Mi a szabályos négyszög alakú piramis apotémája. A piramis apotémája. A szabályos háromszög alakú piramis apotémjének képletei. A piramis magassága alapjának tulajdonsága
Itt alapvető információkat talál a piramisokról és a kapcsolódó képletekről és fogalmakról. Mindegyiket matematika oktatóval tanulják az egységes államvizsgára készülve.
Vegyünk egy síkot, egy sokszöget 
, benne fekve és egy S ponttal, nem benne fekve. Kössük össze S-t a sokszög összes csúcsával. A kapott poliédert piramisnak nevezzük. A szegmenseket oldalbordáknak nevezzük. 
A sokszöget alapnak nevezzük, az S pontot pedig a piramis csúcsa. Az n számtól függően a piramist háromszögnek (n=3), négyszögletűnek (n=4), ötszögletűnek (n=5) és így tovább nevezzük. A háromszög alakú piramis alternatív neve tetraéder. A piramis magassága az a merőleges, amely a tetejétől az alap síkjához ereszkedik. 
A piramist szabályosnak nevezzük, ha szabályos sokszög, és a piramis magasságának alapja (a merőleges alapja) a középpontja.
Az oktató megjegyzése:
Ne keverje össze a „szabályos piramis” és a „szabályos tetraéder” fogalmát. Egy szabályos piramisban az oldalélek nem feltétlenül egyenlőek az alap éleivel, de egy szabályos tetraéderben mind a 6 él egyenlő. Ez az ő meghatározása. Könnyű bizonyítani, hogy az egyenlőségből következik, hogy a sokszög P középpontja egybeesik alapmagassággal, tehát a szabályos tetraéder szabályos gúla.
Mi az apotém?
A piramis apotémája az oldallap magassága. Ha a piramis szabályos, akkor minden apotémája egyenlő. Ennek a fordítottja nem igaz. 
Egy matematika tanár a terminológiájáról: a piramisokkal végzett munka 80%-a kétféle háromszögből épül fel:
1) Apothem SK és magasság SP
2) Tartalmazza az SA oldalélt és annak PA vetületét 
Az ezekre a háromszögekre való hivatkozások egyszerűsítése érdekében kényelmesebb, ha a matektanár az elsőt hívja meg. apothematikus, és a második tengerparti. Sajnos ezt a terminológiát egyik tankönyvben sem találja meg, a tanárnak kell egyoldalúan bevezetnie.
A piramis térfogatának képlete:
1) 
, ahol a piramis alapterülete és a piramis magassága
2) , ahol a beírt gömb sugara, és a piramis teljes felületének területe.
3) 
, ahol MN bármely két keresztező él közötti távolság, és a négy fennmaradó él felezőpontjai által alkotott paralelogramma területe.
A piramis magasságának alapja:
A P pont (lásd az ábrát) egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) Minden apotém egyenlő
2) Minden oldalfelület egyformán dől az alaphoz
3) Minden apotém egyformán hajlik a piramis magasságára
4) A piramis magassága egyformán ferde minden oldallaphoz
A matektanár megjegyzése: Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden pontot egy közös tulajdonság egyesít: így vagy úgy, az oldallapok mindenhol érintettek (az apotémek az elemeik). Ezért az oktató egy kevésbé pontos, de a tanuláshoz kényelmesebb megfogalmazást tud ajánlani: a P pont egybeesik a beírt kör középpontjával, a gúla alapjával, ha ennek oldallapjairól azonos információ áll rendelkezésre. Ennek bizonyításához elég megmutatni, hogy minden apotém háromszög egyenlő.
A P pont egybeesik a piramis alapja közelében körülírt kör középpontjával, ha a három feltétel egyike teljesül:
1) Minden oldalél egyenlő
2) Minden oldalborda egyformán dől az alaphoz
3) Minden oldalborda egyformán dől a magassághoz
A piramis egy térbeli poliéder vagy poliéder, amely geometriai feladatokban található. Ennek az ábrának a fő tulajdonságai a térfogata és a felülete, amelyeket bármely két lineáris jellemző ismeretéből számítanak ki. Az egyik ilyen jellemző a piramis apotémája. A cikkben lesz szó róla.
