Гурвалжны талбайг тодорхойлох. Гурвалжны талбайг яаж олох вэ
Гурвалжин бол хүн бүрт танил дүрс юм. Энэ нь түүний олон янзын хэлбэрийг үл харгалзан. Тэгш өнцөгт, тэгш талт, хурц, тэгш өнцөгт, мохоо. Тэд тус бүр нь ямар нэгэн байдлаар өөр өөр байдаг. Гэхдээ хэн ч гурвалжны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.
Талуудын урт эсвэл өндрийг ашигладаг бүх гурвалжинд нийтлэг томъёо
Тэдгээрт батлагдсан тэмдэглэгээ: талууд - a, b, c; a, n in, n with дээрх харгалзах талууд дээрх өндөр.
1. Гурвалжны талбайг ½, тал ба түүнээс хассан өндрийн үржвэрээр тооцно. S = ½ * a * n a. Нөгөө хоёр талын томьёог ижилхэн бичих ёстой.
2. Хагас периметр гарч ирэх Хэроны томъёо (бүтэн периметрээс ялгаатай нь ихэвчлэн жижиг p үсгээр тэмдэглэдэг). Хагас периметрийг дараах байдлаар тооцоолох ёстой: бүх талыг нэмээд 2-т хуваана. Хагас периметрийн томъёо нь: p = (a+b+c) / 2. Дараа нь талбайн тэгшитгэл зураг дараах байдалтай байна: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Хэрэв та хагас периметр ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол зөвхөн талуудын уртыг агуулсан томъёо хэрэгтэй болно: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Энэ нь өмнөхөөсөө арай урт боловч хагас периметрийг хэрхэн олохоо мартсан бол энэ нь туслах болно.
Гурвалжны өнцгийг хамарсан ерөнхий томьёо
Томьёог уншихад шаардлагатай тэмдэглэгээ: α, β, γ - өнцөг. Тэд a, b, c-ийн эсрэг талд байрладаг.
1. Үүний дагуу хоёр талын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус нь гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь: S = ½ a * b * sin γ. Бусад хоёр тохиолдлын томъёог ижил төстэй байдлаар бичих хэрэгтэй.
2. Гурвалжны талбайг нэг тал ба гурван мэдэгдэж буй өнцгөөс тооцоолж болно. S = (а 2 * нүгэл β * нүгэл γ) / (2 нүгэл α).
3. Мэдэгдэж байгаа нэг тал, хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй томьёо бас бий. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Сүүлийн хоёр томъёо нь хамгийн энгийн биш юм. Тэднийг санах нь маш хэцүү байдаг.
Бичсэн эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг мэддэг нөхцөл байдлын ерөнхий томьёо
Нэмэлт тэмдэглэгээ: r, R - радиус. Эхнийх нь бичээстэй тойргийн радиуст ашиглагддаг. Хоёр дахь нь тайлбарласан зүйлд зориулагдсан.
1. Гурвалжны талбайг тооцоолох эхний томъёо нь хагас периметртэй холбоотой. S = r * r. Үүнийг бичих өөр нэг арга бол: S = ½ r * (a + b + c).
2. Хоёр дахь тохиолдолд та гурвалжны бүх талыг үржүүлж, тойргийн радиусыг дөрөв дахин хуваах хэрэгтэй болно. Шууд утгаараа дараах байдлаар харагдана: S = (a * b * c) / (4R).
3. Гурав дахь нөхцөл байдал нь талуудыг мэдэхгүйгээр хийх боломжийг олгодог боловч бүх гурван өнцгийн утгууд хэрэгтэй болно. S = 2 R 2 * нүгэл α * нүгэл β * нүгэл γ.
Онцгой тохиолдол: тэгш өнцөгт гурвалжин
Зөвхөн хоёр хөлний урт шаардлагатай тул энэ нь хамгийн энгийн нөхцөл байдал юм. Тэдгээрийг латин a, b үсгээр тэмдэглэв. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүнд нэмсэн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна.
Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = ½ a * b. Энэ нь санахад хамгийн хялбар юм. Тэгш өнцөгтийн талбайн томьёо шиг харагддаг тул зөвхөн хагасыг харуулсан бутархай гарч ирнэ.
Онцгой тохиолдол: ижил өнцөгт гурвалжин
Энэ нь хоёр тэнцүү талтай тул түүний талбайн зарим томъёо нь арай хялбаршуулсан мэт харагдаж байна. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох Хероны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).
