Arány téma. Arányok. Önálló megoldási feladatok
Az „arány” szó a latin gyökből származik, és „arányt” jelent. Az emberek gyakran használják a mindennapi életben. Beszélnek például az emberi test arányairól vagy a főzés arányairól. Ma megtudjuk, mit írnak ebbe a szóba a matematikusok.
Nézzünk két kapcsolatot. Emlékezzünk arra, hogy az arány két szám hányadosa.
Figyeljük meg, hogy az első és a második esetben is a hányados értéke három. Két egyenlő viszonyunk van. Írjuk fel az egyenletet.
Tizenöt az öthöz, mint a huszonnégy a nyolchoz. Ezt az egyenlőséget aránynak nevezzük. Néha ezt az egyenlőséget közönséges törtek egyenlőségeként írják le.
Fogalmazzuk meg a definíciót: két arány egyenlőségét aránynak nevezzük.
Betűk segítségével az arány felírható:
Hozzáállás a Nak nek b egyenlő az aránnyal c Nak nek d. Néha másképp értelmezik az arányt: „ aígy vonatkozik b, Hogyan c utal rá d». Az arányban részt vevő számokat az arány tagjainak nevezzük. Feltételezzük, hogy minden tag nem nulla.
Számok aÉs d az arány szélső tagjait és a számokat nevezzük bÉs c- középső tagjai. Valóban, a szám jelölésének első változatában bÉs c középen vannak és a számok aÉs d határán.
A korábban tárgyalt arányban 
keresse meg középső és szélső tagjának szorzatát.
Vegye figyelembe, hogy a két eredményül kapott termék egyenlő.
Fogalmazzuk meg általános formában az arányosság fő tulajdonságát.
A megfelelő arányban a szélső tagok szorzata egyenlő a középtagok szorzatával.
Ennek fordítva is igaz.
Ha a szélső tagok szorzata egyenlő az arány középtagjainak szorzatával, akkor az arányigaz.
Keresse meg az arány ismeretlen tagját, azaz oldja meg az arányt!
A 0,5 és 13 számok a szélső tagok; számok aés 2 a középső tagok. Használjuk az arányosság alaptulajdonságát.
Oldjuk meg az arányt.
Az arányosság alapvető tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:
A nevezőben a tizedes törttől való megszabaduláshoz szorozza meg a tört számlálóját és nevezőjét is 10-zel. Csökkentse a kapott törtet 4-gyel, majd ismét 4-gyel.
Ellenőrizze, hogy ezek az arányok helyesek-e:
Ebben a feladatban azt kell ellenőrizni, hogy a relációk közötti egyenlőség valóban igaz-e.
Keressük meg az átlagok szorzatát és a szélső tagok szorzatát az egyes arányokra! Ha a kapott termékek egyenlőek, akkor az arány helyes. Ellenkező esetben rossz az arány.
helyes arány, mert
rossz arány, mert .
Ha a középső vagy szélső tagokat megfelelő arányban cseréljük fel, akkor a kapott új arányok is helyesek..
Ez azért van így, mert egy ilyen permutációval a szélső és középső tagok szorzata nem változik.
Vegyünk egy példát. Ebből az arányból szerezzen két újat a szélső és a középső tagok átrendezésével. Először a középső tagokat rendezzük át (1. ábra).
Rizs. 1. Középtagok permutációja
Az átlagok és szélsőségek szorzata ugyanis nem változott, vagyis a kapott arány helyes. Rendezzük át a szélső tagokat (2. ábra).
Rizs. 2. A szélső tagok permutációja
És ebben az esetben az átlagok és a szélsőségek szorzata nem változott. Megfelelő arányt kaptunk.
Bibliográfia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. osztály. - Gimnázium. 2006.
- Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Egy matematika tankönyv lapjai mögött. - M.: Felvilágosodás, 1989.
- Rurukin A.N., Csajkovszkij I.V. A matematika tantárgy feladatai 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Szocsilov S.V., Csajkovszkij K.G. Matematika 5-6. Kézikönyv a MEPhI levelező iskola 6. osztályos tanulói számára. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Tankönyv-beszélgetőtárs a gimnázium 5-6 évfolyamára. - M .: Oktatás, Matematikatanári Könyvtár, 1989.
- Matematika ().
- Math-portal.ru internetes portál ().
Házi feladat
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012: 762. sz. (a, d, e), 765. sz., 777. sz.
