Hogyan emeljünk egy számot négyzetgyökre. Hatványozás és gyökérkivonás Excelben. Bevezetés a gyökér jele alatt
Hatványokkal és gyökerekkel végzett műveletek. Fokozat negatívval ,
nulla és tört indikátor. Az értelmetlen kifejezésekről.
Műveletek fokozatokkal.
1. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a mutatóik összeadódnak:
a m · a n = a m + n.
2. Azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóik levonják .
3. Két vagy több tényező szorzatának mértéke megegyezik e tényezők fokozatainak szorzatával.
(ABC… ) n = a n· b n · c n…
4. Az arány (tört) mértéke megegyezik az osztó (számláló) és az osztó (nevező) fokszámának arányával:
(a / b ) n = a n / b n.
5. Fokozat fokra emelésekor a mutatóik megszorozódnak:
(a m ) n = a m n.
A fenti képletek mindegyike beolvasásra és végrehajtásra kerül mindkét irányban balról jobbra és fordítva.
PÉLDA (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .
Gyökérműveletek. Az összes alábbi képletben a szimbólum eszközök számtani gyök(a radikális kifejezés pozitív).
1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő a szorzattal ezeknek a tényezőknek a gyökerei:
2. Az összefüggés gyökere egyenlő az osztalék és az osztó gyökének arányával:
3. Ha gyökérre emelünk egy hatványt, elég, ha erre a hatalomra emelünk gyökérszám:
4. Ha növeli a gyökér fokát be m alkalommal, és egyidejűleg felállítani m -a gyökszám hatványa, akkor a gyökér értéke nem változik:
5. Ha csökkenti a gyökér fokát m egyszer, és egyszerre vonjuk ki a gyökeret m -a gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem meg fog változni:
A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevővel vettük figyelembe a fokokat; hanem cselekvések vele fokok és gyökerek is vezethetnek negatív, nullaés töredékes mutatók. Mindezek a fokozati mutatók további definíciót igényelnek.
Fok negatív kitevővel. Valamelyik szám foka -val A negatív (egész) kitevőt egységként határozzuk meg, osztva ezzel ugyanazon szám hatványával az abszolút értékkel egyenlő kitevővelnegatív mutató:
T most a képlet a m: a n= a m - n nem csak arra használhatóm nagyobb, mint n, hanem at m kevesebb, mint n .
PÉLDA a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Ha a képletet akarjuka m : a n= a m - nigazságos volt, amikorm = n, szükségünk van a nulla fok definíciójára.
Nulla fokozat. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.
PÉLDA 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Törtkitevő. Valós szám megalkotásaés az m / n teljesítményre , ki kell bontani a gyökeret m n-edik foka - ennek a számnak a hatványa a :
Az értelmetlen kifejezésekről. Több ilyen kifejezés létezik. bármilyen szám.
Valóban, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés valamilyen számmal egyenlő x, akkor az osztási művelet definíciója szerint van: 0 = 0 x... De ez az egyenlőség érvényes tetszőleges számú x, a bizonyításhoz szükséges.
3. eset.
0 0 - bármilyen szám.
Igazán,
Megoldás. Vegyünk három fő esetet:
1) x = 0 – ez az érték nem felel meg az adott egyenletnek
(Miért?).
2) at x> 0 kapjuk: x / x = 1, azaz 1 = 1, amiből az következik
mit x- bármilyen szám; de ezt figyelembe véve
A mi esetünk x> 0, a válasz azx > 0 ;
3) at x < 0 получаем: – x / x= 1, azaz e ... –1 = 1 tehát
Ebben az esetben nincs megoldás.
Ily módon x > 0.
A gyökökkel és hatványokkal rendelkező kifejezések átalakítása gyakran átmenetet igényel a gyökérről a hatványra, és fordítva. Ebben a cikkben elemezzük az ilyen átmenetek végrehajtását, mi áll az alapjukon, és mely pontokon fordulnak elő leggyakrabban hibák. Mindezt tipikus példákkal, a megoldások részletes elemzésével adjuk.
Oldalnavigáció.
Fokokról törtkitevővel a gyökök felé haladva
A törtkitevővel rendelkező fokról a gyökérre való átmenet lehetőségét maga a fok definíciója határozza meg. Emlékezzünk vissza, hogyan határozzák meg: egy pozitív a szám foka m / n törtkitevővel, ahol m egész szám, n pedig természetes szám, az m n-edik gyökének nevezzük, azaz ahol a> 0, m∈Z, n∈N. A nulla töredékfokát hasonlóan definiáljuk 
, azzal a különbséggel, hogy ebben az esetben m már nem egésznek, hanem természetesnek tekinthető, így nullával való osztás nem következik be.
