Hogyan lehet teljes négyzetet kivonni egy négyzetháromtagból. Polinomok faktorizálása. Teljes négyzet kiválasztási módszer. Módszerek kombinációja. Az egyszerű törtek differenciáljele alá történő összesítés módja
Meghatározás
Az olyan kifejezéseket, mint a 2 x 2 + 3 x + 5, négyzetes trinomiálisnak nevezzük. Általános esetben a négyzetes trinom az a x 2 + b x + c alakú kifejezés, ahol a, b, c a, b, c tetszőleges számok, és a ≠ 0.
Tekintsük az x 2 - 4 x + 5 négyzetháromtagot. Írjuk fel a következő formában: x 2 - 2 2 x + 5. Adjunk hozzá 2 2-t ehhez a kifejezéshez, és vonjunk ki 2 2-t, így kapjuk: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Vegye figyelembe, hogy x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, tehát x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Az általunk végrehajtott átalakítást ún "teljes négyzet kiválasztása négyzetes trinomiálisból".
Válassza ki a tökéletes négyzetet a 9 x 2 + 3 x + 1 négyzetháromtagból.
Vegye figyelembe, hogy 9 x 2 = (3 x) 2, "3x=2*1/2*3x". Ezután `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Adjuk hozzá és vonjuk ki az eredményül kapott `(1/2)^2` kifejezést, megkapjuk
"((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4".
Mutassuk meg, hogyan használható a négyzetes trinomból a teljes négyzet kinyerésének módszere a négyzetes trinom faktorizálására.
Tényező a négyzetháromság 4 x 2 - 12 x + 5 .
Kiválasztjuk a teljes négyzetet a négyzetháromtagból: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Most alkalmazzuk az a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) képletet, így kapjuk: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .
Tényezd ki a hármas négyzetet - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Most vegyük észre, hogy 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .
Hozzáadjuk a 2 2 kifejezést a 9 x 2 - 12 x kifejezéshez, így kapjuk:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Alkalmazzuk a négyzetek különbségének képletét:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Tényező a négyzet trinomit 3 x 2 - 14 x - 5 .
A 3 x 2 kifejezést nem tudjuk valamilyen kifejezés négyzeteként ábrázolni, mert ezt még nem tanultuk meg az iskolában. Ezt a későbbiekben végigcsinálod, és már a 4. feladatban a négyzetgyököket tanulmányozzuk. Mutassuk meg, hogyan tudunk faktorozni egy adott négyzetháromtagot:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Megmutatjuk, hogyan lehet a teljes négyzet módszert használni egy négyzetes trinom legnagyobb vagy legkisebb értékének meghatározásához.
Tekintsük az x 2 - x + 3 négyzetháromtagot. Teljes négyzet kiválasztása:
"(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4". Vegye figyelembe, hogy amikor "x=1/2", a négyzetes trinom értéke 11/4, és ha "x!=1/2" egy pozitív számot adunk a "11/4" értékhez, így kap egy 11/4-nél nagyobb számot. Így a négyzetes trinom legkisebb értéke `11/4`, és az `x=1/2` értékkel adódik.
Határozzuk meg a - 16 2 + 8 x + 6 négyzetháromtag legnagyobb értékét!
Kiválasztjuk a teljes négyzetet a négyzetháromtagból: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
`x=1/4` esetén a négyzetes trinom értéke 7 , `x!=1/4` esetén pedig egy pozitív számot kivonunk a 7-ből, azaz 7-nél kisebb számot kapunk. Így a 7-es szám a négyzetes trinom legnagyobb értéke, és az `x=1/4`-el kapjuk meg.
Tényezősítse az "(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)" számlálót és nevezőt, és törölje a törtet.
Figyeljük meg, hogy az x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 tört nevezője. A tört számlálóját tényezőkre bontjuk a négyzetháromtagból a teljes négyzet kinyerésének módszerével. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Ezt a törtet `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` alakra redukáltuk, miután (x - 3)-mal redukáltuk, `(x+5)/(x-3) )".
Tényező a polinom x 4 - 13 x 2 + 36.
Alkalmazzuk erre a polinomra a teljes négyzetes módszert. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Ebben a leckében felidézzük az összes korábban tanulmányozott polinom faktorálási módszerét, és megfontoljuk az alkalmazásukra vonatkozó példákat, emellett tanulmányozunk egy új módszert - a teljes négyzetes módszert, és megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni különféle problémák megoldásában.
