Mit nevezünk vektornak a térben. Vektorok. I. Vektor összeadás
A síkban lévő vektorokkal kapcsolatos minden definíció és tétel a térre is igaz. Emlékezzünk a főbb definíciókra.
Egy vektor meghatározásához szükségünk van
Meghatározás
Irányított szegmens rendezett pontpárnak nevezzük a térben. Az irányvonalakat ún egyenlő ha egyenlő hosszúságúak és irányúak.
Meghatározás
Vektor az összes egyenlő irányított szegmens halmaza.
A vektorokat általában kisbetűs latin betűkkel jelölik, felül nyíllal: $ \ vec (a) $, $ \ vec (b) $, $ \ vec (c) $. Az irányvonalszakaszokat a kezdet és a vég jelzésével jelöljük, felül nyíllal is: $ \ vec (AB) $.
A vektor végtelen számú elemből álló halmaz. Az irányított szakaszt gyakran "vektornak" nevezik. Ha $ \ vec (AB) \ a \ vec (a) $-ban, akkor a $ \ vec (AB) $ irányított szegmensről azt mondjuk, hogy a $ \ vec (a) $ vektort képviseli. Ebben az esetben egy irányított szegmenst rajzolnak a rajzra, és azt mondják, hogy "vektor". Például amikor azt mondjuk, hogy "tegyük félre a $ \ vec (r) $ vektort a $ O $ pontból, akkor azt értjük, hogy egy $ \ vec (OR) $ irányított szegmenst készítünk, amely a $ \ vec (r) vektort képviseli. ) $."
Meghatározás
A vektorokat ún egyenlő ha az őket reprezentáló irányszegmensek egyenlőek.
A vektorokon összeadás és kivonás műveleteket hajthat végre, valamint ezt a vektort valós számmal megszorozhatja.
A háromszögszabály a planimetriából ismert: $ \ vec (a) + \ vec (b) = \ vec (c) $,
paralelogramma szabály: $ \ vec (a) + \ vec (b) = \ vec (c) $
és a szaggatott vonal szabálya a síkra vonatkozó vektorok összeadására, amelyek térben is igazak.
A szaggatott vonal szabálya vektorok összeadásához
Ha a $ A_1, \, A_2, \, \ pontok, \, A_n $ tetszőleges pontok a térben, akkor
$ \ vec (A_1A_2) + \ pont + \ vec (A_ (n-1) A_n) = \ vec (A_1A_n). $
Ráadásul térben igaz
Doboz szabály
Ha $ \ vec (OA) \ in \ vec (a) $, $ \ vec (OB) \ in \ vec (b) $, $ \ vec (OC) \ in \ vec (c) $, akkor a következőre építve A paralelepipedon $ OAEBCFDG $ irányított szegmensei közül megtalálhatja a $ \ vec (OD) $ irányított szakaszát, amely a $ \ vec (d) $ vektort reprezentálja, amely a $ \ vec (a), \, \ vektorok összege. vec (b), \, \ vec (c). $
3. előadás. Vektorok. Lineáris egyenletrendszerek.
Vektorok
Cél A téma tanulmányozása egy olyan vektor fogalmának általánosításából áll, amelyet a tanulók az iskolai tantervből ismernek, és kiterjesztjük annak szisztematikus látókörét.
Vektorok a síkon és a térben.
Vektor- ez irányszakasz. Pont A- a vektor eleje, pont V- a vektor vége (3.1.1. ábra). Használhatja a jelölést .
Hossz (modul) vektort a vektor hosszával megegyező számnak nevezzük. A vektormodult a vagy szimbólum jelöli. Ha egy vektor modulusa, akkor a vektort hívjuk nulla; a nulla vektor iránya tetszőleges.
A két vektort ún kollineáris, ha párhuzamosak egy egyenessel (vagy egy egyenesen fekszenek), ebben az esetben írnak. A nullvektor kollineáris bármely vektorhoz.
Két vektor egyenlőek, vagyis ha három feltétel teljesül:; és és egyformán irányítják.
A vektor szorzata ā szám szerint (skalár) λ olyan vektort nevezünk, amely eleget tesz a következő feltételeknek:, vektorok és együtt irányítottak, ha és ellentétes irányba, ha. Ha, a vektort hívjuk szemben vektor .
