Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása racionalizálási módszerrel. Racionalizálási módszer logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására változó bázissal Racionalizálási táblázat
A racionalizálási módszer lehetővé teszi, hogy elmozduljunk egy olyan egyenlőtlenségtől, amely összetett exponenciális, logaritmikus stb. kifejezéseket, egy ekvivalens egyszerűbb racionális egyenlőtlenséghez.
Ezért, mielőtt az egyenlőtlenségek racionalizálásáról kezdenénk beszélni, beszéljünk az ekvivalenciáról.
egyenértékűség
Egyenértékű vagy egyenértékű egyenleteknek (egyenlőtlenségeknek) nevezzük, amelyek gyökhalmazai egybeesnek. Egyenértékűnek tekintjük azokat az egyenleteket (egyenlőtlenségeket), amelyeknek nincs gyökerük.
1. példa A és egyenletek ekvivalensek, mivel ugyanazok a gyökereik.
2. példa A és egyenletek egyenértékűek is, mivel mindegyik megoldása az üres halmaz.
3. példa A és egyenlőtlenségek ekvivalensek, mivel mindkettő megoldása a halmaz.
4. példaés egyenlőtlenek. A második egyenlet megoldása csak 4, az első egyenlet megoldása pedig 4 és 2.
5. példa Az egyenlőtlenség egyenlő az egyenlőtlenséggel, mivel mindkét egyenlőtlenségben a megoldás 6.
Vagyis látszólag az ekvivalens egyenlőtlenségek (egyenletek) nagyon távol állnak a hasonlóságtól.
Valójában, amikor olyan összetett, hosszú egyenleteket (egyenlőtlenségeket) oldunk meg, mint ez, és megkapjuk a választ, akkor végül is nincs más a kezünkben, mint az eredetivel egyenértékű egyenlet (egyenlőtlenség). A megjelenés más, de a lényeg ugyanaz!
6. példa Emlékezzünk arra, hogyan oldottuk meg az egyenlőtlenséget mielőtt megismerkedne az intervallumok módszerével. Az eredeti egyenlőtlenséget két rendszerből álló halmazra cseréltük:
Vagyis az egyenlőtlenség és az utolsó halmaz egyenértékű egymással.
Azt is megtehetnénk, ha kezünkben van a gyűjtemény
cserélje ki az egyenlőtlenségre, amely az intervallum módszerrel egy csapásra megoldható.
Közel kerültünk a logaritmikus egyenlőtlenségek racionalizálásának módszeréhez.
Racionalizálási módszer logaritmikus egyenlőtlenségekben
Nézzük az egyenlőtlenséget.
A 4-et logaritmusként ábrázoljuk:
A logaritmus változó alapjával van dolgunk, ezért attól függően, hogy a logaritmus alapja 1-nél nagyobb, vagy 1-nél kisebb (vagyis növekvő vagy csökkenő függvénnyel van dolgunk), az egyenlőtlenség jele megmarad, ill. váltani "". Ezért létezik két rendszer kombinációja (kombinációja):
De FIGYELEM, ezt a rendszert az ODZ figyelembevételével kell megoldani! Szándékosan nem töltöttem be az ODZ rendszert, hogy a fő gondolat ne vesszen el.
Nézd, most így írjuk át a rendszerünket (minden egyenlőtlenségi soron mindent balra mozgatunk):
Nem emlékeztet ez semmire? -vel analógiával 6. példa ezt a rendszerhalmazt az egyenlőtlenséggel helyettesítjük:
Miután megoldottuk ezt az egyenlőtlenséget az ODZ-n, megkapjuk az egyenlőtlenség megoldását.
Először keressük meg az eredeti egyenlőtlenség ODZ-jét:
Most döntsünk
Az utolsó egyenlőtlenség megoldása, figyelembe véve az ODZ-t:
Tehát itt van ez a "varázslatos" táblázat:
Vegye figyelembe, hogy a táblázat a feltételek mellett működik
hol vannak a függvényei,
- funkció vagy szám,
- az egyik szereplő
Vegye figyelembe azt is, hogy a táblázat második és harmadik sora az első következménye. A második sorban az 1 előtt mint , a harmadik sorban pedig a 0 .