Téma:Polinomok faktorálása
Lecke:Polinomok faktorizálása. Teljes négyzet kiválasztási módszer. Módszerek kombinációja
Emlékezzünk vissza a polinom faktorálásának főbb módszereire, amelyeket korábban tanulmányoztak:
Az a módszer, amellyel a zárójelekből kiveszünk egy közös tényezőt, vagyis egy olyan tényezőt, amely a polinom minden tagjában megtalálható. Vegyünk egy példát:
Emlékezzünk vissza, hogy a monomiális hatványok és számok szorzata. Példánkban mindkét tagnak van néhány közös, azonos eleme.
Tehát vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:
;
Emlékezzünk vissza, hogy a renderelt szorzót a zárójellel megszorozva ellenőrizhetjük a renderelés helyességét.
csoportosítási módszer. Nem mindig lehetséges egy közös tényezőt kivenni egy polinomból. Ebben az esetben a tagjait csoportokra kell osztani úgy, hogy minden csoportból ki lehessen venni egy-egy közös faktort, és megpróbálni úgy lebontani, hogy a csoportok faktorainak kiemelése után közös faktor jelenjen meg a az egész kifejezést, és a terjeszkedés folytatható. Vegyünk egy példát:
Csoportosítsa az első tagot a negyedikkel, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat pedig a hatodikkal:
Vegyük sorra a közös tényezőket a csoportokban:
A kifejezésnek van egy közös tényezője. Vegyük ki:
Rövidített szorzóképletek alkalmazása. Vegyünk egy példát:
;
Írjuk le részletesen a kifejezést:
Nyilvánvalóan előttünk van a különbség négyzetének képlete, hiszen két kifejezés négyzetösszege van, és ebből kivonjuk a kettős szorzatát. Tekerjünk a képlet szerint:
Ma egy másik módszert fogunk megtanulni - a teljes négyzet kiválasztási módszert. Az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képletein alapul. Idézd fel őket:
Az összeg (különbség) négyzetének képlete;
Ezeknek a formuláknak az a sajátossága, hogy két kifejezés négyzetét és kettős szorzatát tartalmazzák. Vegyünk egy példát:
Írjuk fel a kifejezést:
Tehát az első kifejezés , a második pedig .
Ahhoz, hogy az összeg vagy a különbözet négyzetére képletet készítsünk, nem elegendő a kifejezések duplaszorzata. Össze kell adni és ki kell vonni:
Összecsukjuk az összeg teljes négyzetét:
Alakítsuk át a kapott kifejezést:
Alkalmazzuk a négyzetkülönbség képletet, emlékezzünk arra, hogy két kifejezés négyzeteinek különbsége a szorzat, az összegek pedig a különbségükkel:
Tehát ez a módszer mindenekelőtt abból áll, hogy meg kell határozni a négyzetes a és b kifejezéseket, vagyis meg kell határozni, hogy ebben a példában mely kifejezések négyzetesek. Ezt követően ellenőrizni kell a kettős szorzat meglétét, és ha nincs ott, akkor összeadjuk és kivonjuk, ez nem változtatja meg a példa jelentését, de a polinom a négyzet képleteivel faktorálható a négyzetek összegének vagy különbségének és különbségének, ha lehetséges.
Térjünk át a példák megoldására.
1. példa – faktorizálás:
Négyzetes kifejezések keresése:
Írjuk le, mi legyen a kettős termékük:
Adjuk össze és vonjuk ki a duplaszorzatot:
Zugorjuk össze az összeg teljes négyzetét, és adjunk hasonlókat:
A négyzetek különbségének képlete szerint írjuk:
2. példa - oldja meg az egyenletet:
;
Az egyenlet bal oldalán van egy trinomikus. Ki kell számítania. A különbség négyzetének képletét használjuk:
Megvan az első kifejezés és a kettős szorzat négyzete, a második kifejezés négyzete hiányzik, adjuk össze és vonjuk ki:
Zárjuk össze a teljes négyzetet, és adjunk hasonló kifejezéseket:
Alkalmazzuk a négyzetek különbségi képletét:
Tehát megvan az egyenlet 
Tudjuk, hogy a szorzat csak akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ennek alapján egyenleteket írunk fel:
Oldjuk meg az első egyenletet:
Oldjuk meg a második egyenletet:
Válasz: vagy
;
Az előző példához hasonlóan járunk el - válassza ki a különbség négyzetét.
Az ilyen eljárás végrehajtásának képessége rendkívül szükséges a matematika számos témakörében négyzetes trinomikusfejsze 2 + bx + c . A leggyakrabban:
1) Parabolák rajzolása y= fejsze 2 + bx+ c;
2) Sok feladat megoldása négyzetes hármasra (másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek, paraméterekkel kapcsolatos problémák stb.);
3) Négyzetes trinomit tartalmazó függvények, valamint másodrendű görbékkel való munka (tanulók számára).