Így a feltétel elégséges a vektor és;
Vektorok összeadása. Két vektor összegeés vektornak nevezik, Rajt amely egybeesik a vektor kezdetével és a vége a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje egybeesik a vektor végével (háromszög szabály)(lásd a 3.1.2. ábrát).
Mivel egy vektor, akkor kap kettő összege vektorok, használhatja a szabályt paralelogramma: összeg kettő A vektorok a paralelogramma vektorátlója, amely a vektorokra épül, és mindkét vektor-összeadás közös origójából kilép.
Több összege vektorokat a szabály találja meg poligon: több vektor összegének megtalálása , következetesen kombinálnia kell a következő vektortag elejét az előző végével; akkor az első vektor elejétől az utolsó végéig húzott vektort mindezen vektorok összegének nevezzük (3.1.3. ábra).
Különbség két vektort összegnek nevezzük. Ha vektor, akkor két vektor összegével analóg módon ez a vektor egy három vektorra épített paralelepipedon átlója, mint az oldalakon (3.1.4. ábra).
Tekintsünk egy vektort egy síkban. Térjünk át a rendszer koordinátáinak origójára nehéz bárka.
Vegyünk egy vektort. Egy vektor koordinátái egy pont koordinátái M(NS;nál nél). Vezessünk be vektorokat a koordinátatengelyeken énés j- egységhossz (3.1.5. ábra).
Nyilván, vagy vagy. Ha a vektort háromdimenziós térben tekintjük, ahol a pont M három koordináta jellemzi, azaz M(x, y, z) , akkor a vektor a következőképpen ábrázolható:
x én y j z k , (3.1.1)
ahol i, j, k- a koordinátatengelyeken fekvő egységvektorok. Legyen , . Nézzük meg ezeknek a vektoroknak az összegét és különbségét:
A vektorok összeadása és a vektorok skalárral való szorzása a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
A bizonyítások a (3.1.2) pontból következnek.
Meghatározás. Pontos termék vektorok, és a szám egyenlő ezen vektorok modulusainak szorzatával a szög koszinuszával φ köztük, vagyis. (3.1.3)
A skaláris szorzat tulajdonságai a (3.1.3)-ból következnek:
4) ha, akkor.
A pontszorzat tulajdonságait felhasználva két vektor pontszorzatát találhatjuk meg koordináta formában. Ha akkor; ha - a vektorok merőlegességének feltétele.
Ha a vektorok kollineárisak, akkor ez a feltétele a kollineáris vektoroknak.
Koncepció n -dimenziós vektor. Vektor tér. A vektorok lineáris kombinációja és lineáris függése.
A vektor fogalma általánosítható.
Meghatározás. n-dimenziós vektor rendelt gyűjtésnek nevezik nígy írt valós számok X = (x 1, x 2, ..., x n), x i- vektor komponensek NS.
Koncepció n A dimenziós vektort széles körben használják a közgazdaságtanban. Például egy bizonyos árukészletet vektorral, a megfelelő árakat pedig vektorral jellemezhetünk.
Kettő n -dimenziós vektorok akkor és csak akkor egyenlők, ha a megfelelő összetevőik egyenlőek:,.
A geometriai vektorokkal analóg módon a következőket vezetjük be: komponensekkel rendelkező vektorok összege,; az azonos tulajdonságú komponensekkel rendelkező vektorok különbsége,,.
Skaláris szorzat n- dimenziós vektorok:
Ha x - árukészlet, és Y - megfelel az egyes termékek egységárának, majd az összes termék költségének:
Meghatározás. A valós komponensű vektorok halmazát, amelyben a vektornak a fenti tulajdonságokat kielégítő összeadási (kivonási) és skalárral való szorzási műveletei definiáltak, ún. vektor tér.
Meghatározás. A vektort ún vektorok lineáris kombinációja vektortér, ha
, (3.1.4)
hol vannak valós számok.
Meghatározás. A vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak olyan számok, amelyek nem egyenlők nullával, ugyanakkor lineáris kombináció.
Ellenkező esetben a () vektorokat hívjuk lineárisan független.
Ha a vektorok lineárisan függőek, akkor legalább az egyiket lineárisan fejezzük ki a többivel. Mutassuk meg. Legyenek tehát a () vektorok lineárisan függőek, azaz n
Miután a rendszert bármilyen módszerrel megoldottuk (például Cramer módszerével), megkapjuk a megoldását:,,. A vektor kiterjesztésének a bázis szempontjából van formája.