Így a fokozat mindig helyettesíthető gyökérrel. Például től-től ig mehet, a fokozatot pedig gyökérre cserélheti. De nem szabad a kifejezésről a gyökérre lépni, mivel a fokozatnak kezdetben nincs értelme (a negatív számok foka nincs meghatározva), annak ellenére, hogy a gyöknek van értelme.
Amint látja, semmi trükkös nincs abban, ha a számok hatványairól a gyökerekre lépünk. Hasonlóképpen történik az átmenet a gyökökhöz a tört kitevővel rendelkező hatványokról, amelyek alapján tetszőleges kifejezések találhatók. Vegye figyelembe, hogy ez az átmenet az eredeti kifejezés változóinak ODZ-jén történik. Például a kifejezés 
a teljes ODZ-változó ehhez a kifejezéshez helyettesíthető a gyökérrel 
... És a diplomától 
menj a root-hoz 
, ez a változás az eredeti kifejezés ODV-jéből származó bármely x, y és z változóhalmaz esetén megtörténik.
Gyökerek helyettesítése képességekkel
Fordított helyettesítés is lehetséges, vagyis a gyökök fokszámmal történő helyettesítése tört kitevőkkel. Az egyenlőségen is alapul, ami ebben az esetben jobbról balra, azaz formában kerül felhasználásra.
A pozitív a esetében ez az átmenet nyilvánvaló. Például helyettesítheti egy fokkal, és a gyökértől a fokra léphet az űrlap törtkitevőjével.
És a negatív a esetében az egyenlőségnek nincs értelme, de a gyökérnek lehet értelme. Például a gyökereknek és van értelme, de nem helyettesítheti őket fokozatokkal. Tehát egyáltalán lehetséges-e ezeket a képességekkel rendelkező kifejezésekké alakítani? Lehetséges, ha olyan előzetes transzformációkat hajtunk végre, amelyek abból állnak, hogy az alattuk lévő nemnegatív számokat tartalmazó gyökökhöz lépünk, amelyeket aztán törtkitevős hatványokkal helyettesítünk. Megmutatjuk, mik ezek az előzetes átalakítások, és hogyan kell végrehajtani őket.
Gyökér esetén a következő átalakításokat hajthatja végre: 
... És mivel a 4 pozitív szám, az utolsó gyök helyettesíthető hatványra. És a második esetben negatív szám páratlan gyökének meghatározása−a (ebben az esetben a pozitív), amelyet az egyenlőség fejez ki 
, lehetővé teszi a gyökér olyan kifejezéssel való helyettesítését, amelyben a kettő kockagyöke már helyettesíthető egy fokkal, és az alakot ölti.
Azt kell elemezni, hogy a gyököket, amelyek alatt a kifejezések találhatók, hogyan váltják fel az ezeket a kifejezéseket tartalmazó fokozatok az alapban. Itt nem szabad rohanni a helyettesítéssel, az A betűvel jelöltünk néhány kifejezést. Nézzünk egy példát annak tisztázására, hogy ez mit jelent. Csak a gyökér helyett egy fokozatot akarsz, egyenlőség alapján. Az ilyen csere azonban csak x feltétel esetén megfelelő<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
A képlet ilyen pontatlan alkalmazása miatt gyakran előfordulnak hibák a gyökérről a hatványra való áttéréskor. Például a tankönyvben egy feladatot adunk, hogy egy kifejezést racionális kitevővel rendelkező hatványként ábrázoljunk, és egy olyan választ adunk, amely kérdéseket vet fel, mivel a feltétel nem adja meg a b> 0 megkötést. A tankönyvben pedig átmenet van a kifejezéstől 
, valószínűleg az irracionális kifejezés alábbi átalakításain keresztül 
a kifejezésre. Ez utóbbi átmenet is kérdéseket vet fel, ugyanis leszűkíti a DHS-t.
Felmerül egy természetes kérdés: "Hogyan helyes az ODZ-ből származó változók összes értékét a gyökértől a fokozatig átvinni"? Az ilyen csere a következő nyilatkozatok alapján történik:
Mielőtt alátámasztaná a rögzített eredményeket, íme néhány példa a használatukra a gyökerektől a hatáskörökig. Először térjünk vissza a kifejezéshez. Nem helyettesíteni kellett ezzel, hanem (ebben az esetben m = 2 páros egész szám, n = 3 természetes szám). Egy másik példa: 
.
Most az eredmények ígért indoklása.
Ha m páratlan egész szám és n természetes páros, akkor az ODZ-ből származó bármely változóhalmazra egy kifejezéshez az A kifejezés értéke pozitív (ha m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Így, .