Piramis figura
Mielőtt megadnánk a piramis apotémjének meghatározását, ismerkedjünk meg magával az ábrával. A piramis egy poliéder, amelyet egy n-szögű alap és n háromszög alkot, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják.
Minden piramisnak van egy csúcsa – az összes háromszög kapcsolódási pontja. Az ebből a csúcsból az alapra húzott merőlegest magasságnak nevezzük. Ha a magasság metszi az alapot a geometriai középpontban, akkor az ábrát egyenesnek nevezzük. Az egyenlő oldalú alappal rendelkező egyenes piramist szabályosnak nevezzük. Az ábrán egy hatszögletű alappal rendelkező gúla látható oldalról és élekről nézve.
Egy szabályos piramis apotémája
Apotémának is nevezik. A piramis tetejétől az ábra alapjának oldaláig húzott merőleges értendő. Definíciója szerint ez a merőleges a gúla oldallapját képező háromszög magasságának felel meg.
Mivel egy n-szögű alappal rendelkező szabályos piramisról van szó, akkor ennek mind az n apotémája azonos lesz, mivel ezek az ábra oldalfelületének egyenlő szárú háromszögei. Vegyük észre, hogy az azonos apotémek egy szabályos piramis tulajdonsága. Egy általános típusú (ferde, szabálytalan n-szögű) alaknál minden n apotém más lesz.
A szabályos gúla apotémjének másik tulajdonsága, hogy egyidejűleg a megfelelő háromszög magassága, mediánja és felezője. Ez azt jelenti, hogy két azonos derékszögű háromszögre osztja.
és apotemének meghatározására szolgáló képletek
Minden szabályos gúla esetében a fontos lineáris jellemzők az alapja oldalának hossza, a b oldalél, a h magasság és a h b apotém. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő képletekkel viszonyítjuk egymáshoz, amelyeket egy gúla rajzolásával és a szükséges derékszögű háromszögek figyelembevételével kaphatunk.
Egy szabályos háromszög alakú gúla 4 háromszöglapból áll, és ezek közül az egyiknek (az alapnak) egyenlő oldalúnak kell lennie. A többi általános esetben egyenlő szárú. A háromszög alakú piramis apotémája más mennyiségekkel is meghatározható a következő képletekkel:
h b = √(b 2 - a 2 /4);
h b = √(a 2 /12 + h 2)
Ezen kifejezések közül az első igaz bármely szabályos alappal rendelkező piramisra. A második kifejezés kizárólag egy háromszög alakú piramisra jellemző. Azt mutatja, hogy az apotém mindig nagyobb, mint az ábra magassága.
A piramis apotémáját nem szabad összetéveszteni egy poliéderével. Ez utóbbi esetben az apotém egy merőleges szakasz, amelyet a poliéder középpontjától az oldalára húzunk. Például egy egyenlő oldalú háromszög apotémája √3/6*a.
Apothem számítási probléma
Adjunk meg egy szabályos piramist, amelynek alapja háromszög. Ki kell számítani annak apotémjét, ha ismert, hogy ennek a háromszögnek a területe 34 cm 2, és maga a piramis 4 azonos lapból áll.
A feladat feltételeinek megfelelően egyenlő oldalú háromszögekből álló tetraéderrel van dolgunk. Az egyik arc területének képlete a következő:
Honnan kapjuk az a oldal hosszát:
A h b apotém meghatározásához a b oldalélt tartalmazó képletet használjuk. A vizsgált esetben hossza megegyezik az alap hosszával, van:
h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a
Az a-tól S-ig behelyettesítve a végső képletet kapjuk:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Kaptunk egy egyszerű képletet, amelyben a piramis apotémája csak az alapterületétől függ. Ha a feladatfeltételek közül az S értékét behelyettesítjük, azt a választ kapjuk: h b ≈ 7,674 cm.
Meghatározás. Oldalsó él- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és a szemközti oldal egybeesik az alap (sokszög) oldalával.
Meghatározás. Oldalsó bordák- ezek az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, mint egy sokszög szögeinek.
Meghatározás. Piramis magassága- ez egy merőleges, amely a piramis tetejétől az aljáig süllyeszthető.
Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjára merőleges, a gúla tetejétől az alap oldaláig leengedve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramis egy szakasza, amelyet a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík alkot.
Meghatározás. Helyes piramis egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. A piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
A piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör rajzolható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül egy felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalél egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alap síkjához.
Az oldalélek akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alap síkjával, vagy ha kör írható le a piramis alapja körül.
Ha az oldallapok ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok azonos szögben dőlnek az alap síkjához, akkor az oldallapok apotémái egyenlőek.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalborda egyenlő szögben dől az alaphoz képest.
4. Az összes oldallap apotémája egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos kétszögű (lapos) szöge van.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A körülírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Egy gömböt illeszthetsz egy piramisba. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcsban lévő síkszögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, egy szög egyenlő π/n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis és a gömb kapcsolata
Egy gömb akkor írható le a piramis körül, ha a piramis alján van egy poliéder, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a piramis oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Mindig leírható egy gömb bármely háromszög alakú vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
Piramis és kúp kapcsolata
A kúpról azt mondjuk, hogy be van írva a piramisba, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
Kúp akkor írható a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek egymással.
A kúpról azt mondjuk, hogy körülírt egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
A piramis és a henger kapcsolata
A gúlát hengerbe írtnak nevezzük, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy piramis körül henger írható le, ha a piramis alapja körül kör írható le.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszög szög.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder minden bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat kettéosztjuk, a mediánokat pedig felülről indulva 3:1 arányban.
Meghatározás. Hegyesszögű piramis- olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. Tompa piramis- olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. Szabályos tetraéder- egy tetraéder, amelyben mind a négy lap egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (a csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a csúcson három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap alakú háromszög szögés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek oldallapjai egyenlőek egymással, alapja pedig szabályos háromszög. Egy ilyen tetraédernek olyan lapjai vannak, amelyek egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. Csillag piramis poliédernek nevezzük, amelynek alapja egy csillag.
A geometriai problémák sikeres megoldásához világosan meg kell értenie a tudomány által használt kifejezéseket. Például ezek az „egyenes”, „sík”, „poliéder”, „piramis” és még sokan mások. Ebben a cikkben arra a kérdésre válaszolunk, hogy mi az apotém.
Az "apotém" kifejezés kettős használata
A geometriában az "apothema" vagy az "apothema" szó jelentése, ahogyan azt is nevezik, attól függ, hogy melyik tárgyra alkalmazzák. A figuráknak két alapvetően eltérő osztálya van, amelyekben ez az egyik jellemzőjük.
Először is, ezek lapos sokszögek. Mi a sokszög apotémája? Ez az ábra geometriai középpontjától bármely oldaláig húzott magasság.
Hogy világosabb legyen, miről beszélünk, nézzünk egy konkrét példát. Tegyük fel, hogy van egy szabályos hatszögünk, ahogy az alábbi ábrán látható.
Az l szimbólum az oldalának hosszát, az a betű pedig az apotémet jelöli. Egy megjelölt háromszögnél ez nem csak a magasság, hanem a felező és a medián is. Könnyen kimutatható, hogy az l oldalon keresztül a következőképpen számítható:
Az apotémet hasonlóan definiáljuk bármely n-szögre.
Másodszor, ezek piramisok. Mi az apotéma egy ilyen figurának? Ez a kérdés részletesebb megfontolást igényel.
Ebben a témában: Hogyan lehet hosszú és dús szempilláid egy hónap alatt?
Piramisok és apotémjaik
Először is definiáljunk egy piramist geometriai szempontból. Ez az ábra egy háromdimenziós test, amelyet egy n-szög (alap) és n háromszög (oldal) alkot. Ez utóbbiak egy pontban kapcsolódnak össze, amelyet csúcsnak nevezünk. Az alaptól való távolság az ábra magassága. Ha az n-szög geometriai középpontjára esik, akkor a piramist egyenesnek nevezzük. Ha ezen felül az n-szögnek egyenlő szögei és oldalai vannak, akkor az ábrát szabályosnak nevezzük. Az alábbiakban egy piramis példája látható.