Хэрэв та үүнийг өөрчлөх юм бол энэ нь богино болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны Хэроны томъёог дараах байдлаар бичнэ.
S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).
Талбайн томьёо нь талууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тодорхой бол дурын гурвалжныхаас арай хялбар харагдаж байна. S = ½ a 2 * sin β.
Онцгой тохиолдол: тэгш талт гурвалжин
Асуудлын хувьд ихэвчлэн түүний талыг мэддэг эсвэл ямар нэгэн байдлаар олж мэддэг. Дараа нь ийм гурвалжны талбайг олох томъёо дараах байдалтай байна.
S = (a 2 √3) / 4.
Гурвалжинг алаг цаасан дээр дүрсэлсэн бол талбайг олоход тулгардаг асуудлууд
Хамгийн энгийн нөхцөл байдал бол тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах бөгөөд хөл нь цаасны зураастай давхцах явдал юм. Дараа нь та хөлөнд тохирох эсийн тоог тоолох хэрэгтэй. Дараа нь тэдгээрийг үржүүлж, хоёр хуваа.
Гурвалжин нь хурц эсвэл мохоо байвал тэгш өнцөгт рүү зурах шаардлагатай. Дараа нь үүссэн зураг нь 3 гурвалжинтай болно. Нэг нь асуудалд өгөгдсөн зүйл юм. Нөгөө хоёр нь туслах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Сүүлийн хоёрын талбайг дээр дурдсан аргыг ашиглан тодорхойлох шаардлагатай. Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үүнээс туслах хэсэгт тооцсон хэсгийг хас. Гурвалжны талбайг тодорхойлно.
Гурвалжны аль ч тал нь цаасны шугамтай давхцахгүй байх нөхцөл байдал илүү төвөгтэй болж хувирав. Дараа нь анхны дүрсийн оройнууд нь хажуу талдаа байхаар тэгш өнцөгт хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Энэ тохиолдолд гурван туслах гурвалжин байх болно.
Хероны томъёог ашигласан бодлогын жишээ
Нөхцөл байдал. Зарим гурвалжин нь талуудыг мэддэг. Тэдгээр нь 3, 5, 6 см-тэй тэнцүү байна.Та түүний талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.
Одоо та дээрх томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно. Квадрат язгуурын дор 7, 4, 2 ба 1 гэсэн дөрвөн тооны үржвэр байна. Өөрөөр хэлбэл талбай нь √(4 * 14) = 2 √(14) байна.
Хэрэв илүү нарийвчлал шаардагдахгүй бол 14-ийн квадрат язгуурыг авч болно. Энэ нь 3.74-тэй тэнцүү байна. Тэгвэл талбай нь 7.48 болно.
Хариулах. S = 2 √14 см 2 буюу 7.48 см 2.
Зөв гурвалжинтай холбоотой жишээ бодлого
Нөхцөл байдал. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь хоёр дахь хөлөөсөө 31 см том. Хэрэв гурвалжны талбай 180 см 2 бол та тэдгээрийн уртыг олох хэрэгтэй.
Шийдэл. Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй болно. Эхнийх нь газар нутагтай холбоотой. Хоёр дахь нь асуудалд өгөгдсөн хөлний харьцаатай.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Нэгдүгээрт, "a" утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулах ёстой. Үүнээс харахад: 180 = ½ (+ 31-д) * in. Энэ нь зөвхөн нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй тул үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Хашилтыг нээсний дараа квадрат тэгшитгэлийг олж авна: 2 + 31 360 = 0. Энэ нь "in" гэсэн хоёр утгыг өгдөг: 9 ба - 40. Хоёр дахь тоо нь хариултын хувьд тохиромжгүй, учир нь хажуугийн урт нь гурвалжны сөрөг утга байж болохгүй.
Хоёрдахь шатыг тооцоолоход л үлдлээ: гарсан тоон дээр 31-ийг нэмнэ. Энэ нь 40 болж хувирна. Эдгээр нь бодлогод хайж буй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Хариулах. Гурвалжны хөл нь 9 ба 40 см байна.