- Egyéb feladatok: 767. sz., 775. sz.
Arány – két reláció egyenlősége, azaz a forma egyenlősége a:b = c:d , vagy más jelöléssel az egyenlőség
Ha a : b = c : d, Azt aÉs d hívott szélső, A bÉs c - átlagostagjai arányokat.
Az „arány” elől nem lehet kikerülni, számos feladatnál nélkülözhetetlen. Csak egy kiút van - kezelni ezt az arányt, és életmentőként használni az arányt.
Az arányproblémák mérlegelésének megkezdése előtt fontos megjegyezni az arányosság alapvető szabályát:
arányosan
a szélső tagok szorzata egyenlő az átlag szorzatával
Ha az arány valamilyen értéke ismeretlen, akkor ezt a szabályt könnyű megtalálni.
Például,
Vagyis az arány ismeretlen értéke - a tört értéke, a nevezőben
amely az ismeretlen értékkel ellentétes szám
, a számlálóban - az arány többi tagjának szorzata
(függetlenül attól, hogy hol áll ez az ismeretlen érték). 
1. feladat.
21 kg gyapotmagból 5,1 kg olajat kaptunk. Mennyi olajat nyerünk 7 kg gyapotmagból?
Megoldás:
Megértjük, hogy a vetőmag tömegének többszörös csökkenése a kapott olaj tömegének azonos mértékű csökkenését vonja maga után. Vagyis a mennyiségek közvetlenül összefüggenek.
Töltsük ki a táblázatot: 
Ismeretlen érték - annak a törtnek az értéke, amelynek nevezőjében - 21 - a táblázatban szereplő ismeretlennel ellentétes érték, a számlálóban - a táblázat-arány többi tagjának szorzata.
Így azt kapjuk, hogy 7 kg magból 1,7 kg olaj fog kijönni.
Nak nek Jobb töltse ki a táblázatot, fontos megjegyezni a szabályt:
Azonos neveket egymás alá kell írni. Százalék alá százalékot írunk, kilogramm alá kilogrammot stb.
2. feladat.
Átváltás radiánra.
Megoldás:
Tudjuk . Töltsük ki a táblázatot:
Válasz:
3. feladat.
Kockás papíron kör van ábrázolva. Mekkora a kör területe, ha az árnyékolt szektor területe 27?
Megoldás:
Jól látható, hogy az árnyékolatlan szektor a -nél lévő szögnek felel meg (például azért, mert a szektor oldalait két szomszédos derékszög felezői alkotják). És mivel az egész kör , akkor az árnyékolt szektor a .
Készítsünk egy táblázatot:
Honnan származik a kör területe?
Válasz:
4. feladat.Miután a teljes tábla 82%-át felszántották, 9 hektár maradt hátra. Mekkora a teljes mező területe?
Megoldás:
A teljes tábla 100%, és mivel 82% felszántott, így 100% -82%=18% a szántás marad.
Töltse ki a táblázatot: 
Honnan vesszük, hogy az egész mező (ha).
Válasz:
A következő feladat pedig a les.
5. feladat.
A két város közötti távolságot egy személyvonat 80 km/h sebességgel 3 óra alatt teszi meg. Hány óra alatt tesz meg egy tehervonat 60-as sebességgel ugyanazt a távolságot km/h?
Megoldás:
Ha ezt a problémát az előzőhöz hasonlóan oldja meg, a következőket kapja:
az az idő, ami alatt egy tehervonat megteszi a személyvonattal azonos távolságot, óra. Vagyis kiderül, hogy kisebb sebességgel haladva (ugyanabban az időben) gyorsabban leküzdi a távolságot, mint egy nagyobb sebességű vonat.
Mi az érvelési hiba?
Eddig ott vettük figyelembe a problémákat, ahol a mennyiségek voltak egymással egyenesen arányosak , vagyis magasság bizonyos mértékkel azonos nagyságrendű, ad magasság a második mennyiség ugyanannyiszor kapcsolódik hozzá (természetesen hasonlóan csökkenéssel). És itt más a helyzet: egy személyvonat sebessége több a tehervonat sebessége többszöröse, de az azonos távolság leküzdéséhez szükséges idő szükséges egy személyvonatnak kevesebb mint egy tehervonat. Vagyis értékeket egymásnak fordítottan arányos .
