Тема пропорции. Пропорции. Задачи для самостоятельного решения
Слово «пропорция» происходит от латинского корня и означает «соразмерность». Люди часто используют его в повседневной жизни. Говорят, например, о пропорциях человеческого тела или о пропорциях в кулинарии. Сегодня мы узнаем, что вкладывают в это слово математики.
Рассмотрим два отношения. Мы помним, что отношение - это частное двух чисел.
Заметим, что и в первом и во втором случае значение частного равно трем. Перед нами два равных отношения. Запишем равенство.
Пятнадцать так относится к пяти, как двадцать четыре к восьми. Такое равенство и называют пропорцией. Иногда это равенство записывают в виде равенства обыкновенных дробей.
Сформулируем определение: равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию можно записать:
Отношение a к b равно отношению c к d . Иногда пропорцию читают по-другому: «a так относится к b , как c относитсяк d ». Участвующие в пропорции числа называют членами пропорции. Считают, что все члены отличны от нуля.
Числа a и d называют крайним членами пропорции, а числа b и c - средними членами. Действительно, в первом варианте записи числа b и c находятся посередине, а числа a и d с краю.
В рассмотренной ранее пропорции 
найдем произведение ее средних и крайних членов.
Заметим, что два полученных произведения равны.
Сформулируем основное свойство пропорции в общем виде.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Верно и обратное утверждение.
Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
Найдем неизвестный член пропорции, то есть решим пропорцию.
Числа 0,5 и 13 - это крайние члены; числа a и 2 - это средние члены. Воспользуемся основным свойством пропорции.
Решим пропорцию.
Используя основное свойство пропорции, получим:
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель дроби на 10. Сократим полученную дробь на 4, а затем еще раз на 4.
Проверить являются ли данные пропорции верными:
В этом задании нужно проверить, действительно ли выполняется равенство между отношениями.
Найдем произведение средних и произведение крайних членов для каждой пропорции. Если полученные произведения равны, то пропорция верна. В противном же случае, пропорция является неверной.
верная пропорция, т. к.
неверная пропорция, т. к.
Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившееся новые пропорции тоже верны .
Это так потому, что при такой перестановке произведение крайних и средних членов не изменяется.
Разберем пример. Из данной пропорции получить две новые, переставив крайние и средние члены. Сначала переставим средние члены (рис. 1).
Рис. 1. Перестановка средних членов
Действительно, произведение средних и крайних не изменилось, значит, полученная пропорция верна. Переставим крайние члены (рис. 2).
Рис. 2. Перестановка крайних членов
И в этом случае произведение средних и крайних не изменилось. Мы получили верную пропорцию.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Математика ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012: № 762 (а, г, д), № 765, № 777.
- Другие задания: № 767, № 775.
Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.
Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
В пропорции
произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например,
То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе
которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины
, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции
(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). 
Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение:
Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.
Заполним таблицу: 
Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д
Задача 2.
Перевести в радианы.
Решение:
Мы знаем, что . Заполним таблицу:
Ответ:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?
Решение:
Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .
Составим таблицу:
Откуда площадь круга – есть .
Ответ:
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
Заполняем таблицу: 
Откуда получаем, что все поле составляет (га).
Ответ:
А следующая задача – с засадой.
Задача 5.
Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?
Решение:
Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:
время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.
В чем ошибка рассуждений?
До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .
Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
Решение:
Рассуждаем так:
Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.
То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.
Ответ: .
Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.
Запомните!
По трём известным членам пропорции всегда можно найти её неизвестный (четвёртый) член.
Решить пропорцию
— значит, найти все её члены. Решим пропорцию ниже
(найдём
«x
»).
Чтобы найти «x », используем основное свойство пропорции (правило «креста»).
Теперь мы готовы разбираться, как решать задачи на пропорции.
Решение задач на пропорции
Часто задачи на пропорции тесно связаны с процентами. Свои знания о процентах, вы можете освежить в разделе «Проценты ».
Задача
Из лука сделано 50 выстрелов. 5 стрел пролетело мимо мишени. Определите процент попадания .
По традиции подчёркнем важные и числовые данные в задаче.
Обратите внимание, что нам нужно определить процент попаданий, а не процент пролетевших мимо стрел.
