Сумма углов треугольника решение. «Решение задач на применение теоремы о сумме углов треугольника и теоремы о внешнем угле треугольника. Построение чертежа и краткая запись теоремы
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
7 класс. Решение задач. "Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника"
8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 13 19 7 … по готовым чертежам
Теорема о сумме углов треугольника. А В С Сумма углов треугольника равна 180 0 .
Внешний угол треугольника. Свойство. А В С Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. D
Свойства равнобедренного треугольника. А М В К С N Углы при основании. Медиана, высота, биссектриса. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном тр-ке биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольников. А К В М С Р О N L S H Медиана Биссектриса Высота
В А О C Смежные углы
Равносторонний треугольник. А В С В равностороннем треугольнике все стороны РАВНЫ и все углы РАВНЫ.
1. Ответ Подсказка (3) Свойства равнобедренного треугольника Найдите углы равнобедренного тр-ка, если угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию. Сумма углов треугольника С А В х 2х 2х
2. Ответ Подсказка (3) Внешний угол треугольника Найдите углы равнобедренного тр-ка, если угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Сумма углов треугольника С А В х 3х Свойство внешнего угла треугольника
3 . Ответ 50 0 C A B Дано: ∆ ABC, AB = BC, AD – биссектриса, Найти: Подсказка (4) Свойства равнобедренного треугольника Биссектриса треугольника D ? Сумма углов треугольника Смежные углы
4. Ответ 7 5 0 К С Дано: ∆ CDE, DK – биссектриса, Найти углы треугольника CDE. Подсказка (3) Рассмотреть ∆ CDK Биссектриса треугольника D Сумма углов треугольника 28 0 E
5 . Ответ 50 0 M A Дано: ∆ ABC, BM – высота, Найти угол CBM. Подсказка (3) Свойства равнобедренного треугольника Высота равнобедренного треугольника B Сумма углов треугольника C
6. Ответ 12 0 0 C A B Дано: ∆ ABC, AB = BC = 5 см, Найти: АС Подсказка (4) Свойства равнобедренного треугольника Внешний угол треугольника Смежные углы D Равносторонний треугольник
Решение задач по готовым чертежам. Необходимо по рисунку записать условие задачи и ответить на поставленный вопрос. В задачах подсказки отсутствуют. 8 9 1 0 7 1 1 1 2 14 15 1 6 13 1 7 1 8 20 21 22 23 24 19
7. Ответ 3 0 0 A Найти: B C ?
8. Ответ 4 0 0 A Найти: B C D ? ? ?
9 . Ответ 30 0 D A BC = AC Найти: B C ?
10. Ответ 110 0 A Найти: B C 40 0 ? ?
Цели урока:
- познакомить учащихся с теоремой о сумме углов треугольника, провести классификацию треугольников по углам;
- рассмотреть применение теоремы к решению задач.
Задачи урока:
Обучающая:
- сформулировать и рассмотреть план доказательства теоремы о сумме углов треугольника;
- провести классификацию треугольников по углам;
- рассмотреть задачи на применение доказанного утверждения.
Развивающая: умение анализировать, обобщать полученные знания, развивать математическую речь.
Воспитывающая:
- воспитывать познавательную активность, культуру общения;
- воспитывать уважение к историческому наследию в области математики.
Тип урока: частично поисковый.
Метод: исследование с применением теоретических знаний.
Оборудование:
- мультипроектор;
- презентация;
- раздаточный материал, задание – карточка для отработки теоремы при решении задач.
Межпредметные связи: история.
Применение здоровьесберегающих технологий на уроке:
- смена видов деятельности;
- развитие слухового и зрительного анализаторов у каждого ребёнка.
План урока:
1. Организационный момент.
Здравствуйте, садитесь. (Презентация. Слайд 1)
Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем отгадок,
И поискам предела нет.
2. Актуализация знаний.
Вспомним всё, что понадобится сегодня на уроке.
DBE – развёрнутый.
Слайд 2.
2) Свойства равнобедренного треугольника. Hайти 1 .
1 = 70°
Сформулируйте утверждение обратное свойству равнобедренного треугольника.
3) свойства параллельных прямых.