Mi az apotéma egy ilyen figurának? Ez az a merőleges, amely az n-szög oldalait köti össze az ábra csúcsával. Nyilvánvalóan a háromszög magasságát jelenti, amely a piramis oldala.
Az Apothem kényelmesen használható, ha geometriai feladatokat old meg szabályos piramisokkal. A helyzet az, hogy számukra az összes oldallap egyenlő szárú háromszög egymással egyenlő. Az utolsó tény azt jelenti, hogy minden n apotém egyenlő, tehát egy szabályos piramis esetében egyetlen ilyen egyenesről beszélhetünk.
Szabályos négyszögletű piramis apotémje
Ennek az alaknak talán a legszembetűnőbb példája a világ híres első csodája - a Kheopsz piramis. Egyiptomban található.
Bármely ilyen, szabályos n-szögű alappal rendelkező alakzathoz megadhatunk olyan képleteket, amelyek segítségével meghatározhatjuk apotémjét a sokszög oldalának a hosszán, a b oldalélen és a h magasságon keresztül. Ide írjuk fel a megfelelő képleteket egy négyzet alakú egyenes piramishoz. A h b apotém egyenlő lesz:
Ebben a témában: Baskíria zászlaja - leírás, szimbolika és történelem
h b = √(b 2 - a 2 /4);
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Ezen kifejezések közül az első bármely szabályos piramisra érvényes, a második csak egy négyszögletű piramisra.
Mutassuk meg, hogyan lehet ezeket a képleteket használni a probléma megoldására.
Geometriai probléma
Legyen adott egy egyenes, négyzet alakú gúla. Ki kell számítani az alapterületét. A piramis apotémája 16 cm, magassága az alap oldalának kétszerese.
Minden iskolás tudja: a szóban forgó piramis alapját képező tér területének megtalálásához ismerni kell az oldalát a. Ennek megtalálásához a következő képletet használjuk az apotémre:
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Az apotém jelentése a probléma körülményeiből ismert. Mivel a h magasság kétszerese az a oldal hosszának, ez a kifejezés a következőképpen alakítható át:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*ó b /√17
Egy négyzet területe egyenlő az oldalai szorzatával. Az eredményül kapott kifejezést a helyére behelyettesítve a következőt kapjuk:
S = a 2 = 4/17*h b 2
Marad hátra, hogy a feladatfeltételek apotém értékét behelyettesítsük a képletbe, és felírjuk a választ: S ≈ 60,2 cm 2.
Olvassa el még:
- apotém- egy szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a csúcsából húzunk (ráadásul az apotém a merőleges hossza, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldalára süllyeszthető);
- oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - háromszögek, amelyek a csúcsban találkoznak;
- oldalsó bordák ( MINT , B.S. , C.S. , D.S. ) — az oldallapok közös oldalai;
- a piramis teteje (t. S) - az oldalbordákat összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
- magasság ( ÍGY ) - a piramis tetején keresztül az alap síkjához húzott merőleges szakasz (egy ilyen szakasz vége a gúla teteje és a merőleges alapja lesz);
- a piramis átlós metszete- a piramis egy szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
- bázis (ABCD) - sokszög, amely nem tartozik a piramis csúcsához.
A piramis tulajdonságai.
1. Ha az összes oldalsó él azonos méretű, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldalbordák az alap síkjával egyenlő szöget zárnak be;
- Ráadásul ennek az ellenkezője is igaz, pl. ha az oldalbordák egyenlő szöget zárnak be az alap síkjával, vagy ha egy kör írható le a piramis alapja körül, és a gúla teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve, ez azt jelenti, hogy az összes oldalél a piramis azonos méretűek.
2. Ha az oldallapok dőlésszöge az alap síkjához képest azonos értékű, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
- az oldalfelület területe egyenlő az alap kerületének és az oldalfelület magasságának szorzatával.
3. A gúla körül gömb írható le, ha a gúla alján van egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek közepén. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.
4. Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A legegyszerűbb piramis.
A szögek száma alapján a piramis alapja háromszögre, négyszögre stb.
Piramis lesz háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja egy háromszög, egy négyszög stb. A háromszög alakú piramis egy tetraéder - egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.