Térjünk át a második eredményre. Legyen m pozitív páratlan egész szám, n pedig természetes páratlan szám. Az ODZ-ből származó változók összes olyan értékére, amelyeknél az A kifejezés értéke nem negatív, 
, és amelyre negatív, 
A következő eredményt hasonlóan igazoljuk negatív és páratlan m-es számokra és páratlan természetes számokra. Az ODZ változóinak minden olyan értékére, amelyre az A kifejezés értéke pozitív, , és amelyre negatív,
Végül az utolsó eredmény. Legyen m páros egész szám, n - bármilyen természetes szám. Az ODZ-ből származó változók összes értékére, amelyekre az A kifejezés értéke pozitív (ha m<0
) или неотрицательно (если m>0
), ... Amire pedig negatív,. Így, ha m egy páros egész szám, n bármely természetes szám, akkor az ODZ-ből származó változók bármely értékkészletéhez a kifejezéshez helyettesíthető.
Bibliográfia.
- Algebraés az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl-re. Általános oktatás. intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov. - 14. kiadás - M .: Oktatás, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Algebraés a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre. intézmények: alap és profil. szintek / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacseva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; szerk. A. B. Zsizcsenko. - M .: Oktatás, 2009. - 336 p .: ill. - ISBN 979-5-09-016551-8.
Gratulálunk: ma a gyökereket vizsgáljuk - a 8. osztály egyik legagyafúrtabb témáját. :)
Sokan össze vannak zavarodva a gyökerekkel, nem azért, mert bonyolultak (ami olyan nehéz - néhány definíció és néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan dzsungelen keresztül vannak meghatározva, hogy csak a tankönyvek szerzői. maguk is kitalálhatják ezt a firkát. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)
Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyre valóban emlékeznie kell. És csak ezután fogom elmagyarázni: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.
De először emlékezz egyet fontos pont, amelyről sok tankönyv-összeállító valamiért "elfelejti":
A gyökök lehetnek páros fokúak (a mi szeretett $ \ sqrt (a) $, valamint mindenféle $ \ sqrt (a) $ és páros $ \ sqrt (a) $) és páratlan fokos (mindenféle $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.
Itt, ebben a kibaszott "kicsit más" rejtett, valószínűleg a 95%-a a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések. Ezért foglalkozzunk egyszer s mindenkorra a terminológiával:
Meghatározás. Még gyökér n$-tól a $ bármely nem negatív olyan $ b $ szám, hogy $ ((b) ^ (n)) = a $. És ugyanannak a $ a $ számnak a páratlan gyöke általában bármely $ b $ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség érvényes: $ ((b) ^ (n)) = a $.
Mindenesetre a gyökér a következőképpen van jelölve:
\ (a) \]
Az ilyen rekordban lévő $ n $ számot a gyökér kitevőjének, a $ a $ számot pedig gyök kifejezésnek nevezzük. Különösen $ n = 2 $ esetén megkapjuk a "kedvenc" négyzetgyökünket (mellesleg ez egy páros gyök), és $ n = 3 $ esetén - köbös (páratlan fok), ami szintén gyakran megtalálható a problémákban. és egyenletek.
Példák. Klasszikus példák a négyzetgyökökre:
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ vége (igazítás) \]
Egyébként $ \ sqrt (0) = 0 $ és $ \ sqrt (1) = 1 $. Ez teljesen logikus, mivel $ ((0) ^ (2)) = 0 $ és $ ((1) ^ (2)) = 1 $.
Gyakoriak a köbös gyökerek is – ne félj tőlük:
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ vége (igazítás) \]
Nos, és néhány "egzotikus példa":
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ vége (igazítás) \]
Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!
Addig is figyelembe vesszük a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és páratlan mutatókra.
Egyáltalán miért van szükségünk gyökerekre?
A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: "Mit szívtak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?" Valóban: miért van egyáltalán szükségünk ezekre a gyökerekre?
A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy percre az elemi osztályokhoz. Ne feledje: azokban a távoli időkben, amikor a fák zöldebbek voltak, és a gombócok finomabbak voltak, a fő gondunk a számok helyes szorzása volt. Nos, valami olyasmi, hogy „öt-öt – huszonöt”, ennyi. De végül is a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:
\ [\ kezdődik (igazítás) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (igazítás) \]
Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, ezért tíz ötös szorzását így kellett leírniuk:
Így jöttek a diplomák. Miért nem írja felül a tényezők számát a hosszú karakterlánc helyett? Mint ez:
Nagyon kényelmes! Minden számítás jelentősen lecsökken, és nem kell egy csomó pergamenlapot pazarolnia a füzetekben ahhoz, hogy leírjon körülbelül 5183-at. Az ilyen rekordot számfokozatnak hívták, egy rakás tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.