Hasznos dolog, röviden! Kész vagy az ötösre? Akkor tanuljunk!)
Mit jelent egy binomiális teljes négyzetének kiválasztása négyzetes hármasban?
Ez a feladat azt jelenti, hogy az eredeti négyzetháromtagot a következő formára kell konvertálni:
Szám a mi van a bal oldalon, mi van a jobb oldalon azonos. X-négyzet együttható. Ezért van megjelölve egy levél. Szorozza a jobb oldalon szögletes zárójelekkel. A zárójelben ugyanaz a binomiális található, amelyről ebben a témában is szó van. Egy tiszta x és valamilyen szám összege m. Igen, kérem, figyeljen tiszta x! Fontos.
És itt vannak a levelek mÉs n igaz – néhány új számok. Mi lesz az átalakításaink eredményeként. Lehetnek pozitívak, negatívak, egészek, töredékesek – mindenféle! Az alábbi példákban meglátja. Ezek a számok attól függenek együtthatókbóla, bÉsc. Megvannak a saját speciális általános képleteik. Meglehetősen terjedelmes, frakciókkal. Ezért nem adom meg őket itt és most. Miért van szüksége a józan elmének extra szemétre? Igen, és nem is érdekes. Legyünk kreatívak.)
Mit kell tudni és érteni?
Először is fejből kell tudni. Legalább kettő közülük négyzetes összegÉs különbség négyzet.
Ezek:
E pár képlet nélkül – sehol. Nem csak ezen a leckén, hanem általában szinte az összes többi matematikán. Világos a tipp?)
De a puszta memorizált képletek itt nem elegendőek. Okosabbra van szükség tudja alkalmazni ezeket a képleteket. És nem annyira közvetlenül, balról jobbra, hanem fordítva, jobbról balra. Azok. az eredeti négyzetháromtag segítségével tudja megfejteni az összeg / különbség négyzetét. Ez azt jelenti, hogy könnyen, automatikusan fel kell ismernie a típusegyenlőségeket:
x 2 +4 x+4 = (x+2) 2
x 2 -10 x+25 = (x-5) 2
x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2
E hasznos készség nélkül nincs mód... Tehát ha ezekkel az egyszerű dolgokkal problémái vannak, akkor zárja be ezt az oldalt. Még túl korai itt.) Először lépjen a fenti linkre. Ő neked szól!
Ó, mióta foglalkozol a témával? Bírság! Akkor olvass tovább.)
Így:
Hogyan válasszuk ki a binomiális teljes négyzetét egy négyzetes hármasban?
Kezdjük természetesen egy egyszerűvel.
1. szint. Együttható x-nél2 egyenlő 1
Ez a legegyszerűbb helyzet, amely minimális további átalakítást igényel.
Például adott egy négyzetes trinomiális:
x 2 +4x+6
Külsőleg a kifejezés nagyon hasonlít az összeg négyzetére. Tudjuk, hogy az összeg négyzete tartalmazza az első és a második kifejezés tiszta négyzetét ( a 2 És b 2 ), valamint a kettős termék 2 ab ugyanezek a kifejezések.
Nos, már megvan az első kifejezés négyzete tiszta formájában. Ez x 2 . Valójában pontosan ez az ilyen szintű példák egyszerűsége. Meg kell kapnia a második kifejezés négyzetét b 2 . Azok. megtalálni b. És nyomként fog szolgálni kifejezés x első fokon, azaz 4x. Végül 4x ként ábrázolható dupla termék xx egy kettesért. Mint ez:
4 x = 2 ́ x 2
Tehát, ha 2 ab=2x2És a= x, azután b=2 . Tudsz írni:
x 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….
Így MINKET Akarok. De! Matematika Azt akarom, hogy cselekedeteink az eredeti kifejezés lényegét képezzék nem változott. Így készült. Hozzáadtuk a dupla terméket 2 2 , ezzel megváltoztatva az eredeti kifejezést. Tehát, hogy ne sértsük meg a matematikát, ez a legtöbb 2 2 most kell elvitel. Mint ez:
…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….