És még néhány hasznos következmény (remélem, könnyen megérti, honnan származnak):
hol vannak a függvényei,
- funkció vagy szám,
- az egyik szereplő
Racionalizálási módszer exponenciális egyenlőtlenségekben
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget.
Az eredeti egyenlőtlenség megoldása egyenértékű az egyenlőtlenség megoldásával
Válasz: .
Táblázat az exponenciális egyenlőtlenségek racionalizálásához:
– függvényei, – függvény vagy szám, – valamelyik előjel A táblázat a feltétel mellett működik. A harmadik, negyedik sorban is - ráadásul -
Valójában ismét emlékeznie kell a táblázat első és harmadik sorára. A második sor az első, a negyedik sor pedig a harmadik speciális esete.
Racionalizálási módszer a modulust tartalmazó egyenlőtlenségekben
A típusú egyenlőtlenségekkel dolgozva, ahol valamilyen változó függvényei, a következő ekvivalens átmenetek vezérelhetők:
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!”
DE itt többet kínál nézzünk meg néhány példát az „egyenlőtlenségek racionalizálása” témában.
Szakaszok: Matematika
A vizsgadolgozatok ellenőrzésének gyakorlata azt mutatja, hogy az iskolások számára a legnagyobb nehézséget a transzcendentális egyenlőtlenségek, különösen a változó bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása jelenti. Ezért a figyelmedbe tárt lecke összefoglaló a racionalizálási módszer bemutatása (más nevek a dekompozíciós módszer (V.P. Modenov), a faktorhelyettesítési módszer (V.I. Golubev)), amely lehetővé teszi az összetett logaritmikus, exponenciális, kombinált egyenlőtlenségek csökkentését. egyszerűbb racionális egyenlőtlenségek rendszeréhez. Általában a racionális egyenlőtlenségekkel kapcsolatos intervallumok módszerét a „Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása” témakör tanulmányozásáig jól elsajátították és kidolgozták. Ezért a hallgatók nagy érdeklődéssel és lelkesedéssel veszik észre azokat a módszereket, amelyek segítségével leegyszerűsítik, lerövidítik a megoldást, és végső soron időt takarítanak meg a vizsgán más feladatok megoldására.
Az óra céljai:
- nevelési: alapismeretek aktualizálása logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során; az egyenlőtlenségek megoldásának új módjának bevezetése; a döntési készségek fejlesztése
- Nevelési: matematikai horizont fejlesztése, matematikai beszéd, elemző gondolkodás
- Nevelési: pontosságra és önuralomra nevelés.
AZ ÓRÁK ALATT
1. Szervezési mozzanat.Üdvözlet. Az órai célok kitűzése.
2. Előkészületi szakasz:
Egyenlőtlenségek megoldása:
3. Házi feladat ellenőrzése(11.81*a)
Az egyenlőtlenség feloldásakor
A változó bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásához a következő sémát kellett használni:
Azok. Két esetet kell figyelembe venni: az alap nagyobb, mint 1, vagy az alap kisebb, mint 1.
4. Új anyag magyarázata
Ha figyelmesen megnézi ezeket a képleteket, észre fogja venni, hogy a különbség jele g(x) – h(x) egybeesik a különbségi napló előjelével f(x) g(x) - napló f(x) h(x) növekvő függvény esetén ( f(x) > 1, azaz f(x) – 1 > 0), és ellentétes a különbségi napló előjelével f(x) g(x) - napló f(x) h(x) csökkenő függvény esetén (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)
Ezért ez a halmaz racionális egyenlőtlenségek rendszerére redukálható:
Ez a racionalizálási módszer lényege – az összetettebb A kifejezés helyettesítése egy egyszerűbb B kifejezéssel, ami racionális. Ebben az esetben a В V 0 egyenlőtlenség ekvivalens lesz az А kifejezés tartományában lévő А V 0 egyenlőtlenséggel.
