. Számítsa ki a munkákat:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ SQRT (20) \\ CDOT \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d öt ; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ CDOT \\ sQRT (0,16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ CDOT \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ Frac (64) ((((25) ^ (2)) \\ CDOT 25)) \u003d \\\\\\ \\ \u003d sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3))) )) \u003d \\ sqrt ((((bal (\\ frac (4) (4) (25) \\ jobb)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). Vége (igazítása) \\]
És ismét figyelem a második kifejezés. Megfordítjuk a köbös gyökereket, megszabaduljuk a tizedes frakciót, és végül megkapjuk a 625 és 25 számú terméket a nevezőben. Ez egy meglehetősen nagy szám - én személyesen nem számít az útra, amely egyenlő.
Ezért egyszerűen kiemelte a pontos kocka számláló és a nevező, majd használt egyik legfontosabb tulajdonságait (vagy, ha úgy tetszik - a meghatározása a $ n $ root:
\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt ((((a) ^ (2n))) \u003d \\ t Egy jobb. | Vége (igazítása) \\]
Hasonló "megmunkálás" lehűlhet, hogy időt takarítson meg a vizsgán vagy irányítási munka, Ne feledje:
Ne rohanjon, hogy megszorozza a számok számát a bemutott kifejezésben. Először ellenőrizze: hirtelen "titkosítva" a kifejezés pontos mértékét?
A megjegyzés minden bizonyítékával el kell ismernie, hogy a felkészületlen hallgatók többsége nem látja a pontos fokozatot. Ehelyett mindent életben tettek, majd meglepődtek: Miért kaptak ilyen brutális számokat? :)
Mindazonáltal mindezek a gyermekek meghajolnak az a tény, hogy most megtanulunk.
Különböző mutatókkal rendelkező gyökerek szorzása
Nos, most meg tudjuk szorozni a gyökereket ugyanazokkal a mutatókkal. És mi van, ha különböző mutatók? Tegyük fel, hogyan kell többszörözni a szokásos $ \\ sqrt (2) $ -ot néhány Crap típusú $ \\ sqrt (23) $? Lehetséges-e egyáltalán?
Igen, persze tudsz. Minden itt megtörténik erre a képletre:
A növényi szorzás szabálya. A $ \\ sqrt [n] (a) $ to $ \\ sqrt [P] (B) $ szaporodásához elegendő az átalakítás végrehajtása:
\\ [SQRT [N] (A) \\ CDOT \\ SQRT [P] (B) \u003d SQRT (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n)))) \\ t
Ez a képlet azonban csak akkor működik, ha a tiltott kifejezések nem negatívak. Ez egy nagyon fontos megjegyzés, amelyhez egy kicsit később visszatérünk.
Időközben fontolja meg néhány példát:
\\ [kezdő (igazítás) \\ SQRT (3) \\ CDOT \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ CDOT ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ 8 cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ \\ sqrt (2) \\ CDOT \\ SQRT (7) \u003d \\ sqrt ((2) ^ (5)) \\ CDOT ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ t SQRT (1568); \\\\ \\ sqrt (5) \\ CDOT \\ sQRT (3) \u003d \\ sqrt ((((5) ^ (4)) \\ CDOT ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d SQRT (5625). Vége (igazítása) \\]
Amint láthatod, semmi sem bonyolult. Most tegyük fel, hogy hol jöttek a nem negativitás követelménye, és mi fog történni, ha megtörjük. :)
Szorozzuk meg a gyökereket Miért kell a lelkipásztor kifejezés nem negatív?
Természetesen hozzászokhat az iskolai tanároknak, és idézi a tankönyvet egy okos megjelenéssel:
A nem negatívság követelménye az intelligens és a páratlan fokú gyökerek különböző meghatározásaihoz kapcsolódik (ennek megfelelően különböző definíciókat is tartalmaznak).