Szinte minden. Már csak 6-ot kell hozzáadni, az eredeti trinomiálisnak megfelelően. A hatos nem ment sehova! Mi írunk:
= x 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …
Most az első három kifejezés a netet (vagy - teljes) binomiális négyzet x+2 . Vagy (x+2) 2 . Ezt próbáljuk elérni.) Nem is leszek lusta, és zárójelbe teszek:
… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…
A zárójelek nem változtatnak a kifejezés lényegén, de egyértelműen utalnak arra, hogy mit, hogyan és miért. Marad hátra, hogy ezt a három tagot egy teljes négyzetbe csukjuk a képlet szerint, és számoljuk meg a fennmaradó farkot számokkal -2 2 +6 (ez 2 lenne) és írd be:
x 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2
Minden. Mi kiemelte zárójel négyzet (x+2) 2 az eredeti négyzetes trinomiálistól x 2 +4x+6. Összeggé változtatta teljes négyzet binomiális (x+2) 2 és valamilyen állandó szám (kettő). És most megírom átalakításaink teljes láncolatát kompakt formában. Az egyértelműség kedvéért.
És ez minden.) Ez a lényege a teljes négyzet kiválasztásának eljárásának.
Mellesleg mik itt a számok mÉs n? Igen. Mindegyik egyenlő kettővel: m=2, n=2 . Így történt ez a kiválasztás során.
Egy másik példa:
Válassza ki a binomiális teljes négyzetét:
x 2 -6x+8
És ismét az első pillantás az x-szel jelzett kifejezésre. A 6x-ot x és három szorzatára fordítjuk. Dupla előtt - mínusz. Tehát kiemeljük különbség négyzet. Összeadjuk (hogy teljes négyzetet kapjunk) és azonnal kivonjuk (kompenzálva) a négyzetben lévő hármast, azaz. 9. Nos, ne feledkezzünk meg a nyolcról. Kapunk:
Itt m=-3 És n=-1 . Mindkettő negatív.
Érted az elvet? Aztán eljött az idő, hogy elsajátítsák és általános algoritmus. Minden ugyanaz, de leveleken keresztül. Tehát van egy négyzetes hármastagunk x 2 + bx+ c (a=1) . Mit csinálunk:
bx b /2 :
b tól től.
Tisztán? Az első két példa nagyon egyszerű volt, egész számokkal. Ismerkedésre. Rosszabb, ha az átalakulások során törtek kerülnek ki. Itt a legfontosabb, hogy ne félj! És hogy ne féljen, mindenkinek ismernie kell a törtekkel végzett műveleteket, igen...) De itt van az ötös szint, nem? Bonyolítjuk a feladatot.
Tegyük fel, hogy adott a következő trinom:
x 2 +x+1
Hogyan szervezzük meg az összeg négyzetét ebben a hármasban? Nincs mit! Hasonló. Pontokon dolgozunk.
1. Nézzük azt a tagot, ahol x az első fokon ( bx), és alakítsa át x szorzatának kétszereséreb /2 .
A mi kifejezésünk x-szel csak x. És akkor mi van? Hogyan változtathatjuk magányos X-et dupla termék? Igen, nagyon könnyű! Közvetlenül az utasítások szerint. Mint ez:
Szám b az eredeti trinomiumban - egy. vagyis b/2 töredékesnek bizonyul. Fél. 1/2. Hát rendben. Már nem kicsi.)
2. A duplaszorzathoz hozzáadunk, és azonnal kivonjuk a szám négyzetét b/2. Hozzáadjuk - teljes négyzet kiegészítésére. Elvisszük - kártérítésért. A legvégére adunk hozzá egy szabad kifejezést tól től.
Folytatjuk:
3. Az első három tagot a megfelelő képlet szerint az összeg / különbség négyzetévé alakítjuk. A kívül maradó kifejezést gondosan számokban számítják ki.
Az első három kifejezést zárójelek választják el. Elválasztani persze nem lehet. Ez pusztán az átalakítások kényelme és egyértelműsége érdekében történik. Most már jól látható, hogy az összeg teljes négyzete zárójelben van (x+1/2) 2 . És minden, ami az összeg négyzetén kívül marad (ha számoljuk), +3/4-et ad. Célvonal:
Válasz:
Itt m=1/2 , de n=3/4 . Törtszámok. Megtörténik. Elkaptak egy ilyen trinomit...
Ilyen a technológia. Megvan? Tudsz lépni a következő szintre?
2. szint. Az x 2 együttható nem egyenlő 1-gyel – mit tegyünk?
Ez egy általánosabb eset, mint az eset a=1. A számítások mennyisége természetesen növekszik. Idegesít, igen... De átfogó megoldásáltalában ugyanaz marad. Csak egy új lépés kerül hozzáadásra. Ez boldoggá tesz.)