1. példaÍrjuk át az egyenlőtlenséget a racionális egyenlőtlenségek ekvivalens rendszereként.
Megjegyzem, hogy az (1)–(4) feltételek az egyenlőtlenség definíciós tartományának feltételei, amelyeket a megoldás elején javaslok megtalálni.
2. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget racionalizálási módszerrel:
Az egyenlőtlenség definíciós területét a következő feltételek adják:
Kapunk:
Fel kell írni az egyenlőtlenséget (5)
Domain hatálya alá tartozik
Válasz: (3; 5)
5. A tanult anyag konszolidációja
I. Írja fel az egyenlőtlenséget a racionális egyenlőtlenségek rendszereként:
II. Fejezd ki az egyenlőtlenség jobb oldalát logaritmus formájában a kívánt bázisban, és menj az ekvivalens rendszerhez:
A tanár a táblára hívja azokat a tanulókat, akik az I. és II. csoportból felírták a rendszereket, és felkéri az egyik legerősebb tanulót az otthoni egyenlőtlenség (11.81 * a) megoldására, racionalizálási módszerrel.
6. Ellenőrző munka
1.opció
2. lehetőség
1. Írja fel a racionális egyenlőtlenségek rendszerét az egyenlőtlenségek megoldására:
2. Oldja meg az egyenlőtlenséget racionalizálási módszerrel!
Osztályozási kritériumok:
3-4 pont – „kielégítő”;
5-6 pont - "jó";
7 pont - "kiváló".
7. Reflexió
Válaszoljon a kérdésre: a változó alapú logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának ismert módszerei közül melyik teszi lehetővé a vizsgán töltött idő jobb kihasználását?
8. Házi feladat: No. 11,80 * (a, b), 11,81 * (a, b), 11,84 * (a, b) oldja meg racionalizálási módszerrel.
Bibliográfia:
- Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 11 cellához. Általános oktatás Intézmények /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – 5. kiadás. - M .: Oktatás, JSC "Moszkvai tankönyvek", 2006.
- A.G. Koryanov, A.A. Prokofjev. A „Jó és kiváló tanulók felkészítése a vizsgára” tantárgy anyagai: előadások 1-4. - M .: Pedagógiai Egyetem "Szeptember elseje", 2012.
Ezhova Elena Szergejevna
Munka megnevezése: matematika tanár
Oktatási intézmény: MOU „Iskola №77”
Helység: Szaratov
Anyag neve: módszeres fejlesztés
Téma: Racionalizálási módszer az egyenlőtlenségek megoldásában a vizsgára való felkészülés során "
Megjelenés dátuma: 16.05.2018
Fejezet: teljes oktatás
Nyilvánvalóan ugyanaz az egyenlőtlenség többféleképpen is megoldható. Szerencsére
választott módon vagy – ahogy szoktuk mondani – racionális módon, bármilyen
az egyenlőtlenség gyorsan és egyszerűen megoldódik, megoldása szép és érdekes lesz.
Részletesebben szeretném megvizsgálni az úgynevezett racionalizálási módszert, amikor
logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek, valamint tartalmazó egyenlőtlenségek megoldása
változó a modul jele alatt.
A módszer fő gondolata.
A formára redukált egyenlőtlenségek megoldására a tényezők megváltoztatásának módszerét alkalmazzuk
Hol van a szimbólum
» a négy lehetséges egyenlőtlenségi jel egyikét jelöli:
Az (1) egyenlőtlenség megoldásánál csak a számlálóban szereplő bármely tényező előjele érdekel bennünket
vagy nevezője, és nem annak abszolút értéke. Ezért ha valamilyen okból mi
kényelmetlen ezzel a szorzóval dolgozni, kicserélhetjük másikra
egybeesik vele az egyenlőtlenség definíciójának régiójában és rendelkezik ebben a régióban
ugyanazok a gyökerek.