Nos, világosabbá vált? Személy szerint én, amikor elolvastam ezt a nonszenszet a 8. osztályban, megértettem a következőket: "A nem negativitás követelménye a * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - rövidebb, nem voltam "T megértse a nichrome-t. :)
Ezért most mindent megmagyarázok egy normálban.
Először is, megtudja, hol érkezik a fent megadott szorzási képlet. Ehhez emlékeztesse a gyökér egyik fontos tulajdonát:
\\ [SQRT [n] (a) \u003d \\ sqrt ((((a) ^ (k)))) \\ t
Más szóval, nyugodtan tudunk építeni egy táplálkozási kifejezést bármelyikben természetes mértékű $ k $ - Ugyanakkor a gyökérzési sebességnek ugyanolyan mértékben kell megszapnia. Következésképpen könnyen csökkentjük a gyökereket közös mutató, majd mozog. Innen és a sokszorosítás képletét veszik:
\\ [sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ CDOT \\ sqrt (((((((b) ^ (n)))) \u003d \\ Sqrt ((((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n)))) \\ t
De van egy probléma, amely drámaian korlátozza az összes ilyen képletek használatát. Tekintsünk ilyen számot:
A fenti képlet szerint bármilyen mértékben hozzáadhatunk. Próbáljuk meg hozzáadni $ k \u003d $ 2:
\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((bal (-5 \\ jobbra)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((5) ^ (2))) \\]
Mínusz, amit csak azért távolítottunk el, mert a négyzet mínusz (mint bármely más fok). És most elvégezzük az ellenkező átalakulást: "Spee" a kettő a mutatóban és a fokozatban. Végtére is, bármely egyenlőség olvasható mind a balra, mind a jobbra és a jobbra:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ ugarow \\ sqrt ((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] a); \\\\ \\ sqrt ((((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ ugarow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((5) ^ ( 2)))) \u003d \\ sqrt (5). Vége (igazítása) \\]
De akkor kiderül valamiféle szar:
\\ [SQRT (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]
Ez nem lehet, mert $ \\ sqrt (-5) lt 0 $, és $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Ez azt jelenti, hogy az egyenletes fokok és a negatív számok esetében a mi formula már nem működik. Ezután két lehetőségünk van:
- Hogy megölje a falat, hogy azt állítsa, hogy a matematika hülye tudomány, ahol "vannak olyan szabályok, de pontatlan";
- Adjon meg további korlátozásokat, amelyekben a képlet 100% -os működésgé válik.
Az első verzióban folyamatosan fogunk fogni "nem működő" eseteket - nehéz, hosszú és általános fu. Ezért a matematikusok előnyben részesítették a második lehetőséget. :)
De ne aggódj! A gyakorlatban ez a korlátozás nem befolyásolja a számításokat, mivel minden leírt probléma csak a páratlan fokú gyökereket érinti, és ezek közül mínuszok készíthetők.
Ezért egy másik szabályt fogalmazunk meg, amely egyáltalán kiterjed minden gyökérrel rendelkező cselekedetekre:
Mielőtt megszorozzák a gyökereket, tegyen meg úgy, hogy az etetési kifejezések nem negatívak legyenek.
Példa. A $ \\ sqrt (-5) $ között mínusz a gyökérjegy alatt - akkor minden normális lesz:
\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ ugarow \\\\ \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt ((((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ t 0 \\\\ \\ end (igazítás) \\]
Érzi a különbséget? Ha a gyökér alatt mínust hagy, akkor amikor a téren épült, akkor eltűnik, és a szar elkezdődik. És ha először tanulsz egy mínusz, akkor is tudsz még a tudomány az épület / eltávolítani a négyzetet - a szám negatív marad. :)
Így a gyökerek sokszorosításának legmegfelelőbb és legmegbízhatóbb módja a következő:
- Távolítsa el az összes mínuszot a gyökökből. A mínuszok csak a furcsa sokféleség gyökereiben vannak - ezek a gyökér előtt helyezhetők el, és ha szükséges, vágják (például, ha ezek a mínuszok két).