Ebben a cikkben megadjuk a vektor geometriai definícióját, valamint a kapcsolódó alapvető fogalmakat. Síkon és térben a vektor egy teljes értékű geometriai objektum, vagyis egészen valóságos körvonalai vannak, amelyeket a megadott grafikus illusztrációkon látni fog.
Meghatározás.
Vektor Irányított vonalszakasz.
Vagyis vektorként felveszünk egy szakaszt síkon vagy térben úgy, hogy az egyik határpontját a kezdetnek, a másikat a végnek tekintjük.
A vektorok jelölésére például kisbetűs latin betűket fogunk használni, felettük nyíllal. Ha a szakasz kezdetének és végének határpontja adott, például A és B, akkor a vektort a következőképpen jelöljük.
Meghatározás.
Nulla vektor Bármely pont egy síkban vagy térben.
Meghatározás.
Vektor hossza egy nem negatív szám, amely egyenlő az AB szakasz hosszával.
A vektor hosszát a következővel jelöljük.
Mivel a vektor hosszának megjelölése pontosan egybeesik a modulus előjelével, hallható, hogy a vektor hosszát a vektor modulusának nevezzük. Továbbra is javasoljuk a "vektorhossz" kifejezés használatát. A nulla vektor hossza nulla.
Meghatározás.
A két vektort ún kollineáris ha akár egy egyenesen, akár párhuzamos vonalakon fekszenek.
Meghatározás.
A két vektort ún nem kollineáris ha nem egy egyenesen vagy párhuzamos vonalakon fekszenek.
A nulla vektor kollineáris bármely más vektorral.
Meghatározás.
társrendező, ha irányuk egybeesik és jelöli.
Meghatározás.
Két kollineáris vektort és hívjuk ellentétes irányú ha irányuk ellentétes és jelöli.
Meghatározás.
A két vektort ún egyenlő ha egyirányúak és hosszuk egyenlő.
Meghatározás.
A két vektort ún szemben ha ellentétes irányúak és hosszuk egyenlő.
Az egyenlő vektorok lehetővé teszik, hogy vektorokat tekintsünk meg konkrét pontokra való hivatkozás nélkül. Más szóval, lehetőségünk van egy vektort bármely pontból azonos vektorral helyettesíteni.
Legyen és két tetszőleges vektor síkon vagy térben. Tegyünk félre vektorokat és a sík vagy tér valamely O pontjából. Az OA és OB gerendák szöget alkotnak.
A sztereometriai problémák megoldásának két módja van
Az első - klasszikus - megköveteli a sztereometria, a logika axiómáinak és tételeinek kiváló ismeretét, a rajz felépítésének és a térfogati probléma planimetrikusra redukálásának képességét. A módszer jó, mert fejleszti az agyat és a térbeli képzelőerőt.
Egy másik módszer a vektorok és koordináták használata. Ezek egyszerű képletek, algoritmusok és szabályok. Nagyon kényelmes, különösen akkor, ha kevés idő van a vizsga előtt, de szeretné megoldani a problémát.
Ha elsajátítottad, akkor térbeli vektorokkal fogod kitalálni. Sok fogalom ismerős lesz.
Koordinátarendszer a térben
Válasszuk ki az eredetet. Rajzoljunk három egymásra merőleges X, Y és Z tengelyt. Állítsunk be egy kényelmes léptéket.
Kiderült koordináta-rendszer háromdimenziós térben. Most minden pontot három szám jellemez – koordináták X, Y és Z mentén. Például, ha M-et (−1; 3; 2) írunk, az azt jelenti, hogy az M pont koordinátája X mentén (abszcissza) −1, koordinátája Y mentén ( ordináta) egyenlő 3-mal, a Z-koordináta (alkalmazandó) pedig 2.
A térbeli vektorokat ugyanúgy definiáljuk, mint a síkon. Ezek olyan irányvonalak, amelyeknek van kezdete és vége. Csak a térben a vektort három koordináta határozza meg x, yés z:
Hogyan találhatom meg egy vektor koordinátáit? Mint a síkban - vonja ki a kezdő koordinátát a végkoordinátából.
Egy vektor hossza a térben az A és B pontok közötti távolság. Ez a vektor koordinátáinak négyzetösszegének négyzetgyöke.