Ez határozza meg a szorzóhelyettesítési módszer fő gondolatát. Ezt fontos kijavítani
az a tény, hogy a tényezők cseréje csak az egyenlőtlenség csökkenésének feltétele mellett történik
az (1) űrlapra, vagyis amikor a terméket nullával kell összehasonlítani.
A csere nagy része a következő két egyenértékű állításnak köszönhető.
1. állítás. Az f(x) függvény akkor és csak akkor szigorúan növekszik, ha for
t bármely értéke
) egybeesik
jele a különbséggel (f(t
)), azaz f<=>(t
(↔ jelegyezést jelent)
2. állítás. Az f(x) függvény akkor és csak akkor szigorúan csökken, ha for
t bármely értéke
a függvénykülönbség tartományából (t
) egybeesik
jele a különbséggel (f(t
)), azaz f ↓<=>(t
Ezen állítások igazolása közvetlenül következik a szigorúan
monoton funkció. Ezen kijelentések alapján megállapítható, hogy
A fokok különbsége ugyanabban az alapban mindig előjelben egybeesik a
e fokozatok mutatói közötti különbség és az alap egységtől való eltérésének szorzata,
A logaritmusok különbsége ugyanabban a bázisban mindig előjelben egybeesik
ezeknek a logaritmusoknak a számai közötti különbség és az alap egységtől való eltérésének szorzata, akkor
Az a tény, hogy a nem negatív mennyiségek különbségének ugyanaz az előjele, mint a különbségnek
ezen értékek négyzetei, a következő helyettesítéseket teszi lehetővé:
Oldja meg az egyenlőtlenséget
Megoldás.
Térjünk át egy ekvivalens rendszerre:
Az első egyenlőtlenségből kapjuk
A második egyenlőtlenség mindenkire érvényes
A harmadik egyenlőtlenségből kapjuk
Így az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza:
Oldja meg az egyenlőtlenséget
Megoldás.
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:
Válasz: (-4; -3)
Oldja meg az egyenlőtlenséget
Hozzuk az egyenlőtlenséget olyan formába, amelyben a logaritmikus értékei közötti különbség
Cseréljük le a logaritmikus függvény értékeinek különbségét az argumentum értékeinek különbségével. NÁL NÉL
a számláló növekvő függvény, a nevező pedig csökkenő, tehát az egyenlőtlenség jele
az ellenkezőjére fog változni. Fontos, hogy ne felejtsük el figyelembe venni a hatókört
logaritmikus függvény, tehát ez az egyenlőtlenség egy egyenlőtlenségrendszerrel ekvivalens.
Számláló gyökerei: 8; nyolc;
A nevező gyökér: 1
Oldja meg az egyenlőtlenséget
Helyettesítsük be a számlálóban két függvény moduljai közötti különbséget a négyzeteik különbségével, és
a nevező a logaritmikus függvény értékei és az argumentumok közötti különbség.
A nevezőben a függvény csökken, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség jele erre változik
szemben.
Ebben az esetben figyelembe kell venni a logaritmikus definíciós tartományát
Az első egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel oldjuk meg.
A számláló gyökerei:
A nevező gyökerei:
Oldja meg az egyenlőtlenséget
Helyettesítsük a számlálóban és a nevezőben a monoton függvények értékei közötti különbséget a különbséggel
az argumentumok értékeit, figyelembe véve a függvények meghatározásának tartományát és a monotonitás jellegét.
A számláló gyökerei:
A nevező gyökerei:
A leggyakrabban használt helyettesítések (az O D 3 kivételével).
a) Előjel-konstans szorzók változása.
b) Nem állandó tényezők helyettesítése a modulussal.
c) A nem állandó tényezők exponenciális és logaritmikus helyettesítése
kifejezéseket.
Megoldás. ODZ:
A szorzók cseréje:
Van egy rendszerünk:
Ebben az egyenlőtlenségben a tényezők
nem negatív értékek különbségének tekintendő, mivel a kifejezések 1
Az ODZ pozitív és negatív értékeket is felvehet.