- A mai leckében tárgyalt szabályok szerint végezzen szorzást. Ha a root indikátorok megegyeznek, egyszerűen módosítsa az eltávolítható kifejezéseket. És ha eltérő - használja a gonosz formula \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \u003d \\ sqrt ((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n ))))].
- 3. Az eredmény és a jó becslések. :)
Jól? Gyakorlat?
1. példa A kifejezés egyszerűsítése:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ SQRT (48) \\ CDOT \\ SQRT (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ CDOT \\ maradt (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3) ) \\ Jobb) \u003d - \\ sqrt (48) \\ CDOT \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sQRT (48 \\ CDOT \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ sqrt (64) \u003d - 4; Vége (igazítása) \\]
Ez a legegyszerűbb lehetőség: a gyökérmutatók azonosak és furcsaak, a probléma csak a második tényezőnél mínusz. Ezt a mínusz nafigot elviseljük, majd minden könnyen figyelembe véve.
2. példa A kifejezés egyszerűsítése:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ sqrt (32) \\ CDOT \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt ((2) ^ (5))) \\ CDOT \\ SQRT ((2) ^ (2))) \u003d \\ \\ Sqrt ((((balra ((((((2) ^ (5))))) ^ (3)) \\ CDOT ((balra (((((((2) ^ (2)) \\ Jól))) ^ (4) ) \u003d \\\\ \\ \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ CDOT ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt ((2) ^ (23))) \\\\ \\ end ( igazítsa) \\]
Itt sok zavarba jött, hogy az irracionális számot a kijáratnál kapták. Igen, ez megtörténik: nem tudtunk teljesen megszabadulni a gyökértől, de legalábbis a kifejezés jelentősen leegyszerűsödött.
3. példa Hasonló mértékű a kifejezés:
\\ [megkezdés (igazítás) \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((((a) ^ (3)) \\ CDot ((\\ t ) ^ (4)) \\ jobb)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt ((a) ^ (3)) \\ CDOT ((A) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d sqrt (( (a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt ((((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((((a) ^ (3))) \\ Vége (igazítása) \\
Ez a feladat szeretné felhívni a figyelmet. Itt egyszerre két pont:
- A gyökér alatt nem egy meghatározott szám vagy fok, hanem egy $ A $ változó. Első pillantásra ez egy kicsit szokatlan, de valójában, a matematikai feladatok megoldásakor leggyakrabban a változók kezeléséhez szükségesek.
- A végén sikerült "csökkentenünk" a rootkarot és a diplomát a leválasztott kifejezésben. Ez gyakran történik. Ez azt jelenti, hogy a számítások jelentősen leegyszerűsíthető, ha nem használja a fő képletet.
Például lehetett ezt megtenni:
\\ [megkezdése (igazítása) \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ CDOT \\ sqrt (((((((((a) ^ (4) )) \u003d Jobb)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt ((a) ^ (8))) \\\\ \\ \u003d \\ sqrt (a \\ cdot (a) ^ (8) ))) \u003d \\ Sqrt ((((((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt ((((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((((a) ^ (3)))) Vége (igazítása) \\]
Valójában az összes transzformációt csak a második radikális módon végeztük. És ha nem festi részletesen az összes közbenső lépés, akkor ennek eredményeképpen a számítások mennyisége jelentősen csökken.
Valójában már találkoztunk egy ilyen feladatot, amikor a $ \\ sqrt (5) \\ CDOT \\ SQRT (3) $ példája megoldódott. Most sokkal könnyebben festhető:
\\ [kezdő (igazítás) \\ SQRT (5) \\ CDOT \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ CDOT ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((((((( balra (((((5) ^ (2)) \\ CDOT 3 \\ jobbra))) ^ (2))) \u003d \\\\ \\ \u003d sqrt (((balra (75 \\ jobbra)) ^ (2))) \u003d SQRT (75). Vége (igazítása) \\]
Nos, a rájött gyökerek szorzásával. Most vegye figyelembe az ellenkező műveletet: mit kell tennie, ha a munka a gyökér alatt van?