Legyen az M pont az AB szakasz felezőpontja. A koordinátáit a következő képlet határozza meg:
A vektorok összeadásához a már ismert háromszögszabályt és a paralelogramma szabályt használjuk
A vektorok összegét, különbségét, egy vektor számmal való szorzatát és a vektorok skaláris szorzatát ugyanúgy határozzuk meg, mint egy síkon. Csak a koordináták nem kettő, hanem három. Vegyünk vektorokat és.
A vektorok összege:
A vektorok különbsége:
Egy vektor szorzata egy számmal:
A vektorok pontszorzata:
A vektorok közötti szög koszinusza:
Az utolsó képlet alkalmas az egyenesek közötti szög meghatározására a térben. Főleg, ha ezeket az egyeneseket keresztezzük. Emlékezzünk vissza, hogy az úgynevezett egyenesek, amelyek nem párhuzamosak és nem metszik egymást. Párhuzamos síkban helyezkednek el.
1. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában az E és K pontok az A 1 B 1, illetve B 1 C 1 élek felezőpontjai. Keresse meg az AE és BK egyenesek közötti szög koszinuszát!
Ha van egy kockád, akkor szerencséd van. Tökéletesen illeszkedik egy téglalap alakú koordináta-rendszerbe. Rajzot készítünk:
A kocka élének hossza nincs megadva. Bármi is legyen, az AE és a BK közötti szög nem attól függ. Ezért vegyünk egy olyan egységkockát, amelynek minden éle 1.
Az AE és BK egyenes vonalak keresztezik. Határozzuk meg az és a vektorok közötti szöget. Ehhez szükség van a koordinátáikra.
Írjuk fel a vektorok koordinátáit:
és keresse meg a vektorok közötti szög koszinuszát és:
2. Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, az E, K pontok az SB és SC élek felezőpontjai. Keresse meg az AE és BK egyenesek közötti szög koszinuszát!
A legjobb, ha a piramis alapjának középpontjában választjuk ki az origót, és az X és Y tengelyeket párhuzamosítjuk az alap oldalaival.
Az A, B és C pontok koordinátáit könnyű megtalálni:
Az AOS derékszögű háromszögből azt találjuk
A piramis csúcsának koordinátái:
Az E pont az SB felezőpontja, a K pedig az SC felezőpontja. Használjuk a szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletét, és keressük meg az E és K pont koordinátáit.
Keresse meg a vektorok koordinátáit és
és a köztük lévő szög:
Most pedig mutassuk meg, hogyan írhatjuk be a koordinátarendszert egy háromszög prizmába:
3. Abca 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, a D pont az A 1 B 1 él felezőpontja. Határozzuk meg az AD és BC 1 egyenesek közötti szög koszinuszát!
Legyen A pont az origó. Vegyük az X tengelyt párhuzamosan a BC oldallal, az Y tengelyt pedig merőlegesen rá. Más szavakkal, az AH szakasz, amely az ABC háromszög magassága, az Y tengelyen fog feküdni. Rajzoljuk meg külön a prizma alsó alapját.
Írjuk fel a pontok koordinátáit:
A D pont az A 1 B 1 közepe. Ezért a középpont koordinátáinak képleteit használjuk
szegmens.
Keresse meg a vektorok koordinátáit, majd a köztük lévő szöget:
Nézze meg, milyen egyszerű meghatározni az egyenesek közötti szöget vektorok és koordináták segítségével. És ha meg akarja találni a síkok vagy az egyenes és a sík közötti szöget? Az ilyen problémák megoldásához szükségünk van egy térbeli sík egyenletére.
A tér síkját a következő egyenlet adja meg:
Itt az A, B és C számok egy erre a síkra merőleges vektor koordinátái. Ezt hívják a sík normáljának.
Az x, y és z helyett egy adott sík bármely pontjának koordinátáit behelyettesítheti az egyenletbe. Az eredmény a helyes egyenlőség.
Egy sík a térben bármely három olyan ponton áthúzható, amely nem egy egyenesen fekszik. Ezért a sík egyenletének felírásához három, hozzá tartozó pont koordinátáit vesszük fel. Sorra behelyettesítjük őket a sík egyenletébe. Megoldjuk a kapott rendszert.
Mutassuk meg, hogyan történik ez.
Írjuk fel az M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) és K (4; 1; 2) pontokon átmenő sík egyenletét!
A sík egyenlet így néz ki:
Helyettesítsük be benne az M, N és K pont koordinátáit.