Egy hatalmas pia után, amelyet éppen a fokozatok "felfedezése" körül szerveztek, néhány különösen makacs matematikus hirtelen megkérdezte: "Mi van akkor, ha ismerjük egy szám fokszámát, de magát a számot nem?" Valójában, ha tudjuk, hogy egy bizonyos $ b $ szám például az 5. hatványban 243-at ad, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy a $ b $ mekkora számmal egyenlő?
Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a "kész" fokozatok többségénél nincsenek ilyen "kezdeti" számok. Ítéld meg magad:
\ [\ kezdődik (igazítás) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Jobbra nyíl b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Jobbra nyíl b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Jobbra nyíl b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Jobbra nyíl b = 4. \\ \ vége (igazítás) \]
Mi van, ha $ ((b) ^ (3)) = 50 USD? Kiderült, hogy meg kell találni egy bizonyos számot, amelyet háromszor megszorozva önmagával 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mivel 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Azaz. ez a szám valahol három és négy között van, de hogy mi egyenlő - füge, azt megérted.
Erre találták ki a matematikusok a $ n $ -edik fokozat gyökereit. Ezért került bevezetésre a $ \ sqrt (*) $ radikális szimbólum. Kijelölni azt a $ b $ számot, amely a megadott mértékben egy korábban ismert értéket ad
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Jobbra nyíl ((b) ^ (n)) = a \]
Nem vitatom: ezeket a gyökereket gyakran könnyen meg lehet számolni – több ilyen példát láttunk fent. Ennek ellenére a legtöbb esetben, ha kitalál egy tetszőleges számot, majd megpróbál belőle tetszőleges gyökeret kinyerni, akkor kegyetlen balhé lesz.
Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $ \ sqrt (2) $ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha beírja ezt a számot egy számológépbe, ezt fogja látni:
\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]
Mint látható, a vessző után végtelen számsor van, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot felfelé is kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:
\ [\ négyzetméter (2) = 1,4142 ... \ körülbelül 1,4 \ lt 1,5 \]
Vagy itt van egy másik példa:
\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ körülbelül 1,7 \ gt 1,5 \]
De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy rakás nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként a profilvizsgán az összehasonlítás és a kerekítés készsége kötelező ellenőrizni).
Ezért a komoly matematikában nem nélkülözheti a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $ \ mathbb (R) $ halmazának egyenlő képviselői, valamint a számunkra régóta ismert törtek és egész számok.
Az, hogy a gyököt nem lehet a $ \ frac (p) (q) $ alak törtrészeként ábrázolni, azt jelenti, hogy ez a gyök nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és csak egy radikális, vagy más speciálisan kialakított konstrukció (logaritmus, fok, határérték stb.) segítségével nem ábrázolhatók pontosan. De erről majd máskor.
Vegyünk néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ kb. 2236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ körülbelül -1,2599 ... \\ \ vége (igazítás) \]
Természetesen szerint külső megjelenése gyökér szinte lehetetlen kitalálni, hogy milyen számok jönnek a tizedesvessző után. Számológéppel azonban számolhatsz, de a legtökéletesebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $ \ sqrt (5) $ és $ \ sqrt (-2) $ formában írni.
Ezért találták ki. A válaszok kényelmes rögzítéséhez.
Miért van szükség két definícióra?
A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Nos, végső megoldásként a semmiből. De a kocka gyökereit nyugodtan kivonják abszolút bármilyen számból - legyen az pozitív vagy negatív.
Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $ y = ((x) ^ (2)) $ függvény grafikonjára:
A másodfokú függvény diagramja két gyökeret ad: pozitív és negatív Próbáljuk meg kiszámítani a $ \ sqrt (4) $ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a diagramon egy $ y = 4 $ vízszintes vonalat húzunk (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $ ((x) _ (1)) = 2 $ és $ ((x) ) _ (2)) = -2 $. Ez teljesen logikus, hiszen
Minden világos az első számmal - ez pozitív, ezért ez a gyökér:
De akkor mi a teendő a második ponttal? Mintha a négynek egyszerre két gyökere lenne? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk $ \ sqrt (4) = - 2 $? És miért néznek a tanárok az ilyen lemezeket, mintha fel akarnának zabálni? :)
Az a baj, hogy ha nem szabnak további feltételeket, akkor a négynek két négyzetgyöke lesz - pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz negatív értékeket nem fogad el.
Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:
- Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz, páros kitevővel $ n $;
- Negatív számokból a páros $ n $ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.
Ezért a $ n $ páros hatvány gyökének definíciójában kifejezetten elő van írva, hogy a válasznak nemnegatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.