Гурвалжны талбай, тал, өнцгийн дундуур талыг олох бодлого
Нөхцөл байдал. Тодорхой гурвалжны талбай нь 60 см 2 байна. Хоёр дахь тал нь 15 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30º бол түүний аль нэг талыг тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд үндэслэн хүссэн тал нь "a", мэдэгдэж буй тал нь "b", өгөгдсөн өнцөг нь "γ" байна. Дараа нь талбайн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.
60 = ½ a * 15 * гэм 30º. Энд 30 градусын синус 0.5 байна.
Өөрчлөлтийн дараа "a" нь 60 / (0.5 * 0.5 * 15) тэнцүү болж хувирна. Энэ нь 16.
Хариулах. Шаардлагатай тал нь 16 см байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй квадратын тухай бодлого
Нөхцөл байдал. 24 см талтай квадратын орой нь гурвалжны зөв өнцөгтэй давхцаж байна. Нөгөө хоёр нь хажуу тийшээ хэвтэж байна. Гурав дахь нь гипотенузид хамаарна. Нэг хөлийн урт 42 см.Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай хэд вэ?
Шийдэл. Хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Эхнийх нь даалгаварт заасан зүйл юм. Хоёр дахь нь анхны гурвалжны мэдэгдэж буй хөл дээр суурилдаг. Тэдгээр нь нийтлэг өнцөгтэй, зэрэгцээ шугамаар үүсгэгддэг тул ижил төстэй байдаг.
Дараа нь тэдний хөлний харьцаа тэнцүү байна. Жижиг гурвалжны хөл нь 24 см (дөрвөлжингийн тал) ба 18 см (өгөгдсөн хөл нь 42 см, дөрвөлжингийн талыг 24 см хасна) тэнцүү байна. Том гурвалжны харгалзах хөл нь 42 см ба х см бөгөөд гурвалжны талбайг тооцоолоход энэ "x" шаардлагатай.
18/42 = 24 / x, өөрөөр хэлбэл x = 24 * 42 / 18 = 56 (см).
Дараа нь талбай нь 56 ба 42-ын үржвэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1176 см 2 байна.
Хариулах. Шаардлагатай талбай нь 1176 см 2 байна.
Гурвалжин бол бидний бага сургуульд мэддэг хамгийн түгээмэл геометрийн хэлбэрүүдийн нэг юм. Оюутан бүр геометрийн хичээл дээр гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулттай тулгардаг. Тэгэхээр өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох ямар онцлог шинж чанаруудыг тодорхойлж болох вэ? Энэ нийтлэлд бид ийм ажлыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай үндсэн томъёог авч үзэхээс гадна гурвалжны төрлүүдийг шинжлэх болно.
Гурвалжны төрлүүд
Та гурвалжны талбайг огт өөр аргаар олох боломжтой, учир нь геометрт гурван өнцөг агуулсан нэгээс олон төрлийн дүрс байдаг. Эдгээр төрлүүд нь:
- Бүдүүн.
- Тэгш талт (зөв).
- Зөв гурвалжин.
- Хоёр талт.
Одоо байгаа гурвалжны төрлүүд тус бүрийг нарийвчлан авч үзье.
Энэхүү геометрийн дүрс нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн түгээмэл гэж тооцогддог. Дурын гурвалжин зурах хэрэгцээ гарвал энэ сонголт нь аврах ажилд ирдэг.
Цочмог гурвалжинд нэрнээс нь харахад бүх өнцөг нь хурц бөгөөд 180 ° хүртэл нэмэгддэг.
Энэ төрлийн гурвалжин нь маш түгээмэл боловч цочмог гурвалжингаас арай бага тохиолддог. Жишээлбэл, гурвалжинг шийдэхдээ (өөрөөр хэлбэл түүний хэд хэдэн тал, өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд үлдсэн элементүүдийг олох хэрэгтэй) заримдаа та өнцөг нь мохоо эсвэл биш эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Косинус нь сөрөг тоо юм.
B, аль нэг өнцгийн утга нь 90 ° -аас хэтэрсэн тул үлдсэн хоёр өнцөг нь жижиг утгыг (жишээлбэл, 15 ° эсвэл бүр 3 °) авч болно.
Энэ төрлийн гурвалжны талбайг олохын тулд бид дараа нь ярих зарим нюансуудыг мэдэх хэрэгтэй.
Энгийн ба тэгш өнцөгт гурвалжин
Энгийн олон өнцөгт нь n өнцгийг багтаасан, талууд болон өнцөг нь бүгд тэнцүү дүрс юм. Энэ бол ердийн гурвалжин юм. Гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180 ° байх тул гурван өнцөг тус бүр нь 60 ° байна.