Слайд 4
2 = 43°
1 = 60°
– Как накрест лежащие углы.
4) Вводная задача. Слайд 5ABF – равнобедренный
B = 30°, AF BD,BD – биссектриса CBF
сумму углов ABF
Случайно ли сумма углов ABF оказалась равной 180° или этим свойством обладает любой треугольник? (У любого треугольника сумма углов равна 180°. )
Это утверждение носит название теоремы о сумме углов треугольника.
Итак, тема урока: Сумма углов треугольника. Слайд 6, 7, 8.
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник.
А уж вам – то как не знать…
Но совсем другое дело –
Очень быстро и умело
Величины всех углов
В треугольнике узнать.
Чтобы находить быстро и правильно углы в любом треугольнике, нужно рассмотреть теорему о сумме всех углов треугольника. Вот этим мы и займёмся сейчас на уроке.
Цели:
– рассмотреть план доказательства теоремы о сумме углов треугольника;
– провести классификацию треугольников по углам;
– научиться применять теорему о сумме углов треугольника при решении задач.
- Историческая справка о теореме “сумма углов треугольника”.
Свойство суммы углов треугольника было эмпирически, т. е. установлено опытным путём, вероятно, ещё в Древнем Египте, однако дошедшие до нас сведения о разных его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к “Началам” Евклида. Слайды 9,10.
Сумма углов треугольника равна 180°Доказать:
A + B + C = 180°
План доказательства:
Т.к. в условии теоремы недостаточно данных для доказательства, то возникает вопрос о введении вспомогательного элемента (дополнительного построения – это построение прямой). Такие же ситуации возникают, когда недостаточно данных для решения задач.
а) Построить DE
AC через вершину B ABC
б) Отметить 1,
2,
3.
2) Доказать, что A = 1, C = 3
A = 1 как накрест лежащие углы при DE AC,
AB – секущая.
3) Доказать, что 1 + 2 + 3 = 180°;
значит, A + 2 + C = 180°
DBE – развёрнутый
Итак, 1 + 2 + 3 = 180°
А т.к. как накрест лежащие углы при DE AC
Значит, A + 2 + C = 180°
Теорема доказана.
4)Какие треугольники различают по сторонам? (Равнобедренный, равносторонний, разносторонний.)
Треугольники классифицируют не только по сторонам, но и по углам. Сначала поговорим об углах.
– Что такое угол? (Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими
из одной точки. Лучи называются сторонами угла, а точку – вершиной угла.)
– Какой угол называют прямым? (Угол, величина которого равна 90º.)
– Какой угол называют развёрнутым? (Угол, величина которого равна 180º.)
– Какой угол называют острым? (Угол, величина которого меньше 90º.)
– Какой угол называют тупым? (Угол, величина которого больше 90º, но меньше
180º.)
Таким образом углы бывают острые, прямые, тупые, развёрнутые.
Начертите в тетради три угла: острый, тупой и прямой. Достройте рисунок до треугольника.
– Что для этого надо сделать? (Взять по точке на сторонах угла и соединить
их.)
– Какие получились треугольники? (Тупоугольный, прямоугольный, остроугольный.)
Слайд 13–16.
Устный тест: Слайд 17 тест взят – “Поурочные разработки по геометрии 7 класс, Гаврилова Н.Ф., М.: ВАКО, 2006”.
1) В треугольнике АВС, А = 90°, при этом другие два угла могут быть:
а) один острый, а другой может быть прямым;
б) оба острые;
в) один острый, а другой может быть тупым.
2) В треугольнике АВС, В – тупой, при этом другие два угла могут быть:
а) только острыми;
б) острый и прямой;
в) острый и тупой.
3) В остроугольном треугольнике могут быть:
а) все углы острые;
б) один тупой и 2 острых угла;
в) один прямой и 2 острых угла.
Проверка по Слайду 18, 19, 20.
5) Выдаются карточки с заданием. Назначается время для самостоятельного выполнения – 7 минут. Затем проверяется через мультимедиа.
Отработка навыков по готовым чертежам: Слайд 21–30.
Найти 1 , 2.
6)Вывод урока:
– По видам углов рассматривают (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольник).