Az általunk eddig használt sémát ebben az esetben némileg módosítani kell.
Megoldás:
Így érvelünk:
Egy személyvonat 3 órát utazott 80 km/h sebességgel, így km-t tett meg. Ez azt jelenti, hogy egy tehervonat egy óra alatt megteszi ugyanazt a távolságot.
Vagyis ha arányt akarunk alkotni, akkor először a jobb oldali oszlop celláit kellett volna felcserélni. megkapta volna:
Válasz: .
Ezért, kérjük, legyen körültekintő az arányok kialakításakor. Először is derítsd ki, milyen függőséggel van dolgod – közvetlen vagy fordított.
Emlékezik!
Az arány három ismert tagja alapján mindig megtalálhatja az ismeretlen (negyedik) tagját.
arányt oldja meg azt jelenti, hogy megtalálja az összes tagját. Oldjuk meg az alábbi arányt
(keresse meg az "x"-et).
Az "x" megtalálásához az arány fő tulajdonságát használjuk (a "kereszt" szabályt).
Most készen állunk arra, hogy kitaláljuk, hogyan oldjuk meg az arányos problémákat.
Problémák megoldása arányokkal
Gyakran arányos feladatokat szorosan összefügg a százalékokkal. Az „Érdeklődési körök” részben felfrissítheti a százalékokkal kapcsolatos ismereteit.
Feladat
50 lövést adtak le az íjból. 5 nyílvessző repült el a cél mellett. Határozza meg a találati százalékot.
A hagyomány szerint a fontos és számszerű adatokat emeljük ki a feladatban.
Vegye figyelembe, hogy a találatok százalékos arányát kell meghatároznunk, nem pedig a kihagyott nyilak százalékát.
Ezért először kiszámoljuk, hány nyíl találja el a célt. Nem lesz nehéz ezt megtenni.
- 50 − 5 = 45 (nyilak) - találd el a célt.
Ezután a probléma megoldásához készítünk egy táblázatot, amelybe beírjuk az összes adatot. Ne feledje, hogy a 100%-kal szemben a táblázatban általában valaminek a teljes összegét írják. Az ismeretlen százalékokat x betűvel jelöljük.
A szükséges adatok táblázatba való helyes rögzítéséhez emlékezzen egy egyszerű szabályra.
Golovacs Alekszandr Grigorjevics
Állami Oktatási Intézmény "Brest 18. számú középiskola"
Tantárgy: Arány. Az arányosság alaptulajdonsága. (6. osztály)
Az óra típusa: tanulás és az új ismeretek elsődleges megszilárdítása
Nevelési: ismertesse meg a tanulókkal a fogalmakat: arány és aránytagok; megtanítani az olvasás arányait és az arányok felépítését a kapcsolatokból; a tanulók megismertetése az arányosság alapvető tulajdonságával és a helyes arány meghatározásának készségének kialakítása.
Fejlesztés: a tanulók kognitív tevékenységének aktiválása; fejleszti a memóriát, a logikus gondolkodást;
Nevelési: a munka iránti tisztelet ápolására, csapatmunkára.
Irodalom: Matematika: tankönyv. pótlék 6 cellára. Általános oktatás intézmények oroszul. lang. oktatás / E. P. Kuznyecova [és mások]; szerk. L. B. Shneperman. – Minszk: Nat. Neveléstudományi Intézet, 2010. - 320 p.: ill.
Felszerelés: tankönyv, tábla, kréta, bemutató, számítógép, projektor.
Az órák alatt:
Szervezési pillanat (2 perc)
Házi feladat ellenőrzése (3 perc)
Tudásfrissítés (8 perc)
Új anyagok tanulása (12 perc)
Testnevelés (2 perc)
Elsődleges rögzítés (13 perc)
Házi feladat (1 perc)
Visszaverődés. Összegezve. (4 perc)
1. Szervezési mozzanat
Szervezem a tanulók figyelmét. Azt javaslom, üljön le. Megjelölöm a tanóráról hiányzó tanulókat.
Helló. Leülnek.
2. Házi feladat ellenőrzése
Ma új témánk van az „Arány. Az arányosság alaptulajdonsága.
Tanóránk céljai pedig: ismerkedjenek meg az „Arány” definíciójával; milyen elemekből áll az arány; tanulmányozza az arányok alapvető tulajdonságát.