De páratlan $ n $ esetén nincs ilyen probléma. Ennek ellenőrzésére vessünk egy pillantást a $ y = ((x) ^ (3)) $ függvény grafikonjára:
Egy köbös parabola tetszőleges értéket vesz fel, így a kockagyök tetszőleges számból kinyerhető Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:
- A köbös parabola ágai a szokásostól eltérően mindkét irányban - felfelé és lefelé - a végtelenbe mennek. Ezért bármilyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal szükségszerűen metszi a grafikonunkat. Következésképpen a kocka gyökér mindig bármilyen számból kinyerhető;
- Ráadásul mindig egy ilyen metszéspont lesz az egyetlen, így nem kell azon gondolkodni, hogy melyik számot tekintsük „helyes” gyöknek, és melyik számot érjük el. Ezért a gyökök meghatározása a páratlan fokra egyszerűbb, mint a párosra (nincs nem-negativitás követelménye).
Kár, hogy ezeket az egyszerű dolgokat a legtöbb tankönyv nem magyarázza el. Ehelyett az agy elkezd hozzánk lebegni mindenféle számtani gyökkel és azok tulajdonságaival.
Igen, nem vitatom: mi az aritmetikai gyök - azt is tudni kell. Ezt pedig egy külön oktatóanyagban fogom részletesen kifejteni. Ma erről is fogunk beszélni, mert e nélkül minden gondolat a $ n $ -edik multiplicitás gyökereiről hiányos lenne.
De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.
Csak annyit kell tennie, hogy megértse a páros és páratlan mutatók közötti különbséget. Tehát még egyszer gyűjtsünk össze mindent, amit a gyökerekről igazán tudni kell:
- Páros gyök csak nem negatív számból létezik, és maga is mindig nem negatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
- De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számok esetén pozitív, negatívak esetén pedig, amint arra a sapka utal, negatív.
Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Egyértelmű? Igen, általában ez nyilvánvaló! Tehát most néhány számítást fogunk gyakorolni.
Alapvető tulajdonságok és korlátozások
A gyökereknek sok furcsa tulajdonsága és korlátja van - erről külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb "trükköt" vesszük figyelembe, amely csak az egyenletes kitevővel rendelkező gyökerekre vonatkozik. Írjuk fel ezt a tulajdonságot egy képlet formájában:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ bal | x \ jobbra | \]
Vagyis ha egy számot páros hatványra emelünk, majd ebből kivonjuk ugyanannak a hatványnak a gyökerét, akkor nem az eredeti számot, hanem a modulusát kapjuk. Ez egy egyszerű tétel, amely könnyen bebizonyítható (elegendő külön figyelembe venni a nem negatív $ x $-t, majd külön - a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, minden iskolai tankönyvben megadják. De amint az irracionális egyenletek (vagyis a gyökjelet tartalmazó egyenletek) megoldására kerül sor, a tanulók barátságosan elfelejtik ezt a képletet.
A kérdés részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot egyenesen előre megszámolni:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ bal (-3 \ jobb)) ^ (4))) =? \]
Ez nagyon egyszerű példák... Az első példát a legtöbb ember meg fogja oldani, de a másodiknál sokan ragaszkodnak. Az ilyen szarságok problémamentes megoldásához mindig vegye figyelembe a műveletek sorrendjét:
- Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Kapsz egy új számot, ami még a szorzótáblában is megtalálható;
- És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik gyökért. Azok. nem történik a gyökök és fokok „redukciója” – ezek egymást követő műveletek.
Az első kifejezéssel dolgozunk: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Ezután vonja ki a 81-es szám negyedik gyökerét:
Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot emeljük a negyedik hatványra, amelyhez meg kell szoroznunk önmagával 4-szer:
\ [((\ bal (-3 \ jobb)) ^ (4)) = \ bal (-3 \ jobb) \ cdot \ bal (-3 \ jobb) \ cdot \ bal (-3 \ jobb) \ cdot \ bal (-3 \ jobb) = 81 \]
Pozitív számot kaptunk, mivel a mű összes mínuszának száma 4 darab, és mindegyik kölcsönösen megsemmisül (végül is a mínusz a mínusz pluszt ad). Ezután ismét kivonjuk a gyökeret:
Ezt a sort elvileg nem lehetett volna megírni, hiszen az tuti, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros erő páros gyöke „kiégeti” a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modulustól:
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ balra | 3 \ jobb | = 3; \\ & \ sqrt (((\ bal (-3 \ jobb)) ^ (4))) = \ bal | -3 \ jobbra | = 3. \\ \ vége (igazítás) \]
Ezek a számítások jól egyeznek a páros gyök definíciójával: az eredmény mindig nem negatív, a gyökjel alatt pedig mindig van egy nem negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér definiálatlan.
Eljárási megjegyzés
- A $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre emeljük a $ a $ számot, majd kivonjuk a négyzetgyököt a kapott értékből. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a gyökérjel alatt mindig nem negatív szám ül, hiszen $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ mindenképpen;
- De a $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ rekord éppen ellenkezőleg, azt jelenti, hogy először kivonjuk a gyökért egy bizonyos $ a $ számból, és csak azután négyzetre emeljük az eredményt. Ezért a $ a $ szám semmi esetre sem lehet negatív - ez kötelező követelmény a definícióban.