Az M ponthoz:
Vagyis A + C + D = 0.
Az N ponthoz:
Hasonlóan a K ponthoz:
Három egyenletrendszert kaptunk:
Négy ismeretlen van benne: A, B, C és D. Ezért mi magunk választunk ki közülük egyet, a többit pedig ezen keresztül fejezzük ki. A szabály egyszerű - az egyik változó helyett tetszőleges számot vehet fel, amely nem egyenlő nullával.
Legyen például D = −2. Azután:
Fejezzük ki C-t és B-t A-n keresztül, és helyettesítsük be a harmadik egyenletben:
A rendszer megoldása után a következőket kapjuk:
Az MNK sík egyenlete:
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát −3-mal. Ekkor az együtthatók egész számokká válnak:
A vektor az MNK sík normálértéke.
Egy adott ponton áthaladó sík egyenlete:
Síkok közötti szög egyenlő az ezen síkok normáljai közötti szöggel:
Ismerős képlet, nem? A normálok pontszorzatát elosztottuk a hosszuk szorzatával.
Vegye figyelembe, hogy amikor két sík metszi egymást, akkor négy sarok alakul ki.
A kisebbet vesszük. Ezért a képlet tartalmazza a pontszorzat modulusát - így a szög koszinusza nem negatív.
4. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kocka E és F pontjai az A 1 B 1, illetve A 1 D 1 élek felezőpontjai. Határozzuk meg az AEF és a BDD sík közötti szög érintőjét 1.
Rajzot építünk. Látható, hogy az AEF és a BDD 1 síkok valahol a kockán kívül metszik egymást. A klasszikus megoldásban a metszéspontjuk vonalát kellene kiépíteni. De a vektorkoordináta módszer nagyban leegyszerűsít mindent. Ne törjük az agyunkat, hogy melyik egyenes felett metszik egymást a síkok. Csak jelölje meg a szükséges pontok koordinátáit, és keresse meg az AEF és a BDD 1 síkok normáljai közötti szöget.
Először is, a normál a BDD 1 síkra. Természetesen a B, D és D 1 pontok koordinátáit behelyettesíthetjük a sík egyenletébe, és megkereshetjük az együtthatókat, amelyek a normálvektor koordinátái lesznek. És még bonyolultabbá is tehetjük – lásd a kívánt normált közvetlenül a rajzon. Végül is a BDD 1 sík egy kocka átlós metszete. A vektor merőleges erre a síkra.
Tehát már megvan az első normálvektor:
Írjuk fel az AEF sík egyenletét.
Felvesszük a sík egyenletét, és behelyettesítjük x, y és z helyett az A, E és F pont megfelelő koordinátáit.
Egyszerűsítsük a rendszert:
Legyen C = -1. Ekkor A = B = 2.
AEF sík egyenlet:
Normál síkra AEF:
Keresse meg a síkok közötti szöget:
5. A BCDA 1 B 1 C 1 D 1 egyenes négyszögű prizma alapja egy ABCD téglalap, amelyben AB = 5, AD = √33. Határozzuk meg az AA 1 D 1 D lap síkja és a B 1 D egyenesre merőleges CD él felezőpontján átmenő sík közötti szög érintőjét, ha az A 1 C 1 és BD egyenesek távolsága √3.
Ez a feladat jól mutatja, hogy a vektoros módszer mennyivel egyszerűbb a klasszikusnál. Próbáld meg a változatosság kedvéért megszerkeszteni a szükséges részeket és elvégezni az összes bizonyítást - ahogy a "klasszikusban" szokták :-)
Rajzot építünk. A téglalap alakú téglalap alakú prizmát más módon "párhuzamos csőnek" nevezhetjük.
Észrevesszük, hogy megvan a paralelepipedon hossza és szélessége, de úgy tűnik, hogy a magasság nincs megadva. Hogyan találja meg?
"Az A 1 C 1 és a BD vonalak közötti távolság √3." Az A 1 C 1 és BD egyenesek keresztezik egymást. Az egyik a felső alap átlója, a másik az alsó átlója. Emlékezzünk vissza, hogy a keresztező vonalak távolsága megegyezik a közös merőlegesük hosszával. Az A 1 C 1 és BD közös merőlegese nyilvánvalóan OO 1, ahol O az alsó alap átlóinak metszéspontja, O 1 a felső átlóinak metszéspontja. Az OO 1 és szegmens pedig egyenlő a paralelepipedon magasságával.