Mielőtt azonban elkezdenénk tanulni egy új témát, nézzük meg a házi feladatunkat.
3. Az ismeretek frissítése
/*frontális közvélemény-kutatás*/
Az utolsó órán a "Számok és mennyiségek aránya" téma volt.
1. Emlékezzünk vissza, mit nevezünk kapcsolatnak?
2. És hogy nevezik magukat ezeket a számokat vagy mennyiségeket?
3. Mondja meg, mi lesz az aránnyal, ha a tagjait ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk?
És most emlékezzünk arra, hogyan értelmezik a kapcsolatokat, és találjuk meg a jelentésüket.
1. Két szám (vagy két mennyiség) hányadosát aránynak nevezzük.
2. Ezeket a számokat vagy mennyiségeket a reláció tagjainak nevezzük.
3. Az arány nem változik, ha annak tagjait szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a számmal, amely nem egyenlő nullával.
1. A 25-ös szám aránya 5.
2. A 33-as szám aránya 11-hez 3.
3. A 6-os szám aránya 14-hez .
4. A 12-4 szám aránya 3.
5. A 30 és 70 szám aránya az
6. Az 55-ös szám aránya 11-hez 5.
4. Új anyag elsajátítása
Srácok, mondjátok meg, milyen számok alatt ugyanazok az értékek a kapcsolataink.
Feljegyzéseket kaptunk az egyenlő kapcsolatokról:
Tehát két reláció egyenlőségét nevezzükarány .
Az arány fel van írva:
vagy
- hozzáállás a Nak nek b egyenlő az aránnyal c Nak nek d ;
- a utal rá b , Hogyan c utal rá d ;
- a osztva b , egyenlő c osztva d .
Mert felvételen számoka Ésd szélén állni szokták hívniaz arány szélső tagjai . Hát azóta számokb Ésc középen vannak, akkor ennek megfelelően hívják őket -az arány középső tagjai .
Ezek a nevek akkor is megmaradnak, ha az arányt az űrlapba írják
.
Térjünk vissza a kapott arányokhoz, és nevezzük őket szélső és középső tagoknak.
És most számoljunk egy kicsit. Szorozzuk meg arányainkban a szélső és középső tagot
Milyen következtetést lehet levonni?
Hogy
Jobb. Ezt az állítást únaz arányosság alapvető tulajdonsága .
Az 1-es arány egyenlő a 6-os aránnyal.
A 2-es arány egyenlő a 4-es aránnyal.
A 3-as arány egyenlő az 5-ös aránnyal.
Extrém 25 és 11, átlag 5 és 55.
Extrém 33 és 4, átlag 11 és 12.
Extrém 6 és 70, átlag 14 és 30.
Egy arány szélső tagjának szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával.
5. Testnevelés
Nos, most pihenjünk egy kicsit. Végezzünk szemtornát. Mert már télen, akkor hópelyhek jelennek meg a képernyőn, és az Ön feladata, hogy gondosan figyelje mozgásukat.
6. Elsődleges rögzítés
Most pedig új erőkkel kezdjük meg a feladatok végrehajtását.
№ 5,27 (szóbeli)
5.29 (1;3)
5.30 (1;3)
5,31 (1; 3) (további 5,32)
№ 5.27
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
№5.29 (1;3)
Készíts arányt, ham Ésn szélső tagjai, ésx Ésy – átlagos:
1) ;
Állítson be egy arányt. Ebben a cikkben az arányokról szeretnék beszélni. Hogy megértsük, mi az arány, hogy meg tudjuk alkotni - ez nagyon fontos, valóban spórol. Kicsi és jelentéktelen „betűnek” tűnik a matematika nagy ábécéjében, de enélkül a matematika bénára és alsóbbrendűre van ítélve.Először is hadd emlékeztesselek, mi az arány. Ez a forma egyenlősége:
ami ugyanaz (ez egy másik jelölési forma).
Példa:
Azt mondják, egy a kettőhöz, mint a négy a nyolchoz. Vagyis ez két reláció egyenlősége (ebben a példában a relációk numerikusak).
Az arányosság alapszabálya:
a:b=c:d
a szélső tagok szorzata egyenlő az átlag szorzatával
vagyis
a∙d=b∙c
*Ha az arány bármely értéke ismeretlen, az mindig megtalálható.