Így semmi esetre sem szabad ész nélkül csökkenteni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag "leegyszerűsítve" az eredeti kifejezést. Mert ha a gyökér alatt negatív szám van, és a kitevője páros, akkor egy csomó problémát kapunk.
Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.
A mínusz eltávolítása a gyökérjelből
Természetesen a páratlan mutatójú gyökereknek is megvan a saját számlálójuk, ami elvileg nem létezik a párosoknál. Ugyanis:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
Röviden: a páratlan fok gyökereinek jele alól kiveheti a mínuszt. Ez nagyon hasznos ingatlan, amely lehetővé teszi az összes mínusz "kidobását":
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ balra (- \ sqrt (32) \ jobbra) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ vége (igazítás) \]
Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódni: hirtelen egy negatív kifejezés kúszott a gyökér alá, és a gyökér foka párosnak bizonyul? Elég csak "kidobni" az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, megoszthatók és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a "klasszikus" gyökerek esetében garantáltan elvezet bennünket tévedés.
És itt egy másik meghatározás jön szóba – az, amellyel a legtöbb iskolában az irracionális kifejezések tanulmányozása kezdődik. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Kérlek üdvözöllek!
Aritmetikai gyök
Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok lehetnek, vagy legfeljebb nulla. Felejtsük el a páros / páratlan mutatókat, felejtsük el az összes fent megadott definíciót - csak nem negatív számokkal fogunk dolgozni. Akkor mit?
És akkor megkapjuk az aritmetikai gyökeret - részben átfedésben van a "szabványos" definícióinkkal, de mégis eltér tőlük.
Meghatározás. Egy nemnegatív $ a $ szám $ n $-edik fokának aritmetikai gyöke egy $ b $ nemnegatív szám, így $ ((b) ^ (n)) = a $.
Amint látja, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.
Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a szokásostól, vessünk egy pillantást a már ismert négyzet- és köbös parabola gráfokra:
Aritmetikai gyökér keresési területe - nem negatív számok Mint látható, mostantól csak a grafikonok azon részei érdekelnek, amelyek az első koordinátanegyedben helyezkednek el - ahol a $ x $ és a $ y $ koordináták pozitívak (vagy legalább nulla). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív szám gyökerezésére vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.
Felteheti a kérdést: "Nos, miért van szükségünk ilyen kasztrált meghatározásra?" Vagy: "Miért nem boldogulsz a fent megadott standard definícióval?"
Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új definíció megfelelővé válik. Például a hatványozás szabálya a következő:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral - és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme néhány példa:
\ [\ kezd (igazítás) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ vége (igazítás) \]
Szóval mi a nagy baj? Miért nem tudtuk ezt korábban megtenni? Íme, miért. Vegyünk egy egyszerű kifejezést: $ \ sqrt (-2) $ - ez a szám a mi klasszikus értelemben teljesen normális, de a számtani gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg átalakítani:
$ \ kezd (igazítás) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (igazítás) $
Mint látható, az első esetben a mínuszt eltávolítottuk a gyök alól (minden jogunk van, mivel a mutató páratlan), a második esetben pedig a fenti képletet használtuk. Azok. a matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.
WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak arról van szó, hogy a hatványozási képlet, amely kiválóan működik pozitív számokra és nullára, kezd eretnek lenni, ha negatív számokról van szó.
Annak érdekében, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségtől, számtani gyökereket találtak ki. Külön nagy leckét szentelnek nekik, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük - a lecke már túl hosszúnak bizonyult.
Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni
Sokáig gondolkodtam, hogy ezt a témát külön bekezdésbe rakjam-e vagy sem. Végül úgy döntöttem, elmegyek innen. Ez az anyag azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - nem átlagos "iskolai", hanem az olimpia szintjéhez közeli szinten.
Tehát: a szám $ n $ -edik gyökének "klasszikus" definíciója és a páros és páratlan mutatókra való felosztása mellett létezik egy "felnőttebb" definíció, amely egyáltalán nem függ a paritástól és egyéb finomságoktól. . Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.
Meghatározás. Bármely $ a $ $ n $-edik fokának algebrai gyöke a $ b $ összes szám halmaza úgy, hogy $ ((b) ^ (n)) = a $. Az ilyen gyökerekre nincs jól bevált jelölés, ezért csak egy kötőjelet teszünk a tetejére:
\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ jobb. \ jobb \) \]
Az alapvető különbség az óra elején adott standard definícióhoz képest, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ennek a halmaznak csak három típusa van:
- Üres készlet. Akkor fordul elő, amikor meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
- Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan fokok gyökerei, valamint a nullától számított páros fokok gyökerei ebbe a kategóriába tartoznak;
- Végül a halmaz két számot tartalmazhat - ugyanazt a $ ((x) _ (1)) $ és $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, amit láttunk a gráf másodfokú függvénye. Ennek megfelelően egy ilyen igazítás csak akkor lehetséges, ha pozitív számból páros gyöket vonunk ki.