Egyelőre gondoljon egy ártalmatlan esetre, töredékek és egyéb buktatók nélkül. Például:
2 x 2 -4 x+6
Középen van egy mínusz. Tehát a különbség négyzetét illesztjük. De az x négyzetének együtthatója kettős. És könnyebb vele dolgozni. Tiszta x-szel. Mit kell tenni? És ezt a kettőt tegyük zárójelbe! Hogy ne avatkozzon bele. Jogunk van hozzá! Kapunk:
2(x 2 -2 x+3)
Mint ez. Most a háromtagú zárójelben - már a tiszta X négyzet! Ahogy az 1. szintű algoritmus megköveteli, és most már lehet dolgozni ezzel az új trinomiálissal a régi jól bevált séma szerint. Itt cselekszünk. Írjuk külön és alakítsuk át:
x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2
Félig kész. Továbbra is be kell illeszteni a kapott kifejezést a zárójelekbe, és vissza kell bontani. Kap:
2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4
Kész!
Válasz:
2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4
A fejben rögzítjük:
Ha az x négyzetének együtthatója nem egyenlő eggyel, akkor ezt az együtthatót zárójelből kivesszük. A zárójelben maradó trinomiálissal a szokásos algoritmus szerint dolgozunk a=1. Miután kiválasztott egy teljes négyzetet, illessze be az eredményt a helyére, és nyissa vissza a külső zárójeleket.
De mi van akkor, ha a b és c együtthatók nem oszthatók a-val? Ez a leggyakoribb és egyben a legrosszabb eset. Aztán csak töredékek, igen... Nincs mit tenni. Például:
3 x 2 +2 x-5
Minden ugyanaz, zárójelben elküldjük a hármat, így kapjuk:
Sajnos sem kettő, sem öt nem osztható teljesen hárommal, így az új (redukált) trinom együtthatói töredékes. Hát nem nagy ügy. Közvetlen munka törtekkel: két harmadrésze x alakul át kettős x szorzata egy harmadszor add hozzá az egyharmad négyzetét (azaz 1/9), vond ki, vond ki az 5/3-ot...
Általában megérted!
Döntse el, mi van már ott. Ennek így kell végződnie:
És még egy gereblye. Sok diák híresen visszaszorítja a pozitív egész számokat és akár a tört esélyeket is, de ragaszkodik a negatívokhoz. Például:
- x 2 +2 x-3
Mit kell tenni a mínusz előttx 2 ? Az összeg/különbözet négyzetének képletében minden pluszra szükség van... Nem kérdés! Minden a régi. Ezt a mínuszt kivesszük zárójeleknél. Azok. mínusz egy. Mint ez:
- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)
És minden. És a trinomiális zárójelben - ismét a recézett pályán.
x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2
Szóval mínusz:
- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2
Ez minden. Mit? Nem tudja, hogyan tegye a mínuszt a zárójelbe? Nos, ez a kérdés a hetedik osztály elemi algebrájára vonatkozik, nem a négyzetes trinomiálisokra ...
Ne feledje: dolgozzon negatív együtthatóval de semmiben sem különbözik a pozitívumokkal való munka. A negatívum kiemelése de zárójelből, majd - az összes szabály szerint.
Miért kell egy teljes négyzetet kiválasztani?
Az első hasznos dolog az, hogy gyorsan és hiba nélkül rajzoljon parabolákat!
Például egy ilyen feladat:
Ábrázolja a függvényt:y=- x 2 +2 x+3
Mit fogunk csinálni? Pontokra építve? Természetesen lehetséges. Kis lépések a hosszú úton. Elég unalmas és érdektelen...
Először is emlékeztetlek erre az építésnél Bármi parabolák, mindig egy standard kérdéssort adunk neki. Ketten vannak. Ugyanis:
1) Hová irányulnak a parabola ágai?
2) Hol van a teteje?
Az ágak irányával minden világos az eredeti kifejezéstől kezdve. A fióktelepeket irányítják le-, mert az együttható előttx 2 - negatív. Mínusz egy. Mínusz az x-négyzet előtt mindig megfordítja a parabolát.
De a tetejének elhelyezkedésével minden nem olyan nyilvánvaló. Természetesen van egy általános képlet az abszcisszának az együtthatókon keresztül történő kiszámítására aÉs b.
Ezt:
De nem mindenki emlékszik erre a képletre, ó, nem mindenki... És azok 50%-a, akik még emlékeznek, hirtelen megbotlik és elrontják a banális aritmetikát (általában játékszámításkor). Kár, ugye?)
Most megtudhatja, hogyan kell megtalálni bármely parabola csúcsának koordinátáit az elmémben egy perc alatt! x és y is. Egy csapásra és minden képlet nélkül. Hogyan? Egy teljes négyzet kiválasztásával!
Tehát a kifejezésünkben a teljes négyzetet jelöljük ki. Kapunk:
y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4
Aki jól ismeri a funkciókra vonatkozó általános információkat és jól elsajátította a témát" függvénygráf transzformációk ", könnyen rájön, hogy a kívánt parabolánkat a szokásos parabolából kapjuk y= x 2 három átalakítás segítségével. Ez:
1) Változtassa meg az ágak irányát.