Ha figyelembe vesszük az űrlap rekordjának formáját:
akkor használhatja a következő szabályt, ezt hívják „kereszt szabályának”: az átlósan álló elemek (számok vagy kifejezések) szorzatának egyenlőségét írják le
a∙d=b∙c
Mint láthatja, az eredmény ugyanaz.
Ha az arány három eleme ismert, akkormindig találhatunk negyediket.
Ez a haszon és a szükségesség lényegearányok a problémamegoldásban.
Nézzük meg az összes lehetőséget, ahol az ismeretlen x érték az arány "bármelyik helyén" van, ahol a, b, c számok:
Az x-ből az átlón álló érték a tört nevezőjébe, az átlón álló ismert értékek pedig a számlálóba szorzatként. Nem szükséges megjegyezni, mindent helyesen fog kiszámolni, ha elsajátította az arányosság alapszabályát.
Most a cikk címével kapcsolatos fő kérdés. Mikor spórol az arány és hol használják? Például:
1. Először is, ezek érdekes feladatok. Figyelembe vettük őket a "" és a "" cikkekben.
2. Sok képlet arányként van megadva:
> szinusztétel
> háromszög elemeinek aránya
> érintő tétel
> Thalész tétele és mások.
3. A geometriával kapcsolatos feladatokban az oldalak (más elemek) vagy területek arányát gyakran a feltételben állítják be, például 1:2, 2:3 és mások.
4. A mértékegységek átváltása és az arány az egy mértékegységek átváltására és az egyik mértékről a másikra való átváltásra szolgál:
óráktól percekig (és fordítva).
térfogategységek, terület.
— hosszúságok, például mérföldtől kilométerig (és fordítva).
fok radiánra (és fordítva).
itt az arány összeállítása nélkül elengedhetetlen.
A lényeg az, hogy helyesen kell létrehoznia a levelezést, vegye figyelembe az egyszerű példákat:
Meg kell határozni azt a számot, amely a 700 35%-a.
Százalékos problémák esetén az összehasonlítás értéket 100%-nak vesszük. Jelöljük az ismeretlen számot x-szel. Párosítsunk:
Azt mondhatjuk, hogy hétszázharmincöt 100 százaléknak felel meg.
X 35 százaléknak felel meg. Eszközök,
700 – 100%
x - 35%
Mi döntünk
Válasz: 245
Átalakítsa 50 percet órákra.
Tudjuk, hogy egy óra 60 percnek felel meg. Jelöljük a levelezést -x óra 50 perc. Eszközök
1 – 60
x - 50
Mi döntünk:
Vagyis 50 perc az óra öthatoda.
Válasz: 5/6
Nikolai Petrovich 3 kilométert vezetett. Mennyi lesz mérföldben (vegye figyelembe, hogy 1 mérföld az 1,6 km)?
Tudjuk, hogy 1 mérföld az 1,6 kilométer. Vegyük a Nyikolaj Petrovics által megtett mérföldek számát x-nek. Összeegyeztethetjük:
Egy mérföld 1,6 kilométernek felel meg.
Az X mérföld három kilométer.
1 – 1,6
x - 3
Válasz: 1875 mérföld
Tudja, hogy vannak képletek a fokok radiánokká alakítására (és fordítva). Nem írom le őket, mert úgy gondolom, hogy felesleges megjegyezni őket, és ezért sok információt meg kell őrizni a memóriában. A fokokat mindig átválthatja radiánra (és fordítva), ha arányt használ.
65 fok átváltása radiánra.
A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyezni, hogy 180 fok a Pi radián.
Jelöljük a kívánt értéket x-szel. Állíts be egy gyufát.
Száznyolcvan fok a Pi radiánnak felel meg.
A hatvanöt fok x radiánnak felel meg. tanulmányozza a cikket ebben a blog témában. Az anyag kicsit másképp van bemutatva, de az elv ugyanaz. Ezzel befejezem. Biztosan lesz még érdekesebb, ne hagyd ki!
Ha felidézzük a matematika definícióját, akkor ez a következő szavakat tartalmazza: a matematika kvantitatív relációkat (RELATIONSHIPS) vizsgál- kulcsszó itt). Amint látja, a matematika definíciója is tartalmaz egy arányt. Általában a matematika arány nélkül nem matematika!!!
Minden jót!
Üdvözlettel, Alexander
P.S. Hálás lennék, ha a közösségi oldalakon mesélne az oldalról.