Tehát AA 1 = √3
Az AA 1 D 1 D sík a prizma hátlapja a rajzunkon. Ennek normálisa minden olyan vektor, amely merőleges a hátsó felületre, például egy vektor, vagy még egyszerűbben egy vektor.
Még mindig "egy sík megy át a CD él közepén a B 1 D egyenesre merőlegesen". De elnézést, ha a sík merőleges a B 1 D egyenesre - akkor B 1 D ennek a síknak a normálja! A B 1 és D pont koordinátái ismertek:
A vektor koordinátái megegyeznek.
Vektor – ez egy irányított egyenes szakasz, vagyis olyan szakasz, amelynek meghatározott hossza és iránya van. Legyen a lényeg A A vektor kezdete és a pont B - vége, akkor a vektort a szimbólum jelöli vagy . A vektort ún szemben vektor és kijelölhető .
Fogalmazzunk meg néhány alapvető definíciót.
Hossz vagy modult vektora szakasz hosszának nevezzük és jelöljük... Egy nulla hosszúságú vektort (lényege egy pont) nevezünk nulla és nincs iránya. Vektor egységhosszúságot nevezzükegyetlen ... Egységvektor, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával nak, nek hívják egységvektor .
A vektorokat ún kollineáris , ha egy egyenesen vagy párhuzamos vonalakon fekszenek, írd... A kollineáris vektorok lehetnek azonos vagy ellentétes irányúak. A nulla vektort kollineárisnak tekintjük bármely vektorral.
A vektorokat egyenlőnek nevezzükha kollineárisak, akkor azonos irányúak és azonos hosszúságúak.
Három térbeli vektort nevezünk egysíkú ha egy síkban vagy párhuzamos síkon fekszenek. Ha három vektor között legalább egy nulla vagy kettő kollineáris, akkor az ilyen vektorok egysíkúak.
Tekintsünk térben egy 0 téglalap alakú koordináta-rendszert xyz... Válassza ki a 0 koordinátatengelyen x, 0y, 0z egységvektorok (egységvektorok), és jelöljük azokatilletőleg. Válasszunk egy tetszőleges térvektort, és párosítsuk az origóját az origóval. A vektort a koordinátatengelyekre vetítjük, a vetületeket pedig -vel jelöljük egy x, a y, a z illetőleg. Akkor ezt könnyű megmutatni
.
(2.25)
Ez a képlet alapvető a vektorszámításban, és ún a vektor koordinátatengelyek szerinti kiterjesztése ... A számok egy x, a y, a z hívják vektor koordináták ... Így egy vektor koordinátái a koordinátatengelyekre való vetületei. A vektoregyenlőséget (2,25) gyakran a formába írják
A vektoros jelölést kapcsos zárójelekben fogjuk használni, hogy vizuálisan megkülönböztessük a vektorkoordinátákat és a pontkoordinátákat. Az iskolai geometriából ismert szakasz hosszának képletével találhatunk kifejezést a vektor modulusának kiszámításához:
,
(2.26)
vagyis egy vektor modulusa egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével.
Jelöljük a vektor és a koordinátatengelyek közötti szögeket α, β, γ illetőleg. Koszinusz ezeket a szögeket nevezzük a vektornak útmutatók , és számukra a következő összefüggés teljesül:Ennek az egyenlőségnek a helyessége a vektor tengelyre vetítésének tulajdonságával mutatható ki, amelyről a következő 4. bekezdésben lesz szó.
Adjunk meg vektorokat háromdimenziós térbenkoordinátáikat. A következő műveletek zajlanak rajtuk: lineáris (összeadás, kivonás, szorzás egy számmal és vektor kivetítése tengelyre vagy más vektorra); nemlineáris - vektorok különböző termékei (skaláris, vektor, vegyes).
1. Kiegészítés két vektorból koordinátaszerűen jön létre, vagyis ha
Ez a képlet tetszőleges véges számú tagra érvényes.