– Чему равна сумма углов в любом треугольнике (Сумма углов в любом треугольнике равна 180°).
– Также данную теорему рассмотрим при решении задачи № 228 (а)
Записали: Дом. задание: Гл. IV §1 п. 30 №223 (а; б), 228 (б) .
№ 228 (а). Рассмотрим: 2 случая решения задачи:
При наличии времени провести тест.
Сумма углов треугольника
С умма углов произвольного треугольника равна 180 о.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
В треугольнике ABC угол A равен 30 o , угол B равен 90 o . Найдите угол C .
Ответ: 60 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 2
В треугольнике ABC угол A равен 40 o , внешний угол при вершине B равен 10 0 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 о.
Упражнение 3
В треугольнике ABC угол A равен 40 o . Внешний угол при вершине B равен 7 0 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 0 о.
Упражнение 4
В треугольнике ABC угол A равен 40 o , AC = BC . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 100 о.
Упражнение 5
В треугольнике ABC угол C равен 12 0 o , AC = BC . Найдите угол A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 о.
Упражнение 6
В треугольнике ABC AC = BC , угол C равен 50 o . Найдите внешний угол CBD .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 115 о.
Упражнение 7
В треугольнике ABC AC = BC . Внешний угол при вершине B равен 12 0 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 о.
Упражнение 8
В треугольнике ABC AB = BC . Внешний угол при вершине B равен 1 4 0 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 70 о.
Упражнение 9
Один из внешних углов треугольника равен 8 0 о. У глы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 48 о.
Упражнение 10
О дин из углов равнобедренного треугольника равен 100 о. Найдите один из других его углов.
Ответ: 40 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1 1
Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 30 o . Найдите этот третий угол.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 165 o .
Упражнение 12
Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите меньший из них.
Ответ: 3 0 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 13
Один острый угол прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Найдите больший острый угол.
Ответ: 75 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 14
Один острый угол прямоугольного треугольника на 20 о больше другого. Найдите меньший острый угол.
Ответ: 35 о.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1 5
В треугольнике АВС угол C равен 9 0 o , CH – высота, угол A равен 35 o . Найдите угол BCH .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 35 о.
Упражнение 1 6
В треугольнике АВС угол А = 65 o , угол В = 73 o , CH – высота. Найдите разность углов ACH и BCH .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 8 о.
Упражнение 1 7
В треугольнике АВС угол А равен 30 o , CH – высота, угол BCH равен 20 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40 о.
Упражнение 1 8
В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 5 0 o , угол CAD равен 30 o . Найдите угол B .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 70 о.
Упражнение 1 9
В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 3 0 o , угол BAD равен 20 o . Найдите угол ADB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 50 о.
Упражнение 20
В треугольнике АВС AC = BC , AD – высота, угол BAD равен 25 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 50 о.
Упражнение 21
В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o , угол B равен 60 o . Найдите угол ACD .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 о.
Упражнение 22
В треугольнике ABC угол A равен 70 o , BD и CE O . Найдите угол DOE .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 110 o .
Упражнение 23
Два угла треугольника равны 60 о и 70 о. Как ой уг ол образуют между собой высоты, выходящие из вершин этих углов?
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5 0 o .
Упражнение 2 4
В треугольнике ABC угол C равен 60 o , AD и BE O . Найдите угол AOB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 120 o .
Упражнение 2 5
Острый угол прямоугольного треугольника равен 30 о. Найдите уг ол, образованны й биссектрисами этого и прямого углов треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 o .
Упражнение 2 6
Найдите углы между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 5 o .
Упражнение 2 7
В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, угол BAD равен 25 o . Найдите угол AOC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 115 о.
Упражнение 2 8
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD . Найдите меньший угол треугольника ABC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 36 o .
Упражнение 29
В треугольнике АВС угол А равен 48 o , угол C равен 56 o . На продолжении стороны А B отложен отрез ок BD = ВС . Найдите уг ол D треугольника BCD .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 38 о.
Упражнение 30
Острые углы прямоугольного треугольника равны 30 о и 60 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 15 о.
Упражнение 31
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 2 0 о. Найдите меньший остры й уг ол данного треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 25 о.