Van egy rendszerünk:
A szorzók cseréje:
Van egy rendszerünk:
A szorzók cseréje:
Van egy rendszerünk:
A szorzók cseréje:
Van egy rendszerünk:
Ennek eredményeként a következőket kapjuk: x
racionalizálási módszer(dekompozíciós módszer, szorzóhelyettesítési módszer, cseremódszer
funkciókat, előjelszabály) abból áll, hogy az F(x) összetett kifejezést többre cseréljük
egy egyszerű G(x) kifejezés, amelyre a G(x) egyenlőtlenség
0 ekvivalens az F egyenlőtlenséggel (x
0 az F(x) kifejezés tartományában.
Szakaszok: Matematika
A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során gyakran adódnak problémák a logaritmus változó alapjával. Tehát a forma egyenlőtlensége
egy standard iskolai egyenlőtlenség. Ennek megoldására általában egy egyenértékű rendszerkészletre való átállást használnak:
Ennek a módszernek a hátránya, hogy hét egyenlőtlenséget kell megoldani, nem számítva két rendszert és egy halmazt. A populációs megoldás még adott másodfokú függvények mellett is sok időt igényelhet.
Ennek a standard egyenlőtlenségnek egy alternatív, kevésbé időigényes megoldása javasolható. Ehhez a következő tételt vesszük figyelembe.
1. Tétel. Legyen egy folyamatosan növekvő függvény egy X halmazon. Ekkor ezen a halmazon a függvény növekményének előjele egybe fog esni az argumentum növekményének előjelével, azaz. , ahol 
.
Megjegyzés: ha az X halmazon folyamatosan csökkenő függvény, akkor .
Térjünk vissza az egyenlőtlenséghez. Térjünk át a decimális logaritmusra (bármelyikre ugorhatunk, ha egynél nagyobb konstans bázis).
Most már használhatjuk a tételt, és a számlálóban észrevehetjük a függvények növekedését 
és a nevezőben. Szóval igaz
Ennek eredményeként a válaszhoz vezető számítások száma körülbelül a felére csökken, ami nemcsak időt takarít meg, hanem potenciálisan kevesebb számtani és gondatlan hibázást is lehetővé tesz.
1. példa
Az (1)-tel összehasonlítva azt találjuk 
, 
, .
Ha átlépünk a (2) pontra, akkor a következőket kapjuk:
2. példa
Az (1)-el összehasonlítva azt találjuk, hogy , , .
Ha átlépünk a (2) pontra, akkor a következőket kapjuk:
3. példa
Mivel az egyenlőtlenség bal oldala növekvő függvénye és 
, akkor a válasz be van állítva.
A példasor, amelyben a Terme 1 alkalmazható, könnyen bővíthető, ha figyelembe vesszük a Terme 2-t.
Engedd a forgatásra x a , , , függvények definiálva vannak, és ezen a halmazon az előjelek és egybeesnek, azaz, akkor igazságos lesz.
4. példa
5. példa
A standard megközelítéssel a példa a séma szerint van megoldva: a szorzat kisebb, mint nulla, ha a tényezők eltérő előjelűek. Azok. két egyenlőtlenségi rendszerből álló halmazt tekintünk, amelyben, ahogy az elején jeleztük, mindegyik egyenlőtlenség további hétre bomlik.
Ha figyelembe vesszük a 2. tételt, akkor a (2) figyelembe vételével minden tényező helyettesíthető egy másik, az O.D.Z. példájában azonos előjelű függvénnyel.
A 2. Tétel figyelembevételével egy függvény növekményének az argumentum növekedésével való helyettesítésének módszere nagyon kényelmesnek bizonyul a tipikus C3 USE problémák megoldása során.
6. példa
7. példa
. Jelöljük. Kap
. Vegye figyelembe, hogy a csere a következőket jelenti: . Visszatérve az egyenlethez, azt kapjuk
.
8. példa
Az általunk használt tételekben nincs korlátozás a függvényosztályokra vonatkozóan. Ebben a cikkben példaként a tételeket a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására alkalmaztuk. A következő néhány példa bemutatja a módszer ígéretét más típusú egyenlőtlenségek megoldására.