Geometriailag két vektort két szabály szerint adunk össze:
a) a szabály háromszög - a két vektor összegének eredő vektora az első vektor elejét a második végével köti össze, feltéve, hogy a második eleje egybeesik az első vektor végével; a vektorok összegére - a kapott összegvektor összekapcsolja az első tag elejét az utolsó vektortag végével, feltéve, hogy a következő tag eleje egybeesik az előző tag végével;
b) a szabály paralelogramma (két vektorra) - a paralelogramma a vektorokra-összegekre épül, mint az egy kezdetre redukált oldalakon; a közös origójukból kiinduló paralelogramma átlója a vektorok összege.
2. Kivonás két vektor koordinátái szerint történik, hasonlóan az összeadáshoz, vagyis ha, azután
Geometriailag a már említett paralelogramma-szabály szerint két vektort adunk össze, figyelembe véve, hogy a vektorok különbsége a vektorok végeit összekötő átló, és a kapott vektort a kivont végétől a vége felé irányítjuk. a redukált vektor.
A vektorok kivonásának fontos következménye, hogy ha ismerjük a vektor kezdetének és végének koordinátáit, akkor egy vektor koordinátáinak kiszámításához ki kell vonni a kezdetének koordinátáit a végének koordinátáiból
... Valójában a tér bármely vektoraaz origóból származó két vektor különbségeként ábrázolható:
... Vektor koordinátákés esnek egybe a pontok koordinátáivalAés Vmivel az eredet azO(0; 0; 0). Így a vektorok kivonásának szabálya szerint ki kell vonni a pont koordinátáitApont koordinátáitólV.
3.
Van
vektor szorzása λ számmal
koordináta szerint:
.
Nál nél λ> 0 - vektor társirányú ; λ< 0 - vektor ellenkező irányba ; | λ|> 1 - vektor hossza növekszik be λ egyszer;| λ|< 1 - a vektor hossza csökken λ egyszer.
4. Legyen egy irányított egyenes (tengely l), vektora vég és a kezdet koordinátái adják meg. A pontok vetületeit jelöljük Aés B tengelyenként l illetőleg keresztül A’ és B’ .
Kivetítés vektor tengelyenként la vektor hossza, a "+" jellel vettük, ha a vektorés tengely lközösen irányított, és "-" jellel, haés lellenkező irányba.
Ha mint a tengely l vegyünk egy másik vektort, akkor megkapjuk a vektor vetületét per vecto r.
Nézzük meg a vetületek néhány alapvető tulajdonságát:
1) vektorvetítés tengelyenként legyenlő a vektor modulusának szorzatávala vektor és a tengely közötti szög koszinuszával, azaz
;
2.) a vektor vetülete a tengelyre pozitív (negatív), ha a vektor a tengellyel hegyesszöget (tompaszöget) zár be, és nullával egyenlő, ha ez a szög egyenes;
3) ugyanazon a tengelyen több vektor összegének vetülete egyenlő az ezen a tengelyen lévő vetületek összegével.
Fogalmazzunk meg definíciókat és tételeket vektorok szorzataira, amelyek vektorokon végzett nemlineáris műveleteket reprezentálnak.
5. Pontos termék vektorok ésszámnak (skalárnak) nevezzük, amely egyenlő ezen vektorok hosszának a szög koszinuszával való szorzatával.φ köztük, vagyis
.
(2.27)
Nyilvánvaló, hogy bármely nullától eltérő vektor skaláris négyzete egyenlő a hosszának négyzetével, mivel ebben az esetben a szög , tehát a koszinusza (a 2.27-ben) 1.
Tétel 2.2.Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele a skaláris szorzatuk nullával való egyenlősége.
Következmény. Az egységvektorok páronkénti skalárszorzata egyenlő nullával, azaz
Tétel 2.3. Két vektor pontszorzatakoordinátáikkal megadva megegyezik az azonos nevű koordinátáik szorzatának összegével, azaz
(2.28)
A vektorok pontszorzatával kiszámíthatja a szögetközöttük. Ha két nullától eltérő vektort a koordinátáival adunk meg, akkor a szög koszinuszaφ közte:
(2.29)
Ez magában foglalja a nem nulla vektorok merőlegességének feltételétés:
(2.30)
Egy vektor vetületének megkeresésea vektor által megadott irányba képlettel hajtható végre
(2.31)
A vektorok pontszorzatával keressük meg egy állandó erő munkájáta pálya egy egyenes szakaszán.
Tegyük fel, hogy állandó erő hatására az anyagi pont egyenes vonalban mozog a pozícióból A pozícióba B. Erővektor szöget alkot φ eltolási vektorral (2.14. ábra). A fizika azt állítja, hogy az erő munkája mozgáskor egyenlő.