Упражнение 32
Острые углы прямоугольного треугольника равны 25 о и 65 о. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40 о.
Упражнение 33
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 30 о. Найдите больший из острых углов этого треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 о.
Упражнение 34
Острые углы прямоугольного треугольника равны 25 о и 65 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 20 о.
Упражнение 35
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 15 о. Найдите меньший острый угол этого треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 о.
Упражнение 36
В треугольнике ABC угол B равен 4 5 o , угол C равен 8 0 o , AD – биссектриса, AE = AC . Найдите угол BDE .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 35 o .
Упражнение 37
В треугольнике ABC угол A равен 30 o , угол B равен 85 o , CD – биссектриса внешнего угла, С E = BC . Найдите угол BDE .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 55 o .
Упражнение 38
В треугольнике ABC угол A равен 60 o , угол B равен 80 o . AD , BE и CF – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 50 o .
Упражнение 39
В треугольнике ABC угол A равен 60 o , угол B равен 80 o . AD , BE и CF – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 80 o .
Упражнение 40
На рисунке угол 1 равен 45 о, угол 2 равен 90 о, угол 3 равен 30 о. Найдите угол 4.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 120 о.
Упражнение 41
В треугольнике ABC угол A равен 30 o , внешний угол при вершине B равен 100 o . Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 70 о.
Упражнение 42
Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40 о.
Упражнение 43
Один острый угол прямоугольного треугольника на 30 о больше другого. Найдите больший острый угол.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 о.
Упражнение 44
В треугольнике АВС угол C равен 90 o , CH – высота, угол A равен 30 o . Найдите угол BCH .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 о.
Упражнение 45
В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 40 o , угол CAD равен 30 o . Найдите угол B .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 80 о.
Упражнение 46
В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o , угол B равен 50 o . Найдите угол ACD .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40 о.
Упражнение 47
В треугольнике ABC угол A равен 60 o , BD и CE – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол DOE .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 120 о.
Упражнение 48
В треугольнике ABC угол C равен 70 o , AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 125 о.
Упражнение 49
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 20 о. Найдите больший из острых углов этого треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 55 о.
Упражнение 50
Острые углы прямоугольного треугольника равны 20 о и 70 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 25 о.
Упражнение 51
В треугольнике ABC угол A равен 50 o , угол B равен 70 o . AD , BE и CF – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 55 о.
Упражнение 52
В треугольнике ABC угол A равен 50 o , угол B равен 70 o . AD и BE – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Материалы, расположенные на этой странице, являются авторскими. Копирование для размешения на других сайтах допускается только с явного согласия автора и администрации сайта.
Сумма углов треугольника.
Смирнова И. Н., учитель математики.
Информационный проспект открытого урока.
Цель методического занятия:
познакомить учителей с современными методами и приемами использования средств ИКТ в различных видах учебной деятельности.Тема урока: Сумма углов треугольника.
Имя урока: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью». Л. Н Толстой.
Методические новшества, которые будут положены в основу урока.
На уроке будут показаны методы научного исследования с использованием ИКТ (использование математических экспериментов, как одной из форм получения новых знаний; экспериментальная проверка гипотез).
Обзорное описание модели урока.
- Мотивация изучения теоремы.
- Раскрытие содержания теоремы в ходе математического эксперимента с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».
- Мотивация необходимости доказательства теоремы.
- Работа над структурой теоремы.
- Поиск доказательства теоремы.
- Доказательство теоремы.
- Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.
- Применение теоремы.
Урок по геометрии в 7 классе
по учебнику «Геометрия 7-9»
на тему: «Сумма углов треугольника».
Тип урока:
урок изучения нового материала.Цели урока:
Образовательные: доказать теорему о сумме углов треугольника; получить навыки работы с программой «Живая математика», развитие межпредметных связей.
Развивающие: совершенствование умений осознанно проводить такие приемы мышления как сравнение, обобщение и систематизация.
Воспитательные: воспитание самостоятельности и умения работать в соответствии с намеченным планом.
Оборудование: мультимедийный кабинет, интерактивная доска, карточки с планом практической работы, программа «Живая математика».
Структура урока.