Ezt a mínusz jel jelzi a szögletes zárójelek előtt ( a=-1). Ez volt y= x 2 , lett y=- x 2 .
Átalakítás: f ( x ) -> - f ( x ) .
2) A parabola párhuzamos fordítása y=- x 2 X 1 egység JOBBRA.
Így keletkezik a köztes ütemterv y=-(x-1 ) 2 .
Átalakítás: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).
Miért jobbra tolódik és nem balra, bár zárójelben van egy mínusz? Ez a gráftranszformációk elmélete. Ez egy külön kérdés.
És végül,
3) Párhuzamos átvitel parabolák y=-( x -1) 2 4 egységgel FEL.
Így kapjuk meg a végső parabolát. y=-(x-1) 2 +4 .
Átalakítás: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)
És most megnézzük az átalakulási láncunkat, és azt gondoljuk: Merre mozog a parabola csúcsa?y=x 2 ? A (0; 0) pontban volt, az első transzformáció után a csúcs nem mozdult sehova (a parabola egyszerűen megfordult), a második után +1-gyel lejjebb x-el, a harmadik után pedig y-val. +4. A teljes csúcs elérte a lényeget (1; 4) . Ez az egész titok!
A kép a következő lesz:
Valójában ez az oka annak, hogy ilyen kitartóan hívtam fel a figyelmet a számokra. mÉs n a teljes négyzet kiválasztása során kapott. Nem találta ki, miért? Igen. A lényeg az, hogy a pont koordinátákkal (- m ; n ) - mindig egy parabola teteje y = a ( x + m ) 2 + n . Csak nézzük a számokat a konvertált trinomikus és az elmémben megadjuk a helyes választ, hol van a teteje. Kényelmes, nem?)
A parabolák rajzolása az első hasznos dolog. Térjünk át a másodikra.
A második hasznos dolog a másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.
Igen igen! A teljes négyzet kiválasztása sok esetben kiderül sokkal gyorsabb és hatékonyabb hagyományos módszerek az ilyen problémák megoldására. Kétség? Kérem! Íme egy feladat a számodra:
Oldja meg az egyenlőtlenséget:
x 2 +4 x+5 > 0
Tanult? Igen! Ez klasszikus négyzetes egyenlőtlenség . Minden ilyen egyenlőtlenséget a szabványos algoritmus old meg. Ehhez szükségünk van:
1) Készítsen az egyenlőtlenségből a standard forma egyenletét, oldja meg, keresse meg a gyököket!
2) Rajzolja meg az X tengelyt, és jelölje meg pontokkal az egyenlet gyökereit!
3) Sematikusan ábrázoljon egy parabolát az eredeti kifejezés szerint!
4) Határozza meg az ábrán a +/- területeket! Válassza ki a kívánt területeket az eredeti egyenlőtlenség szerint, és írja le a választ!
Valójában ez az egész folyamat bosszantó, igen...) És ráadásul nem mindig menti meg a hibákat olyan nem szabványos helyzetekben, mint ez a példa. Először próbáljuk ki a mintát, jó?
Tehát tegyük az első pontot. Az egyenlőtlenségből egyenletet készítünk:
x 2 +4 x+5 = 0
Szabványos másodfokú egyenlet, trükkök nélkül. Mi döntünk! A diszkriminatívnak tekintjük:
D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4
Ez az! És a diszkrimináns negatív! Az egyenletnek nincs gyökere! És nincs mit rajzolni a tengelyre... Mit tegyek?
Itt egyesek arra a következtetésre juthatnak, hogy az eredeti egyenlőtlenség szintén nincsenek megoldásai.. Ez egy végzetes téveszme, igen... De a teljes négyzet kiemelésével erre az egyenlőtlenségre fél perc alatt meg lehet adni a helyes választ! Kétség? Nos, időzítheti.
Tehát a kifejezésünkben a teljes négyzetet jelöljük ki. Kapunk:
x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1
Az eredeti egyenlőtlenség így kezdett kinézni:
(x+2) 2 +1 > 0
És most anélkül, hogy bármit tovább megoldanánk vagy átalakítanánk, egyszerűen bekapcsoljuk az elemi logikát, és azt gondoljuk: ha valamilyen kifejezés négyzetére (az érték nyilván nem negatív!) adjunk hozzá még egyet, akkor milyen számra jutunk? Igen! Szigorúan pozitív!