Ez utóbbi eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.
Példa. Kifejezések értékelése:
\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]
Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:
\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]
Két szám alkotja a készletet. Mert a téren mindegyik ad egy négyest.
\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ bal \ (-3 \ jobb \) \]
Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökérkitevő páratlan.
Végül az utolsó kifejezés:
\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Van egy üres készletünk. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amit a negyedik (azaz páros!) fokra emelve negatív számot kapunk -16.
Záró megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert vannak komplex számok is - ott teljesen meg lehet számolni $ \ sqrt (-16) $, és sok más furcsa dolgot.
A modern iskolai matematika kurzusban azonban szinte soha nem találhatók összetett számok. A legtöbb tankönyvből törölték őket, mert tisztviselőink ezt a témát "túl nehezen érthetőnek" tartják.
Ez minden. A következő leckében megvizsgáljuk a gyökök összes kulcsfontosságú tulajdonságát, és végül megtanuljuk, hogyan lehet egyszerűsíteni az irracionális kifejezéseket. :)
A matematikai kifejezések konvertálásához és egyszerűsítéséhez gyakran a gyökértől a hatványig kell haladni, és fordítva. Ez a cikk leírja, hogyan kell a gyökérből hatványt fordítani és fordítva. Tartalmazza az elméletet, a gyakorlati példákat és a leggyakoribb hibákat.
Fokokról törtkitevővel a gyökök felé haladva
Tegyük fel, hogy van egy számunk kitevőjével az alakban közönséges tört- a m n. Hogyan írjunk egy ilyen kifejezést gyökérként?
A válasz már a diploma meghatározásából következik!
Meghatározás
Az m n-hez tartozó pozitív a szám az m n-edik gyöke.
Ebben az esetben a következő feltételnek kell teljesülnie:
a>0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ.
Tört fok a nulla számot hasonlóan definiáljuk, de ebben az esetben az m számot nem egész számnak, hanem természetes számnak vesszük, így nem történik 0-val való osztás:
0 m n = 0 m n = 0.
Definíció szerint az a m n fok a m n gyökként ábrázolható.
Például: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Azonban, mint már említettük, nem szabad megfeledkezni a feltételekről: a> 0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ.
Tehát a - 8 1 3 kifejezés nem ábrázolható a - 8 1 3 formában, mivel a - 8 1 3 jelölésnek egyszerűen nincs értelme - a negatív számok mértéke nincs meghatározva. Ebben az esetben maga a gyök - 8 1 3 van értelme.
Az átmenet a fokokról az alapban lévő kifejezésekkel és a tört kitevőkkel azonos módon történik a fok alapjában lévő eredeti kifejezések megengedett értékeinek (a továbbiakban - ODV) teljes tartományában.
Például az x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 kifejezés az x 2 + 2 x + 1 - 4 négyzetgyökeként ábrázolható. Egy kifejezés az x 2 + xyz - z 3 - 7 3 hatványra. x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 kifejezés lesz minden x, y, z esetén ennek a kifejezésnek az ODZ-jéből.
A gyökök hatványokkal való fordított helyettesítése is lehetséges, amikor a gyökér kifejezés helyett hatványos kifejezéseket írnak. Csak megfordítjuk az előző pont egyenlőségét, és megkapjuk:
Ismét nyilvánvaló az átmenet pozitív a. Például 7 6 4 = 7 6 4 vagy 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Negatív a esetén a gyökereknek van értelme. Például - 4 2 6, - 2 3. Ezeket a gyökereket azonban lehetetlen fokok formájában ábrázolni - 4 2 6 és - 2 1 3.
Egyáltalán lehetséges-e az ilyen kifejezéseket hatványokkal átalakítani? Igen, ha végrehajt néhány előzetes átalakítást. Gondoljuk át, melyiket.
A hatványok tulajdonságait felhasználva transzformációkat hajthat végre a - 4 2 6 kifejezésen.
4 2 6 = - 1 2 4 2 6 = 4 2 6.
4> 0 óta a következőket írhatjuk:
Negatív szám páratlan gyöke esetén a következőt írhatja:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1.
Ekkor a - 2 3 kifejezés a következő formában lesz:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Most nézzük meg, hogyan váltják fel a gyököket, amelyek alatt a kifejezések találhatók, azokkal a hatványokkal, amelyek ezeket a kifejezéseket a gyökérben tartalmazzák.