- Актуализация знаний.
- Мобилизующее начало урока.
- Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового ма-териала.
- Постановка учебной задачи.
- Практическая работа «Сумма углов треугольника».
- Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
- Решение проблемной задачи.
- Решение задач по готовым чертежам.
- Подведение итогов урока.
- Постановка домашнего задания.
Ход урока.
- Актуализация знаний.
План урока:
- Экспериментальным путем установить и выдвинуть гипотезу о сумме углов любого треугольника.
- Доказать это предположение.
- Закрепить установленный факт.
- Формирование новых знаний и способов действий.
- Практическая работа «Сумма углов треугольника».
Учащиеся садятся за компьютеры и им раздаются карточки с планом практической работы.
Практическая работа по теме «Сумма углов треугольника» (образец карточки)
Распечатать карточкуУчащиеся сдают результаты практической работы и садятся за парты.
После обсуждения результатов практической работы выдвигается гипотеза о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
Учитель: Почему мы пока не можем утверждать, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°.
Ученик: Нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения, даже на компьютере.
Утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°, относится только к рассмотренным нами треугольникам. Мы ничего не можем сказать о других треугольниках, так как их углы мы не измеряли.
Учитель: Правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники имеют сумму углов приблизительно равную 180°. Чтобы убедиться в том, что сумма углов треугольника точно равна 180° и при том для любых треугольников, нам надо еще провести соответствующие рассуждения, то есть доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом. - Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
Учащиеся открывают тетради и записывают тему урока «Сумма углов треугольника».
Работа над структурой теоремы.
Чтобы сформулировать теорему, ответьте на следующие вопросы:- Какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?
- Что входит в условие теоремы (что дано)?
- Что мы обнаружили при измерении?
- В чем состоит заключение теоремы (что надо доказать)?
- Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.
Построение чертежа и краткая запись теоремы
На этом этапе учащимся предлагается сделать чертеж и записать, что дано и что требуется доказать.
Построение чертежа и краткая запись теоремы.
Дано: Треугольник ABC.
Доказать:
டA + டB + டC = 180°.Поиск доказательства теоремы
При поиске доказательства следует попытаться развернуть условие или заключение теоремы. В теореме о сумме углов треугольника попытки развернуть условие безнадежны, поэтому разумно заняться с учениками развертыванием заключения.
Учитель: В каких утверждениях говорится об углах, сумма величин которых равна 180°.
Ученик: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Сумма смежных углов равна 180°.
Учитель: Попробуем для доказательства использовать первое утверждение. В связи с этим необходимо построить две параллельные прямые и секущую, но необходимо это сделать так, чтобы наибольшее количество углов треугольника стали внутренними или входили в них. Как можно этого добиться?Поиск доказательства теоремы.
Ученик: Провести через одну из вершин треугольника прямую параллельную другой стороне, тогда боковая сторона будет являться секущей. Например, через вершину В.
Учитель: Назовите образовавшиеся при этих прямых и секущей внутренние односторонние углы.
Ученик: Углы DBA и ВАС.
Учитель: Сумма каких углов будет равна 180°?
Ученик: டDBA и டBAC.
Учитель: Что можно сказать о величине угла ABD?
Ученик: Его величина равна сумме величин углов ABC и СВК.
Учитель: Какого утверждения нам не хватает, чтобы доказать теорему?
Ученик: டDBC = டACB.
Учитель: Какие это углы?
Ученик: Внутренние накрест лежащие.
Учитель: На основании чего мы можем утверждать, что они равны?
Ученик: По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.В результате поиска доказательства составляется план доказательства теоремы:
План доказательства теоремы.
- Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
- Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов.
- Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить их через углы треугольника.
Доказательство и его запись.
- Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).
- ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).
- டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).
- டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, что и требовалось доказать.
Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.
Для усвоения формулировки теоремы учащимся предлагается выполнить следующие задания:
- Сформулируйте теорему, которую мы только что доказали.
- Выделите условие и заключение теоремы.
- К каким фигурам применима теорема?
- Сформулируйте теорему со словами «если …, то…».
- Практическая работа «Сумма углов треугольника».
- Применение знаний, формирование умений и навыков.