Тогтмол гурвалжинг шинж чанараараа адил талт дүрс гэж нэрлэдэг.
Ердийн гурвалжинд зөвхөн нэг тойргийг дүрсэлж болох бөгөөд түүний эргэн тойронд зөвхөн нэг тойрог дүрслэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн төвүүд нь нэг цэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Адил талт төрлөөс гадна нэг талт гурвалжинг ялгаж салгаж болох бөгөөд энэ нь түүнээс арай өөр юм. Ийм гурвалжинд хоёр тал ба хоёр өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд гурав дахь тал нь (тэнцүү өнцөг нь зэргэлдээ байгаа) суурь юм.
Зураг дээр D ба F өнцөг нь тэнцүү, DF нь суурь нь тэгш өнцөгт DEF гурвалжинг үзүүлэв.
Зөв гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь зөв, өөрөөр хэлбэл 90°-тай тэнцүү байдаг тул ийнхүү нэрлэсэн. Нөгөө хоёр өнцөг нь 90 ° хүртэл нэмэгддэг.
Ийм гурвалжны 90 ° өнцгийн эсрэг байрлах хамгийн том тал нь гипотенуз, үлдсэн хоёр тал нь хөл юм. Энэ төрлийн гурвалжны хувьд Пифагорын теорем дараах байдалтай байна.
Хөлний уртын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү байна.
Зураг дээр АС гипотенуз, AB ба ВС хөлтэй BAC тэгш өнцөгт гурвалжинг үзүүлэв.
Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайг олохын тулд түүний хөлийн тоон утгыг мэдэх хэрэгтэй.
Өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох томъёонууд руу шилжье.
Талбайг олох үндсэн томъёо
Геометрийн хувьд ихэнх төрлийн гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой хоёр томьёо байдаг, тухайлбал хурц, мохоо, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.
Хажуу болон өндрөөрөө
Энэхүү томъёо нь бидний авч үзэж буй зургийн талбайг олоход түгээмэл байдаг. Үүнийг хийхийн тулд хажуугийн урт, түүнд зурсан өндрийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Томъёо нь өөрөө (суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагас) дараах байдалтай байна.
Энд А нь өгөгдсөн гурвалжны тал, H нь гурвалжны өндөр.
Жишээлбэл, ACB цочмог гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний AB талыг CD өндрөөр үржүүлж, үүссэн утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй.
Гэсэн хэдий ч гурвалжны талбайг ийм байдлаар олох нь тийм ч хялбар биш юм. Жишээлбэл, энэ томьёог мохоо гурвалжинд ашиглахын тулд та түүний аль нэг талыг сунгаж, зөвхөн дараа нь өндрийг зурах хэрэгтэй.
Практикт энэ томъёог бусдаас илүү олон удаа ашигладаг.
Хоёр тал болон буланд
Энэ томьёо нь өмнөхтэй адил ихэнх гурвалжинд тохиромжтой бөгөөд утгаараа гурвалжны талбай ба өндрийг олох томъёоны үр дагавар юм. Өөрөөр хэлбэл, тухайн томъёог өмнөхөөсөө амархан гаргаж болно. Түүний найрлага нь дараах байдалтай байна.
S = ½*sinO*A*B,
Энд А ба В нь гурвалжны талууд, О нь А ба В талуудын хоорондох өнцөг юм.
Өнцгийн синусыг ЗХУ-ын нэрт математикч В.М.Брадисын нэрэмжит тусгай хүснэгтээс харж болно гэдгийг санацгаая.
Одоо зөвхөн гурвалжны онцгой төрлүүдэд тохиромжтой бусад томьёо руу шилжье.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай
Гурвалжин дахь өндрийг олох хэрэгцээг багтаасан бүх нийтийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг түүний хөлөөс олж болно.
Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлний үржвэрийн хагас буюу:
a ба b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм.
Ердийн гурвалжин
Энэ төрлийн геометрийн дүрс нь түүний талбайг зөвхөн нэг талынх нь заасан утгыг олох боломжтой гэдгээрээ ялгаатай (ердийн гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул). Тиймээс, "талууд тэнцүү байх үед гурвалжны талбайг олох" даалгавартай тулгарах үед та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
S = A 2 *√3 / 4,
Энд А нь тэгш талт гурвалжны тал юм.