Városi Autonóm Oktatási Intézmény "Yarkovskaya Középiskola"
Oktatási projekt
Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása racionalizálási módszerrel
MAOU "Yarkovskaya középiskola"
Shanskikh Daria
Vezető: matektanár
MAOU "Yarkovskaya középiskola"
Yarkovo 2013
1) Bevezetés…………………………………………………………….2
2) Fő rész…………………………………………………..3
3) Következtetés………………………………………………………..9
4) Felhasznált irodalom jegyzéke…………….10
5) Pályázatok…………………………………………………………………11-12.
1. Bevezetés
Gyakran előfordul, hogy a „C” részből származó USE feladatok megoldásakor, és különösen a C3 feladatokban, előfordulnak olyan egyenlőtlenségek, amelyek logaritmikus kifejezéseket tartalmaznak, és a logaritmus alapja ismeretlen. Íme egy példa a standard egyenlőtlenségre:
Az ilyen feladatok megoldására általában a klasszikus módszert alkalmazzák, vagyis az egyenértékű rendszerkészletre való átállást alkalmazzák. 
A standard megközelítéssel a példa a séma szerint van megoldva: a szorzat kisebb, mint nulla, ha a tényezők eltérő előjelűek. Vagyis két egyenlőtlenségi rendszerből álló halmazt veszünk figyelembe, amelyben minden egyenlőtlenség további hétre bomlik. Ezért javasolható egy kevésbé időigényes módszer ennek a standard egyenlőtlenségnek a megoldására. Ez a matematikai irodalomban dekompozícióként ismert racionalizálási módszer.
A projekt megvalósítása során a következő célokat tűztem ki: :
1) Sajátítsa el ezt a döntési technikát
2) A 2013-as képzési és diagnosztikai munkából származó C3 feladatok megoldási készségeinek gyakorlása.
Projekt célkitűzésa racionalizálás módszerének elméleti indoklásának tanulmányozása.
Relevanciaa munka abban rejlik, hogy ezzel a módszerrel sikeresen megoldhatja a matematikai egységes államvizsga C3 részének logaritmikus egyenlőtlenségeit.
2. Fő rész
Tekintsük az alak logaritmikus egyenlőtlenségét
betűméret: 14,0 pt; vonalmagasság:150%">, (1)
ahol font-size:14.0pt;line-height:150%"> Az ilyen egyenlőtlenség megoldásának standard módszere a két eset elemzése az elfogadható egyenlőtlenségi értékek területére.
Az első esetben amikor a logaritmusok alapjai kielégítik a feltételt
betűméret: 14,0 pt; line-height:150%">, az egyenlőtlenség jele megfordul: font-size:14.0pt;line-height:150%"> A második esetben amikor az alap kielégíti a feltételt, az egyenlőtlenség jele megmarad: .
Első pillantásra minden logikus, vegyünk két esetet, majd kombináljuk a válaszokat. Igaz, a második eset figyelembe vételekor bizonyos kényelmetlenség merül fel - 90 százalékkal meg kell ismételnie az első eset számításait (transzformálni, meg kell találni a segédegyenletek gyökereit, meghatározni az előjel monotonitásának intervallumait). Felmerül egy természetes kérdés – lehet-e mindezt valahogyan kombinálni?
A kérdésre a választ a következő tétel tartalmazza.
1. tétel. logaritmikus egyenlőtlenség
font-size:14.0pt;line-height:150%">egyenértékű a következő egyenlőtlenségi rendszerrel :
betűméret: 14,0 pt; vonalmagasság:150%"> (2)
Bizonyíték.
1. Kezdjük azzal, hogy a (2) rendszer első négy egyenlőtlensége határozza meg az eredeti logaritmikus egyenlőtlenség megengedett értékeinek halmazát. Most fordítsuk figyelmünket az ötödik egyenlőtlenségre. Ha egy betűméret: 14,0 pt; line-height:150%">, akkor ennek az egyenlőtlenségnek az első tényezője negatív lesz. Ezzel csökkentve az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére kell cserélni, akkor megkapod az egyenlőtlenséget .