Most nézzük az egyenlőtlenséget:
(x+2) 2 +1 > 0
A matematikai nyelv szócikkét lefordítjuk oroszra: erre az x szigorúan pozitív kifejezés szigorú lesz több nulla? Nem tippelted? Igen! bármelyikkel!
Íme a válaszod: x tetszőleges szám.
Most térjünk vissza az algoritmushoz. Ennek ellenére a lényeg megértése és az egyszerű memorizálás két különböző dolog.)
Az algoritmus lényege, hogy a standard egyenlőtlenség bal oldaláról készítünk egy parabolát, és megnézzük, hol van az X tengely felett, hol alatta. Azok. hol a bal oldal pozitív értékei, hol negatívak.
Ha a bal oldalunkról készítünk parabolát:
y=x 2 +4 x+5
És rajzold meg a grafikonját, látni fogjuk minden egész parabola áthalad az x tengely felett. A kép így fog kinézni:
A parabola ferde, igen... Ezért sematikus. De ugyanakkor minden látható a képen, amire szükségünk van. A parabolának nincs metszéspontja az X tengellyel, nincsenek nulla értékei a játéknak. És természetesen nincsenek negatív értékek sem. Ezt a teljes X-tengely árnyékolásával mutatjuk be. Egyébként az Y tengelyt és a csúcs koordinátáit jó okkal ábrázoltam itt. Hasonlítsa össze a parabola csúcs koordinátáit (-2; 1) és a transzformált kifejezésünket!
y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1
És te hogyan? Igen! A mi esetünkben m=2 És n=1 . Ezért a parabola csúcsának vannak koordinátái: (- m; n) = (-2; 1) . Ez mind logikus.)
Egy másik feladat:
Oldja meg az egyenletet:
x 2 +4 x+3 = 0
Egyszerű másodfokú egyenlet. Dönthet a régi módon. keresztül lehetséges. Ahogy szeretné. A matematikát nem zavarja.)
Nézzük a gyökereket: x 1 =-3 x 2 =-1
És ha ennek sem az egyik, sem a másik módja nem emlékszik? Nos, jó értelemben egy kettes világít, de... Legyen így, megmentelek! Megmutatom, hogyan lehet megoldani néhány másodfokú egyenletet csak a hetedik osztály módszereivel. Újra válassz egy teljes négyzetet!)
x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1
És most az eredményül kapott kifejezést így írjuk... négyzetek különbsége! Igen, igen, van egy a hetedik osztályban:
a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)
Öntvény de konzolok kiállnak(x+2) , és a szerepben b- egy. Kapunk:
(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)
Ezt a bővítést illesztjük be az egyenletbe a négyzetes trinom helyett:
(x+1)(x+3)=0
Azt kell kitalálni, hogy a tényezők szorzata nullával egyenlő akkor és csak akkor amikor bármelyikük egyenlő nullával. Tehát (gondolatban!) minden zárójelet nullázunk.
Kapunk: x 1 =-3 x 2 =-1
Ez minden. Ugyanaz a két gyökér. Ilyen az ügyes vevő. A diszkrimináns mellett.)
Egyébként a diszkriminánsról és a másodfokú egyenlet gyökeinek általános képletéről:
A leckében kihagytam ennek a nehézkes képletnek a levezetését. A haszontalanságért. De itt a helye neki.) Szeretné tudni, hogyan kapja meg ezt a képletet? Honnan származik a diszkrimináns kifejezés, és miért pontosanb 2 -4ac, de más módon nem? Mégis, a történések lényegének teljes megértése sokkal hasznosabb, mint mindenféle betűk és szimbólumok meggondolatlan firkálása, igaz?)
A harmadik hasznos dolog a másodfokú egyenlet gyökeinek képletének levezetése.
Essünk neki! Négyzetes trinomit veszünk általános formában fejsze 2 + bx+ cÉs… elkezdünk egy teljes négyzetet kiválasztani! Igen, egyenesen leveleken keresztül! Volt számtan, algebra lett.) Először szokás szerint kivesszük a betűt a a zárójelen kívülre, és az összes többi együtthatót el kell osztani ezzel a:
Mint ez. Ez egy teljesen legális átalakítás: de nem egyenlő nullával, és osztható vele. És ismét zárójelekkel dolgozunk a szokásos algoritmus szerint: az x kifejezésből kettős szorzatot készítünk, hozzáadjuk / kivonjuk a második szám négyzetét ...
Minden ugyanaz, csak betűkkel.) Próbáld meg önmagad befejezni! Egészséges!)