Хероны томъёо
Гурвалжны талбайг олох сүүлчийн сонголт бол Хероны томъёо юм. Үүнийг ашиглахын тулд та зургийн гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хероны томъёо дараах байдалтай байна.
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
a, b ба c нь өгөгдсөн гурвалжны талууд юм.
Заримдаа "энгийн гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн уртыг олох" гэсэн асуудал гардаг. Энэ тохиолдолд бид ердийн гурвалжны талбайг олохын тулд аль хэдийн мэддэг томьёог ашиглаж, үүнээс хажуугийн (эсвэл квадратын) утгыг гаргаж авах хэрэгтэй.
A 2 = 4S / √3.
Шалгалтын даалгавар
Математикийн ТЕГ-ын бодлогод олон томьёо байдаг. Нэмж дурдахад ихэвчлэн алаг цаасан дээр гурвалжны талбайг олох шаардлагатай байдаг.
Энэ тохиолдолд өндрийг зургийн аль нэг тал руу нь зурж, уртыг нүднүүдээс нь тодорхойлж, талбайг олох бүх нийтийн томъёог ашиглах нь хамгийн тохиромжтой.
Тиймээс, өгүүлэлд дурдсан томъёог судалсны дараа танд ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олоход асуудал гарахгүй.
Сургуулийнхаа геометрийн сургалтын хөтөлбөрөөс гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээр холбогдсон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс гэдгийг санаж байгаа байх. Гурвалжин нь гурван өнцгийг үүсгэдэг тул дүрсний нэрийг авсан. Тодорхойлолт нь өөр байж болно. Гурвалжинг гурван өнцөгтэй олон өнцөгт гэж нэрлэж болно, хариулт нь бас зөв байх болно. Гурвалжингууд нь ижил талуудын тоо болон зураг дээрх өнцгийн хэмжээгээр хуваагдана. Тиймээс гурвалжингуудыг тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, масштаб, тэгш өнцөгт, хурц, мохоо гэж тус тусад нь ялгадаг.
Гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёо байдаг. Гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг сонгох, жишээлбэл. Аль томьёог ашиглах нь танаас хамаарна. Гэхдээ гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёонд ашигладаг зарим тэмдэглэгээг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, санаарай:
S нь гурвалжны талбай,
a, b, c гурвалжны талууд,
h нь гурвалжны өндөр,
R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус,
p нь хагас периметр.
Хэрэв та геометрийн хичээлээ бүрэн мартсан бол танд хэрэг болох үндсэн тэмдэглэгээг энд оруулав. Гурвалжны үл мэдэгдэх, нууцлаг талбайг тооцоолох хамгийн ойлгомжтой, төвөгтэй хувилбаруудыг доор харуулав. Энэ нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд таны гэр ахуйн хэрэгцээнд болон хүүхдүүдэд туслах болно. Гурвалжны талбайг аль болох хялбар тооцоолохыг санацгаая.
Манай тохиолдолд гурвалжны талбай нь: S = ½ * 2.2 см * 2.5 см = 2.75 кв. см. Талбайг квадрат сантиметрээр (кв см) хэмждэг гэдгийг санаарай.
Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний талбай.
Нэг өнцөг нь 90 градустай тэнцүү (тиймээс зөв гэж нэрлэдэг) гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Тэгш өнцөг нь хоёр перпендикуляр шугамаар (гурвалжингийн хувьд хоёр перпендикуляр сегмент) үүсдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөвхөн нэг тэгш өнцөг байж болно, учир нь... нэг гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байна. Үлдсэн 90 градусыг өөр 2 өнцгөөр хуваах ёстой, жишээлбэл 70 ба 20, 45 ба 45 гэх мэт. Тиймээс, та хамгийн гол зүйлийг санаж байна, тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг олж мэдэх л үлдлээ. Бидний өмнө ийм тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэж төсөөлөөд үз дээ, бид түүний S талбайг олох хэрэгтэй.
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох хамгийн энгийн аргыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Манай тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь: S = 2.5 см * 3 см / 2 = 3.75 кв. см.
Зарчмын хувьд гурвалжны талбайг өөр аргаар шалгах шаардлагагүй болсон Зөвхөн энэ нь өдөр тутмын амьдралд тустай бөгөөд тустай байх болно. Гэхдээ гурвалжны талбайг хурц өнцгөөр хэмжих сонголтууд бас байдаг.