Поэтому вначале посчитаем, сколько стрел попало в цель. Сделать это не составит труда.
- 50 − 5 = 45 (стрел) — попало в цель.
Далее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив 100% в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой x .
Чтобы правильно записывать нужные данные в таблицу, запомните простое правило.
Головач Александр Григорьевич
ГУО «Средняя школа №18 г. Бреста»
Тема: Пропорция. Основное свойство пропорции. (6 класс)
Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний
Образовательная: познакомить учащихся с понятиями: пропорция и члены пропорции; научить чтению пропорции и составлению пропорций из отношений; познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Развивающая: активизировать познавательную деятельность учащихся; развивать память, логическое мышление;
Воспитательная: воспитывать уважение к труду, работе в коллективе.
Литература: Математика: учеб. пособие для 6 кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [и др.]; под ред. Л. Б. Шнепермана. – Минск: Нац. ин-т образования, 2010. - 320 с.: ил.
Оборудование: учебник, доска, мел, презентация, компьютер, проектор.
Ход урока:
Организационный момент (2 мин)
Проверка домашнего задания (3 мин)
Актуализация знаний (8 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Первичное закрепление (13 мин)
Задание на дом (1 мин)
Рефлексия. Подведение итого. (4 мин)
1. Организационный момент
Организую внимание учащихся. Предлагаю сесть. Отмечаю отсутствующих на уроке учеников.
Здороваются. Садятся.
2. Проверка домашнего задания
Сегодня у нас на уроке новая тема «Пропорция. Основное свойство пропорции».
И цели нашего урока: познакомиться с определение «Пропорция»; из каких элементов состоит пропорция; изучить основное свойство пропорций.
Но перед тем, как приступить к изучению новой темы, давайте проверим домашнее задание.
3. Актуализация знаний
/*фронтальный опрос*/
На прошлом уроке у нас была тема «Отношение чисел и величин».
1. Давайте вспомним, что же называется отношением?
2. А как называются сами эти числа или величины?
3. Скажите, что будет с отношением, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля?
А теперь давайте вспомним, как читаются отношения и найдем их значение.
1. Частное двух чисел (или двух величин) называется отношением.
2. Эти числа или величины называются членами отношения.
3. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.
1. Отношение числа 25 к 5 равно 5.
2. Отношение числа 33 к 11 равно 3.
3. Отношение числа 6 к 14 равно .
4. Отношение числа 12 к 4 равно 3.
5. Отношение числа 30 к 70 равно
6. Отношение числа 55 к 11 равно 5.
4. Изучение нового материала
Ребята скажите, под какими номерами у наших отношений получились одинаковые значения.
У нас получились записи равных отношений:
Так вот равенство двух отношений называют пропорцией .
Пропорцию записывают:
или
- отношение a к b равно отношению c к d ;
- a относится в b , как c относится к d ;
- a , деленное на b , равно c , деленное на d .
Т.к. в записи числа a и d стоят с краю, то их принято называть крайними членами пропорции . Ну а т.к. числа b и c находятся в середине, то и называются они соответствующе – средними членами пропорции .
Эти названия сохраняются и тогда, когда пропорция записана в виде
.
Давайте вернемся к получившимся у нас пропорциям и назовем их крайние и средние члены.
А теперь немного посчитаем. Перемножьте в наших пропорциях крайние и средние члены
Какой вывод можно сделать?
То
Верно. Это утверждение называется основным свойством пропорции .
Отношение 1 равно отношению 6.
Отношение 2 равно отношению 4.
Отношение 3 равно отношению 5.
Крайние 25 и 11, средние 5 и 55.
Крайние 33 и 4, средние 11 и 12.
Крайние 6 и 70, средние 14 и 30.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
5. Физкультминутка
Ну а теперь немного отдохнем. Проведем физкультминутку для глаз. Т.к. уже зима, то на экране будут появляться снежинки, а ваша задача внимательно следить за их движениями.
6. Первичное закрепление
А теперь с новыми силами начнем выполнение заданий.
№ 5.27 (устно)
5.29 (1;3)
5.30 (1;3)
5.31 (1;3) (доп. 5.32)
№ 5.27
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
№5.29 (1;3)
Составьте пропорцию, если m и n – ее крайние члены, а x и y – средние:
1) ;
Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