Az összes átalakítás után ezt kell kapnia:
És miért kell ilyen kupacokat építenünk egy ártalmatlan trinomiálisból – kérdezed? Semmi, most érdekes lesz! És most természetesen egyenlőségjelet teszünk ehhez a dologhoz nullára:
Megoldjuk, mint egy normál egyenletet, minden szabály szerint dolgozunk, csak betűkkel. Alapfokút végzünk:
1) Mozgassa a nagyobb részt jobbra. A plusz mozgatásakor mínuszra váltunk. Annak érdekében, hogy ne húzzunk mínuszt maga a tört elé, egyszerűen megváltoztatom az összes jelet a számlálóban. A számlálóban a bal oldalon volt4ac-b 2 , és az átvitel után válik -( 4ac-b 2 ) , azaz b 2 -4 ac. Valami ismerős, nem gondolod? Igen! Megkülönböztető, ő a leginkább...) Ez így lesz:
2) Töröljük a szögletes zárójeleket az együtthatóból. Mindkét részt elosztjuk " de Bal oldalon, a zárójelek előtt a betű de eltűnik, és a jobb oldalon bemegy egy nagy tört nevezőjébe, átváltva azzá 4 a 2 .
Kiderült, hogy ez az egyenlőség:
Nem sikerült neked? Akkor a "" téma neked szól. Azonnal menj oda!
következő lépés kivonjuk a gyökeret. Érdekel minket az X, igaz? És az X a négyzet alatt ül... Természetesen a gyökerek kinyerésére vonatkozó szabályok szerint bontjuk ki. A kivonás után a következő történik:
A bal oldalon az összeg négyzete látható eltűnikés csak maga az összeg marad. Ami kötelező.) De a jobb oldalon megjelenik plusz minusz. Ugyanis a mi tetemes frakciónk, annak ellenére, hogy félelmetes megjelenése van, az csak néhány szám. Törtszám. Együttható függő a, b, c. Ugyanakkor ennek a törtnek a számlálójából a gyök nincs szépen kivonva, két kifejezés különbsége van. És itt van a nevező gyökere 4 a 2 elég kivehető! Könnyű lesz 2 a.
"Trükkös" kérdés a kitöltéshez: volt-e jogom a gyökér kivonásához a kifejezésből 4 a2, adj választ csak 2a? Végül is a kitermelési szabály négyzetgyök kötelezi a modul jelének elhelyezésére, pl.2|a| !
Gondolj bele, miért hagytam ki mégis a modul jelet. Nagyon hasznos. Tipp: a válasz a jelben rejlik plusz minusz tört előtt.)
Maradtak üres helyek. Tiszta x-et adunk a bal oldalon. Ehhez mozgassa a kis töredéket jobbra. Jelváltással a paprika tiszta. Emlékeztetlek arra, hogy a törtben lévő jel bárhol és bármilyen módon megváltoztatható. A tört előtt szeretnénk változtatni, a nevezőben, a számlálóban szeretnénk szerepelni. jelet váltok a számlálóban. Ez volt + b, lett – b. Remélem, nincs kifogás?) Az átutalás után így alakul:
Összeadunk két törtet azonos nevezővel, és megkapjuk (végre!):
Jól? Mit mondhatnék? Azta!)
A negyedik hasznos dolog, hogy a tanulók vegyék tudomásul!
Most simán menjünk iskolából egyetemre. Nem fogod elhinni, de a teljes négyzet kiválasztása a felsőbb matematikában is szükséges!
Például egy ilyen feladat:
Keresse meg a határozatlan integrált:
Hol kezdjem? A közvetlen alkalmazás nem gördül. Csak egy teljes négyzet kiválasztása ment, igen...)
Azok, akik nem tudják, hogyan válasszanak ki egy teljes négyzetet, örökké ragaszkodnak ehhez az egyszerű példához. És ki tudja hogyan, kiosztja és megkapja:
x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4
És most az integrált (tudóknak) eggyel veszik!
Ez nagyszerű, igaz? És ez nem csak integrál! Az analitikus geometriáról már hallgatok, azzal együtt másodrendű görbék – ellipszis, hiperbola, parabola és kör.
Például:
Határozza meg az egyenlet által adott görbe típusát:
x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0
A teljes négyzet kiválasztásának képessége nélkül a feladat nem megoldható, igen... De a példa nem is lehetne egyszerűbb! A hozzáértőknek természetesen.
Az x-szel és y-vel rendelkező kifejezéseket halomba csoportosítjuk, és minden változóhoz teljes négyzeteket választunk. Kap:
(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16
(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2
Szóval hogy is van ez? Megtudtad, milyen állat?) Hát persze! Három sugarú kör, amelynek középpontja a (3; 4) pontban van.
És ez minden.) Hasznos dolog a teljes négyzet kiválasztása!)