2. Тооцооллын бусад аргуудын хувьд та косинус, синус, тангенсийн хүснэгттэй байх ёстой. Өөртөө дүгнэлт хий, одоо ч ашиглаж болох тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох зарим сонголтууд энд байна.
Бид эхний томьёог жижиг толботойгоор ашиглахаар шийдсэн (бид үүнийг тэмдэглэлийн дэвтэрт зурж, хуучин захирагч, протектор ашигласан), гэхдээ бид зөв тооцоог олж авлаа.
S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Бид дараах үр дүнг авсан: 3.6 = 3.7, гэхдээ эсийн шилжилтийг харгалзан бид энэ нюансыг уучилж чадна.
Хоёр талт гурвалжин ба түүний талбай.
Хэрэв та ижил өнцөгт гурвалжны томъёог тооцоолох даалгавартай тулгарвал гурвалжны талбайн сонгодог томьёо гэж тооцогддог үндсэн томъёог ашиглах нь хамгийн хялбар арга юм.
Гэхдээ эхлээд ижил өнцөгт гурвалжны талбайг олохын өмнө энэ нь ямар дүрс болохыг олж мэдье. Хоёр тал нь ижил урттай гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ. Эдгээр хоёр талыг хажуу, гурав дахь талыг суурь гэж нэрлэдэг. Адил талт гурвалжинг ижил талт гурвалжинтай андуурч болохгүй, өөрөөр хэлбэл. бүх гурван тал нь тэнцүү энгийн гурвалжин. Ийм гурвалжинд өнцөгт, эс тэгвээс хэмжээнүүдэд онцгой хандлага байдаггүй. Гэсэн хэдий ч ижил өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү боловч тэгш талуудын хоорондох өнцгөөс ялгаатай. Тиймээс та эхний ба үндсэн томьёог аль хэдийн мэддэг болсон тул ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох өөр ямар томьёог мэддэг болохыг олж мэдэхэд л үлддэг.
Талбайн тухай ойлголт
Аливаа геометрийн дүрс, ялангуяа гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбайг авна. Бүрэн гүйцэд болгохын тулд геометрийн дүрсүүдийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая.
Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нэг жишээ авч үзье.
Жишээ 1
Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ бөгөөд нэг тал нь $5$ урттай ($5$ нүд байгаа тул), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүдтэй тул) байна. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь
Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна
Хариулт: 15 доллар.
Дараа нь бид гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглан.
Гурвалжны өндөр ба суурийг ашиглан талбайг хэрхэн олох вэ
Теорем 1
Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.
Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна
$S=\frac(1)(2)αh$
Энд $a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүнд татсан өндөр юм.
Баталгаа.
$AC=α$ байх $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд энэ нь $h$-тай тэнцүү байна. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.
$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорем нь батлагдсан.
Жишээ 2
Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол
Энэ гурвалжны суурь нь $9$-тэй тэнцүү байна ($9$ нь $9$ квадрат тул). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Хариулт: 40.5 доллар.
Хероны томъёо
Теорем 2
$α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.
Баталгаа.
Дараах зургийг авч үзье.
Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг
Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Талбайн тухай ойлголт
Аливаа геометрийн дүрс, ялангуяа гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбайг авна. Бүрэн гүйцэд болгохын тулд геометрийн дүрсүүдийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая.
Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нэг жишээ авч үзье.
Жишээ 1
Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ бөгөөд нэг тал нь $5$ урттай ($5$ нүд байгаа тул), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүдтэй тул) байна. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь
Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна
Хариулт: 15 доллар.
Дараа нь бид гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглан.
Гурвалжны өндөр ба суурийг ашиглан талбайг хэрхэн олох вэ
Теорем 1
Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.
Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна
$S=\frac(1)(2)αh$
Энд $a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүнд татсан өндөр юм.
Баталгаа.
$AC=α$ байх $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд энэ нь $h$-тай тэнцүү байна. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.
$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорем нь батлагдсан.
Жишээ 2
Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол
Энэ гурвалжны суурь нь $9$-тэй тэнцүү байна ($9$ нь $9$ квадрат тул). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Хариулт: 40.5 доллар.
Хероны томъёо
Теорем 2
$α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.
Баталгаа.
Дараах зургийг авч үзье.
Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг
Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