Ha , akkor az ötödik egyenlőtlenség első tényezője pozitív, az egyenlőtlenség előjelének megváltoztatása nélkül csökkentjük, megkapjuk az egyenlőtlenséget font-size:14.0pt;line-height: 150%">. Így a rendszer ötödik egyenlőtlensége magában foglalja az előző módszer mindkét esetét.
A kifejezés bevált.
A racionalizálási módszer elméletének főbb rendelkezései.
A racionalizálási módszer a komplex kifejezés helyettesítéséből áll F(x ) egy egyszerűbb kifejezésre G(x ), amely alatt az egyenlőtlenség G(x )HU-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 a kifejezési tartományban F(x).
Emeljünk ki néhány kifejezést F és a hozzájuk tartozó racionalizáló kifejezések G , ahol u , v , , p , q - két változós kifejezések ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - fix szám (a > 0, a ≠ 1).
F kifejezés | G kifejezés |
|
(a –1)( v-φ) |
||
|
||
1 b |
|
|
|
||
|
||
2 b |
|
|
|
||
|
)
Bizonyíték
1. Hagyjuk logav - logaφ > 0, vagyis logav > logaφ,és a > 0, a ≠ 1, v > 0,
φ > 0.
Ha 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Ebből következik, hogy az egyenlőtlenségek rendszere érvényes
a -1<0
v – φ < 0
Honnan következik az egyenlőtlenség (a – 1)( v – φ ) > 0 igaz a kifejezés tartományábanF = logav - logaφ.
Ha egy a > 1, akkor v > φ . Ezért van egyenlőtlenségünk ( a – 1)( v – φ )> 0. Ezzel szemben, ha az egyenlőtlenség ( a – 1)( v – φ )> 0 az elfogadható értékek tartományán ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),akkor ezen a tartományon két rendszer kombinációjával ekvivalens.
a – 1<0 a – 1 > 0
v – φ < 0 v – φ > 0
Minden rendszer magában foglalja az egyenlőtlenségetlogav > logaφ, vagyis logav - logaφ > 0.
Hasonlóképpen figyelembe vesszük az egyenlőtlenségeket is F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
2. Legyen néhány szám a> 0 és a≠ 1, akkor megvan
logó v- loguφ = HU" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ -u).
4. Az egyenlőtlenségtől UV- uφ > 0 kellene UV > uφ. Legyen az a szám > 1loga UV > logauφ vagy
( u – φ) loga u > 0.
Ezért figyelembe véve az 1b változást és a feltételta > 1 kapunk
( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Hasonlóképpen bizonyítjuk az egyenlőtlenségeket F< 0,
F ≤ 0, F ≥ 0.
5. A bizonyítás hasonló a 4. bizonyításhoz.
6. A 6. helyettesítés bizonyítása a | egyenlőtlenségek ekvivalenciájából következik p | > | q | és p 2 > q 2
(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).
Hasonlítsuk össze a logaritmus bázisán változót tartalmazó egyenlőtlenségek megoldásának térfogatát klasszikus módszerrel és racionalizálási módszerrel
3. Következtetés
Hiszem, hogy a munkavégzés során magam elé kitűzött feladatokat sikerült teljesíteni. A projekt gyakorlati jelentőségű, mivel a munkában javasolt módszer lehetővé teszi a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának jelentős egyszerűsítését. Ennek eredményeként a válaszhoz vezető számítások száma körülbelül a felére csökken, ami nemcsak időt takarít meg, hanem potenciálisan kevesebb számtani és gondatlan hibázást is lehetővé tesz. Most a C3 feladatok megoldásánál ezt a módszert használom.
4. Felhasznált irodalom jegyzéke
1. , – Egyváltozós egyenlőtlenségek megoldási módszerei. – 2011.
2. - Matematikai útmutató. - 1972.
3. - Matematika a jelentkezőnek. Moszkva: MTSNMO, 2008.