Jelöljünk A betűvel valamilyen kifejezést. Ne rohanjunk azonban A m n-t A m n alakban ábrázolni. Magyarázzuk meg, mit is értünk itt. Például az x - 3 2 3 kifejezést az első bekezdés egyenlősége alapján szeretném x - 3 2 3 formában ábrázolni. Ilyen helyettesítés csak x - 3 ≥ 0 esetén lehetséges, az ODZ-ből fennmaradó x-re pedig nem illik, mivel negatív a esetén az a m n = a m n képletnek nincs értelme.
Így a vizsgált példában az A m n = A m n alakú transzformáció olyan transzformáció, amely leszűkíti az ODT-t, és az A m n = A m n képlet pontatlan alkalmazása miatt gyakran előfordulnak hibák.
Az A m n gyökről az A m n fokra való helyes átlépéshez több pontot kell figyelembe venni:
- Ha az m szám egész és páratlan, n pedig természetes és páros, akkor az A m n = A m n képlet a változók teljes ODZ-jére érvényes.
- Ha m egész és páratlan, n pedig természetes és páratlan, akkor az A m n kifejezés helyettesíthető:
- A m n azon változók összes értékére, amelyeknél A ≥ 0;
- be - - A m n azon változók összes értékére, amelyekre A< 0 ; - Ha m egész és páros szám, és n bármilyen természetes szám, akkor A m n helyettesíthető A m n-nel.
Foglaljuk össze ezeket a szabályokat egy táblázatban, és mutassunk néhány példát a használatukra.
Térjünk vissza az x - 3 2 3 kifejezéshez. Itt m = 2 egész és páros szám, n = 3 pedig természetes szám. Ezért az x - 3 2 3 kifejezés helyesen lesz írva a következő formában:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3.
Mondjunk még egy példát a gyökerekkel és az erőkkel.
Példa. Gyökér átalakítása hatványsá
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5, x> - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5
Indokoljuk meg a táblázatban látható eredményeket. Ha az m szám egész és páratlan, és n természetes és páros, akkor az A m n kifejezésben szereplő ODZ összes változója esetén A értéke pozitív vagy nem negatív (m> 0 esetén). Ezért A m n = A m n.
A második változatban, amikor m egész szám, pozitív és páratlan, n pedig természetes és páratlan, az A m n értékei elkülönülnek. A GDV-ből származó változók esetében, amelyekre A nem negatív, A m n = A m n = A m n. Azokra a változókra, amelyekre A negatív, a következőt kapjuk: A m n = - A m n = - 1 m A m n = - A m n = - A m n = - A m n.
Fontolja meg hasonló módon következő eset, amikor m egy egész és páros szám, és n bármely természetes szám. Ha A értéke pozitív vagy nem negatív, akkor az ODZ változóinak ilyen értékeihez A m n = A m n = A m n. Negatív A esetén A m n = - A m n = - 1 m A m n = A m n = A m n.
Így a harmadik esetben az ODZ-ből származó összes változóra felírhatjuk, hogy A m n = A m n.
Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket
Hatványképletek Az összetett kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.
Szám c egy n-a szám hatványa a mikor:
Műveletek fokozatokkal.
1. A fokokat azonos alappal szorozva a mutatóik összeadódnak:
a mA n = a m + n.
2. Az azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóikat levonjuk:
3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:
(abc ...) n = a n b n c n ...
4. A tört hatványa egyenlő az osztó és az osztó hatványainak arányával:
(a / b) n = a n / b n.
5. Egy fokot fokra emelve a kitevőket megszorozzuk:
(a m) n = a m n.
A fenti képletek mindegyike igaz balról jobbra és fordítva.
például. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.
Gyökérműveletek.
1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:
2. Az összefüggés gyökere egyenlő az osztalék és a gyökosztó arányával:
3. Ha gyökér hatványra emel, elég a gyökér számot erre a hatványra emelni:
4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n-a gyökérszám hatványa, akkor a gyökérérték nem változik:
5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyszer és egyszerre kivonjuk a gyökeret n-a gyökszám hatványa, akkor a gyökér értéke nem változik:
Fok negatív kitevővel. A nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy definiáljuk, mint egy egység osztva a nem pozitív kitevő abszolút értékével megegyező kitevővel rendelkező szám hatványával:
Képlet a m: a n = a m - n nem csak arra használható m> n, hanem at m< n.
például. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Tehát a képlet a m: a n = a m - n igazságossá vált, amikor m = n, a nulla fok megléte szükséges.
Nulla fokozat. Bármely nullától eltérő, nulla kitevővel rendelkező szám hatványa eggyel egyenlő.
például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Törtkitevő. Valós szám felállításához a fokig m / n, ki kell bontani a gyökeret n-edik fokozata m- ennek a számnak a hatványa a.