Példa 2.9.A vektorok pontszorzatával keressük meg a csúcsszögetAparalelogrammaABCD, épít vektorokon
Megoldás. A vektorok modulusait és skaláris szorzatát a (2.3) tétel alapján számítjuk ki:
Így a (2.29) képlet szerint megkapjuk a kívánt szög koszinuszát
2.10. példa.Az egy tonna túró előállításához felhasznált nyersanyagok és anyagi erőforrások költségeit a 2.2. táblázat tartalmazza (rubel).
Mennyibe kerül ezek a források egy tonna túró elkészítésére?2.2. táblázat
Azután 
.Teljes erőforrásköltség
, amely a vektorok pontszorzata... Kiszámítjuk a (2.28) képlettel a 2.3 Tétel szerint:
jegyzet... A vektorokkal végzett műveletek, amelyeket a 2.10. példában hajtottak végre, személyi számítógépen is végrehajthatók. A vektorok pontszorzatának megkereséséhez MS Excelben használjuk a SUMPRODUCT () függvényt, ahol a mátrixelemek tartományainak címei vannak megadva argumentumként, amelyek szorzatainak összegét kell megtalálni. A MathCAD-ben két vektor pontszorzata a Mátrix eszköztár megfelelő operátorával történik
Példa 2.11. Számítsa ki az erővel végzett munkát!
ha alkalmazásának pontja egyenesen elmozdul a pozícióból A(2; 4; 6) helyzetbe A(4; 2; 7). Milyen szögben AB irányított erő ?Megoldás. Keresse meg az eltolási vektort úgy, hogy kivonja a végének koordinátáibólkezdő koordináták
... A (2.28) képlet szerint(munkaegységek).
Injekció φ között és a (2.29) képlettel találjuk meg, azaz
6. Három nem egysíkú vektor, a jelzett sorrendben, formában felvettjobb három, ha a harmadik vektor végéről nézvelegrövidebb kanyar az első vektortóla második vektorhozaz óramutató járásával ellentétes irányban hajtjuk végre, ésbal ha az óramutató járásával megegyezően.
Vektor termék vektorról vektorra vektornak nevezzük az alábbi feltételeknek eleget tesz:
– merőleges a vektorokraés ;
- hossza egyenlő
, ahol φ
- vektorok által alkotott szögés ;
- vektorok jobb oldali hármast alkotunk (2.15. ábra).
Tétel 2.4.Két vektor kollinearitásának szükséges és elégséges feltétele, hogy vektorszorzatuk nullával egyenlő
Tétel 2.5. Vektor vektor szorzatakoordinátáikkal megadva egyenlő az alak harmadrendű determinánsával
(2.32)
Jegyzet. Döntő (2.25) a determinánsok 7. tulajdonsága szerint bomlik
Következmény 1.Két vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele a megfelelő koordinátáik arányossága
Következmény 2. Az egységvektorok vektorszorzatai egyenlők
Következmény 3.Bármely vektor vektornégyzete nulla
Vektorszorzat geometriai értelmezése
az, hogy a kapott vektor hossza számszerűen egyenlő a területtel S a vektorokra-tényezőkre épített paralelogramma, mint az azonos origóra redukált oldalakon. Valójában a definíció szerint a vektorok vektorszorzatának modulusa az
.
Másrészt a vektorokra épített paralelogramma területeés egyenlő is 
... Ennélfogva,
.
(2.33)
Ezenkívül a keresztszorzat segítségével meghatározhatja a ponthoz és a lineárishoz viszonyított erőnyomatékot forgási sebesség.
Hadd a ponton A alkalmazott erő hadd menjen O - valami pont a térben (2.16. ábra). A fizika tantárgyból ismert, hogy a hatalom pillanata ponthoz képest Ovektornak nevezzük ami átmegy a pontonOés megfelel a következő feltételeknek:
A pontokon átmenő síkra merőleges O, A, B;
Modulusa számszerűen egyenlő a vállra eső erő szorzatával.
- vektorokkal jobboldali hármast alkotés.
Ezért az erő pillanata ponthoz képestOa kereszttermék
. (2.34)
tengelypontja (2.17. ábra).
Példa 2.12. A keresztszorzat segítségével keresse meg a háromszög területét ABC vektorokra épülvisszavitték ugyanarra az elejére.
